专题12 反比例函数与一次函数综合 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题12反比例函数与一次函数综合 专题目标 掌握反比例函数与一次函数交点、解析式的求法。 2. 会利用图象解不等式（比较两函数大小）。 3. 会求交点与坐标轴围成图形的面积。 会用对称转化求线段最值。 会处理特殊图形（等腰、直角）的存在性问题，提升综合应用能力。 专题目录 题型01：求交点坐标与函数解析式 题型02：利用图象解不等式（比较大小） 题型03：交点与坐标轴围成图形的面积问题 题型04：线段最值（对称转化）问题 题型O5:特殊图形（等腰、直角）的存在性问题 题型01：求交点坐标与函数解析式 题型描述：题干给出双曲线与直线的交点信息（常含待定系数），求解析式与交点。核心 得分点是交点同时满足两个解析式。 基础知识： 1/18 k 交点代入y=x得k=xy: 直线用两点式（待定系数）求解析式： 联立两式可求另一交点； 双曲线两交点关于原点对称（直线过原点时）。 解题方法： 代点求k:把已知交点代入双曲线求k; 求直线：用两点求直线解析式： 联立解：求全部交点： 验坐标：代回两式检验。 解题思路： 口诀：k、线、联、验。k=y一步出：直线过原点时两交点必关于原点对称，可省联立。 1.(2627九年级上天津滨海新区期)如图。直线y=+6与双曲线y=交于点4a,-2), B(2,1) (I)反比例函数解析式一，直线AB解析式 <众+b时，x的取值范围一 (2)若x (3)求△AOB的面积. 之.(267儿年级上斜室段中)如，直线y-血-5与风线安交寸有44，可号，与 y轴交于点C 2/18 (1)点C的坐标为一： (②直接写出方程c=”+5的解是 (3)结合图像，直接写出不等式 m>:-5的解集是 3.(26-27九年级上安徽合肥阶段检测)如图，直线y=x+3与双曲线V=x交于A(2,m)小D两点，与 坐标轴交于B、C两点， (1)求反比例函数解析式和点D坐标： (2)连接OA,OD,求△OAD的面积； ③)痕察图象，直接写出不等式x+3-之0的解华 4,（26-27九年级上江苏苏州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，一次函数'=mx+(m≠0 的图象 与反比例丽数y-k子0)的图象分别相交于第二、四象限的点42回和点B6,-,过点4作x轴 的垂线，垂足为点C,△AOC的面积为4. 3/18 (1)分别求a和b的值： k (2)结合图象，直接写出mr+n> 中x的取值范围： PB-PA (3)在x轴上取点P,使 取得最大值，求点P的坐标 题型02：利用图象解不等式（比较大小山 k 题型描述：题干给出双曲线与直线的交点，解不等式x>x十b(或比较大小)。核心得分 点是以交点和y轴分段，看图读区间。 基础知识： 图象在上方的函数值大： 交点横坐标与x=0把数轴分成若干段： 每段内两函数大小关系固定： 解集写成区间的并集。 解题方法： 求交点：求两交点横坐标； 分段：交点与y轴把x轴分段： 读图：判断各段谁在上方： 写解集：按不等号方向写出范围。 解题思路： 口诀：交、段、图、集。双曲线题型分段别漏x<0的部分；验证时每段取一个数代入最 快。 5,(2627九年级上江苏连云港阶段检测)如图，反比例函数片=(>0)的图象与一次函数为=：+c 4/18 A(4,3) y2=bx+c 的图象在第一象限交于点 ，一次函数 的图象与y轴交于点B,且OA=OB (1)求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2)b=,C= (3)满足不等式片<乃 的x的取值范围是一； P(m,0) △AOP (4) AAOB 为x轴上一点，若 的面积等于 的面积，请求出的值. 6.(2627九年级上江苏泰州阶段检测)如图，一次函数，=-x+5的图象与函数"=具>0x>0)的图 象交于 A4,a和点B. B A (I)求n的值： (2②若x>0,根据图象直接写出当x+5>” 时x的取值范围； (3)连接OA、OB,求△AOB的面积. 7.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图，一次函数片=x+n与反比例函数少=x的图象交于 (4,1),(1,b) 两点。 5/18 (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2②)根据函数图象，直接写出不等式-mr+。-n>0的解集： 8.（2627九年级上江苏连云港阶段检测)小明在学习过程中遇到了一个函数yx一21，小明根据学 4 的经验，对函数y一2+1的图象和性质进行了探究 4 4 习反比例函数y= (1)画函数图象： 4 [问题1]函数y=、 +1的自变量x的取值范围是 x- ； ①列表：如表 3 5 -6 -2 0 3 4 6 10 2 3 y 2 0 -3 -1 -7 9 5 3 2 2 ②描点：点己描出，如图所示. 87 6 5 ● 4 32 ● ● ● ● -10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910x 2 ● -4 -6 ● ③连线：根据描出的点，就可以画出该函数的图象. 6/18 4 (2)探究性质：结合画出的函数y x一2+的图象，回答下列问思： [问题2]结合函数图象，请直接写出x-2+1之-1时x的取值范围 [问题3]该函数的图象具有轴对称性和中心对称性，其对称中心P的坐标是；并说明此函数的图像 关于点P成中心对称： 4 [问题4]已知直线1：y=-3x+b,请探究直线1与函数y=x一2+的图像的公共点的情况，并确定此时实 数b应满足的条件。 题型03：交点与坐标轴围成图形的面积问题 题型描述：题干给出双曲线与直线的交点，求交点与原点（坐标轴）围成的三角形面积。 核心得分点是求交点坐标并选择底、高。 基础知识： 三角形面积=底×高÷2； 与坐标轴有关的三角形：把坐标轴上的边作底，另一顶点坐标的绝对值作高： 因 k模型：双曲线上点的垂线三角形面积为2； 面积可拆分：以y轴(x轴)为界拆成两块。 解题方法： 求交点：求出各顶点坐标： 选底高：选坐标轴上的边作底： 算面积：套公式或拆分计算； 验正负：坐标取绝对值作高。 解题思路： 口诀：点、底、高、积。跨y轴的三角形“沿y轴劈两半”最好算；能套2模型的优先 套。 12 9.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图，已知一次函数y=2x+1与反比例函数y=元的图象交于 7/18 PP9∥y A,B两点.若点P为直线MB上的动点，过点P作② 轴，与反比例函数的图象交于点.当 △OPO 0 的面积为24时，所有满足条件的点的坐标为 6 10.(2026四川宜宾模拟预测)如图，一次函数y=心+b的图象与反比例函数y=-x的图象相交于A: B两点，其中点A的坐标 为2m,点B的坐标为3). (1)求△AOB的面积： 2)若P为线段AB上一点，且 ,m=2Sa,求点'的坐标。 11.(26-27九年级上·江苏南京·阶段检测)如图1，口0ABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3, A2,),反比例函数y-=x>0的图象经过点B B C 图1 图2 (1)求反比例函数的表达式： 8/18 2)如图2，延长线段O4交y= x>0)的图象于点D连接OBBD:则，0BD的面积 12.(26-27九年级上四川成都阶段检测)如图，一次函数y=2x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交 于点C,与反比例函数y-(>0)的图象交于点p,作PB1x,善足为B:PB=3 VA (1)求m的值； ②点M是反比图数=(x>0)的图象上的一点，且在点p的右侧，连接M O连接OP,OM.若5av=2 S,求点M的坐标 ②在AP的延长线上存在一点D,使△DPM为等腰直角三角形，求点D的坐标. 题型04：线段最值（对称转化）问题 题型描述：题干给出双曲线（或坐标轴）上一动点，求它到两定点距离之和的最小值。核 心得分点是作对称点化折线为直线。 基础知识： 和最小：作定点关于动点所在直线的对称点，连线段长即最小值： 双曲线上动点常利用双曲线自身对称性： 最小值为对称点与另一定点间的距离： 距离公式d=Vs-+(-⅓}。 解题方法： 定直线：确定动点所在的直线（或曲线对称轴）； 作对称：作定点关于它的对称点： 求距离：最小值=对称点与另定点距离： 定动点：连线与原直线的交点即动点。 9/18 解题思路： 口诀：线、称、距、交。饮马模型在函数背景中同样适用：先问“动点在哪条线上”，对 称轴就是它。 13.(2026河北三模)在平面直角坐标系中，反比例函数y=x>0)的图像与边长是6的正方形OABC 的两边AB,BC分别相交于M,N两点.△OMN的面积为1O.若动点P在x轴上，则PM+PN的最 小值是() N B PA x A.3f0 B.10 c.2W26 D.4V5 14.(2-26九年级上T西北海阶段粒测)如图，点4a,l,B6,3)都在双线y= x上，点P,Q分别是 ABPO 轴，轴上的动点，则四边形 周长的最小值为一 B A 15.(25-26八年级下黑龙江大庆期末)如图，一次函数'=+b(a≠0) 的图象与反比例函数 y-k0的图象交于Lm,B(3,-)两点，与x轴交于点C 10/18 (1)求反比例函数与一次函数的表达式： ②结合图象直接写出关于x的不等式x+b≤的解集： )直线AB上有一点M,其横坐标为-1，在y轴上作一点O,使MQ+C⑨的值最小，此时最小值为 16.(2026四川宜宾中考真题)如图，一次函数y=x+bb>0)的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点， 并与反比例函数y-的图象交于横标为1的点p,过点p作P41x轴于点A已知Sm=8。 A ()求一次函数和反比例函数的表达式： ②考巴是4点关于》链的对称点，M、N分 BC △MWg 、”分别是轴和线段上的动点，求 周长的最小值. 题型05：特殊图形（等腰.直角）的存在性问题 题型描述：题干问双曲线（直线）上是否存在点与两定点构成等腰（直角）三角形。核心 得分点是设动点坐标，按类型分类列方程。 基础知识： 等腰：按PA=PB、PA=AB、PB=AB分三类； 直角：按直角顶点位置分三类，用勾股关系列方程： 动点在双曲线上满足xy=k: 11/18 排除共线退化情形。 解题方法： 设动点：设P(x,x)或直线上的点： 分类型：按等腰（直角）的分类标准分类； 列方程：用距离平方（勾股）列方程： 验存在：解出并检验范围与退化。 解题思路： 口诀：设、类、程、验。距离用平方避免根号；双曲线上的点用一个字母即可表示，方程 即一元方程。 4 17.(2026北京昌平二模)在平面直角坐标系x0y中，函数片=x>0),片=x>0)的图象如图所示， x 点P是函数”图象上的一个动点，过点P分别作轴、》轴的垂线，垂足分别为1，B,分别交函数 ”的图象于点C,D,给出下面四个结论：①四边形OCP”有可能是菱形：② CD③△0CD的 BI 15 面积为定值8；④存在唯一的点P,使得AOCD是直角三角形：上述结论中，所有正确结论的序号是 D B A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 18。（25:26八年级下浙江宁被期末)如图，在平面直角坐标系0中，一次函数'=+6k≠0) 与反比 m 例函数y= x（m≠0，x>0)的图象相交于点A(1,6),B(3,n)两点. 12/18 (1)求一次函数与反比例函数的表达式： ②)请直接写出关于x的不等式c+b>” 的解集 3)在平面直角坐标系Oy中，是否存在点C(点C在直线AB的右上方)和点D,使得四边形ACBD 为正方形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由 19.(26-27九年级上江苏扬州阶段检测)如图1，四边形ABCD为正方形，点A在'轴上，点B在x轴 上，且O6,OB3·反比例西数厂女（≠0)在第一象限的图象经过正方形的顶点C VA 图1 图2 (1)点C的坐标为 反比例函数的表达式为」 2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形AB'CD',点恰好落在反比例 函数的图象上，求此时m的值和点D'的坐标； 3)在(2)的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q,使以点O、A'、P、Q为顶点的四 边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 20.(2026山东济南二模)如图1，一次函数y=:+b与反比例函数片=(x>0)的图象相交于点 1(34),B(6,刚两点，点c为线段4B中点，连接40，C0. 13118 B 图1 备用图 (I)求一次函数与反比例函数的表达式： (2)求△AOC的面积： )如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”.在平面内是否存在点P卫 (点P在直线AB上方)，使得四边形APBO为倍边矩形，若存在，请直接写出点PQ的坐标；若不 存在，请说明理由. 专题综合训练 一、选择题 1，(2627无年级上广西南宁阶段检)如图，函数=方+5与4-：>0)的图象相交于4》， B(6,2)两点，当>乃时，无的取值范国是（） A.4<x<6 B.4<x<8 C.4<x<7 D.x>4 2.(2026河北廊坊二模)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A,C始终在反比 例函数y=x的图象上滑动，且斜边AC经过原点，AB与x轴负半轴交于点E:当ABCE的面积等于 14118 △MCE的面积时，点E的坐标为(5.0），则太的值为() A25 B.