专题09 二次函数的实际应用 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题09二次函数的实际应用 专题目标 会从实际情境中抽象出二次函数模型。 2. 会解决销售利润、图形面积的最值问题。 3. 会建立坐标系解决抛物线形建筑问题。 会处理体育运动中的抛物线问题。 会处理分段函数与方案选择问题，发展模型观念与应用意识。 专题目录 题型01：销售利润的最值问题 题型02：图形面积的最值问题（围栏、场地） 题型03：抛物线形建筑问题（拱桥、隧道） 题型04：体育运动中的抛物线问题（投篮、喷泉） 题型05：分段函数与方案选择问题 题型01：销售利润的最值问题 题型描述：题干给出商品的进价、原售价、销量及“每涨（降）x元销量减少（增加）y 件”的联动关系，求最大利润。核心得分点是表示出“单件利润×销量”的二次函数。 基础知识： 1/19 总利润=（售价一进价）×销量： 涨价x元：新销量=原销量一单位涨价×x: 自变量范围：销量非负、涨价非负： 顶点处取最大利润。 解题方法： 设x:设涨价（或降价）x元： 表两量：表示单件利润与销量： 建函数：写出利润函数并配方； 验范围：顶点在范围内取顶点，否则取端点。 解题思路： 口诀：设、件、积、顶。利润=单件利润×件数；x取整数时比较顶点附近的整数值。 1.(26-27九年级上河北沧州阶段检测)某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出 212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）·设每件 商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元. (1)当售价为55元时，月销售利润是 一元： (2)求y关于x的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利 润是多少？ (3)每件商品的售价定为时，每个月的利润为3360元. 2.(25-26九年级上·云南德宏·期末)云南的德昂族酸茶非常独特且极具代表性，它已在2022年作为“中 国传统制茶技艺及其相关习俗”的重要组成部分被列入人类非物质文化遗产.某商家利用网络平台 “直播带货”，销售一批成本为每件30元的德昂酸茶，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为 提高利润，欲对该德昂酸茶进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低 于成本价，且不高于60元销售. (1)求该德昂酸茶每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值 范围； (②)销售单价x定为多少元时，才能使商家销售该德昂酸茶每天获得的利润w(元)最大，最大利润是 多少元？ 3.(26-27九年级上·江西赣州阶段检测)某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元. 为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可 多售出2双. 2/19 ()当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ (2)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 4.(26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测)某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为x元 件时，月销售量为'件，且y与x之间满足一次函数关系，其图象如图所示.己知该产品的成本为30 元/件. y(件) 60 50 40 (30,40) 30 (40,30) 20 0 0 10 20 30 40 5060x(元) (1)求y与x之间的函数关系式： (2)设月销售利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大 利润是多少元： (3)若物价部门规定该产品售价不得高于50元/件，且商店要求月销售利润不低于300元，求售价x的取 值范围。 题型02：图形面积的最值问题（围栏、场地） 题型描述：题干给出用定长围栏围矩形场地（一边靠墙或不靠墙），求最大面积。核心得 分点是用一个变量表示长、宽并写出面积函数。 基础知识： 不靠墙：长十宽×2或2（长十宽）=围栏长（按围的边数）： 靠墙：围栏只围三边，长十2宽=围栏长； 面积=长×宽，为二次函数： 边长须为正数。 解题方法： 设一边：设垂直于墙（或一边）为x: 表另边：用围栏长表示另一边： 3/19 写面积：S=x×另一边： 求最值：配方求最大值并验边长为正。 解题思路： 口诀：边、另、积、顶。先数“围几边”再写周长关系；有墙一边不算围栏是最常见陷 阱。 5.(25-26九年级上云南德宏期末)小亮爸爸想用长为100米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈 的一边靠墙，另外三边用栅栏围成.设矩形与墙垂直的一边长为x米，面积为》平方米，则y与x的函 数关系式是() A.y=100x B.y=100-2x C.y=100 D.y=x(100-2x) 6.(26-27九年级上安徽蚌埠·阶段检测)为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地，为充 分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为8）；另外三面用栅栏围成.已知栅栏的总长 度为18m,设矩形场地中垂直于墙的一边长为xm(如图).矩形种植场地的面积最大值是 8m 7。(26-27九年级上湖北襄阳：阶段检测)如图所示，二次函数'=-m+4m的顶点坐标为 (0,2 ,矩形 ABCD的顶点B,C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A 在点D的左侧. 2 4/19 (1)求二次函数的解析式： (2)设点A的坐标为 x,y) 试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取 值范围； (3)是否存在这样的矩形ABCD,使它的周长为9？若存在，求出点A的坐标：若不存在，说明理由. 8.(26-27九年级上·安徽合肥阶段检测)综合与实践 项目主题：校园“碳中和”生态探究园规划 为落实“双碳”目标，合肥某中学劳动实践小组计划依托校园一面长38m的旧围 项目 墙，利用环保竹篱笆搭建矩形生态探究园.园区内设置一条宽2m的生态观察步道 背 (步道属于园区整体的一部分)；步道中间用篱笆进行分隔，把整个园区分成形 景： 状、大小完全相同的两个实验区，用来开展植物固碳相关探究实验， 竹篱笆总长度为82m,设平行于围墙的篱笆AB,EF的长度为x米，垂直于围墙的 测量 篱笆ACHF的长度为y米，园区的总面积为S平方米。 数 D H 据： BE (①)任务一：建立函数模型根据上面测量得到的数据，请写出y与x,S与x之间的函数解析式： (②)任务二：方案优化实践小组希望园区的总面积尽可能大，请你帮忙设计搭建方案，并求出园区的最 大面积： (3)任务三：植物采购规划在园区面积取到最大值的条件下，小组准备在园区内种植绣球花和红叶石楠 两种植物：每平方米可以种植绣球花2株，或者红叶石楠1株，整个园区的种植面积要充分利用.已知 绣球花每株售价30元，红叶石楠每株售价20元.采购总费用不能超过1.5万元；同时为了景观观赏性， 绣球花的种植面积至少要有165平方米.试求绣球花最多可以购进多少株？ 题型03：抛物线形建筑问题（拱桥。隧道） 题型描述：题干给出拱桥、隧道等抛物线形建筑，建立坐标系求解析式，并解决通行高 度、宽度问题。核心得分点是合理建立坐标系并用待定系数求解析式。 基础知识： 建系：常以顶点或水面中点为原点； 5/19 顶点式y=2十h最常用： “船能否通过”：把船宽对应的x代入求高度，与船高比较： 已知点坐标代入求a。 解题方法： 建系：选对称轴为y轴建立坐标系： 求式：用顶点式与己知点求解析式； 代条件：把宽度（高度）条件代入求另一量： 比结论：与限制值比较作答。 解题思路： 口诀：系、式、代、比。建系优先“顶点在y轴上”，解析式最简单；能过不能过，比的 是“同宽处的高度”。 9.(26-27九年级上广东东莞·阶段检测)综合与实践： 【生活情境】某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、 大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为30m,顶点距水面10m,小孔顶点距水面7m 10m 30m 图1 图2 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的 函数表达式. 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度.（结 果保留根号) 10.(26-27九年级上·江苏南通阶段检测)如图①是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚 顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为4 米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A和点B的水平距离为6米， 6/19 B 图① (I)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式： 2)一辆观光车需要充电，如图②，己知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5 米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； o 图② 3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架.如图③所示，钢架分两段，其中一 段连接点A与点B,然后在棚顶上某处取点C,在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD.求出 第二段钢架CD长度的最大值. B D 图③ 11.(26-27九年级上湖北省直辖县级单位·阶段检测)如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示 意图，在正常水位时水面AB的宽为l6m,如果水位上升3m,就达到警戒水位CD,此时水面CD的 宽为8m. C D B 图① 图② (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式： 7/19 (2)在(1)的条件下，现有一棱长为4m的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度 (集装箱浸在水下的部分)为3.2m,集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行. ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位CD,若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水 深度，求至少要增加多少吃水深度？ 12.(2627九年级上广西南宁·阶段检测)综合与实践中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是 中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和 任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 图1是一个竖直放置 在水平桌面N上的 瓷碗，图2是其截面 图，瓷碗高度 D G GF=9cm,碗口宽 问题情境 CD=12cm CD∥MN,碗体DEC M -N 呈抛物线状（碗体厚 图1 度不计)，当碗中盛 满水时的最大深度 GE =8cm, (I)如图2，以碗底AB的中点F为原点O,以N为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标 系，求碗体DEC的抛物线解析式； D G T A B M OF N衣 图2 任务二 (2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为45°时停止倾斜. 求此时点、点H的坐标. 8/19 图3 题型04：体育运动中的抛物线问题（投篮。喷泉） 题型描述：题干给出投篮、喷泉、跳水的运动轨迹为抛物线，求最高点、落点或能否命 中。核心得分点是理解轨迹上点的实际意义（出手点、篮筐、落地点）。 基础知识： 最高点=顶点纵坐标： 落地点：y=0(或地面高度)时的x值（取正）： 命中判断：把目标点横坐标代入，比较纵坐标： h=0的两个根一正一负，取正根。 解题方法： 定轨迹：由已知点求（或直接用）抛物线解析式； 译问题：最高点求顶点，落点解y=0,命中代点检验： 计算：求对应量： 答实际：带单位作答。 解题思路： 口诀：迹、译、算、答。“最高”找顶点、“落地”解方程、“中不中”代点比较；根要 按实际意义取正。 13.(26-27九年级上四川南充阶段检测)掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实 心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化.明明利用AI摄影系 统记录了实心球在空中运动时的水平距离x(单位：米)与竖直高度y(单位：米)的数据如表： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函 9/19 数的一部分. y/m 7777777777777777777777777 x/m ()在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米 (2)求满足条件的抛物线的解析式： 3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或 等于9.4米时，即可得满分20分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由 14.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经 常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析.如图，在平面直角坐标系中， 点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m,击球点P在y轴上. B 击球方案： m)与水平距离 (m 羽毛球的飞行高度 近似满足一次函数关系 扣球 C:y=-0.4x+b 当羽毛球的水平距离为m时，飞行高度为 2.4m 羽毛球的飞行高度儿m)与水平距离 x(m) 近似满足二次函数关系 吊球 Cx 此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2m 高远球 羽毛球的飞行高度儿m)与水平距离m 近似满足二次函数关系 10119 C3:y=a(x-n)2+h 且飞行的最大高度在4.8m和5.8m之间. 探究： ()求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式； (②)小鹰经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少？并通过计算 判断若选择吊球的方式能否使球过网 (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网4m处，他可前后 移动各lm,接球的高度为2.8m,要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解 析式a的取值范围. 15.(26-27九年级上广西梧州期中)如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m 可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象.把绿化带横截面 抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度EF=0.5m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向 左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5m,灌溉车到绿化带 的距离OD为d(单位：m). 上边缘 下边缘 G D E (I)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC; (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标： (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出☑的取值范围. 16.(26-27九年级上广东广州阶段检测)广州市某公园是市民休闲娱乐的好去处.为庆祝国庆佳节，公 园里的音乐喷泉经过改造，由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩 虹门”，吸引众多游客驻足 11/19 B 图1 图2 B 图3 我校有一兴趣小组在假期时间利用所学知识对“彩虹门”进行了相关的探索与研究： (I)①如图1，小芳同学测得喷泉场地宽度AB=16米，在A,B处各有一个喷水装置，出水口离地面 高度AM,BN都为1米，而喷水装置喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组 成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且测得点C到地面的距离为5米.现以线段AB所在的直线为x轴， AB的垂直平分线为'轴建立平面直角坐标系，请你根据小明测量的数据求出“彩虹门”喷泉中抛物 线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如图2，小芳同学在观赏“彩虹门”之后打算给公园提一个建设游客通道的建议：为了避免游客被 淋湿，在“彩虹门”下方AB所在直线上安装若干把雨伞，每相邻雨伞之间间隔1.6米.伞的顶端离地 面的距离保持3.7米.为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧雨伞顶端与水柱间的垂直高度 为0.3米.请你帮助小华求出最外侧雨伞离喷水装置至少要多少米？最多可以安装几把雨伞？ (2)如图3，公园管理部门为使“彩虹门”的设计更具创意.现将两个喷水装置同时向外侧移动m米 (在AB所在直线上，m>0)，,此时两条水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米（记作点R )·向外移动后，黄师傅在日常检查维护设备期间，喷水装置意外喷水，此时他站在B设备左侧水平 距离为lm处，请问身高1.75m的黄师傅是否会被淋湿？ 题型05：分段函数与方案选择问题 题型描述：题干给出不同阶段的收费（产量、销售）规则，构成分段函数，求最值或选择 方案。核心得分点是分段建立函数并分别求最值比较。 基础知识： 分段函数：不同自变量范围对应不同解析式： 每段内按二次函数（一次函数）求最值： 12/19 各段最值比较得全局最值： 方案选择先求临界点再分区间比较。 解题方法： 定分段：明确各段的自变量范围： 建各段：写出每段的函数式： 分段求：求各段的最值： 比较答：比较各段结果，给出最优方案。 解题思路： 口诀：段、式、值、比。分段函数的最值“段内各求、段间再比”；衔接点的函数值归属 要看清定义域。 17.(26-27九年级上·重庆江津阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为6，点M从点A出发，以每秒2 个单位长度的速度沿折线A→B→C方向运动，同时点N从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿 D→C方向运动，M、N同时停止运动.连接DM、MN.设点M运动的时间为x秒(0<x<6), △DMN的面积为y. Y 10 9 D N C 7 6 2 1 B 01234567x (I)请直接写出'与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (②)在给定的平面直角坐标系中画出函数)'的图象，并写出函数'的一条性质： 3)结合函数图象，请直接写出y=6时x的取值（近似值保留小数点后一位，误差不超过02） 18.(25-26九年级下·湖北宜昌·期中)为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型， 模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备2个铜线圈、1组叶片和若干其 他基础配件.己知购买一个铜线圈需5元，购买一组叶片需2元（其它基础配件库存充足，无需购 买) 13119 叶片 内含2个铜线圈 (1)现有经费240元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮 发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行.兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电 机不超过5个，每个发电机发电功率为每秒10焦耳；若超过5个，每增加1个发电机同时工作，每个发 电机的功率每秒将减少0.4焦耳.（总发电功率=工作的发电机个数×每个发电机的功率) 设同时工作的发电机有产个，当>5时，求总发电功幸P(单位：焦耳'秒)关于”的函数关系式， ① P ② 在()的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 19.(2026·河南平顶山三模)石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色， 并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱.某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价 为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得10%的利润. (1)求该品牌酥梨的进价. (2)若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少 0.5元/千克.写出购进该品牌酥梨的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式 (3)根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完.据统 计，销售单价a(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为a= x+5.5.在(2)的条件下， 400 要使超市销售酥梨的利润（元）最大，求一天购进酥梨的数量. 20.(24-25九年级下江苏泰州阶段检测)请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元.这个工厂将这800件产品分配给 材 线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完 14119 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的 素 部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完超过400件的部分，因礼品己 材 送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宜传，也可全部售完.线上旗舰 店的产品售价y(元)与月销售量x(件)满足关系：y= 8+230 优秀方案 月总利润≥46000元 素 良好方案 44000元<月总利润<46000元 (销售利润=销售收入一成本) 材 合格方案 40000元<月总利润≤44000元 ①线下直营店的月销售量为件. 任 若0<m≤400，则这m件产品的销售利润为 元 务 若400<m≤800，则这m件产品的销售利润为。 元 ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为 元 任 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润. 务 ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型. 专题综合训练 一、选择题 1.(26-27九年级上·黑龙江大庆阶段检测)某商品原价80元，每天可卖30件：每涨价1元，每天少卖 2件.设涨价x元，每天的销售额y元，则y与x的关系式为() A.y=(80-x)(30+2x) B.y=(80+x(30-2x) c.y=(80+x)(30+2x) D.y=(80-x030-2x) 15/19 2.(26-27九年级上·浙江湖州阶段检测)如图所示的桥拱是抛物线形，其函数表达式为’=- -x2 9.当水位 线在AB位置时，水面宽12m,此时水面离桥拱顶的高度为() B A.3m B.2V6m D.4V3m 3.(2627九年级上广东广州阶段检测)在校园吉尼斯“弹性球挑战赛”中，小明将弹性球从地面竖直 向上弹起时的速度为6米，经过，衫秒时球的高度为6米，A和满足公式：小=以(，表示球新 起时的速度，8表示重力加速度，取8=10米/秒2)，则球的高度不低于1米的持续时间是() A.1秒 B.0.8秒 C.0.6秒 D.0.4秒 4.(26-27九年级上·福建厦门阶段检测)己知有两个腰长分别为4和8的等腰直角三角形，按如图所示 摆放在同一条直线上，使点A与点D重合，大直角三角形保持固定，把小直角三角形从左向右平移， 直到完全移出大三角形后停止.设小直角三角形平移的距离为x,两个三角形的重叠部分面积为y,则 y关于x的函数图象大致是() E (DA B 16119 C 二、填空题 5.(26-27九年级上·山东济南阶段检测)如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线 )=。:一+25运行，其中x是实心球离初始位置的水平离，y是实心球离地面的高度。则实心球 掷出的水平距离OB为 m. A 6.(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)市民广场有一个直径16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈 喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合， 水柱离中心3m处达最高5m,如图以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.若要在喷 水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则装饰物的高度应设计为m. 7.(26-27九年级上·上海杨浦阶段检测)如图，计划用10米长的栅栏和一面长度大于10米的墙围成一 个矩形活动区域.栅栏围三面，墙作为第四面.则活动区域的最大面积是平方米. ∠1111121121111212111111142∠ 8.(26-27九年级上·湖北武汉阶段检测)如图1，在矩形ABCD中，AD<AB,点E和F同时从点A出 发，点E以lcm/s的速度沿A-D-C的方向运动，点F以lcm/s的速度沿A-B-C的方向运动，两点 17119 相遇时停止运动.设运动时间为”5，△F的面积为cm,)为 关于的函数图象如图2，图象经过点 (4,m)(n,m ,则”的值为 11 8 图1 图2 三、解答题 9.(26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测)中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的 重要组成部分.六中数学社团的同学们在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学 习： 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度.ED=5.3cm,CE=0.3cm,碗口宽AB=6cm,茶盖的 最高点D离AB的距离DO=lm,碗体ACB呈抛物线形状（碗体厚度不计）， E103 E 图1 图2 图3 【任务探究】 (1)任务一：已知一件白瓷盖碗的成本价是60元，当售价为80元时，每天可以售出120件.为扩大销 量，文旅公司决定降价销售此款盖碗，经调查发现，售价每降低1元，每天可以多售出20件.求售价 定为多少时，每天获得的利润最大？ (2②)任务二：如图2，以碗口宽AB的中点为原点O,以AB所在直线为x轴，AB的中垂线DC为y轴， 建立平面直角坐标系，则C点坐标为（一，一），A点坐标为（一，一），求 碗体ACB的抛物线解析式： 18119 B)任务三：如图3，盖碗中的茶水加满至碗口AB处，喝掉一部分后，水面下降至P№处(P№∥AB ),水面P№的宽度为5.4cm.求此时碗中茶水的深度（即水面P№到碗内最低点C的垂直距离）· 10.(26-27九年级上湖北十堰·阶段检测)根据以下素材，探索完成任务， 探究开封汴绣的销售利润问题 汴绣流行于河南开封一带，因产生于北宋都城汴京开封而得 素材1 名，历史悠久，素有“国宝”之称 种汴绣制品的成本价为80元件.经销商销售汴绣时发现： 日销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间满足 次函数关系，如图所示 /件 素材2 150---- 100 -L 90100x/元 问题解决 任务1 (1)求y与x之间的函数关系式： 任务2 (2)若该经销商要想每天获得875元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 任务3 3)设该经销商的日销售利润为w元，市场规定，该汴绣制品每日获利不得高于成本价的12.5%，则销 售单价为多少时，日销售利润w最大？最大利润是多少元？ 19119 2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题09 二次函数的实际应用 ▌专题目标 1. 会从实际情境中抽象出二次函数模型。 2. 会解决销售利润、图形面积的最值问题。 3. 会建立坐标系解决抛物线形建筑问题。 4. 会处理体育运动中的抛物线问题。 5. 会处理分段函数与方案选择问题，发展模型观念与应用意识。 ▌专题目录 题型01：销售利润的最值问题 题型02：图形面积的最值问题（围栏、场地） 题型03：抛物线形建筑问题（拱桥、隧道） 题型04：体育运动中的抛物线问题（投篮、喷泉） 题型05：分段函数与方案选择问题 ▌题型01：销售利润的最值问题 题型描述：题干给出商品的进价、原售价、销量及“每涨（降）x元销量减少（增加）y件”的联动关系，求最大利润。核心得分点是表示出“单件利润×销量”的二次函数。 基础知识： 1. 总利润＝(售价－进价)×销量； 2. 涨价x元：新销量＝原销量－单位涨价×x； 3. 自变量范围：销量非负、涨价非负； 4. 顶点处取最大利润。 解题方法： 1. 设x：设涨价（或降价）x元； 2. 表两量：表示单件利润与销量； 3. 建函数：写出利润函数并配方； 4. 验范围：顶点在范围内取顶点，否则取端点。 解题思路： 口诀：设、件、积、顶。利润＝单件利润×件数；x取整数时比较顶点附近的整数值。 1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出212件，如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖8件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)当售价为55元时，月销售利润是________元； (2)求关于的函数解析式，每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月销售利润是多少？ (3)每件商品的售价定为____时，每个月的利润为3360元． 【答案】(1) (2)函数解析式为（，且为正整数）；每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元． (3)元 【分析】（1）根据售价计算出上涨金额和单件利润，进而得出月销量，最后根据“月销售利润单件利润月销量”求出结果． （2）设上涨金额为未知数，表示出单件利润和月销量，根据“月销售利润y单件利润月销量”建立函数关系式，然后根据题意确定的取值范围，最后将函数关系式化为顶点式来求最大利润． （3）将代入（2）求出的函数解析式中，解方程得出上涨金额的可能取值，根据的取值范围确定最终取值，进而得出此时的售价． 【详解】（1）解：原售价为元，现售价为元，则上涨金额（元）， 单件利润为（元）， 销量减少量（件），现月销量（件）， 月销售利润（元）； （2）解：设每件商品的售价上涨元，则：单件利润元，月销量（件）． 由题意知，售价不能高于元，即，解得， ∵为正整数， ∴． 根据题意可得： ； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值， ∵，为正整数，，， ∴是距离对称轴最近的整数， ∴当时，取得最大值，（元）， 此时售价为（元）， 即每件商品的售价定为元时，每个月可获得最大利润，最大月销售利润为元． （3）解：令，即， 整理得， 即， 解得，， ∵为正整数， ∴不合题意，舍去， ∴，此时售价为（元）． 2．（25-26九年级上·云南德宏·期末）云南的德昂族酸茶非常独特且极具代表性，它已在2022年作为“中国传统制茶技艺及其相关习俗”的重要组成部分被列入人类非物质文化遗产．某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的德昂酸茶，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该德昂酸茶进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于60元销售． (1)求该德昂酸茶每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)销售单价定为多少元时，才能使商家销售该德昂酸茶每天获得的利润（元）最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) 函数关系式为，自变量的取值范围是 (2) 销售单价定为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1250元 【分析】 （1）根据涨价时单价与销量的变化关系推导一次函数关系式，结合涨价要求与售价限制确定自变量范围； （2）根据利润的等量关系列出二次函数解析式，结合二次函数的性质求最大值； 【详解】（1）解：∵销售单价为36元时，每天可卖出88件，每涨价1元，每天少卖出2件， ∴当销售单价为x元时，销售量，化简得， ∵商家进行涨价销售，故， 又∵销售单价不低于成本价30元，且不高于60元， ∴自变量的取值范围是； （2）解：∵每件德昂酸茶的成本为30元，销售单价为x元， ∴每件的利润为元， ∵每天的销售量为y件， ∴每天的总利润， 将代入上式，得， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下，w有最大值， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为1250元， 答：销售单价定为55元时，商家销售该德昂酸茶每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 3．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． (1)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ (2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 【答案】(1) 当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． (2) 每双鞋子应降价元． 【分析】（1）设降价金额为自变量，根据总利润的等量关系列出二次函数，利用二次函数顶点性质求最值； （2）根据给定利润列一元二次方程，结合“让顾客尽可能多得实惠”的条件选取较大的解． 【详解】（1）解：设每双鞋子降价元，每天获得的总利润为元， 由题意得，每双鞋子的利润为元，每天的销售量为双， 总利润 （）， 整理得 ， ∵ ， ∴ 当时，取得最大值， 将代入得 （元）； 答：当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． （2）解：令，则 ， 整理得 ， 解得 ，， ∵ 要让顾客尽可能多得实惠， ∴ 选择较大的降价幅度，即． 答：每双鞋子应降价元． 4．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为元/件时，月销售量为件，且与之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知该产品的成本为元/件． (1)求与之间的函数关系式； (2)设月销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大利润是多少元； (3)若物价部门规定该产品售价不得高于元/件，且商店要求月销售利润不低于元，求售价的取值范围． 【答案】(1) (2)，售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是400元 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可得函数关系式，再得出的取值范围即可； （2）根据利润（每件的售价每件的成本）月销售量可得与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可； （3）先求出的取值范围，再根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得：， 解得， ∴， ∵该产品的成本为元/件， ∴，即， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为400， 答：与之间的函数关系式为，售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是400元； （3）解：∵该产品的成本为元/件，物价部门规定该产品售价不得高于元/件， ∴， ∵二次函数图象的开口向下，对称轴为直线， ∴在内，随的增大而增大， 将代入得：， 解得或， ∵商店要求月销售利润不低于元，即， ∴． ▌题型02：图形面积的最值问题（围栏、场地） 题型描述：题干给出用定长围栏围矩形场地（一边靠墙或不靠墙），求最大面积。核心得分点是用一个变量表示长、宽并写出面积函数。 基础知识： 1. 不靠墙：长＋宽×2或2(长＋宽)＝围栏长（按围的边数）； 2. 靠墙：围栏只围三边，长＋2宽＝围栏长； 3. 面积＝长×宽，为二次函数； 4. 边长须为正数。 解题方法： 1. 设一边：设垂直于墙（或一边）为x； 2. 表另边：用围栏长表示另一边； 3. 写面积：S＝x×另一边； 4. 求最值：配方求最大值并验边长为正。 解题思路： 口诀：边、另、积、顶。先数“围几边”再写周长关系；有墙一边不算围栏是最常见陷阱。 5．（25-26九年级上·云南德宏·期末）小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据栅栏总长表示出平行于墙的一边长，利用矩形面积公式列出函数关系式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为米， ∵栅栏总长为米，且一边靠墙， ∴与墙平行的一边长为米， ∴． 6．（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地，为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙(墙的长度为)；另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为， 设矩形场地中垂直于墙的一边长为（如图)．矩形种植场地的面积最大值是_______． 【答案】 【分析】首先求x的取值范围，再根据二次函数得性质求在范围内的最值即可． 【详解】解：矩形种植场地的面积， ∵， ∴， ∵，， ∴时，， 则时，矩形种植场地的面积最大为． 7．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，二次函数的顶点坐标为，矩形的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． (1)求二次函数的解析式； (2)设点A的坐标为，试求矩形的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； (3)是否存在这样的矩形，使它的周长为9？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由如下： 令， 可得， ， 所以不存在这样的矩形，使它的周长为9． 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，即可表示出矩形的周长p关于自变量x的函数解析式； （3）利用根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：A、D在抛物线上，点A在点D的左侧， ， 矩形在抛物线与x轴所围成的图形内， ， 抛物线的对称轴为轴， ， ， ， 令， 解得，， ； （3）略 8．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）综合与实践 项目主题：校园“碳中和”生态探究园规划 项目背景： 为落实“双碳”目标，合肥某中学劳动实践小组计划依托校园一面长的旧围墙，利用环保竹篱笆搭建矩形生态探究园．园区内设置一条宽2m的生态观察步道（步道属于园区整体的一部分）；步道中间用篱笆进行分隔，把整个园区分成形状、大小完全相同的两个实验区，用来开展植物固碳相关探究实验． 测量数据： 竹篱笆总长度为．设平行于围墙的篱笆的长度为米，垂直于围墙的篱笆的长度为米，园区的总面积为平方米．    (1)任务一：建立函数模型 根据上面测量得到的数据，请写出与与之间的函数解析式； (2)任务二：方案优化 实践小组希望园区的总面积尽可能大，请你帮忙设计搭建方案，并求出园区的最大面积； (3)任务三：植物采购规划 在园区面积取到最大值的条件下，小组准备在园区内种植绣球花和红叶石楠两种植物：每平方米可以种植绣球花2株，或者红叶石楠1株，整个园区的种植面积要充分利用．已知绣球花每株售价30元，红叶石楠每株售价20元．采购总费用不能超过1.5万元；同时为了景观观赏性，绣球花的种植面积至少要有165平方米．试求绣球花最多可以购进多少株？ 【答案】(1)，； (2)，时，园区有最大面积； (3)绣球花最多可以购进株． 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）用配方法求最大面积； （3）设有平方米种植绣球花，则平方米种植红叶石楠，根据题意列不等式并求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 其中，，， ∴， 整理得； ， ∵墙长， ∴， 解得， ∴，； （2）解： ， 当时，，此时， 即，时，园区有最大面积； （3）解：在（2）的条件下，种植面积有， 设有平方米种植绣球花，则平方米种植红叶石楠， 由题意知绣球花可种植株，红叶石楠可种植株， ∴， 解得， 即， 当时，绣球花可种植的数量最多，为株， ∴绣球花最多可以购进株． ▌题型03：抛物线形建筑问题（拱桥、隧道） 题型描述：题干给出拱桥、隧道等抛物线形建筑，建立坐标系求解析式，并解决通行高度、宽度问题。核心得分点是合理建立坐标系并用待定系数求解析式。 基础知识： 1. 建系：常以顶点或水面中点为原点； 2. 顶点式y＝ax²＋h最常用； 3. “船能否通过”：把船宽对应的x代入求高度，与船高比较； 4. 已知点坐标代入求a。 解题方法： 1. 建系：选对称轴为y轴建立坐标系； 2. 求式：用顶点式与已知点求解析式； 3. 代条件：把宽度（高度）条件代入求另一量； 4. 比结论：与限制值比较作答。 解题思路： 口诀：系、式、代、比。建系优先“顶点在y轴上”，解析式最简单；能过不能过，比的是“同宽处的高度”。 9．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）综合与实践： 【生活情境】某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)大孔的水面宽度 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）求出水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），警戒水位的位置，再代入函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， 由题意得，抛物线过， ∴ 解得， ∴解析式为； （2）解：正常水位时水面在处． 小孔顶点距水面，所以小孔顶点在处． 水位上涨到距小孔顶点时（水面在顶点下方），警戒水位在处． 将代入可得， 解得 此时大孔的水面宽度为， 答：大孔的水面宽度． 10．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1)； (2)观光车可以完全停进遮阳棚正下方； (3) 的最大值为米． 【分析】第问已知顶点优先用顶点式求解析式； 第问已知纵坐标求对应横坐标，比较水平可利用长度与车长判断能否停进； 第问构造竖直方向线段关于的二次函数，利用顶点求最值． 【详解】（1）解：由题意，顶点． 设顶点式，顶点为： 把代入： ∴，即． （2）解：车最高点离地，令： 在到顶点这一段，取． 该位置向右可利用的水平长度为． ， ∴观光车可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 点在抛物线上，在直线上，轴： 设,则 时，取得最大值： 答：的最大值为米． 【点睛】本题是二次函数实际应用题，考查建模能力与三类常见设问．已知顶点坐标，优先设顶点式求解析式；竖直方向线段的长度，等于上方点纵坐标减下方点纵坐标，构造差函数；二次函数最值：开口向下，在对称轴处取最大值；计算时注意先求对称轴再代入． 11．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为（）． (2)①能顺利通过．②至少要增加的吃水深度． 【分析】（1）以中点为原点、直线为轴、过拱顶且垂直于的直线为轴建立坐标系；用待定系数法设，代入、两点坐标求参数； （2）利用解析式计算拱顶及集装箱顶部到水面的高度并比较． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为轴，过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，． 设抛物线的函数表达式为． ∵正常水位时水面宽为，警戒水位比正常水位高时水面宽为， ∴，，且点、都在抛物线上． ∴ 解得，． ∴抛物线的函数表达式为（）． （2）解：①集装箱为棱长的正方体，吃水深度为， ∴露出水面的高度为，即集装箱顶部距水面． 在正常水位时，拱顶距水面；在集装箱宽度范围内（距桥中心不超过），拱高最低处为时，． ∴集装箱顶部低于拱顶，能顺利通过． ②警戒水位时水面上升，拱顶距警戒水面；在集装箱宽度范围内拱高最低处为时，距警戒水面． 集装箱顶部距警戒水面仍为，故不能直接通过． 设需增加吃水深度，则集装箱顶部距警戒水面变为． 需满足，解得． ∴至少要增加的吃水深度． 12．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）综合与实践  中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． (1)如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式； 任务二 (2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据平面直角坐标系的建立方法设函数的解析式，求出点的坐标，利用待定系数法求解； （2）根据题意，则，由此求出点坐标，待定系数法确定的解析式，联立二次函数解析式求交点坐标即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 碗体DEC的抛物线解析式可设为， 轴，， ， ， ， ， 解得， 碗体DEC的抛物线解析式为； （2）解：根据题意可知， ， ， ， ， 设直线的关系式为 则解得 ， 解得，， 当时，，即点，舍去； 当时，，即点； 故，． ▌题型04：体育运动中的抛物线问题（投篮、喷泉） 题型描述：题干给出投篮、喷泉、跳水的运动轨迹为抛物线，求最高点、落点或能否命中。核心得分点是理解轨迹上点的实际意义（出手点、篮筐、落地点）。 基础知识： 1. 最高点＝顶点纵坐标； 2. 落地点：y＝0（或地面高度）时的x值（取正）； 3. 命中判断：把目标点横坐标代入，比较纵坐标； 4. h＝0的两个根一正一负，取正根。 解题方法： 1. 定轨迹：由已知点求（或直接用）抛物线解析式； 2. 译问题：最高点求顶点，落点解y＝0，命中代点检验； 3. 计算：求对应量； 4. 答实际：带单位作答。 解题思路： 口诀：迹、译、算、答。“最高”找顶点、“落地”解方程、“中不中”代点比较；根要按实际意义取正。 13．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)明明在此次考试中得到满分，理由如下： 把代入，得， 解得，（不合题意，舍去）， 即实心球从起点到落地点的水平距离为米， ∵， ∴明明在此次考试中得到满分． 【分析】（）根据图表解答即可； （）由（）可知抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）把代入函数解析式求出的值，进而与满分成绩比较即可． 【详解】（1）解：由表可知：时，，   ∴明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，   ∵当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为直线，   ∵抛物线开口向下， ∴当时，实心球在空中取得最大高度，   又∵当时，，   ∴实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（）知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）略 14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离，击球点在轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)小鹰经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少？并通过计算判断若选择吊球的方式能否使球过网． (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式的取值范围． 【答案】(1)扣球：，吊球：； (2)球网的高度为，选择吊球的方式正好能过网； (3)的范围是 【分析】（1）把代入可得扣球时的函数解析式，再求解点P的坐标为，设抛物线为：，将代入计算，可得吊球时的函数解析式； （2）把代入，可得的高度；把代入，可得选择吊球的方式能否使球过网； （3）先求出接球点过 和 两点，再分两种情况，当接球点为时，若最大高度为5.8，，a为最小；当接球点为时，若最大高度为4.8，，a为最大，计算即可． 【详解】（1）解：扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为， ， 解得， 一次函数解析式为， 当时，， 则点P的坐标为， 吊球时，当羽毛球飞行的水平距离是时，达到最大高度， 设抛物线为：， 将代入得， 解得， ； （2）当时，， 球网的高度为， 当时，， 球网的高度为， 选择吊球的方式正好能过网； （3）球网在，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度， 接球横坐标范围到， 接球点过 和 两点， 高远球：，飞行的最大高度在和之间， 当接球点为时，若最大高度为5.8，，a为最小， ， 解得， 当接球点为时，若最大高度为4.8，，a为最大， ， 解得， 抛物线开口向下， 的范围是． 15．（26-27九年级上·广西梧州·期中）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由顶点设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴， ∴点B的坐标为； （3）解：， 点的纵坐标为0.5， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，要使，则， 当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 16．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）广州市某公园是市民休闲娱乐的好去处．为庆祝国庆佳节，公园里的音乐喷泉经过改造，由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”，吸引众多游客驻足． 我校有一兴趣小组在假期时间利用所学知识对“彩虹门”进行了相关的探索与研究： (1)①如图，小芳同学测得喷泉场地宽度米，在，处各有一个喷水装置，出水口离地面高度，都为米，而喷水装置喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且测得点到地面的距离为米．现以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请你根据小明测量的数据求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②如图，小芳同学在观赏“彩虹门”之后打算给公园提一个建设游客通道的建议：为了避免游客被淋湿，在“彩虹门”下方所在直线上安装若干把雨伞，每相邻雨伞之间间隔米．伞的顶端离地面的距离保持米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧雨伞顶端与水柱间的垂直高度为米．请你帮助小华求出最外侧雨伞离喷水装置至少要多少米？最多可以安装几把雨伞？ (2)如图，公园管理部门为使“彩虹门”的设计更具创意．现将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上，），此时两条水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动米（记作点）．向外移动后，黄师傅在日常检查维护设备期间，喷水装置意外喷水，此时他站在设备左侧水平距离为处，请问身高的黄师傅是否会被淋湿？ 【答案】(1)①，②4，6 (2)不会 【分析】（1）①根据题意取中点为O，建立直角坐标系，设函数表达式为，利用待定系数法求解即可； ②先求出最外侧雨伞离喷水装置至少4米，得出两把最外侧雨伞之间的距离为8米，再根据两把之间的间距求出把数即可； （2）运用待定系数法求出左侧抛物母的解析式为，根据对称性得右侧抛物线的解析式为，再求出黄师傅位置坐标，代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题可知，建立的平面直角坐标系如图1，略， 设所求抛物线的函数表达式为, 由题可知，，，，， ∴点的坐标为，点C的坐标为， 将、代入,得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②∵要求最外侧雨伞顶端与水柱的垂直高度为0.3米，伞顶端高度为3.7米， ∴水柱在雨伞外侧位置的纵坐标为， ∴将代入抛物线解析式， 解得； ∵左侧喷水装置A的坐标为，最外侧雨伞的横坐标为， ∴两者的水平距离为米，即最外侧雨伞离喷水装置至少4米． ∴两把最外侧雨伞分别在和处， ∴两点之间的总长度为米， ∵相邻雨伞间隔1.6米， ∴间隔总数为， ∴雨伞总数为间隔数把； （2）解：∵抛物线形状不变， ∴二次项系数a始终为， 又两个喷水装置向外移动m米后，两条水柱的交点R向下移动1米，由原来的变为， 由对称性，左侧抛物线的顶点横坐标为， 设左侧抛物线解析式为， 将点代入得 移动后的左侧喷水装置坐标为， 代入左侧抛物线解析式， 化简得， 解得， 代入， 解得， 解得， ∵， ∴； ∴左侧抛物线解析式为， ∴由对称性得右侧抛物线解析式为，移动后的B点坐标为，即， ∴黄师傅站在B左侧1米处，对应横坐标为， ∴将代入右侧抛物线解析式得， ∵， ∴黄师傅头顶位置的水柱高度大于他的身高，不会被淋湿． ▌题型05：分段函数与方案选择问题 题型描述：题干给出不同阶段的收费（产量、销售）规则，构成分段函数，求最值或选择方案。核心得分点是分段建立函数并分别求最值比较。 基础知识： 1. 分段函数：不同自变量范围对应不同解析式； 2. 每段内按二次函数（一次函数）求最值； 3. 各段最值比较得全局最值； 4. 方案选择先求临界点再分区间比较。 解题方法： 1. 定分段：明确各段的自变量范围； 2. 建各段：写出每段的函数式； 3. 分段求：求各段的最值； 4. 比较答：比较各段结果，给出最优方案。 解题思路： 口诀：段、式、值、比。分段函数的最值“段内各求、段间再比”；衔接点的函数值归属要看清定义域。 17．（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）如图，正方形的边长为6，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，、同时停止运动．连接、．设点运动的时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)解：作图如下： ； 当时，函数有最大值，最大值为9，无最小值（答案不唯一）； (3)和 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）直接利用图象法进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，，， ∴， 点运动到点所用时间为秒； 当点在线段上时，此时，则的面积； 当点在线段上时，此时，则， ∴． ∴， 综上：； （2）略 （3）略 18．（25-26九年级下·湖北宜昌·期中）为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 【答案】(1)； (2)；． 【分析】设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得，然后解不等式即可； 当时，每个发电机每秒的发电功率，则； 分为当时和当时两种情况，然后通过二次函数的性质分别求出的最大值，再比较即可． 【详解】（1）解：设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得， 解得， ∴兴趣小组最多能制作个水轮发电机； （2）解：当时，每个发电机每秒的发电功率， ∴； 当时，， ∵，， ∴时，总发电功率最大值：（焦耳秒）， 当时，最大总发电功率（焦耳秒）， ∵， ∴模型的总发电功率最大是每秒焦耳． 19．（2026·河南平顶山·三模）石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色，并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱．某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得的利润． (1)求该品牌酥梨的进价． (2)若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少0.5元/千克．写出购进该品牌酥梨的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式． (3)根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完．据统计，销售单价a（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售酥梨的利润w（元）最大，求一天购进酥梨的数量． 【答案】(1)该品牌酥梨的进价为元/千克． (2) (3)要使超市销售酥梨的利润最大，一天购进酥梨的数量为300千克． 【分析】（1）设酥梨进价为未知数，因为九折售价减去进价等于进价的，所以根据利润相关等量关系列一元一次方程，即可求解进价． （2）分两种情况讨论：如果购进数量，那么支出为进价乘以，如果，那么支出为200千克的进价加上超过200千克部分的优惠后进价乘以超出量，据此分别写出函数关系式． （3）根据“利润总售价总支出”，分两种情况分别表示出利润，分别求出两种情况下各自的最大值．最后比较即可得销售利润的最大值． 【详解】（1）解：设该品牌酥梨的进价为x元/千克． 由题意，得， 解得． 答：该品牌酥梨的进价为4.5元/千克． （2）解：当时，； 当时，． ∴． （3）解：当时， ． ∵， ∴当时，有最大值为100； 若时，． ∵． ∴当时，有最大值为125． ∵， ∴当一天购进酥梨的数量为300千克时，超市销售酥梨的利润最大． 答：要使超市销售酥梨的利润最大，一天购进酥梨的数量为300千克． 20．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完． 素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：． 素材3 优秀方案 月总利润元 （销售利润销售收入成本） 良好方案 44000元月总利润元 合格方案 40000元月总利润元 任务1 ①线下直营店的月销售量为m件． 若，则这m件产品的销售利润为________元． 若，则这m件产品的销售利润为________元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元． 任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型． 【答案】任务1：①；；②；任务2：①；②设计的方案为：线上销售160件，线下销售640件，为优秀方案 【分析】本题考查二次函数的应用、列代数式，正确理解题意是解题的关键。 任务1：①，这件产品的销售利润（定价成本礼品价格）销售量；，这件产品的销售利润为（定价成本礼品价格）（定价成本）超过400的件数，据此求解即可； ②件产品的销售利润（销售价格成本）销售量； 任务2：①800件产品的销售总利润线下销售400件的利润线上销售400件的利润； ②设线上销售件，则线下销售件，根据线下销售的件数不超过400和超过400两种情况得到相应的二次函数，求得最大的值可设计出相应的方案． 【详解】解：任务1：①当时，这件产品的销售利润为：元， 当时，这件产品的销售利润为：元． 故答案为：，； ②线上旗舰店的月销售量为件，则这件产品的销售利润为：元； 故答案为：； 任务2：①设销售总利润为元． 由题意得，元． 答：这800件产品的销售总利润为44000元； ②设线上销售件，则线下销售件，销售总利润为元， 当，即时， 由题意得， ∵， ∴当，即时，W最大，最大为44000元，不符合题意． 当，即时， 由题意得， ， ∵， ∴，即时，W最大，最大为46200， ∵， 设计的方案为：线上销售160件，线下销售640件，为优秀方案． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某商品原价 80元，每天可卖30件；每涨价1元，每天少卖2件．设涨价x元，每天的销售额y元，则y与x的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据销售额=单价×销量，列函数关系式即可． 【详解】解：设涨价x元，则涨价后单价为元，每天销量为件， 根据销售额=单价×销量，则由题意得：． 2．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图所示的桥拱是抛物线形，其函数表达式为．当水位线在位置时，水面宽，此时水面离桥拱顶的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的函数表达式和水面宽度求出水面的纵坐标，进而得到水面离桥拱顶的高度． 【详解】解：桥拱对应的函数表达式为且水位线与轴平行， ，关于轴对称， ， ，， 将代入函数表达式得，即水面离桥拱顶的高度为， 故选：C． 3．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）在校园吉尼斯“弹性球挑战赛”中，小明将弹性球从地面竖直向上弹起时的速度为米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：（表示球弹起时的速度，表示重力加速度，取米/秒2），则球的高度不低于米的持续时间是（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】B 【分析】利用高度为1米的临界情况求出对应时间，其差即为高度不低于1米的持续时间． 【详解】解：将，代入，得， 令，则， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 二次函数的图像开口向下， ∴ 当时，， ∴ 高度不低于1米的持续时间为（秒）． 4．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知有两个腰长分别为4和8的等腰直角三角形，按如图所示摆放在同一条直线上，使点A与点D重合，大直角三角形保持固定，把小直角三角形从左向右平移，直到完全移出大三角形后停止．设小直角三角形平移的距离为x，两个三角形的重叠部分面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，分别确定重叠部分的形状，求出与的函数关系式，进而判断图象． 【详解】解：小等腰直角三角形的面积为． 当时，小三角形完全在大三角形内部，重叠部分面积等于小三角形面积，即； 当时，小三角形右侧移出大三角形，重叠部分为等腰直角三角形，其直角边长为，． 综上所述，关于的函数图象在时为水平线段，在时为开口向上的抛物线的一部分，且随增大减小，变化率逐渐变小． 即y关于x的函数图象大致是． 二、填空题 5．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．则实心球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】实心球落地时高度为，即求抛物线与轴正半轴交点的横坐标，令解方程即可； 【详解】解：由题意可知，当实心球落地时，， 令，得， 解得，， 表示水平距离，， ∴， ∴为． 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）市民广场有一个直径的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物的顶端处汇合，水柱离中心处达最高，如图以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则装饰物的高度应设计为________． 【答案】 【分析】根据题意，水柱轨迹为抛物线，利用顶点坐标 设出二次函数顶点式，再根据喷水池半径确定抛物线经过点，代入求出解析式后，令 即可求出装饰物高度． 【详解】解：设右侧水柱所在抛物线的解析式为， 水柱离中心处达最高 抛物线顶点坐标为， 设， 喷水池直径，喷水头在周边， 喷水头坐标为，即抛物线经过点， 将代入得，，解得， 抛物线解析式为， 装饰物在喷水池中心， 当时， 装饰物的高度应设计为． 7．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，计划用10米长的栅栏和一面长度大于10米的墙围成一个矩形活动区域．栅栏围三面，墙作为第四面．则活动区域的最大面积是_____平方米． 【答案】 【分析】设垂直于墙的一边长x米，则平行于墙的一边长米，活动区域的面积为S平方米，根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长x米，则平行于墙的一边长米，活动区域的面积为S平方米， 由题意得，， ∵墙的长度大于栅栏的长度， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为， ∴活动区域的最大面积是平方米． 8．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在矩形中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为__________． 【答案】 【分析】由函数图象终点可知运动总时间为，即；由图象最高点可知最大面积为，此时点到达点，点在上，可得；联立解得；当时，点在上，点在上，求出的值；当时，点在上，点在上，利用面积割补法列方程求解． 【详解】解：由图2可知，当时，，即两点相遇停止运动， ， 由图2可知，的最大值为，此时点运动到点，点运动到边上， ，即， ， ∴联立， 解得， ∴当时，点在上，点在上， 此时，； 当时，点在上，点在上， 此时， ； 当时，点在上，点在上， 此时，，， ； ∵图象经过点， ∴结合图2函数图象可知，当时，，当时，，且， ∴， 整理得， ， 解得， ∵， ∴． 三、解答题 9．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．六中数学社团的同学们在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习； 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度．，，碗口宽，茶盖的最高点离的距离，碗体呈抛物线形状（碗体厚度不计）． 【任务探究】 (1)任务一：已知一件白瓷盖碗的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件．为扩大销量，文旅公司决定降价销售此款盖碗，经调查发现，售价每降低元，每天可以多售出件．求售价定为多少时，每天获得的利润最大？ (2)任务二：如图2，以碗口宽的中点为原点，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为（，），点坐标为（，），求碗体的抛物线解析式； (3)任务三：如图3，盖碗中的茶水加满至碗口处，喝掉一部分后，水面下降至处（），水面的宽度为．求此时碗中茶水的深度（即水面到碗内最低点的垂直距离）． 【答案】(1)售价定为73元时，每天获得的利润最大； (2)；； (3)． 【分析】（1）设售价定为 元、每天获得的利润为 元，根据“售价每降低 元，每天多售出 件”列出 关于 的二次函数，配方求最大值； （2）由 得 、 的横坐标分别为 、，由 得 ，再由 、 得 ；抛物线顶点为 ，设 ，代入点 求解析式； （3）由 、 及抛物线的对称性得水面端点的横坐标为 ，代入解析式求出水面所在的高度，它与点 的纵坐标之差即为碗内茶的深度． 【详解】（1）解：设售价定为 元，每天获得的利润为 元． 根据题意，得 ， 即 ． ∵ ， ∴ 当 时， 取最大值，最大值为 元， ∴ 售价定为 元时，每天获得的利润最大． （2）解：∵ ，点 为 的中点， ∴ ， ∴ ，． ∵ 茶盖最高点 距 的距离 ， ∴ ． ∵ 盖碗高度 ， ∴ 点 在点 的下方 cm 处，即 ． ∵ ，点 在点 的上方， ∴ ，即 ． ∴ 点坐标为 ， 点坐标为 ． ∵ 碗体 所在抛物线的顶点为 ， ∴ 设抛物线的解析式为 ． 把 代入，得 ，解得 ， ∴ 碗体 所在抛物线的解析式为 ． （3）解：∵ ，， ∴ 点 、 的纵坐标相等， ∵ 碗体所在抛物线关于 轴对称， ∴ 线段 被 轴垂直平分， ∴ 点 的横坐标为 ． 当 时，， ∴ 水面 所在的高度为 ． ∵ 点 的纵坐标为 ， ∴ 此时碗内茶的深度为 ， ∴ 此时碗内茶的深度为 ． 10．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 探究开封汴绣的销售利润问题 素材 汴绣流行于河南开封一带，因产生于北宋都城汴京开封而得名，历史悠久，素有“国宝”之称． 素材 一种汴绣制品的成本价为元/件．经销商销售汴绣时发现：日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决 任务 (1)求与之间的函数关系式； 任务 (2)若该经销商要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 任务 (3)设该经销商的日销售利润为元，市场规定，该汴绣制品每日获利不得高于成本价的，则销售单价为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为元或元 (3)当销售单价为元，日销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）根据“单件利润乘以销售量等于总利润”列出一元二次方程，解方程，结合实际意义，确定销售单价； （3）根据“单件利润乘以销售量等于总利润”列出，结合自变量的取值范围和二次函数的开口方向和对称轴、增减性，确定当时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【详解】（1）解：设， 将点、代入得， 解得， ∴； （2）解：由题意得，， 整理得， 即， 解得，， ∵， ∴， ∴销售单价应定为元或元； （3）解：由题意得，， 整理得， ∵每日获利不得高于成本价的， ∴， 解得， 又∵成本为元/件， ∴， ∵， ∴开口向下， 在对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴当时，日销售利润最大，最大利润是元． / 学科网（北京）股份有限公司 $