专题20 旋转相关动点压轴题（5种类型40道）2026-2027学年人教版九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（重庆专用）

专题20 旋转相关动点压轴题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 旋转相关动点最值问题】 1 【类型2 旋转相关动点定值问题】 5 【类型3 旋转相关动点存在性问题】 9 【类型4 旋转相关探究数量关系】 13 【类型5 旋转相关动点求值】 17 【类型1 旋转相关动点最值问题】 1．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 (1)如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； (2)如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 2．【问题情境】如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)请你思考在绕点逆时针方向旋转任意角度的过程中，线段长度是否存在最大值和最小值．如果存在，请你直接写出最大值和最小值． 3．如图，等腰中，，点为上一点，连接． (1)如图1，若，且，求线段的长度； (2)如图2，过点作，交延长线于点，以为斜边作等腰直角，过点作交延长线于点，且，求证：； (3)如图3，为射线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，直接写出的最小值． 4．问题探究 (1)如图①，已知，，则的大小为 ； (2)如图②，在四边形中，，，对角线，求四边形的面积； (3)问题解决：如图③，四边形是正在建设的地铁站的施工围挡，受地方限制，要求；，对角线米，那么四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 5．已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，，点F在线段，且，点M，N分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由． 6．在中，，点E是的中点，连接，点F是上的一点，连接． (1)如图1，若点F是的中点，，求线段的长度； (2)如图2，过点A作于点Q，交于点D，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点G作交的延长线于点H，交的延长线于点P，用等式表示线段与的数量关系并证明； (3)如图3，以为斜边在下方作等腰，连接并延长至点T，使得，在直线上方取一点M，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，若，请直接写出的最小值． 7．在中，． (1)如图 1，若，，求的面积； (2)如图 2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图 3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 8．如图，在中，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．连接交于点（或射线，交于点）． (1)直接写出点到的距离； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)直接写出的最小值． 【类型2 旋转相关动点定值问题】 9．【探究与证明】旋转，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过旋转三角板开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】将一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒． 请完成： (1)当 秒时，；当 秒时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求t的值； (3)如图3，当边与边、分别交于点M、N时，连接，设，，，证明：为定值． 10．将两个大小不同的等腰直角三角形与如图1放置，其中，的直角顶点与斜边的中点重合．以点为旋转中心逆时针旋转，当所在直线首次经过点时停止旋转（如图3）． 【初步感知】 （1）如图1，当在初始位置时，连接，，则和的数量关系为______，位置关系为_______； 【类比探究】 （2）如图2，在的旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【迁移应用】 （3）若，连接， ①如图3，当旋转至终止位置时，求的长； ②如图4，在的旋转过程中，请问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 11．似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    12．如图1，和中，，，边与相交于点，且，连接，． (1)求的值为_______； (2)如图2，连接，，求证：； (3)将绕着点在平面内旋转，在旋转过程中是否为定值，若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 13．【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点.然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为，连接与． 【观察发现】 （1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为_________；位置关系为_________； 【探索猜想】 （2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立?请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在矩形的旋转过程中，交于点P，交于点O，连接，，是否为定值；如果是，请直接写出此定值，如果不是，请你说明理由. 14．正方形和，连接，． (1)发现：当正方形绕点旋转， ①与之间的数量关系是__________； ②与之间的位置关系是__________； (2)探究： ①当正方形的边在上时，直接写出__________； ②当正方形绕点旋转时，是否为定值；如果是定值，请求出这个定值；如果不是，请简要说明理由． 15．【特例感知】 (1)如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点A、C、D三点共线，延长交于点F，连接．求证：；            【类比迁移】 (2)如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为α，当时，延长与交于点F，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与、交于M、N两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 16．（1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 【类型3 旋转相关动点存在性问题】 17．如图，在中，，，点在边上．点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为．连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，连接，取线段的中点．若运动的时间为． (1)如图1，若点为边的中点，当时， ①求线段的长为 ； ②求线段的长． (2)如图2，若，是否存在，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 18．综合与实践． (1)如图1，和中，，请从条件①、②中选取一个条件添加，求证：； (2)如图2，点F为等边的边上一点，将线段绕点B逆时针方向旋转，得到线段，连接交于点F，延长交于点E，若．求证：； (3)如图3，在中，，，点G为AH边上的一点，，，射线AP上是否存在点F，使？如果存在，请直接写出的长；如果不存在，请说明理由． 19．如图1，四边形是矩形，以为圆心长为半径画弧交延长线于点，作交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)将绕点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为、． ①如图2所示，当在线段上时，直线交于点，交于点． （i）求证：； （ⅱ）求证：． ②如图3所示，若，，将沿直线翻折得到，其中点的对应点为点，当旋转至某一位置时，是否存在旋转得到的与关于直线对称？若存在，在图3中画出，连接，并直接写出的长，若不存在，请说明理由． 20．解答下列问题： (1)【静图识形】如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证：． (2)【数形转化】如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点． ①求边所在直线的函数表达式； ②点是直线上一动点，当的面积为时，请求出所有符合条件的点的坐标． (3)【动点推广】在（2）问的条件下，若点在边上，且，过点作，交于点，交直线于点，在轴负半轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 21．综合与探究 问题情境 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考 （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究 （2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由． （3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由． ∴， ∴点是的中点． 22．如图（1），正方形和正方形，边在边上，，，将正方形绕点逆时针旋转． (1)如图（2），正方形旋转到此位置，求证：； (2)在旋转的过程中，当时，试求的长； (3)的延长线交直线于点，在旋转的过程中，是否存在某时刻？若存在，试求出的长；若不存在，请说明理由． 23．【探究与证明】 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，，将边绕点 A逆时针旋转（）得到线段，过点E作，交直线于点F． 【猜想证明】从特殊到一般． (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)是否存在α，使点F，E，D三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 24．如图①，在中，，，，线段与重合（与重合，与重合），从位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，，设运动时间为（）．解答下列问题：    (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点与点关于点中心对称，连接，， （i）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）是否存在某一时刻，使点在外角的平分线上？若存在，直接写出值；若不存在，请说明理由． 【类型4 旋转相关探究数量关系】 25．在中，点是上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，延长至点，使，连接，过点作于点． 【特例感知】 (1)如图1，已知是等腰直角三角形，，，，请直接写出与的数量关系_________________，与的数量关系_________________； 【类比迁移】 (2)如图2，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图3，已知在中，，，，，在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 26．综合与探究 在中，的角度记为． (1)操作与证明：如图1，若，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接．写出和的数量关系：______，______； (2)探究与发现：如图2，若，点变为延长线上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转角度至位置，连接．试判断和的数量关系，并说明理由； (3)判断与思考：在（2）的探究中，若，点为直线上一点，当时，直接写出的长． 27．如图，四边形是菱形，是线段的中点，是射线上一动点，连接是直线上两点（点位于点右侧），将直线绕点旋转后经过点，且． (1)【操作判断】 求的度数； (2)【问题探究】 如图①，若点在线段上，连接，若，求的长； (3)【拓展延伸】 如图②，若点在射线上（不与点重合），连接．探究线段之间的数量关系，并说明理由． 28．在中，，，点M是直线上一动点．连接，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点A重合时，连接，四边形的形状是________________； (2)探究猜想：当点M不与点A，点C重合时． ①试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想； ②直接写出，和之间的数量关系． 29．已知为等边三角形，D是射线上的一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转60°得到，连接． (1)如图1，的形状为_________． (2)试猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 30．已知在中，，，为直线上的一动点（点不与点重合），将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)当点在直线上时，如图②、图③所示，线段之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 31．如图，与为正三角形，点O为射线上的动点，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线 (1)如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段，上，求证：； (2)如图2，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； 32．在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)如图1，当时，连接，连接交于点．若平分，． ①求证：； ②求的长． (2)如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想． 【类型5 旋转相关动点求值】 33．如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使，与交于点． (1)请在图中找出与相似的三角形是___________；（在不添加任何辅助线条件下） (2)已知，， ①当时，求的面积； ②连接，当为直角三角形时，求的长； ③当将分成的两部分的面积之比为时，请直接写出值． 34．如图（1），在中，，，射线于点，动点从点出发沿射线方向运动；以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为秒；    (1)以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到线段，连接，是否存在最小值，不存在，则说明理由，存在则求出最小时的值及的最小值； (2)若射线为的平分线，当点从点出发时，点从点向点与点同时同速运动，连接交于点，当为等腰三角形时，直接写出所有可能的t值． 35．如图，在等边中，是的延长线上一动点，连接，点在线段上（不与端点重合），将射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点． (1)依题意补全图1，并证明； (2)若，判断点的位置，并证明． (3)在（2）的条件下，连接．若等边的边长为3，当线段的长取得最小值时，直接写出此时线段的长． 36．如图①，为等边三角形，，分别为，上的动点，且，易证．如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点． 问题解决： (1)若，求，的度数（用表示），你能得出什么一般性的结论： (2)求证：； (3)若，在点的运动过程中，由，，，四个点构成的四边形的面积为时，求的长． 37．综合与实践： 【提出问题】 (1)如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． 【类比探究】 (2)如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． 【迁移运用】 (3)如图3，在矩形中，，，E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点F到的距离为时，求出的长． 38．【问题引入】 （1）如图①，将绕点按逆时针方向旋转得到（点、的对应点分别为点、，连接，若，求的长； 【衍生拓展】 （2）如图②，在中，，，将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别为点、，连接，当时，求的长； 【深入探究】 （3）如图③，在边长为8的等边三角形中，是的中点，是所在直线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接、．在点运动的过程中，当点、、在同一直线上时，直接写出线段的长． 39．综合与实践如图1，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点． (1)观察猜想：线段与的数量关系是___________． (2)探究思考在图1的基础上，连接，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上，得到图2． ①请判断线段与之间的数量关系并说明理由； ②求的度数． (3)拓展应用在图1的基础上，连接，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上，记与交于点．若，，请直接写出的长． 40．综合与探究： 如图，在菱形中，，点P是对角线上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作交BC于点E，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转得到线段PF，点D的对应点F恰好落在射线BC上． 问题解决： (1)线段AP与BE之间的数量关系是________； (2)求的度数． 拓展探究： (3)连接PB，若，，PF与CD交于点G．请直接写出GF的长． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题20旋转相关动点压轴题 (5种类型40道) 专题目录 【类型1旋转相关动点最值问题】 1 【类型2旋转相关动点定值问题】 -23 【类型3旋转相关动点存在性问题】 6 【类型4旋转相关探究数量关系】 -73 【类型5旋转相关动点求值】 -93 【类型1旋转相关动点最值问题】 1.【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶德·费马，提出一个问题：求作三角 形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”.如图1，点P是 △ABC内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60到△AP'C,则可以构造出等边△APP',得AP=PP, CP=CP' PA+PB+PC PP'+PB+P'C" B,P,P',C" BC ,所以 的值转化为 的值，当 四点共线时，线段的长为 所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”， 图1 图2 图3 【拓展应用】 (1)如图2，点P是等边△ABC内的一点，连接PA,PB,PC,将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C. ①画出图形 ②当PA=3,PB=4,PC=5时，求∠APC'的大小： 2如图3，点P是△1BC内的点，且∠BMC=90,B=6.4C=25,求PA+PB+PC 的最小值. 第1页共130页 --= 【答案】(1@ :② 150° 22v27 【详解】(1)①略 ②：△ABC为等边三角形， AB=AC,∠BAP+∠PAC=60°， 又：△APP是等边三角形， ∴.∠PAC+∠CAP'=60°. ·∠BAP=∠CAP', 在△ABP与△ACP'中， AB=AC ∠BAP=∠CAP AP=AP' .∴△ABP2△ACP'(SAS) PB=CP'=4,PP'=3,PC=5 ..PP2+CP2=PC2 .∠CPP=90° ∴.∠AP'C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150° (2)如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到APC, B D 则∠ACP=∠A'CP',∠ACA'=∠PCP'=60° 第2页共130页 在RIAABC中，BC=VAB+AC-V6+23'=45, ∴.∠ABC=30°，∠ACB=60° 又LPCP'=∠ACA=60°， ∴.∠BCA=∠ACB+∠ACA=60°+60°=120°， 如图，过A作A'D⊥BC交BC的延长线于点D, 则∠A'CD=∠BCD-∠BCA=180°-120°=60°， ∴.∠CAD=30°， AC=AC=23, .CD=√3 ..AD=AC2-CD2=3 ∠PCP'=60°，PC=CP', :.△CPP为等边三角形， 当B、P、P'、N四点共线时，PA+PB+PC和最小， 在RLABDA中，BD=BC+CD=4W5+3=5V5,DA=3 B4=JBD2+DA2=(53)+32=221 PA+PB+PC W21 的最小值为 2.【问题情境】如图1，E为正方形ABCD内一点，AE=5,BE=12,∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点A 按逆时针方向旋转a度(0≤a≤180°)，点B,E的对应点分别为点B',E'. 第3页共130页 D B B H E 图1 图2 图3 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，当点B落在AC上时，求此时CB的长： (2)若Q=90°，如图3，得到△ADE(此时B与D重合)，延长BE交DE'于点F,试判断四边形AEFE'的 形状，并说明理由： (3)请你思考在R1△ABE绕点A逆时针方向旋转任意角度的过程中，线段CE'长度是否存在最大值和最小值. 如果存在，请你直接写出最大值和最小值. 【答案】(1)132-13 (2)四边形AEFE是正方形.理由如下： 由旋转的性质可得：AE'=AE,∠AED=∠AEB=90°，旋转角a=90°， ∠EAE=90° :∠AEB=90°，点F在BE延长线上， .∠AEF=180°-∠AEB=180°-90°=90° :∠AEF=∠EAE'=∠AE'F=90°， ∴四边形AEFE是矩形. AE=AE', ∴.四边形AEFE是正方形 3v2+ (3)存在最大值和最小值.最大值是 ,最小值是32-5 【详解】(1)解：在RIABE中， ∠AEB=90° 根据勾股定理得4B=VAE+BE2=V52+12=13 ·四边形ABCD是正方形， .BC=AB=13.∠ABC=90°. 在RIABC中，根据勾股定理得4C=VAB+BC2=3+132=132 第4页共130页 由旋转可得AB=AB=13 :B落在对角线AC上， .CB'=AC-AB=13V2-13 (2)略 (3)解：由旋转的性质，AE'=AE=5,所以在旋转过程中，点E到定点A的距离始终等于5， ∴点E的运动轨迹是以A为圆心，半径r=5的圆弧(0≤α≤180°). 由(1)知，AC=13V2 根据两点之间线段最短： 当C、A、E'三点共线，且E'在CA的延长线上时，CE'最大， CE mr AC+AE'=132+5 当C、A、E三点共线，且E'落在线段AC上时，CE最小， CEmnin =AC-AE'=13V2-5 3W2+5 13v2-5 答：最大值是 ,最小值是 3.如图，等腰△ABC中，AB=AC,点D为BC上一点，连接AD M 图1 图2 图3 (1)如图1，若AB=6,AD=4,且∠ADC=60°，求线段CD的长度： (2)如图2，过点B作BE⊥AD,交AD延长线于点E,以AB为斜边作等腰直角△ABG,过点G作GF‖BC 第5页共130页 交DM延长线于点F,且BE=4F,求证： CD-BD=V2AD 3)如图3，AB=4V2,∠BAC=45°，P为射线AC上一点，连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°至BM, 连接CM,直接写出CM的最小值. 2W6+2 【答案】(1) (2)证明：如图2，连接EG,在CD上截取CL=BD,连接AL, G 图2 ,△ABG是以AB为斜边的等腰直角三角形， ∠AGB=90°，AG=BG, ,BE⊥AD, .∠AEB=90°， ∴，∠AEB+∠AGB=90°+90°=180°， ·四边形AEBG的内角和为360°， .∠EBG+∠EAG=180°， ,∠FAG+∠EAG=180°， ∴.∠EBG=∠FAG. 在△GBE和△GAF中， BG=AG ∠EBG=∠FAG BE=AF △GBE≌AGAF(SAS) .EG=GF,∠BGE=∠AGF, ,∠BGE+∠AGE=90° ∴.∠AGF+∠AGE=90°，即∠FGE=90°， 第6页共130页 :.△EGF是等腰直角三角形， ∠F=45°， .GFl BC ∴∠ADC=∠F=45°， .∠ADB=180°-45°=135°， AB=AC, ∠ABD=∠C, 在△ABD和△ACL中， AB=AC ∠ABD=∠C BD=CL △ABD≌AACL(SAS) G D 图2 ·AD=AL,∠ALC=∠ADB=135°， ∴∠ALD=45°=∠ADL, .∠DAL=90°， ∴△ADL是等腰直角三角形， DL=V2AD CD-CL DL. .CD-BD=2AD 8)8-4v2 【详解】(1)解：如图1，过点A作AK⊥BC于K, 第7页共130页 D K C 图1 :AB=AC,AK⊥BC, .BK=CK, 在Rt△ADK中，∠ADC=60°，∠AKD=90°，AD=4. ∠DAK=30° :DK=)4D=2, 2 4K-AD-DK--22 在Rt△4BK中，BK=VAB2-AK2=V6-(2W5=26, CK=BK=2/6 CD=CK+DK=26+2 (2)略 (3)解：过点B作BD⊥AB,交AC的延长线于点D,连接DM,如图所示： y B D M 则∠ABD=90°， :∠BAC=45°， .∠ADB=180°-90°-45°=45°. .∠BAC=∠ADB 第8页共130页 .AB=BD=42, AD-AB BD=8 根据旋转可得；∠PBM=9O°，BP=BM, ∴.∠ABP+∠PBD=∠PBD+∠DBM=90°， ∴.∠ABP=∠DBM, △ABP≌ADBM(SAS) .∠BDM=∠BAC=45° .∠CDM=45°+45°=90°， ∴，MD⊥AC, ∴.点M在过点D与AC垂直的直线上， ,垂线段最短， :当点M与点D重合时，CM最小，且最小值为CD的长， :AC=AB=42, ∴.CD=AD-AC=8-4V2, ∴.CM的最小值为8-4W2 4.问题探究 图1 图2 图3 (1)如图①，己知∠A=45°，∠ABC+∠ADC=60°，则∠BCD的大小为： (2如图②，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6,求四边形ABCD的面 积： (3)问题解决：如图③，四边形ABCD是正在建设的地铁站的施工围挡，受地方限制，要求AB=BC; 第9页共130页 ∠ABC=∠ADC=45°，对角线BD=6米，那么四边形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，求出这个 最小值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)105 (2)18 18V2-18 (3)存在：最小值为： ;理由如下： 如图3，将△BCD绕点B逆时针旋转45°，得到△BAH,连接HD,过点H作HG⊥BD于G,利用等腰三 角形的性质结合勾股定理求出HG和BG的长，进而得到GD的长，再利用勾股定理求出HD的长，分析出 ABCD ABCD 四边形 =8,m一S,D,即当△AD的面积最大时，四边形C 的面积 的面积最小，结合面积公 式运算求解即可， B 图3 .△BCD≌ABAH, :CD=MH,BH=BD=6.∠HBA=∠DBC,∠HAB=∠BCDS.n=SM ,∠ABC=45°=∠ABD+∠DBC, ∴.∠ABD+∠ABH=45°=∠HBG :HG⊥BD. .∠HBG=∠BHG=45°， ..BG=HG, .BH=2BG=6 BG=HG=3V2 DG=BD-BG=6-32 第10页共130页 .HD2=DG+HG2=(6-32+32=72-362 :在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°， ：.∠BAD+∠BCD=270°， .∠BAD+∠BAH=270°， ∠HAD=360°-（∠BAD+∠BAH）=360-270°=90° ∴.HA2+AD2=HD2, :(HA-AD}≥0 ∴.HA+AD2≥2×HA×AD, Mx4D≤if+4D_D-=36-185。 2 2 四边形 ABCD 的面积 =SARD+.nCD=SD+ ABCD =SHBD-S.HAD .四边形 的面积 ∴.当△HAD的面积最大时，四边形ABCD的面积最小， ∴四边形ABCD的面积的最小值 =S.HBD-S.HAD 2 xBDxHG-×Mx4D-2x6x35-X(36-182)=185-18 2 【详解】(1)解：如图1，延长BC交AD于E, B 图1 ,∠BCD=∠BED+∠CDA,∠BED=∠A+∠ABC, .∠BCD=∠A+∠ADC+∠ABC=45°+60°=105°； (2)解：如图2，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAF 第11页共130页 B 图2 .△BCD≌aBAF, :.BF=BD=6,∠BMF=∠BCD.∠FBA=∠DBC,CD=AFS.n=SHe :在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， .∠BAD+∠BCD=180° .∠BAD+∠BAF=180° 点F,点A,点D三点共线， :'∠DBF=∠FBA+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°， :.△FBD为等腰直角三角形， 1 .S.mr =7x BFx BD-18. S四边形BCD=S,BCD+SABD=SAm+SAD=S,BDF=18 (3)略 5.已知点D在△ABC外，∠BAC=90°，AB=AC,射线BD与△ABC的边AC交于点H,AE⊥BD,垂足 为E,∠ABD=∠ACD M HD HD E E B M 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ABE=25°，求∠EAC的度数： (2)如图2，过点A的直线分别交DB的延长线和CD的延长线于点NM,∠M=60°，求证： MC+NB=2AM (3)如图3，在(1)的条件下，BE=4,点F在线段BC,且BE=BF,点M,N分别是射线BC、BD上的 第12页共130页 动点，在点M,N运动的过程中，请判断式子EM+MN+NF的值是否存在最小值，若存在，请直接写出 这个最小值；若不存在，写出你的理由， 【答案】(1)25 (2) 证明：，∠BAC=90°，AB=AC, 将△ABN绕点A逆时针旋转90°至△ACP位置，使AB与AC重合. 则NB=PC,∠ACP=∠ABN,∠NAP=90° .∠MAP=90° :∠ABD+∠ABN=18O°，且∠ABD=∠ACD, ,∠ACM+∠ACP=180°， ∴MC、P三点共线， ,∠M=60°， .∠P=30°， .MP=2AM, 即MC+PC=2AM, ∴.MC+NB=2AM M A (3)存在，最小值为4 【详解】(1)解：：∠BAC=90°，AE⊥BD, ∴.∠ABE+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°， ∴∠EAC=∠ABE=25°： (2)略 (3)解：如图，作点E关于BC的对称点E,点F关于BD的对称点F,连接EF,交BD于点N,BC 第13页共130页 于点M,连接BF,BE,FN,EM B 则EM=EM,NF=NF,BE=BE,BF=BF,∠F'BD=∠FBD,∠EBC=∠E'BC, .EM +MN+NF =E'M+MN+NF .EM+MN+NF≥EF, 即EM+MN+NF存在最小值，即取最小值时N与N重合，M与M重合，最小值为EF的长. ∠BAC=90°，AB=AC, .∠ABC=45°， :∠F'BD=∠FBD=∠ABC-∠ABD=45°-25°=20°， ∴.∠EBC=∠EBC=20°， .∠F'BE'=∠F'BD+∠FBD+∠E'BC=6O° BE BF=4, .'BE'=BF'=4, ∴，△BEF为边长为4的等边三角形， .EF=4, .EM+MN+NF的最小值为4 6,在△ABC中，AB=AC,点E是AC的中点，连接BE,点F是BE上的一点，连接CF 第14页共130页 图1 图2 图3 (1)如图1，若点F是BE的中点，∠BAC=90°，AC=4,求线段CF的长度： (2)如图2，过点A作4⊥BC于点Q,交BE于点D,将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG,过 点G作GH LBE交BE的延长线于点H,交BC的延长线于点P,用等式表示线段AD与CP的数量关系并 证明； (3)如图3，以CF为斜边在CF下方作等腰RtACFK,∠FKC=90°，连接KB并延长至点T,使得BT=BK, 在直线TK上方取一点M,连接TM,BM,将线段BM绕点B顺时针旋转90°得到线段BW,连接NK,若 ∠BAC=90°，AC=4,请直接写出TM+NK的最小值. 【答案】3 (2)AD=CP. 证明：过点F作FJ⊥BC于点J,过点C作CL L BC交BH于点L,BH交CG于点K, 图2 :AQ⊥BCCL⊥BC ∴Ag∥CL ∴.∠DAE=∠LCE, :点E是AC的中点， :.AE=CE, ·.'∠AED=∠CEL ∴.△AED≌aCEL(ASA) 第15页共130页 :AD=CL, ~将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG, ∠FCG=90°， LC⊥BP ∴.∠FCG-∠LCG=∠LCP-LCG,即∠FCL=∠GCP, .BH⊥GP .∠FCK=∠GHK=90°， .·∠FKC=∠GKH, .∠LFC=∠PGC, ∴.△LFC≌APGC(ASA) ..CL=CP, :AD=CP: 12W5 (3)5 【详解】(1)解：如图，取AE的中点M,连接FM, E 点F是的中点， C BE G.MF /AB.MF-748 :AB=AC=4,∠BAC=90°， :.MFLAC.MF-2.ME-1AE-T4C-1, 2 4 MC=3, ∴.FC=VMF2+MC2=V3 (2)略 (3)解：如图，将BT顺时针旋转9O°到BT,连接TN,TK, 第16页共130页 ∴.BT=BT',∠TBT'=90° :线段BM绕点B顺时针旋转9O°得到线段BN, .∴.BM=BN,∠MBN=90° ∴.∠TBT'-∠MBT'=∠MBN-∠MBT',即∠TBM=∠TBN, ∴.aTBM≌AT'BN(SAS) ∴.TM=TN ..TM+NK=TN+NK 当T,N,K三点共线时，TM+K最短，为KT'的长度， ..BK=BT, .BK=BT', ∴.△BKT'为等腰直角三角形， ..KT=2BK BK ,则需求的最小值， 如图，过点E作EO⊥BC于点O,在BC下方作等腰直角三角形ABC,过点A?作AD⊥BC于点D, M .:∠BAC=90°，AC=AB=4 :∠ACB=45°BC=V2AC=4V2 EQ⊥BC ∴△EQC为等腰直角三角形， :F在BE上运动，且以CF为斜边在CF下方作等腰Rt△CFK, ∴.点K在线段A'Q上运动， 当BK⊥A'O时，BK取最小值， 第17页共130页 :E是AC的中点， .CE=2, :c0=cg=5 2 ∴.BQ=BC-C9-3W2 :△ABC为等腰直角三角形， :.4D-BD-CD-T8C-2,DO=DC-CQ- ∴AQ=VDg+A'D2=V10 BQ·A'D3V2x2√2610 根据面积法可得BK的最小值为AQ V10 5, 60x2=125 ∴.TM+WK的最小值为 . 7.在△ABC中，AB=AC, A A B D 图1 图2 图3 )如图1，若B=2V2∠BAC=150° 求AABC 的面积； (2)如图2，D为BC上一点，AD=CD,F为DA延长线上一点，连接BF并延长至点G,使得BF=FG, 连接AG,过点C作CE∥AG交AD延长线于E,若∠E+∠ABC=∠BAD,请猜想线段AG、CD、AF 之间的数量关系，并证明你的猜想： (3)如图3，∠BAC=90°，AB=1,D为线段AC上一动点，将△ABD关于BD对称得到△EBD,连接AE, 将AE绕E顺时针旋转9O°得到FE,连接CF,直接写出CF的最小值. 【答案】(1)2 (2) 第18页共130页 解：AG=CD+2AF,证明如下： 如图，延长GA至点M使得AM=AG,GM交BC于点N,连接BM, BF =FG,AM=AG. ∴.AF是△BMG的中位线， ∴.AF∥BM,BM=2AF, ∴.∠MBN=∠ADN. ,CE∥AG, ∴.∠E=∠MAD, ∠E+∠ABC=∠BAD, ∴.∠ABC=∠BAD-∠E=∠BAD-∠MAD=∠BAN, ∴.AN=BN,∠AND=2∠ABC, AD =CD ∠ACB=∠DAC, ∴∠ADN=2∠ACB. .AB=AC, .∠ABC=∠ACB ∴.∠AND=∠ADN, .AN AD. .AN=CD. :∠BNM=∠AND,∠MBN=∠ADN, .∠BNM=∠MBN, ∴.BM=MW, .MN =2AF. .AM=AN+MN=CD+2AF. .AG CD +2AF; 第19页共130页 【分析】(1)过点B作BM1AC交CA延长线于点M,则∠M=90°，∠BAM=180°-∠BAC=30°，再 利用含30度角的直角三角形性质可得BM=)AB=V5,最后利用三角形面积公式即可求解： (2)延长GA至点M使得AM=AG，,GM交BC于点N,连接BM,根据三角形中位线定理得到 AF∥BM,BM=2AF,则有∠MBN=∠ADN,利用平行线的性质以及角的和差得到∠ABC=∠BAN, 得到AN=BN,利用等腰三角形和三角形外角的性质得到∠AND=2∠ABC,∠AND=2∠ABC,进而推出 AN=AD,再利用角度的等量代换得到∠BNM=∠MBN,得到MN=BM=2AF,最后利用线段的和差即 可得出结论： (3)取BC的中点G,连接AG、EG、AF,利用等腰直角三角形的性质得到∠AGC=90°， 6C=x90P=45,4g=2 AC之，根据旋转的性质得到A1B=FE'∠AEF=90°，得到∠BAF=450 AE 2 A=2,通过证明。MEG6AFC得到CF=√2GB”再利用两点之间线段最短性质求出GE的最小值， 即可求出CF的最小值 【详解】(1)解：如图，过点B作BM⊥AC交CA延长线于点M,则∠M=90, M B .∠BAC=150°， .∠BAM=180°-∠BAC=30°， :BM-1AB-1x2- 2 .AC=AB=22 AC:M-x2x=2 2 即△ABC的面积为2； (2)略 (3)解：如图，取BC的中点G,连接AG、EG、AF, 第20页共130页 B ,∠BAC=90°，AB=AC=1, :4BC BC=2AB=2 是等腰直角三角形， ,点G是BC的中点， AG⊥BC,AG平分∠BAC, AG-BG-CG-1BC-2 2 2 .AGG-o0:ZGAC-7x90-45 4C-V2 ,将AE绕E顺时针旋转90°得到FE, ∴AE=FE,∠AEF=90°， AE ·AMEF是等腰直角三角形，∠EAF=450:示之， AG AE 六∠GAC=∠EAF，ACAF, ∴.∠GAC-∠GAE=∠EAF-∠GAE, ∴.∠EAG=∠FAC, ∴.△AEG∽aAFC GEAE√2 :CF AF 2, CF=2GE ∴，当GE取得最小值时，CF也取得最小值： 将△ABD关于BD对称得到△EBD, .EB=AB=1, ,BG+GE≥BE, 2 +GE≥1 2 第21页共130页 GE≥1- 2, 六GB的最小值为1- 2, =2-1 ·CF的最小值为 8.如图，在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，点D在射线AC上，将线段BD绕点B顺时针旋转 12 ,得到线段BE.连接D交BC于点F(或射线BD,BC交 ,交于点) D (1)直接写出点B到AC的距离： (2)若DF∥AB,求DF的长： (3)若BC=CD,求BF的长： (4)直接写出BF的最小值， 【答案】(1)点B到AC的距离为1 aDF-号 (3)BF 的长为4-26或4+2V5 或 (4)BF的最小值为2 【详解】(1)解：点B到AC的距离为1， 如图，过点B作BS⊥AC于点S, 第22页共130页 D E AB=BC=2,∠ABC=120°， .∠A=30° :.BS=14B=1 2 (2)解：DF∥AB,BD=BE,∠DBE=120°， .∠EDB=∠DEB=∠ABD=∠A=30°， .AD=DB 如图.过点D作DG⊥AB于点G, ◇ F E G B 图② 由(1)可知B到4C的距离为1，易得AC=2× tan30° 2V3 :∠A=30°，AD=DB,DG⊥AB, ∴AD=AC-2V5 c0s30°3， 4v5 .CD=AC-AD= 3, DF∥AB, ∴.△CDF∽ACAB 第23页共130页 CD DF CA AB 4V3 即3DF 2V32 DF=4 3； (3)解：BC=DC有两种情况， ①当点D在线段AC上时，过点D作DG⊥AB于点G,如图， D GB 图③ :∠ACB=30°，CD=CB=2 ∴∠CBD=∠CDB=75°， .∠ADB=105° :DG⊥AB ∴.∠ADG=60°，∠GDB=45° ∴.DG=GB AD=AC-CD=2(3-1) :.GB=DG-T4D-3-1, 2 :.DB=V2DG=√6-V2 .·∠BDF=∠DCB=30°，∠DBF=∠CBD, .△DBF∽ACBD BF DB BD CB ∴DB2=CB·BF, 第24页共130页 即(V6-V2}=2BF .BF=4-23 ②当点D在线段AC延长线上时，如图， :CB=CD=2,∠ACB=30° .∠CBD=∠CDB=15, ∠BDE=∠CBD+∠CFD=30°， .∠CFD=∠CBD=15°， :BD=DF. 过点D作DH⊥BF于点H, B 图④ CD=2,∠DCF=∠ACB=30 ..CH=3 :BH=FH=BC+CH=2+3 ∴.BF=2BH=4+2V3 综上所述， BF的长为4-25或4+25 或 1 (4)解：BF的最小值为2 第25页共130页 当点F在线段BC上时，如图，过点B作BM⊥DE于点M, 图⑤ 在Rt△DBM中，∠BDM=30°， :BM=)BD,由(A)可知，BD的最小值为1： 1 BM的最小值为2： 当点M,F不重合时，BF>BM, 当点MF重合时，BF=BM:此时BF最小，BF 2 【类型2旋转相关动点定值问题】 9.【探究与证明】旋转，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过旋转三角板开展数学探究，探索数学 奥秘 【动手操作】将一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A 在DF上，且AF平分∠CAB,现将三角板DFE绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB 上时停止旋转)，设旋转时间为t秒. 请完成： A D D 图1 图2 图3 (1)当1=秒时，DE‖AB:当1=秒时，DE⊥AB: (2)在旋转过程中，DF与AB的交点记为P,如图2，若△AFP有两个内角相等，求t的值； 第26页共130页 (3)如图3，当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，连接AE,设∠BAE=x°，∠AED-y°， ∠DFB=z°，证明：r+y+z为定值， 【答案】(1)3,21 (2)当t为6或15或24时，△AFP有两个内角相等 (3) 证明：'∠BMN是△AME的一个外角，∠MNB是△DFN的一个外角， ∴∠BMN=∠BAE+∠AED=x°+y°，∠MNB=∠DFB+∠D=z°+45°， 又∠BMN+∠MNB+∠B=180°，∠B=30°， .x°+y°+z°+45°+30°=180°， .x°+y°+z°=1050 .x+y+z=105 .x+y+z是定值. 【分析】本题是几何变换综合题，考查了图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质、和求等腰三角形内 角等知识点，综合运用以上知识点是解题的关键 (1)由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间： (2)画出图形，分类讨论：①∠PAF=∠PFA;②∠PAF=∠APF:③∠PFA=∠APF,求出旋转角，再求出 t的值： (3)找出与∠BAE,∠AED,∠DFB有关的数量关系，再把无关的角消去，即可得出结论 【详解】(1)解：如图(1)当DE‖AB时， 图(1) ∠EDF=∠BPF=45° AF平分∠CAB,∠BAC=180°-∠B-∠C=60°， .∠BAF=30°， 又·∠BPF为△AFP的一个外角， ∴.∠PFA=∠BPF-∠BAF=45°-30°=15° 第27页共130页 150 5=3: 1= 如图(2)，当DE⊥AB时， B 图(2) E ∠DPB=180°-90°-45°=45° .∠APF=∠DPB=45°. ∠BAF=30° .∠AFP=180°-∠APF-∠BAF=180°-45°-30°=105°. 105° t= =21 5° 故答案为：3,21. (2) D A D P P D 图3) 图(4) 图(5) E E 解：①如图3，当∠PAF=∠PFA时， ∠PAF=30°， .∠PFA=30°， ∴.t=6, ②如图4，当∠PAF=∠APF时， ∠PAF=30°.∠PAF+∠PFA+∠APF=180° 第28页共130页 ∠4FP=2180°-30)=75°， t=15: ③如图5，当∠PFA=∠APF时， ∠AFP=180°-∠PAF-∠APF=180°-30°-30°=120° .1=24 综上所述，当t为6或15或24时，△AFP有两个内角相等 (3)略 10.将两个大小不同的等腰直角三角形△AOB与△CDE如图1放置，其中∠AOB=∠CDE=90° OA=OB.,DC=DE,△AOB △CDE CE 斜边的中点重合. △CDE 的直角顶点与 以点为旋转中心逆时针旋 转，当DE所在直线首次经过点A时停止旋转（如图3）. 图1 图2 图3 图4 【初步感知】 (1)如图1，当△CDE在初始位置时，连接AD,BE,则AD和BE的数量关系为一，位置关系为 【类比探究】 (2)如图2，在△CDE的旋转过程中，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明：若不成立， 请说明理由； 【迁移应用】 (3)若OA=OB=2,DC=DE=V2,连接AE,BD, ①如图3，当△CDE旋转至终止位置时，求AE的长； ②如图4，在△CDE的旋转过程中，请问AE2+BD是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明 理由. 第29页共130页 【答案】(1)AD=BE,AD⊥BE: (2)结论成立，证明如下： 如图1，连接OD,记AD与BO,BE分别交于点F,G, B ,点为 的中点， 图1 :DC=DE,∠CDE=90°OCE .OD=OC=OE,∠DOE=∠DOC=90° .·∠AOB=90° ∴.∠AOB=∠DOE ∴.∠AOB+∠BOD=∠DOE+∠BOD 即∠AOD=∠BOE, 在△AOD和△BOE中， OA=OB ∠AOD=∠BOE OD=OE ∴.△AOD≌△BOE(SAS) ∴.AD=BE,∠OAD=∠OBE :∠AFO+∠OAD=90°，∠AFO=∠BFG, ∴.∠BFG+∠OBE=90°. .∠AGB=90°. AD⊥BE: 14-2 (3)①2，②是定值：10. 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质， 第30页共130页 解一元二次方程等知识点，难度较大. △AOD≌△BOE(SAS (1)证 ,则AD=BE,∠DM0=∠BB0,延长AD交BE于点T,再由互余关系证 明垂直即可： (②连接OD,记AD与B0,BE分别交于有RG,证明△MOD2,B0E(SAS),再月上证明即可， (3)①连接BE,设AE=x,则AD=x+V2由(2)得，BE=AD=x+V2,AD⊥BE,在Rt△AOB中， OA=OB=2,由勾股定理得AB=2V2,在Rt△ABE中，由勾股定理建立方程+(+2=(22，即 可求解； AD、BE 交于点G,由(2)得，4G1BE,然后对 ,Rt△4GE Rt△BGD RtAABG RtA△DGE ②连接 运 用勾股定理求解即可 【详解】证明：(1)，∠A0B=90°， .∠B0E=180°-90°=90° ∴.∠AOD=∠BOE DC=DE,∠CDE=90°， ∴.∠DEC=∠DCE=45°， .∠BOE=90°， .△DOE为等腰直角三角形， .OD=OE」 △AOD≌ABOE(SAS) .AD=BE,∠DAO=∠EBO. 延长AD交BE于点T, 第31页共130页 D B :∠DAO+∠ADO=90°，∠ADO=∠BDT, ∴.∠EBO+∠BDT=90° .∠BTD=90°，即AD⊥BE: (2)略 (3)①如图2，连接BE,设AE=x,则AD=x+√2 图2 由(2)得，BE=AD=x+V2,AD⊥BE, .∠AEB=90° 在RtAAOB中，OA=OB=2 AB=VOA+0B2=V22+22=2√2 在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB 得+x+2-(22) 化简得r+2x-3=0 解得： =4- ,5=+5 2 2 (舍去)， 第32页共130页 ∴AE=4-V2 2. ②AE2+BD=10,理由如下：如图3，连接AD,BE交于点G, E 图3 由(2)得，AG⊥BE, Rt△AGE AG+GE2=AE2 在 中， 在Rt△BGD中，BG2+GD2=BD2, .AE2+BD2=AG2+GE2+BG2+GD2 在RtAABG中，AG+BG2=AB2=(2V2=8, 在Rt△DGE中，DG2+GE2=DE2=(N2=2. ..AE2+BD2=AG2+GE2+BG2+GD2=AB2+DE2=8+2=10 11.似曾相识 (1)如图①，正方形ABCD的边长等于4，中心为O,正方形OAB'C的边长也等于4，在正方形OAB'C 绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S,那么S是否为定值？若S为定值，请 直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围. 类比探索 (2)如图②，等边△ABC的边长等于4，中心为O,等边△OA'B'的边长也等于4，在等边△OAB绕着点 O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S,那么S是否为定值？若S为定值，请直 接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围， 第33页共130页 A 70 图① 图② 备用图 【答案】(1)4(2) 9s8 9 【分析】(1)根据正方形的性质得出OB=OC,∠OBC=∠0CD=45°，∠BOC=∠E0G=90°，推出 ∠BOM=∠NOC,证出△OBM≌aOCN,即可得出结果： (2)发生变化，对旋转角分情况讨论即可. 【详解】解：(1)连接OB,OC, A D E B 四边形 和四边形 都是正方形， 图① ABCD OA'B'C" ∴.OB=OC,∠OBE=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOF=90°， ∠BOE=∠FOC, 在△OBE与△OCF中， ∠BOE=∠COF OB=OC ∠OBE=∠OCF ∴.△OBM≌△OCW(ASA) ∴四边形EOFB的面积等于三角形BOC的面积， 第34页共130页 即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的4， ∴.S=×42=4 4 (2)设等边OArB OAB绕着点O的旋转角为”，等边△1BC 0 ,25 的边长等于4，则高为， ①如图，当OA'经过点B时，若此时开始旋转，=0，重叠部分的形状为直角三角形， Sa4-石c=名×)x4×2V5=2 11 6 62 3 B ②如图，当旋转至图中位置时，α=30°，重叠部分的形状为菱形， Sa的-号8a-司×x4x25=85 21 92 9 B ③如图，当旋转至图中位置时，α=90°，重叠部分的形状为等边三角形， c5426-5 11 S重登部分= 9 第35页共130页 B ④如图，当旋转至图中位置时，α=120°，重叠部分的形状为直角三角形， c=x5x4×25-25 a分=SA=6SA62 39 43 综上所述，这两个等边三角形重叠部分的面积是变化的，了的变化范围是。sSs83 9. 【点睛】本题考查正方形的性质和等边三角形的性质，找出面积之间的关系是解题关键 AB DE 5 12,如图1，△ABC和ADEF中，∠ABC=∠DEF=90°，BC=EF3,边DE与AB相交于点P,且 BP EP APDP4,连接pp,PC. B 图1 图2 PC (1)求PB的值为-一一—： 第36页共130页 (2)如图2，连接CF,BE,求证：△FPC∽aEPB: CF (3)将。DEF绕着点P在平面内旋转，在旋转过程中BE是否为定值，若是，请直接写出该定值：若不是， 请说明理由. 【答案】1)4 (2) AB DE_5 BP=EP=4 BC-EF3 AP DP 4 EF,即PBPE DE BCEF .'∠ABC=∠DEF=90° ∴.△PBCAPEF, PC PF ·PBPE .∠FPE=∠BPC, ∴.∠FPE+∠CPE=∠BPC+LCPE, 即：∠FPC=∠BPE, PC PF 又：PBPE .△FPCAEPB (3)是定值，4： 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质： 4)设BC=3,AB=5.得到BP=4,PC=VBP+BC=5,代入即可： (2)先证出△PBCAPEF,得到∠FPC=∠BPE,即可证出结果： CF PC (3)先证出APBC∽APEF,得到BE=PB,即可求出结果. 【详解】(1)解：根据题意不妨设BC=3,AB=5, BP :AP =4 第37页共130页 .BP=4 ,∠ABC=90°， :.PC=VBP2+BC=V4+32=5 PC 5 :.PB4 故答案为：4： (2)略 AB DE5 BP=EP=4 (3)BC-EF-3 AP DP 5 ADE EF PB PE 即BCEF .∠ABC=∠DEF=90° ∴aPBC∽aPEF, PC PF .PBPE :.∠FPE=∠BPC, ∴.∠FPE+∠CPE=∠BPC+∠CPE, 即：∠FPC=∠BPE, PC PF 又：PBPE ∴.△FPC∽aEPB CF PC ·BEPB CF5 .·BE4 CF BE为定值. 13.【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动小组同学准备了两张矩形 纸片ABCD和EBGF,其中AB=6,BC=4,将它们按如图1所示的方式放置，点E,G分别落在AB, 第38页共130页 BC边上时，点E,G恰好为边AB,BC的中点然后将矩形纸片EBGF绕点B按顺时针方向旋转，旋转角 为C,连接AE与CG D D D E B G G F 图1 图2 图3 【观察发现】 (1)如图2所示，当a=90°时，小组成员发现AE与CG存在的数量关系为 位置关系为 【探索猜想】 (2)如图3所示，当90°<<180°时，(1)中发现的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展延伸】 (3)在矩形EBGF的旋转过程中，AE交BC于点P,CG交AE于点O,连接AG,CE,AG+CE2是否 为定值；如果是，请直接写出此定值，如果不是，请你说明理由 AE 3 【答案】(1)CG2:AE⊥CG (2)当90°<a<180°时，(1)中发现的结论仍然成立. 理由：如图2所示， 第39页共130页 A B G F 图2 ,四边形ABCD和EBGF是矩形， .∠ABC=∠EBG=90° ·.∠ABC+∠CBE=∠EBG+∠CBE 即∠ABE=∠CBG, AB BE 3 'BCBG2,∠ABE=LCBG' .△ABEACBG, AE AB 3 ·AGBC2,LBAE=∠BCG, 设BC与AE交于点P,AE与CG交于点O,则∠APB=∠CPO, ∴.∠ABP=∠POC=90°， .AE⊥CG: AE 3 ∴当90°<a<180时，AE与CG的数量关系是CG2:位置关系是AE1CG: (3)AG+CE2是定值，其的定值为65 AE AB 3 【分析】(1)延长AE交CG于点H,证明△ABE∽ACBG,即可得CGBC2,再根据相似的性质得到 ∠BAE=∠BCG,通过等量转换，证明∠EHC=∠ABE=90°，即可解答： AE AB 3 (2)证明△ABE∽ACBG,得出AGBC=2,∠BAE=∠BCG,设BC与AE交于点P,AE与CG交于点 O,进而得∠ABP=∠POC=90°，即可解答： 第40页共130页 (3)连接AC,GE,由(2)得AE⊥CG,根据勾股定理得出AG2+CE2=AC2+EG,即可解答. 【详解】解：(1)如图1所示，延长AE交CG于点H. D B c H 图1 :点E,G恰好为边AB,BC的中点， :aE=81=3,c=c=2 四边形ABCD和EBGF是矩形，a=90°， .∠ABE=∠CBG=90°， AB BE 3 ·BCBG2,∠ABE=LCBG, ∴.△ABE∽aCBG, AEAB3 .CGBC2,∠BAE=∠BCG, ,·∠AEB=∠CEH, ∴.∠EHC=∠ABE=90°， .AE⊥CG AE 3 故答案为： CG-2:AE⊥CG: (2)略 (3)AG2+CE是定值，其的定值为65. 连接AC,GE,由(2)得AE⊥CG 第41页共130页 D E 图2 :.△EOG、△AOC、△A0G、△COE均为直角三角形， 根据勾股定理得：AC2=A02+C02,GE2=G02+E02, AG2=A02+G02,CE2=C02+E02, .AC2+GE2=AG2+CE2, :AC2=AB2+BC2=62+42=52, GE2=GB2+EB2=22+32=13, .AG2+CE2=AC2+EG2=52+13=65, 即：AG+CE2的定值为65. 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形内角和定理 的应用，作出正确的辅助线是解题的关键， 14.正方形ABCD和AEFG,连接DG,BE. B E (1)发现：当正方形AEFG绕点A旋转， ①DG与BE之间的数量关系是 ②DG与BE之间的位置关系是 (2)探究： 第42页共130页 CF ①当正方形AEFG的边AE在AB上时，直接写出BE CF ②当正方形AEFG绕点A旋转时，BE是否为定值：如果是定值，请求出这个定值：如果不是，请简要说 明理由. 【答案】(1)①DG=BE:②DG⊥BE CF 2)①，√2：②BE为定值，定值为√2 【分析】(1)①由正方形的性质可证△MDG2a4BE(SMS) 由全等三角形的性质可得DG与BE之间的数 量关系；②如图，延长DG交AB于M,交BE于N,由△ADG≌△ABE可得∠ADG=∠ABE,然后由三 角形的内角和和直角三角形的两锐角互余可得DG与BE之间的位置关系. (2)①如图，延长GF交BC于H,设AE=a,AB=b,先说明四边形EBHF是矩形，然后根据矩形的性 CF 质得出FH=b-a'CH=b-a,再利用勾股定理求出CF=V2(b-a),最后可求得BE的值：②如图，连 接AC,AF,设AE=a,AB=b,先证明△CAF∽△BAE,利用相似三角形的性质即可得出结论. 【详解】(1)①DG与BE之间的数量关系是：DG=BE. 理由如下： ,四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE, ∴.∠DAB-∠GAB=∠GAE-∠GAB, 即∠DAG=∠BAE, 在△ADG和△ABE中， AD=AB ∠DAG=∠BAE AG=AE △ADG≌AABE(SAS) .DG=BE 故答案为：DG=BE. ②如图，延长DG交AB于M,交BE于N, 第43页共130页 :△ADG2△ABE, ·∠ADG=∠ABE, 在△ADM中，∠DMA=90°-∠ADM, ∴.∠BMN=∠DMA=90°-∠ADM=90°-∠ABE, 即∠BMN+∠MBN=90°， ∴在△MBN中， ∠MWB=180?-（∠BMW+∠MBN)=180?-90?-90? .DG⊥BE 故答案为：DG⊥BE, G B N (2)①如图，延长GF交BC于H,设AE=a,AB=b, ,四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， :.EF=AE=a,BC=AB=b,∠AEF=∠ABC=90°， ∴.∠EFH=∠FEB=∠B=90°， ∴，四边形EBHF是矩形， ∴.∠FHC=∠FHB=90°. FH=EB=AB-AE=b-a.CH=BC-BH=BC-EF=b-a. ..CF=JCH2+FH2-\(b-a)+(b-a)=/2(b-a) cF_2(b-a-2 ∴.BEb-a √2 故答案为： 第44页共130页 B CF ②BE为定值，定值为√2，理由如下： 如图，连接AC,AF,设AE=a,AB=b, :四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， .BC=AB=b,EF=AE=a,∠CAB=∠FAE=45°， AC=AB+BC2 =B= AF=AE2+EF2=a+a2=2a :4C-2-2,4g=2a=5. AB b AE a ÷8E2 AC AF :∠CAF=∠CAB-∠FAB=45°-∠FAB. ∠BAE=∠FAE-∠FAB=45°-∠FAB, .∠CAF=∠BAE」 .△CAFn△BAE, CFAC=√2 BE AB CF ∴当正方形AEFG绕点A旋转时，BE为定值，定值为√2： D G B E 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质， 相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余等知识点.熟练掌握正 第45页共130页 方形的性质，证明△CAF∽△BAE是解题的关键 15.【特例感知】 (1)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,且满足点A、C、D三 点共线，延长BC交DE于点F,连接AF.求证：∠BFA=∠EFA: D M B B 图1 图2 图3 【类比迁移】 (2)如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,旋转角为a,当 90°<a<180°时，延长BC与DE交于点F,连接AF.请猜想∠BFA与∠EFA具有怎样的数量关系？并说 明理由： 【拓展提升】 3)如图3，在△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,延长BC分别与AD、 MN MN DE交于MN两点，连接AW,请问AN的值是否为定值？若是，请求出AN的值；若不是，请说明理 由. 【答案】(1)证明：根据旋转可知：∠E=∠ACB=90°，AC=AE, ∴.∠ACF=180°-90°=90°， .AC⊥CF,AE⊥EF, .AF平分∠CFE ∴，∠BFA=∠EFA; (2)解：∠BFA=∠EFA;理由如下： A 图2 第46页共130页 过点A作AM⊥BF于点M,AN⊥DE于点N,如图2所示： 根据旋转可知：△ABC≌△ADE, S△ABC=SAADE BC=DE .Cx M-DEx AN 2 .AM=AN, ,AM⊥BF,AN⊥DE, ∴.AF平分∠BFE, .∠BFA=∠EFA: MN 3√2-√6 (3)AN的值为定值；6 【分析】(1)根据角平分线的判定进行解答即可： (2)过点A作AM⊥BF于点M,AN⊥DE于点N,先证明AM=AN,根据角平分线的判定得出AF平 分∠BFE,即可证明结论； (3)过点4作AG⊥BN于点G:求出∠AMM=∠MNE=BNE=45”,说明。AGN为等膜直角三角形， 得出4N=V2AG=V2GN,设4G=GN=x,则4N=V2x,根据勾股定理得出 (2GM)=GM2+x2 ,求出 GM=3 ，得出 N-GN-GM-3- =3,即可求出结果。 【详解】(1)略 (2)略 MN MN3v2-√6 3)解：AN的值为定值：AN6;理由如下： 过点A作AG⊥BN于点G,如图3所示： 第47页共130页 M 图3 根据旋转可知：△ABC≌△ADE,∠BAD=90°， .∠B=∠D, :∠DMN=∠AMB .∠DWM=∠BAM=90°， .∠BWE=180°-90°=90°， 根据(2)可知，∠AM=∠ANE=)∠BNE=45°， ∠AGN=90° ∴.△AGN为等腰直角三角形， ∴.AW=√2AG=V2GN, ,则W=2: 设1G=GN=x :∠B=30°，∠BAM=90° ∴.∠AMB=90°-30°=60°， ∠MAG=90°-60°=30°， ∴.AM=2GM, 根据勾股定理得： 4M=GM2+4G,即2GM=Gw+r 解得： GM=3 .MN-GN-GM-3- 3x, 3-V3 Mm3x3-53W2-6 AN 2x 3v2 6 16.(1)如图1，正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG并延长交BE于点H.求证：DG⊥BE: 第48页共130页 (2)如图2，若将(1)中正方形改为菱形，且∠EAG=∠BAD=a,求∠DHB的度数： AE AB 2 (3)如图3，若将(1)中正方形改为矩形，且AG=AD3,AE=4,AB=8·连接BG,DE,将矩 形AEFG绕点A旋转，旋转过程中发现BG+DE的值为定值，请求出这个定值. D G B 图1 图2 图3 【答案】 (1)如图，DH交AB于M, D 四边形 与四边形 是正方形， AEFG ABCD .AE=AG,AB=AD,∠EAG=∠BAD=90°， .∠BAE+∠BAG=∠DAG+∠BAG, .∠BAE=∠DAG AE=AG ∠BAE=∠DAG 和 中， △BAE△DAG AB=AD :△BAE≌aDAG(SAS) .∠ABE=∠ADG, ∴.∠AMG+∠ADG=90° :∠AMG=∠BMH,则∠ABE+∠BMH=90° .∠BHM=90°， .BE⊥DG: (2)∠DHB=a: 第49页共130页 (3)260 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及 性质，勾股定理等；掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理解答是解 题关键。 (1)如图，DH交AB于M,由正方形的性质及SAS可判定△BAE≌△DAG,由全等三角形及性质得 ∠ABE=∠ADG,即可得证： (2)同(1)可证 BME≌aDMG(SMS),得∠ABE=∠ADG,再结合三角形的内角定理，即可求得 ∠DHG=∠BAD=a: (3)连接EG、BD,DG交BE于P,DG交AB于N,由矩形的性质及三角形相似判定方法得 △BAEADAG ∠ABE=∠ADG EG2=AE2+AG2 ，由三角形相似的性质得 由勾股定理得 BD2=AD2+AB2,DE2=PE2+PD2,BG=PB2+PG,即可求解： 【详解】解：(1)略 (2)如图，DH交AB于M, E 四边形 与四边形 是菱形， AEFG ABCD ∠EAG=∠BAD=a .AE=AG,AB=AD, ∴.∠BAE-∠BAG=∠DAG-∠BAG, ∴.∠BAE=∠DAG. AE=AG ∠BAE=∠DAG 在 和 中， △BAE ADAG AB=AD .△BAE≌aDAG(SMS) .BE=DG,∠ABE=∠ADG ·:∠AMD+∠ADG+∠BAD=∠BMG+∠ABE+∠DHG=18O°，∠AMD=∠BMG .∠DHG=∠BAD=a: 第50页共130页 (3)如图，连接EG、BD,DG交BE于P,DG交AB于N, D 四边形 和四边矩形 是矩形， B AEFG ABCD ∠EAG=∠BAD=90°， ∴.∠EAG+∠BAG=∠BAD+∠BAG. ∠BAE=∠DAG AE AB 2 .AG AD 3 AE=4,AB=8 ..ABAEADAG.AG=6.AD=12, ∴.∠ABE=∠ADG. .∠ADG+∠AND=90° :∠AND=∠BNP ∴.∠ABE+∠BNP=90°， .∠BPN=90°， .BE⊥DG EG=AE2+AG2=42+62=52 BD2=AD2+AB2=82+122=208 DE2 PE2+PD2, BG2=PB2+PG2, ..DE2+BG2 =PE2+PD2+PB2+PG2 =(PE2+PG2)+(PD2+PB2) EG2+BD2 =52+208 =260 【类型3旋转相关动点存在性问题】 第51页共130页 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=18cm,点D在边AB上.点E由点C出发沿CB方向 向点B匀速运动，速度为lCms.连接DE,将线段ED绕着点E按逆时针方向旋转9O°得到线段EF,连接 AF,取线段AF的中点M.若运动的时间为 (0<t<18) 图1 图2 (1)如图1，若点D为边AB的中点，当1=4s时， ①求线段DE的长为_cm: ②求线段DM的长. (2)如图2，若AD=2BD,是否存在t,使得△DEM是以ME为斜边的直角三角形？若存在，请求出此时t的 值；若不存在，请说明理由 5W2 【答案】(1)①V106;②2 2/=18-6V2 【详解】(1)解：①过点D作DG⊥BC,连接CD,如图所示： 图1 :在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=18,点D为边AB的中点， .CD-DA-DB-89cD 21 2 :△BCD是等腰直角三角形， DG⊥BC, :DG-GC-GB-1BC-9 ~点E由点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为lcms, 第52页共130页 ∴.当1=4s时，CE=4, 、EG=GC-CE=9-4=5, 在RtADEG中，∠DGE=90°，DG=9,EG=5, 则由勾股定理可得DE=VDG2+EG2=今+5=1O6(cm) ②过点F作FH⊥BC,连接BF,如图所示： 将线段 绕着点按逆时针方向旋转 得到线段， 图1 ED E 90° EF ∠DEF=90°，ED=EF, ∴∠DEG+∠FEH=90°，∠DEG+∠EDG=90° .∠FEH=∠EDG, 在△DEG和△EFH中， ∠FEH=∠EDG ∠DGE=∠EHF=90° ED=EF ∴.ADEG≌△EFH(AAS) ∴.FH=EG=5,EH=DG=9 .BH=BG+EG-EH=9+5-9=5. RtABFH ∠BHF=90°FH=BH=5 BF=52 中， 则由勾股定理可得 在△ABF中，点D为边AB的中点，点M为边AF的中点，则DM是△ABF的中位线， .DA-3BF-5 2(cm): (2)解：假设存在t,使得△DEM是以ME为斜边的直角三角形，则∠MDE=90°， 延长DB到G使BG=DB,连接FG,如图所示： 第53页共130页 G AD=2BD ∴AD=DG,即点D是AG中点， :点M是AF中点， ∴DM是△AFG的中位线，则DM∥FG ~将线段ED绕着点E按逆时针方向旋转9O°得到线段EF, ∠DEF=90°， ∠MDE=90°， .EF∥MD, 则由过点F有且只有一条直线与MD平行可知，E、F、G三点共线， 在RtaDEG中，∠DEG=0,B是斜边DG上的中，线则EB-DG=DB=写AB, 3 在Rt△MBC中，∠ACB=90°，AC=BC=I8, 则由勾股定理可得4B=VAC2+BC=18V2 ·EB=6√2 .CE=CB-EB=18-62 ~点E由点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为lcms, ∴.1=18-6√2 满足 0<1<18 18.综合与实践， B 图1 图2 图3 (1)如图1，△ABC和△BCD中，∠ACB=∠BCD>90°，请从条件①AB=BD、②AC=CD中选取一个条件 添加，求证：∠A=∠D: 第54页共130页 (2)如图2，点F为等边△ABC的AB边上一点，将线段BA绕点B逆时针方向旋转，得到线段BD,连接CD 交BA于点F延长BD,CA交于点E,若∠ABE=2∠ECD.求证：AF+DE=AE: 海图3，在△MBH中，MB=BH=25,∠BH=120,点G为AH边上的-点， HG=2AG API∥BG 射线AP上是否存在点F, 使m=SA“?如果存在，请直接写出1厂的长；如果不存在，诗 说明理由， 【答案】(1)证明：选择条件②AC=CD 在△ABC和△BCD中， AC=CD ∠ACB=∠BCD BC=BC △ABC≌△DBC(SAS) .∠A=∠D: (2)证明：：等边△ABC,将线段BA绕点B逆时针方向旋转，得到线段BD, ..AB=AC=BC,AB=BD ∴.BC=BD 以CD为边向下作等边△CDT,交CE于点N,连接TA并延长交CD于点M,如图所示： 11 图2 ·.∠TCD=∠BCA=60,CD=CT. 设∠ACF=x, ∴.∠BCD=∠TCA=60°-X,∠ABE=2∠ECD=2x, ·.△BCD≌aACT(SAS),∠CBD=60°+2x, 第55页共130页 .AT=BD,∠CAT=∠CBD=60°+2X, ·.AT=BC=AC=BD :.∠BCD=∠BDC=∠ACT=∠ATC=60°-X, ∴∠AT=X, .∠ATN=∠ACM .∠TAN=∠CAM .△TAN≌aCAM(SAS). .AM=AN, :∠DCT=60°，∠MTC=60°-x, ∠CMT=60°+x. :∠ABC=60°，∠BCF=60°-×， .∠BFC=60°+x, ∴.∠BFC=∠MFA=∠AMF, ∴.AF=AM, .AF AN, :∠NCT=60°-x,∠NTC=60°. .∠CNT=60°+x, .∠CNT=∠DNE=60°+x, ,∠CDT=60°，∠CDB=60°-X, .∠EDN=60°+X, ∴∠EDN=∠END, .DE=NE. .AE=AN+NE, .AF+DE=AE (3)AF的长为2或4 【分析】(1)选择条件②AC=CD,根据全等三角形的判定证明即可： (2)根据等边三角形的性质及旋转的性质得出AB=AC=BC,AB=BD,BC=BD,以CD为边向下作等边 △CDT,交CE于点N,连接TA并延长交CD于点M,设∠ACE=x,再由全等三角形的判定和性质得出 △BCD≌aACT(SAS),∠CBD=60°+2X,AT=BD,∠CAT=∠CBD=60°+2X,△TAN≌ACAM(SAS), 第56页共130页 AM=AN,利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出∠BFC=∠MFA=∠AMF,得出AF=AM, AF=AN,再由三角形内角和定理及等角对等边得出DE=NE,结合图形即可证明： (3过点B作BM1M:根据题意得出∠BH=∠BAH=30,BM-BH=5,再由勾股定理得出 2 M=AM=VBH-BM2=3,确定MG=2,HG=4,MG=1,得出BG=4G=2.∠MBG=30°，再由平 BN=BM=3 AN=AM=3 行线及角平分线的性质确定 ,结合图形，分两种情况分析：当点F位于点 N下方时，当点F位于点N上方F'位置时，结合图形求解即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：过点B作BM⊥AH, B H M G 4B=BH=25∠ABH=120 .∠BHA=∠BAH=30°， ÷BM=)BH=5 MH=AM =BH-BM3=3 ∴AH=6, .HG=2AG. .AG=2,HG=4, .MG=1, BG=BM2+GM-2 第57页共130页 ..BG=AG=2, :sin∠MBG= MG 1 BG2· .∠MBG=30° ∴.∠BAG=∠ABG=30°， ∠BGH=60°. .∠HBG=90°， 延长HB交AP于点N, AP∥BG. .∠PAG=∠BGH=60°，BN⊥AP, ∴.∠PAB=∠BAG=30°， .AB平分∠PAH, BN=BM=3 AB=AB, △ABM≌△ABN(HL) .AN=AM=3. SAMG)AG·BM=V3 SAN=SMG= 当点F位于点N下方时， SANBHX NF=3 解得：NF=1, ∴.AF=3-1=2; 当点F位于点N上方F位置时， 同理得NF'=1, 、AF'=3+1=4: 综上：AF的长为2或4， 19.如图1，四边形ABCD是矩形，以B为圆心AB长为半径画弧交DC延长线于点M,作AN∥BM交 第58页共130页 CD于点N. B 图1 图2 图3 (1)判断四边形ABMN的形状，并说明理由： (2)将△BCM绕点B顺时针旋转得到△BEF,其中点C、M的对应点分别为E、F. ①如图2所示，当N在线段BF上时，直线EF交AN于点Q,交AB于点P (i)求证：△BEP≌△BCN, (ii)求证：OP=QW ②如图3所示，若AB=5,BC=3,将△ADN沿直线AN翻折得到△AD'N,其中点D的对应点为点D', 当△BCM旋转至某一位置时，是否存在旋转得到的△BEF与△AD'W关于直线I对称？若存在，在图3中画 出△BEF,连接AF,并直接写出AF的长，若不存在，请说明理由， 【答案】(1) 解：四边形ABMN是菱形，理由如下： :四边形ABCD是矩形， .ABICD,即AB∥MN: 又：AN∥BM, :四边形ABMN是平行四边形， AB=BM, ∴四边形ABMN是菱形： (2)①证明：（心）：四边形ABCD是矩形 ∠BCN=90°，∠BCM=180°-90°=90°， 由旋转得△BEF≌△BCM, .∠EBF=∠CBN,∠BCM=∠BEF=90°，∠BEP=180°-90°=90°，BE=BC ,菱形ABMN中，∠ABN=∠MBN, :.∠ABN-∠FBE=∠MBN-∠MBC,即∠PBE=∠NBC, 第59页共130页 又：∠BEP=∠BCN=90°，BE=BC, △BEP≌aBCN(ASA) (i)由旋转得BM=BF,∠M=∠F, 又：菱形ABMN中，BA=BM,∠M=∠BAN, ∴∠BAN=∠F,BA=BF ,△BEP≌△BCN, .BP=BN, .BA-BP=BF-BN,AP=FN. :∠BAN=∠F,∠AQP=∠FQN,AP=FN △APQ≌aFNQ(AAS) .OP=ON. ②ABEF 如图，存在，F=Vi0 ED' B 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识， 正确运用相关知识解决问题是解答本题的关键。 (1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形ABMN是平行四边形，结合AB=BM可证 明四边形ABMN是菱形： (2)①(i)证明∠PBE=∠NBC,∠BEP=∠BCN,BE=BC,根据ASA可证明△BEP≌△BCN: (i)证明AP=FN,∠BAN=∠F,根据AAS证明△APO≌aFN即可： ②根据题意画出△BEF,求出FC=4,得出DF=1,根据勾股定理可求出 F=10 【详解】(1)略 (2)解：①略 第60页共130页 ②存在，如图，旋转过程中，B是定点，且A、B是一对对应点，即AB的垂直平分线为对称轴 △BEF如图： B M :AB=5,BC=3, ,四边形ABCD是矩形，四边形ABMN是菱形， .AD BC =3,BM=AB=DC=5. CM -BM-BC3-4 BF=BM,BC⊥DM, .FC=CM=4. ∴.DF=DC-FC=5-4=1, 4F-VAD+DR=0 20.解答下列问题： 图1 图2 (1)【静图识形】如图1，在△AOB中，∠AOB=90°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD,DC延 长线交AB于点E,连接OE,过点O作OF⊥OE交直线CD于点F.求证：∠FEO=45°. )【数心转化】如图2，将图1以0为原点建立平面直角坐标系，若B边所在直线为y= 3+8,分别 与x轴、y轴交于点A、点B ①求CD边所在直线的函数表达式： ②点P是直线DC上一动点，当△PAB的面积为30时，请求出所有符合条件的点P的坐标. 第61页共130页 3)【动点推广】在(2)问的条件下，若点M在边CD上，且DM=2.5,过点O作ON⊥OM,交AB于点 CD G ∠OMO=∠OGM ，交直线于点，在轴负半轴上是否存在一点，使得 ，若存在，直接写出点 Q的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1)见详解 3 144258 (9678 20=4x+6 ②25’25)或25'25 3)存在， DOF≌△BOE(ASA) 【分析】(1)证明 即可证明： (2)先求出A、B、C、D的坐标，①利用待定系数法即可求解：②过点P作PAD交AB于点卫，不妨 3 P4P+6 9,33 设点P的坐标为 ,通过 S.= POO 2 2=30,即可求得答案： OC-OD 3 ③)过点0作0W1CD交CD于点J,先通过CD求得QW,设Mm4m+6 再通过 73 m+6 4 DMOJ求得点，先证明 得 2 M CON=∠DOM ∠D0N=∠MOg'结合三角 形内角和证明∠M00=∠GD0,又结合三角形内角和证明∠DMT=∠TO0,进而证明M0/AB,根据 4B MO MO 解析式设直线 的解析式，代入M的坐标，再求出直线 的解析式，问题得解. 【详解】(1)证明：根据旋转有：OB=OD,∠D=∠B,∠DOC=∠BOA=90°. ,OF⊥OE, 第62页共130页 :.∠FOE=90°=∠DOC,即△FOE是直角三角形， ∴.∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠COE, :∠DOF=∠COE 又：OB=OD,∠D=∠B, △DOF≌ABOE(ASA) ∴OF=OE. 、△FOE是等腰直角三角形， .∠FE0=45°： 2)解：令少=-4 x+8=0,解得：x=6 3 4 令x=0,解得：y=3+8=8, ÷16,0)B0,8) 0A=6,OB=8, ,将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD, ∴.OC=OA=6,OD=OB=8. :06)D(-80) ①设CD边所在直线的函数表达式为：y=c+b, ，3 k=7 即有： -8k+b=0,解得： 4 b=6 b=6 3 ·CD边所在直线的函数表达式为：y=4x+6 4 ②如图，过点P作POIAD交AB于点O, D A 第63页共130页 3 3 不妨设点P的坐标为 P4P+6 那么卫点纵坐标为4P+6。 4 :点Q在直线AB:y= x+8上 3 3 4 4p+6s x+8 3 2 9 33 “Q点坐标为16P 2'4P+6 .Po= 9 3 16P+2-P ,aPAB的面积为30， PO-OB .S.PAB =30 2 93 2-px8 16P -=30, 3 144 解得P=25,或者p= 96 25, 144 3 258 当p= 25时，4P+6= 25· 96 3 78 当p= 25时，4 卫+6= 25, 144258 9678 ∴点P的坐标为： 2525或25'25 13 (3)解：存在， g0,- 2) 理由如下： 如图，过点O作OJ⊥CD交CD于点J, 第64页共130页 BG D :0C=6,OD=8,∠C0D=90° :CD=V0C2+0D=V6+8=10 :aW=0C00_6x8-48 CD 10 3 ”点M在边CD上，CD边所在直线的函数表达式为：y=4+6, 4 3 设Mm4m+6 3 3 OD× m+6 8× m+6 S.OMD= 4 DMOJ,即（4 2.5×4.8 2 2 2 2 .m=6, :( .ON⊥OM, .∠M0N=90°=∠D0C, ∴.∠MOC+∠CON=∠DOM+∠MOC, .∠CON=∠DOM, .∠CON+∠DOC=∠DOM+∠D0g, ∴.∠DON=∠MOg, 又，∠QM0=∠OGM, ∴∠MQ0=∠GD0 :'∠MTD=∠QTO 第65页共130页 .∠DMT=∠TOg=90° :.Mg⊥DC, ,将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD, .∠ABO=∠CDO 又∠BCG=∠DCO ∴.∠BEC=∠COD=90°，即AB⊥CD, Mg∥AB 4 “4B边所在直线为y一3x+8, 4 心设M0边所在直线为y=3x+d, 将6入y=+d,得：(-6+d, 3 13 解得：d=- 2 413 3 ·MQ边所在直线为y= 2 令x=0时y=-13 2 21.综合与探究 问题情境 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板△ABC和△EBD重合放置， 其中∠ACB=∠EDB=9O°，AC=ED=4,BC=BD=3.将△EDB绕点B顺时针旋转，旋转角为 a(0°<a<360°) 如图2，当△BDE的直角顶点D刚好落在边AB上时，ED的延长线交AC于点F，试判 断DF与FC的数量关系，并说明理由， 数学思考 (1)请你解答老师提出的问题. 深入探究 第66页共130页 (2)老师将△EDB继续绕点B顺时针旋转到图3位置，作射线CD交AE于点N.此时“善思小组”的同 学认为点N是AE的中点.请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由. (3)在△EDB绕点B顺时针旋转的过程中，连接AD,AE，是否存在某一时刻，使得△ADE是一个以AE 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时AD的长：若不存在，请说明理由. A(E)C(D) 图1 图2 图3 备用图 【答案】(1)DF=CF, 解法1：连接BF, .∠BDF=∠BCF=90° B BC=BD BE =BE Rt△DBF≌RtACBF(HL) ∴.DF=CF 解法2：根据题意，得B=BE=V32+4平=5 5AD=4B-BD=2mAC=3心 AC4cosA=AC、4 AB 5 .tan4=DF 3 AD4c0sA=D、4 AF5 :DF=2x33 421F=2÷ 45 52: .CF=AC-AF=3 2 .'DF=CF (2)解：过点E作EG∥AC,交CN的延长线于点G, 则∠G=∠ACN, 第67页共130页 ':△EDB继续绕点B顺时针旋转到如图位置，作射线CD交AE于点N. 、BC=BD,ED=AC,∠EDB=∠ACB=90°， :∠BDC=∠BCD,∠BDC+∠EDG=90°，∠BCD+∠ACN=90°， .∠EDG=∠ACN, ∴.∠EDG=∠ACN=∠EGD. ∴EG=ED=AC, [∠ANC=∠ENG ∠ACN=∠G CA=GE △GNE≌aCNA(AAS) B AN=NE .点N是AE的中点， 813 (3)13或213 【分析】(1)解法1连接BF,证明 Rt△DBF≌RtACBF(HL) 即可： DF,CF的 解法2根据勾股定理，得4B=BE=V3+4=5,得到AD=AB-BD=2,利用三角函数求得 长度，比较解答即可 (2)过点E作EG∥AC,交CN的延长线于点G,则∠G=∠ACN,根据旋转的性质，等腰三角形的判定 和性质，余角的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可. (3)当∠EAD=9O°，根据旋转的性质，得BA=BE,取EA的中点N,连接BN,交ED于点P,利用等 腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数的应用解答即可： 当∠AED=9O°，根据旋转的性质，得BA=BE,取EA的中点M,连接BM,交AD于点O,则BM⊥EA, 第68页共130页 根据矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理 解答即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：当∠EAD=90°， 根据旋转的性质，得BA=BE, 取EA的中点N,连接BN,交ED于点P, 则BN⊥EA, .BN∥AD,∠EWP=90°， D EN EP NA PD =l,∠PEN=90°-∠EPN=90°-∠BPD=ZDBP 、EP=PD=ED=2 2 PB=PD+BD=3 ∴sin∠PEN=sin∠DBP=AD-PD ED PB AD 2 43 解得AD-8店 13； 当∠AED=90°， 根据旋转的性质，得BA=BE, 取EA的中点M,连接BM,交AD于点Q, 则BM⊥EA, .BM∥DE,四边形BMED是矩形， 第69页共130页 M H AM AO =1 ·MEQD,BD=ME=AM=3' :M0=)ED=2 2 :0=@M2+AM2=V3 AD=240=2v13 8V13 综上所述，AD的长为13或2W3. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用， 三角函数的应用，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例定理， 熟练掌握性质和定理是解题的关键， ABCD ，边 AEFG 22.如图(1)，正方形 和正方形 ME在边B上，AB=12,AE=6N ，将正方形 AEFG绕点A逆时针旋转 (0°≤au≤45) G 图(1) 图(2) 备用图 (1)如图(2)，正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE=DG: (2)在旋转的过程中，当∠BEA=120°时，试求BE的长； (3)BE的延长线交直线DG于点P,在旋转的过程中，是否存在某时刻BF=BC？若存在，试求出DP的长： 若不存在，请说明理由。 第70页共130页 【答案】(1) 证明：：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ·.AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90° :.∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD=90°， ∴∠BAE=∠DAG, 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠BAE=∠DAG AE=AG △ABE≌△ADG(SAS) ..BE=DG: 2)310-3V2 (3)存在，DP=6N3-6 【分析】(1)结合正方形的性质证明△ABE≌△ADG,由全等三角形的性质可证明BE=DG: (2)过点A作AH⊥BE交BE的延长线于点H,结合题意可得∠AEH=60°，进而可得∠EAH=30°，由 “直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可知H=)B=35,进而解得A的长度，再 在Rt△ABH中由勾股定理解得，BH的值，即可获得答案； (3)连接AF,首先证明△ABF是等边三角形，BE是线段AF的垂直平分线，结合EG是线段AF的垂直 平分线，易得直线BE与直线EG是同一条直线，即点P与点G重合，设EG与AF交于点O,解得BO, BE的长度，再证明△ABE≌△ADG,由全等三角形的性质可证明BE=DG,即可获得答案. 【详解】(1)略 (2)解：如图1，过点A作AH⊥BE交BE的延长线于点H, 第71页共130页 E H G 图1 ,∠BEA=120°， .∠AEH=180°-∠BEA=60° :AH⊥BE,即∠AHE=90°， .∠EAH=90°-60°=30°， :M-46=×65=32 2 H=AE-Bm=V65-(32-=3N6, 在RtABH中，BH=VAB-AM=I22-(36=3V0, BE =BH-EH =310-32 (3)存在.如图2，连接AF, 、O H D G(P) 图2 ,四边形AEFG是正方形， ,AE=EF=6N2∠AEF=90° ÷AF=aB+EF-V62°+(62'=12， ..BF BC=AB=12. .AF BF AB=12, ∴.△ABF是等边三角形， 第72页共130页 .BA=BF,EA=EF, ∴，BE是线段AF的垂直平分线，如图， ,EG是线段AF的垂直平分线， ∴直线BE与直线EG是同一条直线， ∴点P与点G重合，即DP=DG, 设BG与Ar交于点0：则40=E0-4F=6,∠AOB=90 ÷B0=VAB2-A0=Vi2-6=6N5 .BE=B0-E0=6N5-6, ,∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD=90°， ∴∠BAE=∠DAG, 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠BAE=∠DAG AE=AG △ABE≌△ADG(SAS) .DG=BE, ∴.DP=BE=6N5-6 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、全等三 角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的性质是解题 关键 23.【探究与证明】 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究. 【问题情境】 如图①，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,将边AB绕点A逆时针旋转(0°<<180°)得到线段AE, 过点E作，EF⊥AE交直线BC于点F. 第73页共130页 」 图① 图② 备用图 【猜想证明】从特殊到一般， (1)当a=90°时，四边形ABFE的形状为 (直接写出答案) (2)如图②，当=45°时，连接DE,求此时△ADE的面积： (3)是否存在a,使点F,E,D三点共线？若存在，请求出此时BF的长度；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正方形 ,202 (3)存在，BF=4或BF=16 【分析】(1)当a=90°时，AE落在边AD上，易得四边形ABFE为正方形 (2)过E作EG⊥AD于G,由旋转的性质及勾股定理GE的长，从而求得△ADE的面积： (3)分两种情况：当点E在线段DF上；当点E在线段DF反向延长线上；利用旋转的性质及勾股定理即 可求解， 【详解】(1)解：如图，当a=90°时，AE落在边AD上， 由旋转得：AB=AE, .·EF⊥AE ∴∠B=LA=∠AEF=90°」 ∴.四边形ABFE为正方形： 故答案为：正方形： (2)解：如图，过E作EG⊥AD于G, 第74页共130页 由旋转得：AB=AE=8,∠BAE=45°： 由四边形ABCD是矩形，得∠BAD=90°， ∠DAE=45°： ·.·EG⊥AD :∠DAE=∠AEG=45°， :.AG=GE; 由勾股定理得G=2B=42 2 8x方40-6E-×10x42=202。 (3)解：存在 设BF=x,连接AF: 当点E在线段DF上时，如图： D C AB=AE,AF=AF ∴.RtAABF≌Rt△AEF(HL) :EF BF=x, :.CF=BC-BF=10-x: .:AE⊥DF,AE=AB=8 六由勾股定理得： DE=AD2-AE2=6 .DF=EF+DE=x+6: RtADCF 10-x)2+82=(x+6)2 中，由勾股定理得： 解得：x=4, 第75页共130页 即BF=4: 当点E在线段DF反向延长线上时，如图： 同理，EF=BF=x, :.CF=BF-BC=x-10: DE=√AD2-AE2=6 由勾股定理得： :.DF=EF-DE=x-6: 在RtADCF (x-10)2+82=(x-6)2 中，由勾股定理得： 解得：x=16, 即BF=16: 综上，BF=4或BF=16 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定 理，旋转的性质等知识，熟练运用这些知识是关键， 24.如图O,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC=8cm,线段EF与BC重合(E与B重合， F与C重合)，EF从BC位置出发，沿射线AC方向匀速运动，速度为lcms;同时，点P从点B出发， 沿BA方向匀速运动，速度为2Cm/s.将线段EF绕点F逆时针旋转9O°得到线段DF,连接ED交BC于点 G,连接PG,PD,设运动时间为(0<1<5).解答下列问题： H G G D M D 图① 图② 第76页共130页 (1)当t为何值时，点G在线段DF的垂直平分线上？ 2连接GF,设四边形PDFG的面积为S(cm),求S与'的函数关系式。 (3)如图②，点H与点D关于点P中心对称，连接AH,HB, ()是否存在某一时刻t,使PG⊥A？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由： (i)是否存在某一时刻t,使点H在△ABC外角∠BAM的平分线上？若存在，直接写出t值：若不存在， 请说明理由. 【答案】(1)3 2S=-7+5+18 10 5 31 (3)(i)t= 9：(m1=18 5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质 等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形 (④)根据CF=CD-号DF求得纺果， (2)作PW LAC于m,作PV1BC于，口连接PC,可表示出PW和PY,进而表示出 SAPCD SAPCG SACFG 从而得出S的关系式： (3)(i)作HT⊥CM于T,作PV⊥BC于V,交HT于R,设PG交AH于O,设AH交RV于I,可推出 AT GV tanLAHT=tan∠GPv,从而THPv,可表示出AT,TH,GY和Pp,进一步得出结果： (ii)作HT⊥CM于T,作AX平分∠BAC,交BC于X,作XZ⊥AB,可推出tan∠AHT=tan∠CAX,从 AT CX 而THAC,进一步得出结果. 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，AB=10cm,AC=8cm .EF BC=6cm, ,线段EF绕点F逆时针旋转9O°得到线段DF, .'DF=EF =6cm, ,点G在线段DF的垂直平分线上， 第77页共130页 ·CF=CD= DF=3cm .1=3: (2)解：如图1，作PW⊥AC于W,作PV⊥BC于V,连接PC, B W D C→F 图1 AB5sinB=AC、4 sind=BC_3 AB5 BP=2tcm,AP=(10-2t)cm, =AP-sin/BAC-0-2)em.PV=PB-si 5 :EF=DF,EF⊥DF ∴∠EDF=45°， ,CG⊥CD, CG=CD=(6-1)cm :5mcD-Pw=6-40×30-20-=g6-06-0, 5.mw-1CGPW-(6-)6-) 5 5 5=cpcG=76-0. 2 :s-6-05-+6-0+6-1=+g+18, (3)解：()如图2， 第78页共130页 B G MTA W D R 图2 存在)使G1M:理由如下： 作HT⊥CM于T,作PV⊥BC于'，交HT于R,设PG交AH于O,设AH交RV于I, ∴.∠RTC=∠TCV=∠CVR=90° 则四边形CTRV是矩形， .∠HRP=∠POH=90°. ∠PQ=∠RIH. .∠AHT=∠QPI=∠GPV. .tan∠AHT=tan∠GPV, AT GV TH PV: 由(2)知.Pw-0-20 )om.pv-am :点H与点D关于点P中心对称， ∴.DH=2PD, ,∠PWD=∠HTD=90°. PW∥HT, .aPDW∽aHDT. HT DT HD ·.PW=Dm=PD =2, PW-(10-2)em.DT-2DW 第79页共130页 pw-cW-CD-Pv-CD--(6-)-(-6)cm. r=(9-2m, :4r=Dr+D-4c--2+6-18-(g4-4m .Gv-CG-CV-CD-PW-6-1-(I0-2)-lcm 21 1-14 -t 5 5 g0-20 :13 9； (i)如图3， H 《 ◇ G M D 图3 假设存在t,使点H在△ABC外角∠BAM的平分线上， 作HT⊥CM于T,作AX平分∠BAC,交BC于X,作XZ⊥AB于点Z, .XZ=CX,∠HAT+∠CAX=90°， 由8+Sm=S得. 2C.C 2 :.8CX+10CX=6×8, 8 .CX-3cm y∠4I=∠4CX=0,∠HMB+∠BMK=)B1M+)BMC=90e .∠HAT+∠AHT=90°，∠HAT+∠CAX=90° 第80页共130页 ∠AHT=∠CAX, ∴.tan∠AHT=tan∠CAX, AT CX .HTAC 21 8 3 2g0-208. :18 5 当1时，点H在ABC外角BM的平分线 【类型4旋转相关探究数量关系】 25.在△ABC中，点D是AB上一动点，连接CD.将线段CD绕点C逆时针旋转至CE,记旋转角为a, 延长AC至点F,使CF=AC,连接EF,过点E作EG⊥AF于点G. D D B 图1 图2 图3 【特例感知】 (1)如图1，己知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC,∠ACB=90°，a=90°，请直接写出BD与EF的数 量关系 BD与EG的数量关系 【类比迁移】 (2)如图2，己知△ABC是等腰三角形，AC=BC,∠ACB=120°，a=60°.探究线段BD与EG的数量关系， 并证明你的结论： 【拓展应用】 (3)如图3，已知在△ABC中，BC=11,AC=6,∠ABC=30°，∠ACB=180°-a,在点D的运动过程中， 求线段EF长度的最小值. 第81页共130页 【答案】(L)BD=EF,BD=V2EG (2)BD=2EG 证明：∠ACB=120°， .∠BCF=60°， AC=BC,CF=AC, ∴BC=CF 由旋转得CD=CE,∠DCE=60°， ∴.∠BCF=∠DCE ∴.∠BCF-∠BCE=∠DCE-LBCE, 即：∠DCB=∠ECF, ∴.aDCB≌aECF(SAS) .BD=EF,∠F=∠B, AC=BC.∠ACB=120°， .∠B=30°， .∠F=30° :EG⊥AF .EG=EF 2 BD=EF, &EG=7BD.即BD=2EG1 (3)2 【分析】(I)利用余角性质可得∠BCD=∠FCE,进而由SAS可证明△BCD≌aFCE,得到EF=BD,可 证4FG EF=2EG 为等腰直角三角形，则 ,进而求解题目： (2)同理(1)可证得到EF=BD,因为∠F=∠B=30°，则EF=2EG,进而求解题目： (3)在线段CB上作CH=CA,连接DH,可证 FCE≌aHCD(SAS) 则EF=DH,因为点D在AB上 运动，所以当DH⊥AB时，DH最小，此时EF取得最小值，则题目可求解； 第82页共130页 【详解】(1)解：：a=90°， ∠DCE=90°. .∠BCD+∠BCE=90°， ,∠ACB=90° ∴.∠FCE+∠BCE=90°， ∴.∠BCD=∠FCE, .AC=BC,AC=CF, ∴.BC=FC, 又由旋转可知，CD=CE, △BCD≌AFCE(SAS) ∴.BD=EF,∠F=∠B, AC=BC，∠ACB=90°， .∠B=45°， ∠F=45° :EG⊥AF, ..EF =2EG .BD=EF, BD=2EG ； (2)证明：略： (3)解：在BC上截取CH,使CH=AC=6,连接DH, D B C H E F:∠ACB=180°-a ∴.∠BCF=180°-∠ACB=180°-(180°-a)=a 第83页共130页 ∠DCE=a, ∴.∠BCF=∠DCE=a. ∴.∠BCF-∠BCE=∠DCE-∠BCE, 即∠DCB=∠ECF, .AC=CF,AC=CH, :.CH=CF, CD=CE ∴.△FCE≌aHCD(SAS) 1 ..EF DH, 点D在AB上运动， 当DH⊥AB时，DH最小， ∠B=30°，BC=11,CH=AC=6, .(BC-CH)-() 5 :EF的最小值为2： 26.综合与探究 在△ABC中，AB=AC,∠BAC的角度记为a. 图1 图2 (1)操作与证明：如图1，若α=60°，点D为边BC上一动点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转角 度a至AE位置，连接DE,CE.写出BD和CE的数量关系：一，LBCE=__°； (2)探究与发现：如图2，若a=90°，点D变为BC延长线上一动点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针 旋转角度α至AE位置，连接DE,CE.试判断BD和CE的数量关系，并说明理由； 第84页共130页 (3)判断与思考：在(2)的探究中，若x=90,BC-3,点D为直线BC上一点，当CD=1时，直接写出 DE的长. 【答案】(1)BD=CE:120 (2)BD=CE,理由见解析 【分析】(1)由旋转的性质得AD=AE,∠DAE=∠CAB,再证△ABC是等边三角形可得 ∠ACB=∠ABD=60°，然后证明△BAD≌△CAE可得BD=CE、∠ACE=∠ABD=6O°，最后根据角的和差 即可解答： (2)同(1)的方法证明△BAD≌△CAE,再根据全等三角形的性质即可解答： (3)由(2)可得△BAD≌△CAE,从而得∠B=∠ACE=45°，进而得到∠BCE=90°：过A作AF⊥BC D,D DF,DF 于F,分 两种情况求得 ,再根据勾股定理以及全等三角形的性质即可解答， 【详解】(1)解：，将线段AD绕点A逆时针旋转角度至AE位置，∠CAB=a=60°， .AD=AE,∠DAE=∠CAB=60° ∴.∠CAB-∠CAD=∠DAE-∠CAD .∠BAD=∠CAE, AB=AC,∠CAB=a=60°， .△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠ABD=60°， 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △BAD≌△CAE(SAS) .BD=CE,∠ACE=∠ABD=60° :.∠BCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120° (2)解：BD=CE,理由如下： 第85页共130页 ·将线段AD绕点A逆时针旋转角度a至AE位置，a=∠CAB=90°， ：AD=AE,∠DAE=∠CAB=90°、 ·∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △BAD≌ACAE(SAS) .BD=CE (3)解：，∠BAC=90°，AB=AC, :∠ABC=∠ACB=180-∠B1C=45 2 △BAD≌△CAE(SAS) 由论证(2)可知， .∠ACE=∠ABD=45°， .∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 由CD=1,可知共有两种情况，如图。D,凸，过4作 F⊥BC于F, D2 C D ,∠ABC=∠ACB=45°，AF⊥BC, :AF=CF=BF=IBC=3 2 2 :nF=r-m=1nF=cF+D,1月 3 2 在RaAD,F中，由勾殷定理得，AD=VDF2+A= 2, 第86页共130页 :1D=A,∠DAE=∠CAB=90°nAD=AE,∠DAB=∠CMB=90° ，即 &DE=V2AD=V2xi0=、 2 2=5； 在RaAD,F中，由勾股定理得，AD,=VD,FP+AF=34 AD=AE,∠DAE=∠CAB=90°， D2=AE,∠D,AE=∠CAB=90° 即 :DE=2AD,=2x34-7; 2 DE √517 综上所述， 的长为或 27.如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，N是线段CD的中点，M是射线DC上一动点，连接 BM,E,F是直线BM上两点（点F位于点E右侧），将直线BM绕点E旋转9O°后经过点A,且 ∠EAF=-∠BAD 2 D E B 图① 图② (1)【操作判断】 求∠EFA的度数： (2)【问题探究】 如图O,若点M在线段DN上，连接DF,若AB=7,EF=4,求DF的长： (3)【拓展延伸】 如图②，若点M在射线NC上（不与点N重合），连接DF.探究线段BE,DF,BF之间的数量关系，并说 明理由. 【答案】(1)60° (23 (3)DF =2BE+BF DF =2BE-BF 第87页共130页 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构 造全等三角形，利用菱形性质和角度关系进行推理计算. (④)通过旋转性质得乙A5F=90:结合∠BF=∠BD=30°，从而求出∠BM度数： (2)在直线BM上截取B'E=BE(点B不与点B重合)，连接AB',利用菱形性质，证明 △BAF≌aDAF(SAS),结合己知边长和线段长度求DF: (3)需要分情况讨论，情况一：点M在线段NC上；情况二：点M在NC延长线上.分别画出图形，构 造全等三角形，通过线段等量转化即可求解. 【详解】(1)解：：将直线BM绕点E旋转90°后经过点A, ∠AEF=90°， :∠EAF=∠BAD=30° 2 .∴.∠EFA=180°-90°-30°=60° (2)如图，在直线BM上截取B'E=BE(点B'不与点B重合)，连接AB, ,将直线BM绕点E旋转90°后经过点A, D B .AE⊥BM ∴.AB=AB, ∠BAE=∠BAE=∠BAB. 2 ∠BF=∠EAB+∠BAF=BAD=∠BAB+∠BAD), ∠BAE+∠BAF=(∠BAB'+∠BAD). ∠BAF=∠BAD=∠DAF 2 ,四边形ABCD是菱形， .AB=AD. :AB'=AD, 第88页共130页 又AF=AF, ∴.△B'AF≌△DAF(SAS) .B'F =DF, BF=BE+EB'+B'F=2BE+B'F =2BE+DF. .DF BF-2BE BE+EF-2BE EF -BE, ZEAFBAD=30,AE L BM,AB=7,EF=4. ∴在RtAEF中，AF=2EF=8, AE=√AF2-EF2=4V3 :在Rt△MEB中，BE=VAB2-AB=1 DF=EF-BE=4-1=3, .DF的长为3： (3)DF =2BE+BF DF=2BE-BF, 理由如下： (1)当点M在线段NC上时， 如图，在直线BM上截取BE=BE(点B不与点B重合)，连接AB, D B' E B ,将直线BM绕点E旋转90°后经过点A, .AE⊥BM, :AB=AB', ∠BAE=∠BAE=∠BAB. 2 :∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠BAD 2 ∴.∠B'AE+∠EAB+2∠BAF=∠BAD, ∴.∠BAE+∠EAB+∠BAF=∠FAD. 第89页共130页 ∠BAF=∠DAF, ,四边形ABCD为菱形， .AB=AD=AB', 又，AF=AF, ∴.△B'AF≌△DAF(SAS) ∴B'F=DF, .B'F B'E+BE+BF =2BE+BF, ∴.DF=2BE+BF: (2)当点M在NC延长线上时， 如图，在直线BM上截取B'E=BE(点B不与点B重合)，连接AB', D B ,将直线BM绕点E旋转9O°后经过点A, AE⊥BM, :AB=AB', .∠BAE=∠BAE, :∠EMF=∠EAB-∠BMF=RAD AE=∠BME, ∴.∠BAE+∠EAB-2∠BAF=∠BAD. .·.∠B'AE+∠EAB-∠BAF=∠FAD. ∴.∠BAF=∠DAF, :四边形ABCD为菱形， .AB=AD=AB', 又：AF=AF, ∴.△BAF≌ADAF(SAS) ..B'F =DF, :B'F B'E BE-BF =2BE-BF. :DF=2BE-BF, 第90页共130页 综上所述，BE,DF,BF之间的数量关系为DF=2BE+BF或DF=2BE-BF 28.在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,点M是直线AC上一动点.连接MB,将线段MB绕点M逆时 针旋转90°得到MD A() D 图1 图2 (1)如图1，当点M与点A重合时，连接DC,四边形ABCD的形状是 (2)探究猜想：当点M不与点A,点C重合时， ①试猜想DC与BC的位置关系，并利用图2证明你的猜想； ②直接写出AB,CD和AM之间的数量关系. 【答案】(1)四边形ABCD是正方形 (2) ①解：DC⊥BC.证明如下： 如图，过点M作ME L AC交AB于点E,连接ED,则∠AME=90°」 G E 0 图2 .∠ABC=90°BA=BC ∠A=180°-∠ABC=450 .∠AEM=90°-∠A=45° ∴.∠A=∠AEM=45° ∴.AM=ME :将线段MB绕点M逆时针旋转9O°得到MD, ∴.MD=MB.∠BMD=90° ∴.∠AME=∠BMD=90° 第91页共130页 .∴.∠AME+∠EMB=∠BMD+∠EMB ∴.∠AMB=∠EMD 在△ABM和△EDM中， MA=ME ∠AMB=∠EMD MB=MD :.△ABM=AEDM(SAS) .∠A=∠MED=45°，AB=ED ∠AED=∠AEM+∠MED=90° ∠AED=∠ABC=90° .EDI BC :AB=BC, .ED=BC ∴四边形EBCD是平行四边形. ∠ABC=90° ∴四边形EBCD是矩形. .∠BCD=90° .DC⊥BC ②4B+CD=V2AM 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形 的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当的辅助线后早全等三角形是解题的关键 (1)由旋转的性质得出AD=AB,证出ADIAB,由平行四边形的判定可得出结论 (2)①过点M作ME L AC交AB于点E,连接ED,则∠AME=90°，证明，由全等三角形的性质得出， ∠A=∠AEM=45°，AB=ED,证明四边形EBCD是矩形，由矩形的性质得出∠BCD=90°，则可得结论， ②分两种情况，当点M在射线OA上时，由全等三角形的性质及等腰直角三形的性质得出，当点M在射线 OA上时，同理。 AB+CD=2AM 【详解】(1)证明：将线段MB绕点M逆时针旋转90°，当点M与点A重合， ∠BAD=∠ABC=90° 第92页共130页 .ADI∥AB,AD=AB=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形， :∠ABC=90°，AB=AC, ∴.四边形ABCD是正方形. (2)解：①略 ②设的中点为O, A G M E B B 当点M在射线OA上时， 由O得：CD=BE, ∠AME=∠BMD=90°，∠A=∠MED=45°， ∴△AEM为等腰直角三角形，AE=AB-BE=AB-CD, .AE=√2AM .AB-CD=2AM 点M在射线OC上时，过点M作ME⊥AC交AB于点E, 连接ED,则∠AME=90°. ∠ABC=90°，BA=BC, ∠A=180°-∠ABC =45° 2 .∠AEM=90°-∠A=45°， ∴.∠A=∠AEM=45° .AM=ME ·将线段MB绕点M逆时针旋转9O°得到MD, .MD=MB,∠BMD=90° 第93页共130页 .∠AME=∠BMD=90° ∴.∠AME-∠EMB=∠BMD-∠EMB ∴.∠AMB=∠EMD. MA=ME ∠AMB=∠EMD 在 和 中， △ABM △EDM MB=MD :.△ABM=aEDM(SAS) .∠A=∠MED=45°，AB=ED, .∠AED=∠AEM+∠MED=90°AE=V2AM ∴.∠AED=∠ABC=90°， ..ED BC. :AB=BC, .ED=BC ∴.四边形EBCD是平行四边形. ∠ABC=90°， ∴四边形EBCD是矩形. ∴BE=CD .AE=AB+BE=AB+CD. .AB+CD=2AM 29.已知△ABC为等边三角形，D是射线AB上的一动点，连接CD,将CD绕点C顺时针方向旋转60°得 到CE,连接AE,DE D B B 图1 备用图 (1)如图1，△CDE的形状为 第94页共130页 (2)试猜想线段AC,AD,AE之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)等边三角形 (2①当点D在线段AB上时，AC=AD+AE,理由见解析：②当点D在线段AB的延长线上时， AC=AD-AE,理由见解析 【分析】(1)根据旋转，得到CE=CD,∠ECD=60°，即可得出结论： (2)分点D在线段AB上和点D在线段AB的延长线上，两种情况讨论求解即可. 【详解】(1)解：：将CD绕点C顺时针方向旋转60°得到CE, CE=CD,∠ECD=60°， ∴，△CDE是等边三角形： 故答案为：等边三角形 (2)解：①当点D在线段AB上时，AC=AD+AE. 理由：由旋转的性质可知∠DCE=60°，CD=CE :△ABC是等边三角形，.AB=AC=BC,∠ACB=60°， ∴.∠ACB=∠ECD=6O°，.∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即∠ECA=∠BCD. CA=CB ∠ECA=∠BCD 在 ,和 中 ECA△BCD CE=CD △ECA≌ADCB(SAS) ∴.AE=BD, .AC=AB=AD+BD=AD+AE ②如图，当点D在线段AB的延长线上时，AC=AD-AE E 理由：由旋转的性质可知∠DCE=60°，CD=CE :△ABC是等边三角形，.AB=AC=BC,∠ACB=60°， 第95页共130页 ·.∠ACB=∠ECD=6O°，∴.∠ECD-∠ECB=∠ACB-∠ECB,即∠ACE=∠BCD CA=CB ∠ACE=∠BCD 在 和 中 ECA△BCD CE=CD △ECA≌ADCB(SAS) .AE=BD. ∴.AC=AB=AD-BD=AD-AE 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性 质，证明三角形全等，是解题的关键。 30.已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为直线BC上的一动点（点D不与点B,C重合），将 A 90° D绕点逆时针旋转90°得到征，连接 CE,DE E E B D E B D D 图① 图② 图③ (I)如图①，当点D在边BC上时，求证：BC=CD+CE: (2)当点D在直线BC上时，如图②、图③所示，线段BC,CD,CE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你 的猜想，不需证明， 【答案】(1)见详解 (2)BC=CE-CD BC=CD-CE 【分析】(1)证明△CAE≌△BAD,由全等三角形的性质可得CE=BD,即可证明BC=CD+CE: 第96页共130页 (2)同(1)由全等三角形的性质可得CE=BD,即可得出结论， 【详解】(1)证明：，AD绕点A逆时针旋转90°得到AE, 、AD=AE,∠DAE=90°， ,∠BAC=90° .∠DAE=∠BAC, .∠DAC+∠CAE=∠BAD+DAC. ∴.∠CAE=∠BAD. 在△CAE和△BAD中， AC=AB ∠CAE=∠BAD AE=AD △CAE2△BAD(SAS) ∴CE=BD .BC=BD+CD=CD+CE; (2)BC=CE-CDBC=CD-CE 理由如下： △CAE≌△BAD(SAS) 如图②，同理可知 .'CE=BD .BC=BD-CD=CE-CD: △CAE≌△BAD(SAS) 如图③，同理可知 ..CE=BD ∴.BC=CD-BD=CD-CE 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角 形解决问题. 31.如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得 到射线ON 第97页共130页 A(O) A M 图1 图2 备用图 (1)如图1，点O与点A重合时，点E,F分别在线段BC,CD上，求证：△AEC≌△OFD: (2)如图2，当点O在CA的延长线上时，E,F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE、 CF、CO三条线段之间的数量关系，并说明理由； 【答案】(1) 证明：：△ABC与△ACD为正三角形， .AC=AD,∠ACB=∠D=∠BAC=∠COD=60° 由旋转得∠EOF=60°。 ∴.∠EAC=∠FOD. :.△AEC≌△OFD(ASA): (2) 解：CF=CO+CE,理由如下： 如图3，过点O作HBC交CF于点H, ELN H A B ℃EM 图3 .∠HOC=∠BCA=60°，∠OHC=∠HCE=60°， .aCOH是等边三角形， ..OC=CH=OH. .'∠EOF=∠COH=∠CHO=∠BCA=60°， .∠COE=∠FOH,∠OCE=∠OHF=120°， OH=OC. :.△OHF≌△OCE(ASA), 第98页共130页 ..CE=FH, .CF=CH+FH ...CF=CO+CE; 【分析】(1)由等边三角形得到AC=AD,∠ACB=∠D=∠BAC=∠COD=60°，推出∠EAC=∠FOD, 即可证得结论 (2)过点O作OH‖BC交CF于点H,得到△COH是等边三角形，证明△OHF≌△OCE,推出CE=FH, 即可得到CF=CO+CE】 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】此题考查了等边三角形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，根据题意分别作出 相应的辅助线并运用类比思想及分类思想解决问题是解题的关键， 32.在△ABC中，AB=AC,D是边BC上一动点，连接AD,将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使 得∠DAE+∠BAC=180° D 图1 图2 (1)如图1，当∠BAC=90°时，连接EC,连接BE交AC于点F.若BE平分∠ABC,BD=2. ①求证：∠BCE=90°： ②求AF的长 (2)如图2，连接BE,取BE的中点G,连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想， 【答案】(1)①证明：：∠DAE+∠BAC=180°，∠BAC=90°， ∴.∠DAE=∠BAC=90° ∴.∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC ∴.∠BAD=∠EAC 由旋转可知AD=AE, 第99页共130页 AB=AC ∠BAD=∠CAE 在 和 中， △BAD ACAE AD=AE .△BAD≌aCAE(SAS) ∴.∠ACE=∠ABC, .·∠BAC=90° ∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC=90°. ②② 2)解：AG=CD 2 理由：如下图所示，延长BA至点M,使AM=AB,连接EM, M E 是 的中点， B D 图2 .G BE ∴.AG是△BME的中位线， AG-NE .·∠BAC+∠DAE=∠BAC+∠CAM=180° .∠DAE=∠CAM, ∴.∠DAC=∠EAM. AB=AM,AB=AC, .AC=AM, AD=AE, △ADC≌△AEM(SAS), ∴.CD=EM, 第100页共130页