-10 C.5 D.-5V2 3.(2025黑龙江哈尔滨一模)如图，点A、B在反比例函数y=x的图像上，点A坐标为(1，m),点B坐 标为B,2),y轴上有一动点P,连接PA、PB,则PM+PB的最小值为() A(1,m) B(3,2) A.2v6 B.5 C.35 D.4v2 4.(2026北京三模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b6+0)与双曲线y-经偶0)交于 A(1,4)B(-4,n) 两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C,连接BC,以下四个结论： ①任意一条过点A的直线AC一定与双曲线有两个交点： ②存在点C,使得△ABC的面积是△ABO面积的2倍： ③存在点C,使得△ABC为等腰直角三角形： 15118 ④若直线AC与双曲线另一个交点为D,则对于任意的点C都不可能使得AD=CD=OD成立. 其中所有正确的结论为() A.①②③ B.②④ C.② D.①③④ 二、填空题 5.(26-27九年级上河北沧州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数 y。与一次函数y=+4为常数交于点A3,2和点B,6.则天于x的不等式。>：+4的 解集为 6。(267九车级上安微合肥阶度检测)如图，反比例西数(x>0)的图象经过点4小将线段O1沿 轴向右平移至线段C,点C落在反此例函数y=>0的图象上，则线段04扫过的面积为 7.(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=一x,y=-x+5与反 比例函数y=x分别交于点A,B,若△AB0的面积为10，则k=一· 16118 4 8.(26-27九年级上江苏南京期中)设A,B,C,D是反比例函数y=图象上的四点，现有以下结论： ①四边形ABCD可以是平行四边形：②四边形ABCD可以是菱形：③四边形ABCD可以是矩形：④四 边形ABCD不可能是正方形.其中正确的是 (写出所有正确结论的序号) 三、解答题 9（2026山东淄博一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数'=c+b(k≠0) 的图象与反比例函数 x的图象交于点A(4,m),B(n,2),与x轴交于点C,与y轴交于点D (1)求一次函数的表达式： ②)利用图象，直接写出不等式c+b>的解集： 4 6)在第三象限的反比例函数y=x的图象上是否存在一点P,使得Soc=4S,m？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由， 10.(25-26九年级上·贵州铜仁阶段检测)如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y=x（k为常数， x>0)的图像经过点 A(2,m)B(6,n) 两点 17118 A B 图1 图2 备用图 (1)m与n的数量关系是 A.m=3n B.n=3m C.m+n=8 D.m-n=4 (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的 表达式： 3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点卫，使得4+QB的值最小.若存在，请求出点Q的坐标： 若不存在，请说明理由. 18/18 2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题12 反比例函数与一次函数综合 ▌专题目标 1. 掌握反比例函数与一次函数交点、解析式的求法。 2. 会利用图象解不等式（比较两函数大小）。 3. 会求交点与坐标轴围成图形的面积。 4. 会用对称转化求线段最值。 5. 会处理特殊图形（等腰、直角）的存在性问题，提升综合应用能力。 ▌专题目录 题型01：求交点坐标与函数解析式 题型02：利用图象解不等式（比较大小） 题型03：交点与坐标轴围成图形的面积问题 题型04：线段最值（对称转化）问题 题型05：特殊图形（等腰、直角）的存在性问题 ▌题型01：求交点坐标与函数解析式 题型描述：题干给出双曲线与直线的交点信息（常含待定系数），求解析式与交点。核心得分点是交点同时满足两个解析式。 基础知识： 1. 交点代入y＝得k＝xy； 2. 直线用两点式（待定系数）求解析式； 3. 联立两式可求另一交点； 4. 双曲线两交点关于原点对称（直线过原点时）。 解题方法： 1. 代点求k：把已知交点代入双曲线求k； 2. 求直线：用两点求直线解析式； 3. 联立解：求全部交点； 4. 验坐标：代回两式检验。 解题思路： 口诀：k、线、联、验。k＝xy一步出；直线过原点时两交点必关于原点对称，可省联立。 1．（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）如图，直线 与双曲线 交于点 ，． (1)反比例函数解析式______，直线 解析式______； (2)若 时， 的取值范围______； (3)求 的面积． 【答案】(1)， (2) 或 (3) 【分析】（1）把代入求，再把，代入直线求，； （2）图象法，根据两函数图象的位置以及交点坐标直接作答； （3）用 轴分段和面积公式求 的面积． 【详解】（1）解：把代入得， ∴． 把代入得，，即． 把，代入，得， 解得， ∴． （2）解：由图象可知，当或时，双曲线在直线的下方，即． （3）解：设直线与轴交于点，连接、， 令得，即． ． 2．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，直线与双曲线交于点，，与轴交于点． (1)点的坐标为________； (2)直接写出方程的解是_______； (3)结合图像，直接写出不等式的解集是_______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将代入即可确定其与y轴交点的纵坐标，从而确定交点坐标； （2）方程的解是直线与双曲线交点的横坐标，据此即可解答； （3）根据函数图像写出反比例函数图像在一次函数上方对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴将代入可得：， ∴点C的坐标为． （2）解：∵直线与双曲线交于点，， ∴方程的解是直线与双曲线交于的横坐标，即． （3）解：不等式的解集是反比例函数图像在一次函数上方对应的自变量的取值范围，即或． 3．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，直线与双曲线交于、D两点，与坐标轴交于B、C两点， (1)求反比例函数解析式和点D坐标； (2)连接，求的面积； (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式为， (2)的面积是 (3)或 【分析】（1）先求出A点的坐标，即可得反比例函数的解析式，联立直线与反比例函数解析式，接方程组，可得D点坐标； （2）先求出C点的坐标，再根据，计算即可； （3）根据图象：当直线的图象在双曲线的图象上方或重合时，满足不等式的解集，即可得答案． 【详解】（1）解：把点代入，得：， ， 把点代入，得：， 解得， 反比例函数的解析式为， 联立直线与反比例函数解析式： 解得或， ， ； （2）解：在中，令，得， ， ， ，， ； （3）由图象可知，当直线的图象在双曲线的图象上方或重合时，满足不等式的解集， 不等式的解集：或． 4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别相交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求a和b的值； (2)结合图象，直接写出中x的取值范围； (3)在x轴上取点P，使取得最大值，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义，可得到反比例函数的解析式，即可求解； （2）直接观察函数函数图象，即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则，当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，且轴，的面积为4， ∴， ∴， 即反比例函数的解析式为， 把点和点代入得：， ∴； （2）解：由（1）得：点和点， 观察图象得：当或时，函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴中x的取值范围为或； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接，并延长交x轴于点P，则， 当且仅当点A， ，P，三点共线时，有最大值， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 此时点P的坐标为． ▌题型02：利用图象解不等式（比较大小） 题型描述：题干给出双曲线与直线的交点，解不等式＞kx＋b（或比较大小）。核心得分点是以交点和y轴分段，看图读区间。 基础知识： 1. 图象在上方的函数值大； 2. 交点横坐标与x＝0把数轴分成若干段； 3. 每段内两函数大小关系固定； 4. 解集写成区间的并集。 解题方法： 1. 求交点：求两交点横坐标； 2. 分段：交点与y轴把x轴分段； 3. 读图：判断各段谁在上方； 4. 写解集：按不等号方向写出范围。 解题思路： 口诀：交、段、图、集。双曲线题型分段别漏x＜0的部分；验证时每段取一个数代入最快。 5．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． (1)求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2)_，_； (3)满足不等式的x的取值范围是_； (4)为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值． 【答案】(1)； (2)2；； (3)； (4)或． 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数的解析式求解出a的值即可； （2）先由勾股定理求得的长度，结合可得点B的坐标，然后根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求解； （3）根据图象得到反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值范围即可； （4）先求得的面积，从而得到的面积，然后根据三角形面积公式可求得的长度，即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，，点B在y轴的负半轴， ∴， ∴， 根据题意，把、代入一次函数，得 ， 解得， （3）解：根据图象可知，当的图象在的图象的上方时，此时， ∴满足不等式的x的取值范围是； （4）解：∵，，点B在y轴的负半轴， ∴， ∴的面积， ∵为x轴上一点，且的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴m的值为或． 6．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点． (1)求的值； (2)若，根据图象直接写出当时的取值范围； (3)连接、，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点的坐标代入一次函数解析式，求得的值，再将求得的点坐标代入反比例函数解析式，即可求得的值； （2）联立一次函数和反比例函数，解得两个交点的横坐标，结合图象，可直接写出时的取值范围； （3）设直线与轴交于点，分别求出点，点的坐标，再由计算的面积． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， 将代入一次函数解析式得，， 点的坐标为， 又点同时在反比例函数的图象上， 将，代入反比例函数解析式得，， 解得． （2）解：联立一次函数和反比例函数的解析式，得到方程组， ， 整理得，， ， 解得，． 两个交点的横坐标分别是和，对应点的横坐标为． 观察图象，当一次函数的图象在反比例函数图象上方，即时， 对应的取值范围是点和点横坐标之间的区域，即． （3）解：如图，设直线与轴交于点． 在一次函数中，令，则， 点的坐标为，即． 当时，点的纵坐标为， 点的坐标为， 又点的坐标为， ． 7．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出反比例函数关系式，再将点代入关系式求出该点，然后将两个点的坐标代入一次函数关系式，求出解即可； （2）先确定一次函数和反比例函数的交点坐标，再根据双曲线在直线上方时自变量的取值范围即为不等式的解集． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为． ∵反比例函数经过点， ∴，则该点坐标为． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：不等式， ∴． 观察图象，可知当时或时，， 当或时，， 所以不等式的解集是或． 8．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究． (1)画函数图象： [问题1]函数的自变量的取值范围是_____； ①列表：如表． … … … … ②描点：点已描出，如图所示． ③连线：根据描出的点，就可以画出该函数的图象． (2)探究性质：结合画出的函数的图象，回答下列问题： [问题2]结合函数图象，请直接写出时的取值范围_____． [问题3]该函数的图象具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是_____；并说明此函数的图像关于点成中心对称； [问题4]已知直线，请探究直线与函数的图像的公共点的情况，并确定此时实数应满足的条件． 【答案】(1)问题1：； (2)问题2：或； 问题3：如图，函数的对称中心的坐标是， 证明：∵函数向右平移2个单位得，函数向上平移一个单位得， ∴函数向右平移2个单位，再向上平移1个单位得， ∵函数是中心对称图形，对称中心是，向右平移2个单位，再向上平移1个单位得， ∴函数的对称中心的坐标是； 【分析】（1）问题1：函数为分式形式，令分母不为零即可求出自变量取值范围． （2）问题2∶移项、通分化为分式不等式，转化为分子分母的符号问题，结合零点（注意分母）确定解集． 问题3：根据图像找出对称中心，根据的对称中心是，将看作向右平移2个单位、向上平移1个单位，对称中心随之平移，从而即可论证． 问题4：联立直线与函数解析式，去分母化为一元二次方程，用判别式讨论公共点个数，并检验是否产生增根． 【详解】（1）解：问题1：由得， ∴函数的自变量的取值范围是； （2）解：问题2：时的取值范围就是的图象上，处于的上方部分对应自变量的取值，如图，的图象上，处于的上方部分对应自变量的取值为或， ∴时的取值范围是或； 问题3：略 问题4：联立与得， ， ， ， ∴， 当时，， 解得， 如图， 当时，即或，直线与函数图像有两个公共点； 如图， 当时，即，直线与函数图像有一个公共点； 如图， 当时，即，直线与函数图像无公共点； ▌题型03：交点与坐标轴围成图形的面积问题 题型描述：题干给出双曲线与直线的交点，求交点与原点（坐标轴）围成的三角形面积。核心得分点是求交点坐标并选择底、高。 基础知识： 1. 三角形面积＝底×高÷2； 2. 与坐标轴有关的三角形：把坐标轴上的边作底，另一顶点坐标的绝对值作高； 3. |k|模型：双曲线上点的垂线三角形面积为； 4. 面积可拆分：以y轴（x轴）为界拆成两块。 解题方法： 1. 求交点：求出各顶点坐标； 2. 选底高：选坐标轴上的边作底； 3. 算面积：套公式或拆分计算； 4. 验正负：坐标取绝对值作高。 解题思路： 口诀：点、底、高、积。跨y轴的三角形“沿y轴劈两半”最好算；能套模型的优先套。 9．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点．若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图象交于点．当的面积为24时，所有满足条件的点的坐标为______________． 【答案】或 【分析】设点的横坐标为，根据轴表示出点的坐标，进而用含的代数式表示线段的长及的高，利用三角形面积公式建立关于的方程求解即可 【详解】解：设点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵的边上的高为点到直线的距离，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，整理得， 解得， 当时，整理得， ∵， ∴该方程无实数根， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，点的坐标为或． 10．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求的面积； (2)若为线段上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)的面积为 (2) 【分析】（1）先求解点，点坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式，设直线与轴的交点为， 根据列式计算即可； （2）根据，求得点的横坐标，再根据一次函数解析式可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，， ∴，， ∴，， ∵一次函数的图象过点、点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式， 如图，设直线与轴的交点为， 对于，令，得， ∴， ∴； （2）解：如图，∵， ∴， ∴， ∴， 即，解得， ∵为线段上一点， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图1，的边在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，延长线段交的图象于点，连接，，则的面积=___________． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先求出，再利用平行四边形的性质求出，最后用待定系数法即可得出结论； （2）联立方程组求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出的长度，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， 已知， 则． 又∵四边形是平行四边形， ， ， ． ∵反比例函数的图象经过点， ， 解得， 则反比例函数的表达式为． （2）解：设直线的解析式为． 将点代入，得，解得， 所以直线的解析式为． 联立直线与反比例函数解析式： ，解得（舍去）， 所以点的坐标． 设直线的解析式为， 将，代入，得： ，解得， 所以直线的解析式为． 令，得， 如图，直线与轴交于点， 所以， 所以， 则， 故的面积为6． 12．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，作轴，垂足为，． (1)求的值； (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①连接，．若，求点的坐标： ②在的延长线上存在一点，使为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)12 (2)①；②或. 【分析】（1）根据题意，易得，进而求出点坐标，待定系数法进行求解即可； （2）①先求出点坐标，进而求出四边形的面积，得到的面积，求出直线的解析式，过点作，交轴于点，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据平行面积转化以及三角形的面积公式进行求解即可；②分两种情况，构造一线三垂直全等模型，表示出点或点的坐标，代入解析式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵作轴，垂足为，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴当时，解得， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，；当时，， ∴，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 设，过点作，交轴于点， 则直线的解析式为，， ∴当时，， ∴， ∴， 解得或（舍去）； ∴； ②当为等腰直角三角形时，分两种情况： 当时，则，过点作轴，作于点，作于点，如图，设， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴； 当时，则，过点作轴，作，作，如图， 同理可得， ∴， 设，则， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴， 综上：或. ▌题型04：线段最值（对称转化）问题 题型描述：题干给出双曲线（或坐标轴）上一动点，求它到两定点距离之和的最小值。核心得分点是作对称点化折线为直线。 基础知识： 1. 和最小：作定点关于动点所在直线的对称点，连线段长即最小值； 2. 双曲线上动点常利用双曲线自身对称性； 3. 最小值为对称点与另一定点间的距离； 4. 距离公式。 解题方法： 1. 定直线：确定动点所在的直线（或曲线对称轴）； 2. 作对称：作定点关于它的对称点； 3. 求距离：最小值＝对称点与另定点距离； 4. 定动点：连线与原直线的交点即动点。 解题思路： 口诀：线、称、距、交。饮马模型在函数背景中同样适用；先问“动点在哪条线上”，对称轴就是它。 13．（2026·河北·三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质以及反比例函数可得，即、．再根据的面积为10列方程可求得，即；再利用轴对称和勾股定理求最值即可． 【详解】解：∵正方形的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴， ∴，． ∵的面积为10， ∴， 解得：， ∴． 如图：作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，的最小值为的长． ∴，， ∴． 14．（25-26九年级上·广西北海·阶段检测）如图，点都在双曲线上，点分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质求出，根据勾股定理求出，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质得到，，，，再利用两点之间线段最短的性质即可求出四边形周长的最小值． 【详解】解：代入点到，得； 代入点到，得； ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接， 则，，，， ∴，， ∴， ∴四边形周长， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q，使的值最小，此时最小值为_______． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2)不等式解集为或 (3) 【分析】（1）先将点代入反比例函数求，再代入点横坐标求，将A、B代入一次函数列方程组求a、b； （2）观察图像，找出一次函数图像在反比例函数图像下方对应的x取值范围； （3）先求M、C坐标，作关于轴的对称点，连接对称点与，线段长度即为最小值，用勾股定理计算长度． 【详解】（1）解：把代入， ，得， 反比例函数解析式为． 将代入，． ． 把代入， 两式相减：，， 代入得， 一次函数解析式为． （2）解：由图像可知，直线在双曲线下方的范围： 或， 不等式解集为或． （3）解：直线：， 令， ． 令，.得 ． 作关于轴对称点，连接交y轴于点Q,再连接. 由轴对称性质：， 两点之间线段最短，长为最小值． ， 即最小值为． 16．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为， (2) 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． ▌题型05：特殊图形（等腰、直角）的存在性问题 题型描述：题干问双曲线（直线）上是否存在点与两定点构成等腰（直角）三角形。核心得分点是设动点坐标，按类型分类列方程。 基础知识： 1. 等腰：按PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB分三类； 2. 直角：按直角顶点位置分三类，用勾股关系列方程； 3. 动点在双曲线上满足xy＝k； 4. 排除共线退化情形。 解题方法： 1. 设动点：设P(x, )或直线上的点； 2. 分类型：按等腰（直角）的分类标准分类； 3. 列方程：用距离平方（勾股）列方程； 4. 验存在：解出并检验范围与退化。 解题思路： 口诀：设、类、程、验。距离用平方避免根号；双曲线上的点用一个字母即可表示，方程即一元方程。 17．（2026·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，点是函数图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，，给出下面四个结论：①四边形有可能是菱形；②；③的面积为定值；④存在唯一的点，使得是直角三角形；上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】设，则，，，，，，再结合菱形的性质即可判断①；求出直线、的解析式，即可判断②；根据，计算即可判断③；分情况讨论并结合勾股定理即可判断④． 【详解】解：∵点是函数图象上的一个动点， ∴设， ∵过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 若四边形为菱形，则，即， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 此时，，， 故四边形不是菱形，故①说法错误，不符合题意； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴，故②正确； ，故③正确； ∵，， ∴，，， ∵， ∴或， 当时，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 当时，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）； 故存在两个满足条件的点，使得是直角三角形；故④错误； 综上所述，正确的有②③． 18．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集________ (3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) (3)存在， 【分析】（1）将代入中，求出，得到反比例函数的表达式，再求出点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）观察图象即可求解； （3）根据正方形的性质得到，，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点，设点，通过证明得到，，进而列出关于、的方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入，可得， 反比例函数的表达式为， 将代入，得， ， 将，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点， 关于的不等式的解集为， 故答案为：； （3）存在，理由如下： 四边形为正方形， ，， 是等腰直角三角形， 如图，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点， 则， ， ， ， ， 设点， ， ，，，， 在和中， ， ， ，， ， 解得， ． 19．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； (2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标； (3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)． (3)或或或． 【分析】（1）作垂线构造一线三垂直全等模型，利用正方形性质求出点坐标，代入求反比例函数解析式； （2）抓住平移特点：平移后纵坐标不变，求出横坐标，得到平移距离，再对点平移得到； （3）菱形存在性问题，以，，，四个点构成菱形，没有固定顺序，要分三类讨论哪两条线段作为菱形的边或对角线，结合两点距离公式求解． 【详解】（1）解：（1）作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． ， ； （2）解：由同理可得，点， 点恰好落在反比例函数的图象上， 当时，， ， ； （3）解：当时，如图， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 当点在第二象限时，， 当时，如图， 则点与关于轴对称， ， 当时，如图，设， 则， ， 解得， ， ， 综上：或或或． 【点睛】本题是正方形、反比例函数、平移、菱形存在性综合压轴题．正方形放在坐标系，出现直角，优先考虑一线三垂直全等求点坐标；左右平移只改变横坐标，纵坐标保持不变；菱形存在性问题，没有指明顶点顺序，必须分类讨论，分清是“边相等”还是“对角线互相垂直平分”，防止漏解． 20．（2026·山东济南·二模）如图1，一次函数与反比例函数 的图象相交于点， 两点，点C为线段中点，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如果一个矩形的长、宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．在平面内是否存在点（点P在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) (3)存在，点 、点 或点 、点 【分析】（1）利用一次函数与反比例函数的交点求出反比例函数表达式，将点代入反比例函数中，求出点的坐标，再利用点点待定系数法求出直线的解析式； （2）利用一次函数解析式求出点的坐标，再利用坐标的特点求出的面积，再利用三角形的中线平分三角形的面积求解； （3）过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点，构造一线三等角得到，利用相似比分类讨论，求得点的坐标，利用中点公式求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， 将点代入，解得， ∴反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 即点， 设直线的表达式为， 将点，点分别代入表达式，得， 解得， ∴直线的表达式为：． （2）解：连接， 令，则，解得，即点， 则， 点为线段中点， ， 则； （3）解：存在，理由如下： 由题意得，， ①当时， 如图，过点作x轴的平行线，分别过点作的垂线，垂足为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则，， 则且， 解方程组，得， 则点， ∵点，点， ∴线段中点的坐标为，即， ∵四边形为倍边矩形， ∴点是线段的中点， 由中点坐标公式得：点； 即点、点； ②当时，如图， 过点A、B作y轴的平行线，过点P作y轴的垂线交两直线于点M、N， 同理可证明， ∴， 设，， 则，， 则且， 解方程组，得， 则点， ∴点 综上，点、点或点、点． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交点坐标，观察图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象位于反比例函数图象上方部分位于点，之间， ∴当时，的取值范围是． 2．（2026·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，始终在反比例函数的图象上滑动，且斜边经过原点，与轴负半轴交于点．当的面积等于的面积时，点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式可证明，由反比例函数的对称性可推出，则是的中位线，据此可证明轴，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵的面积等于的面积，且， ∴， ∴； ∵斜边经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点A与点C关于原点对称， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，即轴， ∵在等腰直角三角形中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 4．（2026·北京·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得为等腰直角三角形； ④若直线与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（     ） A．①②③ B．②④ C．② D．①③④ 【答案】B 【分析】首先根据点 A 坐标求出反比例函数解析式，进而求出点 B 坐标和直线 解析式； 对于①，考虑直线 与双曲线相切或垂直于 x 轴的特殊情况； 对于②，计算 的面积，设点 C 坐标表示 的面积，列方程求解； 对于③，分为直角三种情况讨论，结合等腰三角形性质验证点 C 是否在 x 轴正半轴； 对于④，假设，利用中点公式求出点 D 和 C 的坐标，再验证 是否等于 ． 【详解】解： ∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， ∴， 即， 把和代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为； 对于①：当直线 与双曲线相切于点 A 时，联立方程组只有一组解， 设直线 为，把代入得： ， 即， ∴直线 为， 令 ， 整理得：， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 此时直线为， 令得 ， 解得：，点 在 x 轴正半轴，符合题意，故结论①错误； 对于②：设直线 交 x 轴于点E， 把代入得：， 解得：， ∴点 ， ， 设，则， , 令， 解得， ∵， ∴ 存在点 满足条件， 故结论②正确； 对于③：∵，， ∴， 设点C的坐标为， ， ， 当时，， ∴， 解得：， 此时， ∴，即，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意；故结论③错误； 对于④：若 ，则 D 为线段中点， 设，则， ∵点 D 在双曲线上， ∴， 解得 ， 此时 ，， ∴，， ∴， ∴不可能使得 成立，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是②④． 二、填空题 5．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，反比例函数与一次函数(k为常数)交于点和点． 则关于x的不等式的解集为________________． 【答案】或 【分析】根据函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数交于点和点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为和， ∵不等式表示反比例函数的图象在一次函数图象的上方， ∴观察图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 6．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图象上，则线段扫过的面积为_________． 【答案】 4 【分析】设点坐标，根据平移性质确定点纵坐标，结合反比例函数解析式求点横坐标，从而得出平移距离，利用平行四边形面积公式计算． 【详解】设点的坐标为 ． ∵线段沿轴向右平移至线段 ， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，为 ． ∵点落在反比例函数的图象上 ， ∴ ． ∴ ． ∴点的坐标为 ． ∴平移的距离为 ． ∴线段扫过的图形为平行四边形，其面积为． 7．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 【答案】 【分析】因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出． 【详解】解：连接， 取与轴的交点为，连接 此时 联立， 得，， 又因为点在第二象限， 所以，则的高即为 得， 8．（26-27九年级上·江苏南京·期中）设A，B，C，D是反比例函数图象上的四点，现有以下结论：①四边形可以是平行四边形；②四边形可以是菱形；③四边形可以是矩形；④四边形不可能是正方形．其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】利用反比例函数的对称性，结合特殊四边形的判定定理，通过反证法逐一判断每个结论即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点成中心对称， ∴过原点作任意两条直线，分别交图象于A和C，B和D，可得，， ∴四边形是平行四边形，故①正确． 假设四边形是菱形，则，对角线交点为原点，设，由， 根据勾股定理得， 代入坐标，得， 化简得，方程无实数解，因此不存在这样的菱形，故②错误． ∵反比例函数关于直线对称，可找到四个点满足， 例如，四个点都在函数图象上， 此时四边形是矩形， 因此四边形可以是矩形，故③正确． ∵正方形是特殊的菱形，已经证明四边形不可能是菱形， ∴四边形不可能是正方形，故④正确． 综上，正确结论为①③④． 三、解答题 9．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 10．（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点． (1)与的数量关系是　　　　　； A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合，求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得的值最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A (2)， (3)存在， 【分析】（1）将点，分别代入，即可求得m，n的数量关系； （2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证得，得到，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式； （3）作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点Q，则的最小值等于的长，由，，求出直线的解析式，即得． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得，． ∴． ∴． 故选：A． （2）解：①由（1）得：，， 设，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则． ∴． 由旋转知，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （3）解：存在，，理由如下： 如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于点Q， 则． ∴． ∴的最小值等于的长． 由（2）知，，， ∴． ∴． 设直线的解析式为， 则． 解得． ∴． 当时，． ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与几何重合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像及性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，是解决本题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $