专题15 反比例函数与一次函数&二次函数&几何综合（4种类型32道）2026-2027学年人教版九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（新人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数、二次函数、几何图形及动点问题的综合应用，4类32题构建递进式训练体系，强化函数与几何的转化能力，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与反比例函数综合|8题|交点坐标、面积计算、不等式解集|从函数表达式求解到图像关系分析，基础综合应用| |反比例函数与二次函数综合|8题|解析式确定、图像交点、存在性问题|函数性质融合，提升代数推理与模型意识| |反比例函数与几何综合|8题|特殊图形（菱形、矩形）与函数图像结合|几何性质与函数k值意义关联，强化数形结合| |动点几何与反比例函数综合|8题|动态面积、运动路径、函数关系构建|动态问题中变量关系分析，发展数学思维与应用意识|

专题15 反比例函数与一次函数&二次函数&几何综合 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 一次函数与反比例函数综合】 1 【类型2 反比例函数与二次函数综合】 14 【类型3 反比例函数与几何综合】 33 【类型4 动点几何与反比例函数综合】 50 【类型1 一次函数与反比例函数综合】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点，的坐标分别代入即可求得，的值，将点的坐标代入即可求得的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式． （2）分射线交轴于点和射线交轴于点两种情况进行讨论，结合，即可得到，两点的横（或纵）坐标关系，进而可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入， 得解得 一次函数的表达式为． 将点的坐标代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：分情况讨论： ①当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； ②当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)请直接写出不等式的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）不等式的几何含义是一次函数图象在反比例函数图象上方，找到两个图象交点的横坐标可直接写出的取值范围； （2）先把点代入反比例函数求出，然后算出点坐标，再将、两点代入，解出，； （3）求出一次函数与轴交点，把拆成和，以为公共底，分别算面积再相加． 【详解】（1）解：据图可知，当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上方， 故不等式的解集为或． （2）解：把代入， 可得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 把代入， 可得， 则点的坐标为， 把，代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为． （3）解：如图，连接、，直线与轴交于点， 对于直线， 当时，解得， 则点的坐标为，即， 故． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据勾股定理得到，可知反比例函数的解析式，进而求出，即可求出一次函数的解析式； （2）求出，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：∵轴，，， ∴， ∴， 将代入得， 解得：， 即， 将代入得：， 即， 将、代入得： ，解得：， ∴； （2）解：当时，解得， 即， ∴； （3）解：根据函数图象可知，当时，或． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，坐标为或 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． （2）∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，y1=－2x＋2 (2)3 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法即可确定反比例函数解析式，然后确定，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点A作交的延长线于点D，结合图形，求三角形面积即可； （3）结合图形得出当或时直线在双曲线的下方即可求解． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点， ∴， ∴， ∵直线的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）过点A作交的延长线于点D， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， 由函数图象可知，当或时直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)8 【分析】（1）把代入，求出，可得反比例函数表达式，把代入，可求出，，利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时，对应的的取值范围即可； （3）设与轴的交点为，根据的表达式求出，根据，结合、坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， 把和分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵，， ∴由图象可知，不等式的解集为或． （3）解：如图，设与轴的交点为， 由（1）得直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∵， ∴ ． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 或 (3)或． 【分析】（1）因为点A在一次函数上，所以将A点横坐标代入一次函数可求出n的值，得到A点完整坐标，再代入反比例函数即可求出k，得到反比例函数表达式． （2）先求出B点坐标，结合函数图象的上下位置关系，分、判断一次函数值大于反比例函数值的x范围． （3）先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，那么的面积可表示为与的面积的差，设P点坐标为，根据面积公式列方程求解即可得到P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上， ∴， 即． 把代入反比例函数， 得， 解得， ∴反比例函数表达式为． （2）解：将代入， 得， 解得， 即． ∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的范围． 结合两个函数的图象：反比例函数在和两个分支，两个交点横坐标为1和3， ∴满足条件的范围是或． （3）解：对：令，得， 即． 设点坐标为， 则轴上线段的长度为． ∵ ， 代入，，，得 ， 化简得， 解得或， ∴的坐标为或． 8．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数图像平移，得到函数中的值，再根据已知条件，得出点坐标，将点坐标代入反比例函数内，即可得到函数解析式． （2）根据为的中位线，得出，继而得出，两点坐标，通过，即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 将代入一次函数，得， ∴ ， 过点作轴于点，， ∴的横坐标为， 在上，代入，得， 点坐标为， 点B在反比例函数上， ∴将点B坐标代入得，， 则反比例函数表达式为； （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入，得， 点的坐标为 轴， ∴点的纵坐标为3， ∵交反比例函数的图象于点． ∴， ∴， 点的坐标为， ∴， ． 【类型2 反比例函数与二次函数综合】 9．已知二次函数的图象经过点，一次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，若直线与该二次函数的图象的另一个交点为，与反比例函数的图象只有一个交点，判断点纵坐标的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作直线平行于轴，交抛物线于点F，H（点在点左边），当点在直线下方抛物线上运动时，求的最大值． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． （1）设二次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）直线过点，求出直线，令，整理得，根据，求出．把代入直线解析式得，进而得出结论； （3）连接，令，求出，进而求出直线的解析式为，直线的解析式为，令，求出点的横坐标，即可求出，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为． 把点带入解析式，得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：点纵坐标的值为定值．理由如下： 直线过点， ，即直线． 直线与反比例函数的图象只有一个交点， 令，整理得， ， 方程的解为． 把代入直线解析式得， 点的坐标为，即点纵坐标的值为定值； （3）解：如图，连接． 令，解得， ． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 同理，直线的解析式为， ． 令，解得（舍）， 点的横坐标． 点的横坐标， ． ， 当时，取得最大值，最大值为． 10．如图，二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，过线段的中点D作轴，交反比例函数于点C，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)当时，求的长，并求直线与抛物线的对称轴之间的距离． (3)把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，用t表示图象E最低点的坐标． 【答案】(1) (2)，直线与抛物线的对称轴之间的距离为 (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，求反比例函数的解析式，求对称轴，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合点D是线段的中点，得，结合，故，即可作答． （2）把代入，得出，得，二次函数的对称轴为直线，再求出，即可作答． （3）先表示出，二次函数的对称轴为直线，，再结合把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，且，则当时，故，代入，得，当时，即，把代入，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵过线段的中点D作轴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点C在反比例函数于 ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，且， ∴， ∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B， ∴， ∴，二次函数的对称轴为直线， ∵过线段的中点D作轴， ∴， ∴， ∴， 则直线与抛物线的对称轴之间的距离为1； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，且， ∴， 此时二次函数的对称轴为直线， ∵过线段的中点D作轴， ∴， ∴， ∵把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，且， 当时，即，故， 把代入， 得， ∴． 当时，即， 把代入， 得， ∴． 综上：当时，；当时，； 11．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的两倍，则称该点为“硬核点”；二次函数的图象的顶点和反比例函数图象上的“硬核点”关于轴对称，且二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的函数解析式； (2)过点作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到直线的距离为，求的取值范围； (3)过点的直线交二次函数图象于另一点，点在二次函数的图象上且其横坐标为，点在直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，以为邻边作平行四边形， ①当时．点（包括点）右侧部分二次函数的图象的最低点的纵坐标为，求的值； ②当点在第一象限时，平行四边形的面积为3时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)① ②或 【分析】（1）根据硬核点的定义将点设出来，代入反比例函数中求出点的坐标，再根据对称性求出二次函数顶点的坐标，利用二次函数顶点式求解； （2）利用抛物线上有4个点到直线的距离相等，则距离应在顶点到直线之间且不包含端点求解即可； （3）①根据二次函数的增减性求解即可； ②根据点所在的位置，将点表示出来，因为点在第一象限，求出的取值范围，再利用平行四边形的面积求解． 【详解】（1）解：根据硬核点的定义，设点的坐标点为， 将点代入中， ∴，解得， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为， 又∵点与点关于轴对称， ∴二次函数顶点的坐标为， 设二次函数解析式为，将点代入解析式中， 得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵平行于轴的直线过点，且点的坐标为， ∴直线的解析式为， 二次函数顶点距离直线的距离为， 当时，在直线上方，二次函数图像上有个点到直线的距离为， 在直线下方，二次函数图像上有个或者个点到直线距离为，不符合题意， ∴， ∵抛物线上的点到直线的距离， ∴， 又∵当时，二次函数图像上有个点到直线的距离为，不符合题意； ∴综上所述，的取值范围为； （3）解：①∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的对称轴为， ∵当时，在顶点处取得最小值，此时， 又点（包括点）右侧部分二次函数的图象的最低点的纵坐标为， ∴，解得，不符合题意； 当时，在点处取得最小值， ∴，解得， ∵， ∴； ②∵点在直线上，且点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点在二次函数图像上，且横坐标为， ∴点的坐标为， ∵点的横坐标相等， ∴轴， 又∵以为邻边作平行四边形， ∴轴， ∴点的横坐标为； 令，则，解得， ∵点在第一象限， ∴， 当抛物线在直线的下方时，， 过点作交于点，此时点 ， ∴，解得或， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ， 当抛物线在直线的上方时，， 如图所示，过点作交于点， , 此时点的坐标为， ， ∴，解得， ∵， ∴， 则点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 12．我们规定：若一次函数的图象与二次函数或反比例函数的图象有且只有一个公共点，则称这个一次函数是该函数的“亲密函数”，这个一次函数的图象称为该函数图象的“亲密线”，这个公共点叫作“亲密点”，根据以上定义，请回答下列问题： (1)判断直线是否为抛物线的“亲密线”？如果是，请求出“亲密点”；如果不是，请说明理由． (2)如图1，点是双曲线上在第一象限内的任意一点，过点作该双曲线的“亲密线”，且直线与轴、轴分别交于，两点，求的面积． (3)如图2，点，是抛物线上的两点，过点，分别作该抛物线的“亲密线”，，与相交于． ①若，求的值； ②连接交抛物线对称轴于点，设点的纵坐标为，求与的数量关系． 【答案】(1)直线是抛物线的亲密线，亲密点为． (2) (3)①；② 【分析】（1）联立函数表达式，求解交点坐标即可判断是否为“亲密线”，得出“亲密点”； （2）设直线为，由交点问题得出方程，转成一元二次方程后由得出与的关系，再计算出面积表达式，代入求解即可； （3）①由交点假设出与的函数表达式，由“亲密线”概念得出、的表达式，结合方程的概念以及韦达定理得出，再代入求解即可；②设直线，故得方程，由韦达定理得，，结合①中，得，把，代入，化简后得方程，把，，代入方程，可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：联立，得， ∴， 方程有两个相等解为， ∴直线是抛物线的“亲密线”，“亲密点”为． （2）解：可设直线为， 变形为， 由题知，， 即， 直线分别与轴、轴交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：①设，， 令， 得方程， ∵，，， 由“亲密线”可知：， 即， ∴方程的解，（ⅰ） 同理可得：， 且，（ⅱ） 由（ⅰ）（ⅱ）知，是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 当时，； ②由抛物线知， 设直线， 令， 即， 由韦达定理得，， 又知， ∴， 即， 把，代入， 得， 即， 把，，代入上式中， 得， 整理可得：． 13．如图，二次函数的顶点坐标为，与轴交于，与反比例函数的图象交点横坐标为． (1)求二次函数和反比例函数解析式； (2)根据图象：直接写出的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将点代入计算即可求解出二次函数的解析式，设反比例函数的解析式为，再求出二次函数与反比例函数的图象交点坐标，代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据二次函数与反比例函数的图象交点坐标，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将点代入，则， 解得， ∴二次函数的解析式为； 设反比例函数的解析式为， ∵二次函数与反比例函数的图象交点横坐标为， 将代入，则， ∴二次函数与反比例函数的图象交点的坐标为， 将代入，则， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由（1）知二次函数与反比例函数的图象交点的坐标为， 当或时，反比例函数图象在二次函数图象上方， ∴的解集为或． 14．如图，点为二次函数图象上一点，反比例函数的图象一支在第一象限内，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中作出二次函数图象的对称轴； (2)在图2中反比例函数的图象上找到点． 【答案】(1)如图，直线即为对称轴； (2)如图，作直线与反比例函数的交点即为． 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，已知抛物线上对称的两点求对称轴，由反比例函数图象的对称性求点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先求出抛物线与y轴的交点坐标，再说明M与C关于对称轴对称，从而可连接、交于点E，则点E在对称轴上，作直线、交于点D，则点D在对称轴上，根据两点确定一条直线，得出对称轴，即作直线为对称轴； （2）先求出点关于原点的对称点，再根据点在抛物线的对称轴上，作出． 【详解】（1）解：∵点为二次函数图象上一点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 二次函数， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为， ∵点与点的纵坐标相同， ∴这两点关于对称轴对称， ∴对称轴为直线， 连接、交于点E，则点E在对称轴上， 作直线、交于点D，则点D在对称轴上， 作直线即为对称轴； （2）解：点关于原点的对称点为， 点在抛物线的对称轴上， 而即为与对称轴的交点， 作直线与反比例函数的交点即为． 15．如图，已知反比例函数的图象与二次函数的图象交于A、B、C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)请求出k、b、c的值； (2)结合图象，请直接写出不等式的解集是______； (3)点D是抛物线段上的一点，连接、、、、，当时，请求出此时D点的横坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)1或2 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，把点B的坐标，点C的坐标代入二次函数解析式，求出b、c的值即可； （2）根据函数图象直接得出不等式的解集即可； （3）过点D作轴，交于点E，设交y轴于点F，求出直线的解析式为，得出，设点D的坐标为，则点E的坐标为，求出，得出，根据，得出，解方程即可． 【详解】（1）解：把代入得：，解得：； 把点，点代入得： ， 解得：； （2）解：根据函数图象可得：当或时，反比例函数图象在二次函数上面， ∴不等式的解集是或； （3）解：过点D作轴，交于点E，设交y轴于点F，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：抛物线的解析式为， 设点D的坐标为，则点E的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求一次函数解析式，求二次函数解析式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 16．如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）利用函数的性质结合图象即可求解． （3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点， ∴，， 解得，， ∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 由图象知，当随的增大而增大，且时， （3）∵当时，， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∵与的面积相等， ∴， 即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当时，， ∴． 【类型3 反比例函数与几何综合】 17．如图1，矩形的顶点、分别落在轴、轴的正半轴上，点，反比例函数的图象与、分别交于、两点，． (1)求反比例函数关系式和点的坐标； (2)如图2，将直线沿轴向下平移且过点，交轴于点，交双曲线于点，为线段上任意一点，过点作与轴平行的直线交双曲线于点，试探索三角形的面积是否存在最大值？如果有，请求出最大值，如果无，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数关系式为，点的坐标为 (2)三角形的面积存在最大值，最大值为 【分析】（1）根据矩形的性质先求出点的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出直线的解析式，设点的坐标，表示出点的坐标，进而表示出，推出，由此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点， ，点的纵坐标为， ， ， 点的坐标为， 反比例函数经过点， ， ， 反比例函数关系式为， 令，得， 点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 四边形是矩形，点， ， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， ， 当时，有最大值， 即三角形的面积存在最大值，最大值为． 18．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意分别确定点，点的坐标，用待定系数法即可求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点P作x轴的平行线交于Q，先确定直线的关系式，设，则，分别求出和的面积，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：，， 在中，，， 把代入，得， ， 一次函数的解析式为． 四边形是菱形， ． 轴， ， 把代入反比例函数， 得， 反比例函数的解析式为； （2）解：将联立，解得或， ． 过点P作x轴的平行线交于Q， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为， 设，则， ， ， 由题意， ， 解得， 点P为线段上的一个动点， ， 不合题意（舍去）， ， ． 19．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)不存在，理由如下： 设，即， ∵点E是线段上一动点，点F是线段上一动点， ∴， 在中，， ∴， ∴的周长，的面积， ∵直线将的周长和面积同时平分， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，此时，不符合题意， ∴不存在这样的直线． 【分析】（1）过点D作轴于点G，则，证明，可得，即可得到点D的坐标，即可求解； （2）过点C作轴于点F，交双曲线于点P，则，证明，可得，从而得到点C、P的坐标，即可求解； （3）设，即，其中， 根据直线将的周长和面积同时平分，可得，，从而得到，可求出m，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点G，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点代入中得：， 即， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图，过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点P的纵坐标为7， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴， 即将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； （3）略 20．利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】(1)解：，理由如下， ，， ，， ， ，，， ，即和是直角三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则； (2)证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点， 设，，则，， 设直线的解析式为， ，解得， ， 当时，， 即点在直线上， 轴，轴，轴，轴，轴轴 ， 四边形是矩形， 对角线，相等且互相平分， ， ， 轴， ， ， ，即， ， ， ， 则； (3)解：如图，点，即为线段的三等分点； 过点作轴的垂线，交函数（，）的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上截取，点，即为线段的三等分点． 点，在函数（，）的图象上， ，， ， ， ， ， ， 则点，为线段的三等分点． 【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得和是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得，最后利用角之间的关系和等量代换，易得，，从而，，进而可得，； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点，设，，则，，求直线的解析式，可证点在直线上，再证四边形是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证，，，，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作轴，交函数的图象于点，作矩形，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，作矩形，根据反比例函数的几何意义，即可得到，在轴上截取，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2)17 【分析】（1）利用待定系数法，逐一求解即可； （2）根据，解答即可； 【详解】（1）解：反比例函数（）经过点， ， 解得， 故反比例函数的解析式为； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为， 当时，， 故点B的坐标为； （2）解：点在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， ， 解得， ， ， ． 23．如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据中点坐标公式先求出点D的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点的坐标为，从而得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：点D是菱形的对角线的交点， ∴点D是的中点， ∵点，点， 点D的坐标为：，即， 将点代入反比例函数中得， 解得：； ； （2）解：四边形是菱形， ，， ． 点的纵坐标为4， 当时，， ， 点的坐标为， ， ． 24．如图，四边形是平行四边形，，，，点在轴上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点作轴于点．证明，根据全等三角形的性质可得，进而求得的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据已知可得为的中点，则坐标为．待定系数法求得直线的表达式为，可得直线经过坐标原点，进而根据正比例函函数与反比例函数图象的性质即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点． ∵四边形为平行四边形， ，， ， 又∵， ． ， ． ， ∴反比例函数的表达式为． （2）的面积等于的面积的， 为的中点， 的坐标为． 设直线的表达式为， 则， 解得 ∴直线的表达式为，即直线经过坐标原点， 又∵， ∴由中心对称可得． 【类型4 动点几何与反比例函数综合】 25．如图，在等腰中，，，过点B作底边的垂线，垂足记为点H．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线方向运动；动点Q与动点P同时出发，以每秒个单位长度的速度从点B运动到点H．连接，设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)函数图象如图： 性质：当时，随着的增大而减小； (3) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质求出，则，那么，，当时，，即可求解，当时，，则，由，可得，则，即可求解；而，则； （2）通过描点，连线即可作图函数图象，再从增减性写出一条性质即可； （3）出时x的取值范围即为函数的图象在函数的图象上方时，对应交点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵，，过点B作底边的垂线， ∴， ∴， ∴，， 当时， ∵ ∴； 当时，如图，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 综上：； ∵ ∴， ∴ （2）解：函数图象见答案；性质见答案； （3）解：由函数图象可得，时，． 26．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，动点从点出发，按的顺序运动（不含点、），点在射线上运动（不含点），点、同时开始运动，当点停止运动，点同时停止运动．设点的运动路程为，，连接，，设的面积为，的面积为． (1)分别求出，与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时，的取值范围为________．（结果保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)，与之间的函数关系式分别为：， (2)如图所示为和的函数图象： 函数性质：的最大值为（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）根据菱形性质、勾股定理求出，由点的运动路程为，，分两种情况得到与的关系：点在上时、点在上时；求出的边上的高后即可求得与的关系； （2）利用描点法作出两函数图象后写出函数的一条性质即可； （3）结合函数图象，利用函数关系式求出第一象限中两函数的交点即可得到时的取值范围． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，，， ， 点的运动路程为，， 当点在上时，，的面积为， 当点在上时，， 的面积为， 与之间的函数关系式为， 设的边上的高为， ， ， 的面积为， 综上所述：，与之间的函数关系式为，． （2）解：取点，，画出函数的图象，取点，，，画出函数的图象； 由图象可知：函数的一条性质为的最大值为， （3）解：当或， 解得或， 由图象可知：或， 当时，即或 27．如图，在直角梯形中，，，，，，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．连接，，，设点的运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)，（） (2)的最大值为4 (3) 【分析】（1）根据运动的特点有：，且，根据的面积为，的面积为，即可计算；当点P在线段上时，不含端点B，即，根据运动特点有：，的面积为；当点P在线段上时，不含端点D，即，根据运动特点有：的面积为，问题得解； （2）先计算出特殊点坐标，再根据数据描点，作图； （3）不等式的解集为：函数图象中，的图象在的图象的上方时自变量的取值范围，根据图象估值即可作答． 【详解】（1）解：根据运动的特点有：，且， ∵在直角梯形中，，， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∴（）， 当点P在线段上时，不含端点B，即， 根据运动特点有：， ∴的面积为； 当点P在线段上时，不含端点D，即， 根据运动特点有：， ∴， ∴， ∴的面积为； 综上：，（）； （2）对于， 当时，， 当时，， 当时，； 对于（）， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 根据上述的数据，描点画图即可，函数图象见答案 性质：函数的最大值为4； （3）不等式的解集为：函数图象中，的图象在的图象的上方时自变量的取值范围， 结合图象，的解集为：． 精确计算如下： 令， 即有：，或， 解得：（负值舍去），或者（，不符合区间范围舍去）， ∴． 28．如图，在中，，点是的中点，且，，动点以每秒个单位长度的速度沿方向运动．连接，，设运动时间为秒（），的面积记为，的面积与点运动的路程的比值记为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】(1)； (2)画出函数，的图象如图所示；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； (3) 【分析】（1）由勾股定理可得的长，分两种情况讨论：当点在上时，过点作于，根据等面积法求出的长，再由三角形面积公式列式即可；当点在上时，直接根据三角形面积公式列式即可； （2）根据所求函数表达式画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，再根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时对应自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：点是的中点，， ， 在中，，，， ， 当点在上时，过点作于，如图所示， ，即， ， ， 当点在上时，如图所示， 则； ； ， ； （2）略 （3）解：联立， 整理得， 此时， 原方程无解； 联立， 整理得，即， 解得（舍去）或； 由函数图象可知，当时，． 29．在中，，，，是边上的中线，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，分别写出函数、的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)如图所示： 的性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 的性质：当时，随x的增大而减小； (3)当时的取值范围为． 【分析】（1）先由勾股定理得，中线平分面积，当时，点E在上运动，，求出的面积，当时，点E在上运动， ，用表示，由此求得的函数解析式，对于，先求出的斜边上的高，再利用面积比化简即可求得函数解析式； （2）根据分段函数、反比例函数分别描点画图，再结合函数单调性、极值等性质解答即可； （3）直接利用图象法结合函数图象趋势确定x的范围即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 是边上的中线， ， ， 当时，点E在上运动，此时， 如图，连接 ，取中点为G，连接， ，是边上的中线， 是的中位线， ，， ， 当时，点E在上运动，此时 ， ， 取中点为H，连接，， ，是边上的中线， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 点F在上运动，，过点C作于点M， 则， ， ， 综上，的函数关系式为， 的函数关系式为． （2）略 （3）由图可知，当时，的图象在图象的上方， 即， 则当时的取值范围为． 30．如图1，在三角形中，，，．动点P从点A出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点B时停止．同时，点Q从点A出发以每秒个单位长度的速度，沿线段方向运动，其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动． 设点 P、Q 的运动时间为x秒()，的面积为，的面积与的面积比值为． (1)请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）． 【答案】(1)； (2) 函数的一条性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； (3)或 【分析】本题考查动点问题的函数图象、勾股定理、反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出长，分情况讨论点P的位置，当点P在上或点P在上时，求出的面积，设点C到的距离为，利用求解即可； （2）根据（1）中的、关于x的函数表达式，描点画出函数图象，根据函数的图象得出一条性质即可； （3）根据（2）中图象，求出、的交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， 当点P在上，即时，，则， 当点P在上，即时，，则， 综上所述，， 设点C到的距离为， ； （2）略 （3）解：当时，， 即， 解得：或（舍去）， 当时，， 即， 解得：或（舍去）， 综上所述，时x的取值范围为或． 31．在矩形中，，，点为的中点，动点以每秒1个单位的速度从点沿折线运动，同时动点以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为秒，的面积为，的面积与点的运动路程之比为． (1)请直接写出、分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2) 函数的最大值为6 (3) 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、矩形的性质等知识． （1）先求出，先确定当点P移动至点B时，点Q的位置，分类讨论：当时，画出图形，即可求解；当时，根据，即可求解；根据运动特点，可知点的运动路程为，的面积与点的运动路程之比可求解； （2）根据（1）中的函数关系式画出函数图象，再根据函数图象总结性质即可； （3）数形结合即可作答． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，点为的中点， ∴，， 当点P移动至点B时，运动时间为：秒，此时点Q运动的距离为：， 即此时点Q刚好运动至点D， 当时，如图， 根据运动的特点可知：， ∴的面积为， 当时，如图， 根据运动的特点可知：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的面积为， 即， 综上：， 根据运动特点，可知点的运动路程为， ∵， ∴的面积与点的运动路程之比； （2）解：画函数图略； 根据函数图象可知：当时，有最大值，最大值为； （3）解：如图， 结合图象可知：当时，． 精确计算如下： 结合图象有：在时，， 当时，令：， 即， 解得：， ∴当时，． 32．如图，在中，边的长为，边的长为，边的中点为，连接．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．同时，点从点出发，沿着射线的方向以每秒个单位的速度运动，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为秒（），记，． (1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，关于的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)图象见解析；函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． (3) 【分析】（1）先由勾股定理求解，然后求出的面积，根据点为边的中点， 得到，，对于，分两种情况，结合共高三角形面积比等于底之比求解；对于同理求解即可； （2）描点作图即可，可从函数的增减性进行分析； （3）先求出两个函数图象的交点坐标，再根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，边的长为，边的长为 ∴， ∵点为边的中点， ∴， 当时，如图： ∴ ∴ ∴； 当时，如图： 此时， ∵ ∴ ∴ ∴； 由题意得， ∴， ∴； （2）解：函数图象如图： 函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：联立与得，，解得或（舍）； 联立与得，，解得，（舍去） 再结合函数图象可得，当时，． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 反比例函数与一次函数&二次函数&几何综合 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 一次函数与反比例函数综合】 1 【类型2 反比例函数与二次函数综合】 4 【类型3 反比例函数与几何综合】 8 【类型4 动点几何与反比例函数综合】 11 【类型1 一次函数与反比例函数综合】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)请直接写出不等式的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出满足的的取值范围． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 8．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【类型2 反比例函数与二次函数综合】 9．已知二次函数的图象经过点，一次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，若直线与该二次函数的图象的另一个交点为，与反比例函数的图象只有一个交点，判断点纵坐标的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作直线平行于轴，交抛物线于点F，H（点在点左边），当点在直线下方抛物线上运动时，求的最大值． 10．如图，二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，过线段的中点D作轴，交反比例函数于点C，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)当时，求的长，并求直线与抛物线的对称轴之间的距离． (3)把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，用t表示图象E最低点的坐标． 11．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的两倍，则称该点为“硬核点”；二次函数的图象的顶点和反比例函数图象上的“硬核点”关于轴对称，且二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的函数解析式； (2)过点作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到直线的距离为，求的取值范围； (3)过点的直线交二次函数图象于另一点，点在二次函数的图象上且其横坐标为，点在直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，以为邻边作平行四边形， ①当时．点（包括点）右侧部分二次函数的图象的最低点的纵坐标为，求的值； ②当点在第一象限时，平行四边形的面积为3时，直接写出点的坐标． 12．我们规定：若一次函数的图象与二次函数或反比例函数的图象有且只有一个公共点，则称这个一次函数是该函数的“亲密函数”，这个一次函数的图象称为该函数图象的“亲密线”，这个公共点叫作“亲密点”，根据以上定义，请回答下列问题： (1)判断直线是否为抛物线的“亲密线”？如果是，请求出“亲密点”；如果不是，请说明理由． (2)如图1，点是双曲线上在第一象限内的任意一点，过点作该双曲线的“亲密线”，且直线与轴、轴分别交于，两点，求的面积． (3)如图2，点，是抛物线上的两点，过点，分别作该抛物线的“亲密线”，，与相交于． ①若，求的值； ②连接交抛物线对称轴于点，设点的纵坐标为，求与的数量关系． 13．如图，二次函数的顶点坐标为，与轴交于，与反比例函数的图象交点横坐标为． (1)求二次函数和反比例函数解析式； (2)根据图象：直接写出的解集． 14．如图，点为二次函数图象上一点，反比例函数的图象一支在第一象限内，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中作出二次函数图象的对称轴； (2)在图2中反比例函数的图象上找到点． 15．如图，已知反比例函数的图象与二次函数的图象交于A、B、C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)请求出k、b、c的值； (2)结合图象，请直接写出不等式的解集是______； (3)点D是抛物线段上的一点，连接、、、、，当时，请求出此时D点的横坐标． 16．如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【类型3 反比例函数与几何综合】 17．如图1，矩形的顶点、分别落在轴、轴的正半轴上，点，反比例函数的图象与、分别交于、两点，． (1)求反比例函数关系式和点的坐标； (2)如图2，将直线沿轴向下平移且过点，交轴于点，交双曲线于点，为线段上任意一点，过点作与轴平行的直线交双曲线于点，试探索三角形的面积是否存在最大值？如果有，请求出最大值，如果无，请说明理由． 18．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 20．利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 21．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 23．如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积． 24．如图，四边形是平行四边形，，，，点在轴上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 【类型4 动点几何与反比例函数综合】 25．如图，在等腰中，，，过点B作底边的垂线，垂足记为点H．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线方向运动；动点Q与动点P同时出发，以每秒个单位长度的速度从点B运动到点H．连接，设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 26．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，动点从点出发，按的顺序运动（不含点、），点在射线上运动（不含点），点、同时开始运动，当点停止运动，点同时停止运动．设点的运动路程为，，连接，，设的面积为，的面积为． (1)分别求出，与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时，的取值范围为________．（结果保留一位小数，误差不超过） 27．如图，在直角梯形中，，，，，，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．连接，，，设点的运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 28．如图，在中，，点是的中点，且，，动点以每秒个单位长度的速度沿方向运动．连接，，设运动时间为秒（），的面积记为，的面积与点运动的路程的比值记为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 29．在中，，，，是边上的中线，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，分别写出函数、的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 30．如图1，在三角形中，，，．动点P从点A出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点B时停止．同时，点Q从点A出发以每秒个单位长度的速度，沿线段方向运动，其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动． 设点 P、Q 的运动时间为x秒()，的面积为，的面积与的面积比值为． (1)请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）． 31．在矩形中，，，点为的中点，动点以每秒1个单位的速度从点沿折线运动，同时动点以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为秒，的面积为，的面积与点的运动路程之比为． (1)请直接写出、分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 32．如图，在中，边的长为，边的长为，边的中点为，连接．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．同时，点从点出发，沿着射线的方向以每秒个单位的速度运动，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为秒（），记，． (1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，关于的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $