专题04 二次函数图象中的交点问题 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题04二次函数图象中的交点问题 专题目标 理解抛物线与x轴交点和一元二次方程根的关系。 2. 会用判别式处理抛物线与x轴的交点问题。 3 掌握抛物线与直线交点的联立求解方法。 会求交点间距离与围成图形的面积。 会用交点情况求参数范围，并会用图象法解不等式。 专题目录 题型01：抛物线与x轴的交点问题（判别式的应用） 题型02：抛物线与直线的交点问题（联立方程） 题型03：交点间的距离与围成图形的面积 题型04：利用交点情况求参数的取值范围 题型05：交点问题与不等式（图象法解不等式） 题型01：抛物线与x轴的交点问题（判别式的应用） 题型描述：题干给出抛物线（常含参数），判断或确定它与x轴的交点个数、求交点坐 标。核心得分点是交点问题转化为方程根的问题。 基础知识： 1/13 抛物线与x轴交点的横坐标是方程ar2十bx十c=0的根： △>0两交点，△=0一交点，△<0无交点： 交点坐标用求根公式或因式分解求得。 解题方法： 令y=0:把交点问题转化为方程： 算△：判断交点个数； 解方程：求交点横坐标： 写坐标：纵坐标为0，规范书写。 解题思路： 口诀：零、△、解、标。含参抛物线“与x轴有交点”即△≥0；注意二次项系数不为0的 前提。 1.(26-27九年级上天津河北阶段检测)抛物线'=-4r+ 与轴交于A、B两点，顶点为D,则下 列说法错误的是() A.对称轴是直线x=2 B.当x<1或x>3时，y>0 C.顶点D的坐标为 2,-1) D.当X>2时，'随x的增大而减小 2。(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)抛物线”=a+6x+C的对称轴是直线=-且过点（0) ,其部 分图象如图所示，给出以下判断：①abc>0；②b2>4ac;③9a-3b+c>0；④4a+c>0;⑤ am2+b(m+1)<a(m≠-1) ，其中正确的有() A.①②⑤ B.①③④⑤ C.①②④⑤ D.②③④⑤ 2/13 3.（2627九年级上安徽合肥阶段检测)已知二次函数y-子+（低+）x+长， (1)求证：该函数图象与x轴一定有两个不同的交点： ②若该函数图象与x轴的一个交点是（L0 ,求另一个交点坐标 4,26-27九年级上天津河北：阶段检测已知抛物线少=x-2mx+m+m-3(m为常数) (1)当m=0时，求抛物线与x轴的交点坐标： (2)若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值，并写出该交点的坐标： (3)若抛物线的顶点在直线y=-2x上，求m的值，并求此时抛物线与x轴两交点间的距离。 题型02：抛物线与直线的交点问题（联立方程） 题型描述：题干给出抛物线与直线，求交点坐标或交点个数。核心得分点是联立消元后用 判别式或解方程处理。 基础知识： 联立y=2十bx十c与y=k十，消y得一元二次方程： 该方程△决定交点个数：△>0两个、△=0一个（相切）、△<0无交点； 解出x后代回直线（更简便）求y。 解题方法： 联立：两解析式相等，整理成一般式： 判△：确定交点个数； 解x:求交点横坐标： 代y:代回直线解析式求纵坐标。 解题思路： 口诀：联、△、解、回。相切即△=0，是求切线参数的钥匙；代回时优先代入直线解析 式，计算量小。 5.(26-27九年级上·福建厦门阶段检测)二次函数》=r+x- 的图象与一次函数 y=-x-2 的交点的个 数有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3/13 =x2-3x+2 y=-2x+4 6.(2026上海·三模)对于二次函数 和一次函数 ,把 y=(x2-3x+2)小+(1--2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中1是不为零的实数，其图 象记作抛物线E,对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点 7(206江苏南京一模)已知二次菌资+图象的顶点4在次面最- 的图象上 (I)当b=1时，点A的坐标是 (2)用含b的代数式表示a: (3)若两个函数图象的另一个交点在点A的左侧，则b的取值范围是 8。(25-26九年级上江苏苏州期中)如图，已知一次函数'=+ =x2-2x-3 的图象与二次函数 的图象 交于A,B两点，该二次函数图象的顶点为C,连接AC,BC」 (1)求点C的坐标： (2)求△ABC的面积. 题型03：交点间的距离与围成图形的面积 题型描述：题干给出抛物线与x轴（或直线）的交点，求两交点间距离或交点与顶点围成 的三角形面积。核心得分点是求出交点坐标后用距离公式与面积公式。 基础知识： 公 两交点(，0八(3,0)的距离= 4ac-b2 三角形面积=底×高2，抛物线顶点到x轴的距离为 4a 4/13 水平底×竖直高是最常用的面积处理方式。 解题方法： 求交点：解方程得交点坐标： 算距离：求交点间距离（作底）： 定高：确定顶点到交点连线的距离： 求面积：套面积公式。 解题思路： √公 x-x2= 口诀：交、距、高、积。与x轴的交点距离可用 4直接算；围成三角形先定底 再找高。 9.(26-27九年级上·上海静安阶段检测)一条有最高点的抛物线与x轴交于点 -1,0)点B3.0,并 和点 且两交点与抛物线顶点构成的三角形面积为8，这条抛物线的函数表达式为 10.(2627九年级上河北唐山阶段检测)如图，抛物线)=(x+的顶点为4，与y轴的负半轴交于点 B,且OB=OA. (1)求抛物线的解析式： (2)若点 (-3,b 在该抛物线上，求Sc的值。 11.(26-27九年级上江西赣州阶段检测)如图，在RIAABC中，∠C=90°，AC=10cm,BC=8cm, 动点P从点A出发，沿线段AC向点C移动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B移动，若点P,Q 均以2m/s的速度同时出发（当一点移动到终点时，另一点也随之停止），连接P9,设运动时间为t, aPC2的面积为Scm2. 5/13 B P (1)写出S与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围. (2)当1为何值时，△PC吧的面积取得最大值，最大值为多少？ 12.(26-27九年级上·安徽合肥阶段检测)己知抛物线经过点 (-2,0)B(0,-8) 和 且对称轴为直线x=1 (1)求抛物线的解析式： (2)若抛物线与x轴的另一个交点为点C,过线段BC上一点E,作EF⊥x轴，交抛物线于点F,求线 段EF长度的最大值： (3)在抛物线上有一点P,满足△ABP的面积是24，求点P的坐标. 题型04：利田交点情况求参数的取值范围 题型描述：题干给出含参抛物线与x轴（或直线）交点的个数、位置条件（如两交点都在 正半轴)，求参数范围。核心得分点是把交点条件翻译成△与韦达定理的不等式组。 基础知识： 交点个数→△的符号； 交点位置：两正根X+名>0、x>0:一正一负<0 交点在某值m的一侧用（飞-m3-m)与(x-m)+(:-m）表示； 二次项系数不为0。 解题方法： 译条件：把交点个数、位置翻译成△与和、积的不等式： 列组：联立成不等式组； 解参数：分别求解； 取交集：求公共部分并检查a≠0。 解题思路： 口诀：译、组、解、交。个数靠△、位置靠韦达：“都有交点”类条件先写△≥0再写位置 6/13 条件。 y=ax+bx+c 13.(26-27九年级上辽宁沈阳阶段检测)己知抛物线 上某些点的横坐标无与纵坐标》的 对应值如下表： -4 -3 -2 -1 0 … y -3 0 0 m 有以下几个结论： ①抛物线'=+x+c与'轴的交点坐标是 0,-3) ②抛物线少=2+bx+ 的对称轴为直线x=-2」 ③关于x的方程a2+bx+c=0的根为-3和-1： ④当y<0时，x的取值范围是-3<x<1. 其中正确的个数有() A.1 B.2 C.3 D.4 14。（26-27九年级上北京西城阶段检测)若关于×的函数'=(m+2)r-2m+m。 的图象上存在四个点与 x轴距离为3，则m的取值范围为 15.(26-27九年级上北京西城阶段检测)在平面直角坐标系0中，点 ,y),B(t+2,2),C(t+5,3) 都在抛物 y=a2-2a+3a<0)上. (1)这个抛物线的对称轴是直线一： ②若5>%≥”，求1的取值范围， (③)若无论t取任何实数，点A,B,C中都至少有一个点在x轴的下方，直接写出4的取值范围 16.(26-27九年级上·安徽合肥阶段检测)已知抛物线 G:y=ax2+(2a+m)x-(m+1) (1)当a=1,m=1时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数m,抛物线G总经过定点P(4,-4) 7/13 ①求t和a的值； A(m-2,y)B(m,y2 ②点 在抛物线C上，且线段B与”轴有交点.记△PMB的面积为S,求S的取 值范围. 题型05：交点问题与不笔式（图像法解不等式） 题型描述：题干给出抛物线与x轴（或直线）的交点，要求解不等式ax2十bx十c>0(或 <0)或比较两函数大小。核心得分点是用图象的上下位置关系确定解集。 基础知识： 不等式ax2十bx十c>0的解集是抛物线在x轴上方部分对应的x范围： 开口向上时“大于取两边，小于取中间”； 比较两函数大小：图象在上方的函数值大，交点是分界。 解题方法： 求交点：求出抛物线与x轴（直线）的交点横坐标： 画草图：标出开口与交点： 读区间：按“上方（下方）”读x的范围； 写解集：规范写成不等式或区间。 解题思路： 口诀：交、图、读、集。开口向上“大于两边夹外、小于中间”；两函数比较大小以交点 为界分段读图。 17.(26-27九年级上广东广州阶段检测)已知二次函数'=+hx+c(a≠0) 图象的一部分如图所示， 对称轴为x=3,下列结论： ①abc<0； ②多项式m+br+c可因式分解为 x-1)(x+5) ③若点m),(m+4为小在函数图象上，且>为，则m<1 ④当1<x<5时，a2+bx+c>0: x2+(b+1)x+c>5 ⑤不等式 的解集为0<x<5 8/13 其中正确的结论有 5432 13 18.(24-25九年级上河北索皇岛阶段检测)如图，抛物线'=+m 与直线少x+ 交于点, B(-l,3),且点A在轴上. (1)求m和b的值： (2)结合图像写出关于x的不等式x+mr>-x+b的解集； 3)已知 Pa,c八在抛物线上，若针对的不同取值，点P的个数始终为2，求c的取值范围. 19.(26-27九年级上湖北十堰阶段检测)抛物线 y=ax+bx+c 如图所示，回答下列问题 B 0)关于x的方程+hr+c=3 的解是 ②)关于”的不等式+br+c>0 的解集是 9/13 3)当0≤x≤3时，y的取值范围是 20.(26-27九年级上辽宁葫芦岛阶段检测)如图，已知抛物线'=r+x+c经过4(-5,0)，B(1,0), C(0,5)=点，其顶点为D,对称轴是直线人、1与轴交于点H D HOB (1)求该抛物线的解析式： (②)若点P是该抛物线对称轴I上的一个动点，求△PBC周长的最小值： 3)①当-1≤y≤2时，求出x的取值范围： y=ax2+bx+c ②将抛物线 ‘沿轴翻折，再向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛 物线”：将抛物线”=+x+0向右平移4个单位长度，再向下平移？个单位长度，得到抛物线”】 y(-m<x<m) 若函数'一以，(m≤x≤m+其中m>0,且函数y的图象与x轴恰有两个交点，请直接写出m的取值 范围. 专题综给训练 一、选择题 1.(26-27九年级上安徽合肥阶段检测)已知抛物线'=r-2x-3与*轴的一个交点坐标为 m,0 ,则代 10/13 数式-2m2+4m+2033的值为() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 2.(26-27九年级上河北沧州阶段检测)若直线=2x+ 与抛物线y-4x+ 只有一个公共点，则k 的值为() A.-4 B.-2 C.2 D.4 3.(26-27九年级上重庆阶段检测)在二次函数=(x-+3中，若1<x<2,则的取值范围为 () 1 A.2y<1 B.3<y<4 C.1<y<2 D.-2<y<-1 xOy 4.(26-27九年级上·安徽安庆阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+2x-3 和 y=-+2x+5相交于1(-2-3引，B25)两点，点P为抛物线”=r+2x-3上4，B之间的对点，点 巴为抛物线'=+2x+5上4，B之何的动点（点P,0不与4.B重合），则四边形 PBO 面积的 最大值为() A.18 B.16 C.12 D.10 二、填空题 5。（25-26九年级上陕西安康期中)如图，二次函数”=-t-2x+ 的图象与》轴交于点A,与”轴的负 半轴交于点B,连接AB,则△AOB的面积为 11/13 6,(2627九年级上蒲江杭州阶段检测)已知二次函数'=(x-2x-4)图象过点5m）,(川.若 m>n>0,则P的取值范围是 7.(2627九年级上甘肃脂夏期中)已知二次函数'=+(a-2)x-2(a为常数，且a0),下列结 论：①该函数图象经过点仁1,0)，②若a=-,则当>-1时，y随x的增大而减小，③若0>2，则关 r2+(a-2)x-2=0 于x的方程 有一个根大于0小于1.其中正确的结论有 (填 序号)， x2+(a+1)x+6a=0 8.(26-27九年级上·江苏盐城阶段检测)已知关于x的一元二次方程 有两个不相等 的实数根与(<)，则实数a的取值范围是 三、解答题 9.(2026吉林长春模拟预测)在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线”=+x+c力、c是 0 常数)的顶点坐标 2,-4) 抛物线与轴正半轴交于点A.点P是该抛物线上的点，横坐标为m,点 卫的坐标 (2-m,2+m ,连接P9,以线段P吧为对角线作矩形 MON (1)求该抛物线对应的函数表达式及A点坐标： (②)当m=-1时，且PM∥y轴，通过计算说明矩形PMQN是正方形； 12/13 3)当线P№不与坐标轴平行时，且PM1y轴. ①当m>0时，若矩形PMQN面积被直线AQ分成1：3两部分，求m的值： ②当抛物线在矩形PMQN内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围. y=-x2+bx+c 10.(26-27九年级上福建龙岩阶段检测)如图①，已知二次函数 的图象与x轴相交于 A(-1,0),B(3,0)」 两点. 图① 图② (1)求这个二次函数的表达式： (2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t, ①过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC,当△CPM为直角三角形时，直接写出满足 条件的t值： ②如图②，连接4C,过点P作PW∥4C交BC于点N,连接4P,MN.设△PMB的面积为， △NA 9的面积为8，求8-8 的最大值， 13/13 2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题04 二次函数图象中的交点问题 ▌专题目标 1. 理解抛物线与x轴交点和一元二次方程根的关系。 2. 会用判别式处理抛物线与x轴的交点问题。 3. 掌握抛物线与直线交点的联立求解方法。 4. 会求交点间距离与围成图形的面积。 5. 会用交点情况求参数范围，并会用图象法解不等式。 ▌专题目录 题型01：抛物线与x轴的交点问题（判别式的应用） 题型02：抛物线与直线的交点问题（联立方程） 题型03：交点间的距离与围成图形的面积 题型04：利用交点情况求参数的取值范围 题型05：交点问题与不等式（图象法解不等式） ▌题型01：抛物线与x轴的交点问题（判别式的应用） 题型描述：题干给出抛物线（常含参数），判断或确定它与x轴的交点个数、求交点坐标。核心得分点是交点问题转化为方程根的问题。 基础知识： 1. 抛物线与x轴交点的横坐标是方程ax²＋bx＋c＝0的根； 2. Δ＞0两交点，Δ＝0一交点，Δ＜0无交点； 3. 交点坐标用求根公式或因式分解求得。 解题方法： 1. 令y＝0：把交点问题转化为方程； 2. 算Δ：判断交点个数； 3. 解方程：求交点横坐标； 4. 写坐标：纵坐标为0，规范书写。 解题思路： 口诀：零、Δ、解、标。含参抛物线“与x轴有交点”即Δ≥0；注意二次项系数不为0的前提。 1．（26-27九年级上·天津河北·阶段检测）抛物线与轴交于、两点，顶点为，则下列说法错误的是（     ） A．对称轴是直线 B．当或时， C．顶点的坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】先将抛物线一般式配方为顶点式，再结合开口方向、与轴交点判断各选项正误． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，顶点的坐标为，故A、C正确． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 令，得， 因式分解得， 解得，． 结合开口方向，可知当或时，，故B正确． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线的对称轴是直线且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．①②⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点确定，，的符号及关系，利用对称性求出另一交点坐标，结合函数最值性质逐一判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ∵抛物线过点，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，故③错误； ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵当时，有最大值， ∴当时，， ∴， 即，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤． 3．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：该函数图象与x轴一定有两个不同的交点； (2)若该函数图象与x轴的一个交点是，求另一个交点坐标． 【答案】(1)证明：在二次函数中， ，，， . ∵， ∴，即， ∴该函数图象与轴一定有两个不同的交点； (2)另一个交点坐标为. 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式的范围即可证明结论； （2）根据函数图象与x轴的一个交点是得到，解方程即可求出答案. 【详解】（1）略 （2）解：∵二次函数，该函数图象与x轴的一个交点是， ∴ 解得 ∴二次函数为 当时，， 解得， ∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为. 4．（26-27九年级上·天津河北·阶段检测）已知抛物线（为常数）． (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线与轴只有一个交点，求的值，并写出该交点的坐标； (3)若抛物线的顶点在直线上，求的值，并求此时抛物线与轴两交点间的距离． 【答案】(1)和 (2)的值为，该交点的坐标为 (3)的值为，抛物线与轴两交点间的距离为 【分析】（1）由，可得抛物线解析式为，即可求解； （2）由抛物线与轴只有一个交点，可得，即可求得的值，再求出与轴的交点的坐标即可； （3）由抛物线，可得抛物线的顶点坐标为，代入，即可求得的值，再代入，可得抛物线与轴的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为和． （2）解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为． （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴抛物线与轴两交点间的距离为． ▌题型02：抛物线与直线的交点问题（联立方程） 题型描述：题干给出抛物线与直线，求交点坐标或交点个数。核心得分点是联立消元后用判别式或解方程处理。 基础知识： 1. 联立y＝ax²＋bx＋c与y＝kx＋m，消y得一元二次方程； 2. 该方程Δ决定交点个数：Δ＞0两个、Δ＝0一个（相切）、Δ＜0无交点； 3. 解出x后代回直线（更简便）求y。 解题方法： 1. 联立：两解析式相等，整理成一般式； 2. 判Δ：确定交点个数; 3. 解x：求交点横坐标； 4. 代y：代回直线解析式求纵坐标。 解题思路： 口诀：联、Δ、解、回。相切即Δ＝0，是求切线参数的钥匙；代回时优先代入直线解析式，计算量小。 5．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数的图象与一次函数的交点的个数有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：联立， 整理得， ∵， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根， ∴两个函数图象的交点个数为个． 6．（2026·上海·三模）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点______． 【答案】和 【分析】先对抛物线E进行化简得，再令即可求解． 【详解】解： ， 令，解得：或， 当时，，时，， 则抛物线E总过定点和． 7．（2026·江苏南京·一模）已知二次函数图象的顶点在一次函数的图象上． (1)当时，点的坐标是___________； (2)用含的代数式表示； (3)若两个函数图象的另一个交点在点的左侧，则的取值范围是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由顶点坐标公式得出顶点坐标为，再代入一次函数解析式即可得出a的值，则可求出顶点坐标． （2）由顶点坐标公式得出顶点坐标为，再代入一次函数解析式即可得出用含的代数式表示． （3）联立两个函数方程，则，利用韦达定理求，，结合得出，，然后根据两个函数图象的另一个交点在顶点的左侧，得出关于b的不等式求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的顶点A的坐标为， 把代入， 则 ∵二次函数图象的顶点在一次函数的图象上． ∴， 解得， ∴顶点A坐标为：． （2）解：∵二次函数的顶点A的坐标为，且在一次函数的图象上， ∴， ∴． （3）解：联立两个函数方程， 则， 由已知条件可知，则另一个根为， ∴ ，， 由（2）可知，且，即． 把代入得， 把代入中， 则， ∵两个函数图象的另一个交点在点的左侧， ∴， ∴， 解得． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点，该二次函数图象的顶点为，连接． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法将二次函数化为顶点式，从而直接得出顶点的坐标； （2）联立一次函数与二次函数的解析式，求解方程组得到，两点坐标，再通过找辅助线将三角形面积拆分，进而计算出的面积． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标公式为， 在二次函数中，，，， 故， ， 点的坐标为． （2）解：联立两个函数表达式得： ， 即， 整理得：， 解得：，， 将，代入函数， 得，， ，． 设函数为，图像与轴交于点， 将点，代入函数得 ， 解得：， ， 令， ， 解得：， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及顶点式求二次函数顶点坐标、联立方程求交点坐标以及三角形面积的计算，熟练掌握函数图象的交点求法和三角形面积的拆分计算是解答本题的关键． ▌题型03：交点间的距离与围成图形的面积 题型描述：题干给出抛物线与x轴（或直线）的交点，求两交点间距离或交点与顶点围成的三角形面积。核心得分点是求出交点坐标后用距离公式与面积公式。 基础知识： 1. 两交点的距离＝； 2. 三角形面积＝底×高÷2，抛物线顶点到x轴的距离为； 3. 水平底×竖直高是最常用的面积处理方式。 解题方法： 1. 求交点：解方程得交点坐标； 2. 算距离：求交点间距离（作底）； 3. 定高：确定顶点到交点连线的距离； 4. 求面积：套面积公式。 解题思路： 口诀：交、距、高、积。与x轴的交点距离可用直接算；围成三角形先定底再找高。 9．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）一条有最高点的抛物线与轴交于点和点，并且两交点与抛物线顶点构成的三角形面积为，这条抛物线的函数表达式为_______________． 【答案】 【分析】先根据抛物线与轴的交点得到长度和对称轴位置，再利用三角形面积求出顶点纵坐标，最后利用交点式求出抛物线表达式． 【详解】解：∵抛物线与轴交于和， ∴，对称轴为直线， 设抛物线顶点纵坐标为， ∵抛物线有最高点，且，，顶点构成的三角形面积为， ∴， 代入得， 解得， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将顶点坐标代入得， 整理得， 解得， 展开得． 10．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先由顶点式得到顶点坐标，结合求出点坐标，代入解析式求； （2）将坐标代入抛物线解析式求出的值，确定出坐标，过作垂直于轴，，求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴，即 ∵，且在轴负半轴， ∴ 把代入 得：， 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：过点作轴于点，如图 将代入抛物线解析式，得 ， 即， 则． 11．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿线段向点C移动，动点Q从点C出发，沿线段向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发（当一点移动到终点时，另一点也随之停止），连接，设运动时间为，的面积为． (1)写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当为何值时，的面积取得最大值，最大值为多少? 【答案】(1)（）． (2)当时，的面积取得最大值，最大值为． 【分析】（1）用含的式子表示、，写出与的函数解析式及自变量取值范围； （2）把与的解析式化成顶点式，求面积的最大值． 【详解】（1）解：点、都以的速度同时出发， ，， ． ， ． 点、到达终点分别需、，且一点到达终点时另一点也随之停止，又时点与点重合，不存在， 自变量的取值范围是． （）． （2）解：． ， 当时，取得最大值，且在的范围内， 当时，的面积取得最大值，最大值为． 12．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过点和，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的另一个交点为点C，过线段上一点E，作轴，交抛物线于点F，求线段长度的最大值； (3)在抛物线上有一点P，满足的面积是24，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)线段长度的最大值为4； (3)点的坐标为和． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，再设，则，用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）求得直线的解析式，过点P作竖直线(垂直x轴)，交直线于点Q，利用割补法列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为点， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即； （2）解：由（1）知，， ∴设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，其中， ∴ ， ∵， ∴当时，线段的长度有最大值，最大值为4； （3）解：同（2）得直线的解析式为， 过点P作竖直线（垂直x轴），交直线于点Q， 设，则， 线段就是铅垂高，， 水平宽为， 由题意得， 解方程，得，； 解方程，整理得， ∵， ∴方程无实数解； ∴点的坐标为和． ▌题型04：利用交点情况求参数的取值范围 题型描述：题干给出含参抛物线与x轴（或直线）交点的个数、位置条件（如两交点都在正半轴），求参数范围。核心得分点是把交点条件翻译成Δ与韦达定理的不等式组。 基础知识： 1. 交点个数→Δ的符号； 2. 交点位置：两正根、；一正一负； 3. 交点在某值m的一侧用与表示； 4. 二次项系数不为0。 解题方法： 1. 译条件：把交点个数、位置翻译成Δ与和、积的不等式； 2. 列组：联立成不等式组； 3. 解参数：分别求解； 4. 取交集：求公共部分并检查a≠0。 解题思路： 口诀：译、组、解、交。个数靠Δ、位置靠韦达；“都有交点”类条件先写Δ≥0再写位置条件。 13．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 0 1 0 … 有以下几个结论： ①抛物线与轴的交点坐标是； ②抛物线的对称轴为直线； ③关于的方程的根为和； ④当时，的取值范围是． 其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用表格中的点坐标，根据抛物线的对称性逐一判断个结论的正误，统计正确结论的数量，选出对应选项． 【详解】解：∵和时的值均为， ∴抛物线的对称轴为直线，故②正确． ∵与关于直线对称，且时， ∴时，即抛物线与轴交点为，故①正确． ∵和时， ∴方程的根为和，故③正确． ∵抛物线顶点坐标为，且时， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是或，故④错误． 综上，正确的结论共个． 14．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______． 【答案】且 【分析】到轴距离为的点满足，即对应和，存在四个点说明两个方程都有两个不相等实根，且原函数为二次函数，分别计算判别式即可得到取值范围． 【详解】解：∵图象上点与轴距离为， ∴，即或． ∵若为一次函数，其图象与直线和最多共有2个交点，要得到四个点，原函数必为二次函数， ∴，得，且和对应的一元二次方程都要有两个不相等的实数根． 当时，整理方程得： 判别式 ∵， ∴，解得． 当时，整理方程得： 判别式 ∵， ∴，解得． 综上，的取值范围是且． 15．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，点都在抛物线（）上． (1)这个抛物线的对称轴是直线______； (2)若，求t的取值范围； (3)若无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有一个点在x轴的下方，直接写出a的取值范围______ 【答案】(1) (2)的取值范围是 (3) 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式直接计算； （2）将函数值大小关系转化为点到对称轴的距离关系，列绝对值不等式求解； （3）根据题意，得，判定方程有两个不相等的实数根，设为，根据根与系数的关系得出，根据无论取任何实数，点中都至少有一个点在轴的下方，得出，根据，得出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：对于抛物线， 对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴直线的距离越小，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 解， 两边平方得， 整理得， 解得； 解， 两边平方得， 整理得， 解得； ∴的取值范围是； （3）解：根据题意，得， ， ，故有两个不相等的实数根， 设两个不相等的实数根为， 则， 根据题意，得与轴交点的横坐标为， ∵无论取任何实数，点中都至少有一个点在轴的下方， ∴只要使即可， ， ， 即， ， ∵方程的解为：或， 的解集为：或， ， ． 16．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）把，代入解析式，再把解析式化为顶点式即可； （2）①先把原解析式化为，再根据对于任意实数，抛物线总经过定点，即可求解； ②点，在抛物线上，且线段与轴有交点，求出的取值范围，再求出直线的解析式，过点作轴交的延长线于点，则点，根据，可得关于的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当，时， ， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：①， 当时，， ∵对于任意实数，抛物线总经过定点， ∴，， ∴； ②由①得：，，， ∴抛物线的解析式为， ∵点，在抛物线上，且线段与轴有交点， ∴， 把点，代入得： ， ， ∴点，， ， 解得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交的延长线于点， ∴点， ， ∴ ， ， ∴， 则当时，随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时取得最大值，最大值为8， 当时，取得最小值，此时取得最小值，最小值为， ∴的取值范围为． ▌题型05：交点问题与不等式（图象法解不等式） 题型描述：题干给出抛物线与x轴（或直线）的交点，要求解不等式ax²＋bx＋c＞0（或＜0）或比较两函数大小。核心得分点是用图象的上下位置关系确定解集。 基础知识： 1. 不等式ax²＋bx＋c＞0的解集是抛物线在x轴上方部分对应的x范围； 2. 开口向上时“大于取两边，小于取中间”； 3. 比较两函数大小：图象在上方的函数值大，交点是分界。 解题方法： 1. 求交点：求出抛物线与x轴（直线）的交点横坐标； 2. 画草图：标出开口与交点； 3. 读区间：按“上方（下方）”读x的范围； 4. 写解集：规范写成不等式或区间。 解题思路： 口诀：交、图、读、集。开口向上“大于两边夹外、小于中间”；两函数比较大小以交点为界分段读图。 17．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数图象的一部分如图所示，对称轴为，下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图象上，且，则； ④当时，； ⑤不等式的解集为． 其中正确的结论有______． 【答案】①③/③① 【分析】由二次函数图象与性质逐项验证即可． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，则；对称轴直线，结合，则；抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 由图可知，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，则另一个交点为， ， 即多项式可因式分解为，故②错误； 由图可知，抛物线开口向上、对称轴为直线，则抛物线上的点到对称轴的距离越大值越大， ， ，解得，故③正确； 由前面分析可知，抛物线与轴的交点为、，抛物线开口向上，则当或时，，故④错误； 将不等式转化为， 令，作出函数图象，如图所示： 由图可知，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 不等式的解集为或，故⑤错误； 综上所述，题中正确的结论是①③． 18．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图像写出关于的不等式的解集； (3)已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵，， ∴二次函数开口向上， ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 19．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题． (1)关于 的方程 的解是________； (2)关于 的不等式 的解集是________； (3)当 时， 的取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据图象求出图中所有点的坐标，再根据图象的对称性得到答案； （2）直接观察图象得到不等式的解集； （3）观察图象，得出在取值范围内的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 由 得，其关于对称轴对称的点的坐标为 ， ， （2）解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 观察图象可得：不等式的解集为． （3）解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 当 时，观察图象可得最大值为 ，最小值 ， 的取值范围是： ． 20．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线、与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)①当时，求出的取值范围； ②将抛物线沿轴翻折，再向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线；将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线，若函数其中，且函数y的图象与轴恰有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或 【分析】（1）使用待定系数法求出解析式； （2）连接与直线的交点即为点，连接，则的周长的最小值为，分别计算与即可； （3）①利用图象法分别解二次不等式与，并取结果的公共部分作为解集； ②先根据轴对称与平移的性质写出与的解析式，再求出函数与轴交点的横坐标，分析可知的图象与轴的交点个数为或，分两类讨论，舍去无解的情况即可． 【详解】（1）解：将点，，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接与直线的交点即为点，连接， 由二次函数的对称性可知，， ∴， ∴、、三点共线时，最小， ∵，，， ∴，， ∴的周长的最小值为； （3）解：①∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 综上所述，的取值范围为或； ②将抛物线沿轴翻折可得，即，再向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得，即， 将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得，即， 将代入，得， 解得， 将代入，得， 解得或， ∵，自变量的取值范围关于原点对称， ∴同时符合题干要求或者同时不符合，即的图象与轴的交点个数为或， 当的图象与轴有两个交点，的图象与轴无交点时， ∴或， ∴或； 当的图象与轴有两个交点，的图象与轴无交点时， ∴， 该不等式组无解，故舍去； 综上，或． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将交点坐标代入抛物线解析式求出的值，再整体代入所求代数式计算. 【详解】解：把代入中， 得， ， . 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若直线与抛物线只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】联立两函数方程，根据只有一个公共点可知对应一元二次方程判别式为，代入求解的值． 【详解】解：将代入，得 ， 整理得． ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根，即． ∵， ∴， 解得． 3．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）在二次函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线开口方向与对称轴，判断给定区间内函数的增减性，再代入区间端点算出对应函数值，得到的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 4．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（     ） A．18 B．16 C．12 D．10 【答案】B 【分析】过点作轴交于点，过点作轴交于点，利用割补法表示出的面积，再由求解即可． 【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点， 设直线，代入点，可得， 解得 ∴直线 设，则 ∴ ∵ ∴， ∴当时，取得最大值为， 设，则， ∴， 同理可求当时，取得最大值为， ∵， ∴当且仅当时，取得最大值为． 二、填空题 5．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【分析】令求出点坐标，令求出点坐标，确定、的长度，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：令，得， 点的坐标为， ． 令，得， 整理得， 解得， ． 点在轴的负半轴， 点的坐标为， ． ． 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数图象过点，．若，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】先确定二次函数与轴交点、对称轴、开口方向，计算得的值，利用二次函数的轴对称性找到与函数值相等的横坐标，结合函数值的大小关系推导的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象与轴的交点坐标为，，图象开口向上，对称轴为直线， 将代入函数解析式，得. ∵二次函数图像关于对称轴对称， ∴与函数值相等的点的横坐标为，即时对应的函数值为3， ∵函数开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴当函数值满足时，对应的的范围是或， ∵，即， ∴的取值范围是或． 7．（26-27九年级上·甘肃临夏·期中）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：①该函数图象经过点；②若，则当时，y随x的增大而减小；③若，则关于x的方程有一个根大于0小于1．其中正确的结论有____________________（填序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】代入点坐标验证函数过定点，结合二次函数开口方向与对称轴判断增减性，利用已知方程的根结合根与系数的关系，结合参数范围判断另一根的区间． 【详解】解：当时，代入函数解析式得， ∴函数图象经过点，结论①正确； 当时，函数解析式为， ∵二次项系数为，抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，随的增大而减小， 抛物线对称轴为直线， ∵， ∴的取值范围在对称轴右侧，此时随的增大而减小，结论②正确； ∵由结论①可知是方程的一个根， 设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得：两根之积为，即， 解得， ∵， ∴， ∴方程有一个根大于0且小于1，结论③正确． 8．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根与（），则实数a的取值范围是________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程定义得到二次项系数不为，再结合有两个不相等实数根，得到根的判别式大于，解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 计算判别式： ， 由得： 整理得： 解方程，由求根公式得： ， ∵二次函数开口向上，不等式的解集为两根之间， ∴， 结合，可得的取值范围是且． 三、解答题 9．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（、是常数）的顶点坐标，抛物线与轴正半轴交于点．点是该抛物线上的点，横坐标为，点的坐标，连接，以线段为对角线作矩形． (1)求该抛物线对应的函数表达式及点坐标； (2)当时，且轴，通过计算说明矩形是正方形； (3)当线不与坐标轴平行时，且轴． ①当时，若矩形面积被直线分成两部分，求的值； ②当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，， 令，得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ，， ， ∴矩形是正方形． (3)①3或；②或 【分析】（1）利用对称轴公式和顶点坐标即可求出抛物线解析式，再令，即可求出点的坐标； （2）当时，，，再由轴得出的坐标，通过计算，即可说明矩形是正方形； （3）①先求出直线的解析式为，要使直线分矩形的面积为，直线只可能与边或相交，需要对此进行分类讨论，当直线与边相交于时，得出为中点，求出；当直线与边相交于时，为中点，再求出即可；②当点P在点Q左侧，要使抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，就要使点Q在点左侧，点P在点上方，据此列出不等式组求解即可；当点P在点Q右侧时，就要使点P在顶点上方，点P在点下方，据此列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标， ∴，解得：， 将代入得：，解得：， ∴抛物线为， 令，得：，解得：或， ∵点在轴正半轴上， ∴． （2）略 （3）解：①∵点的坐标， ∴设，， ∴点的坐标可表示为，消去，可得：，即点的横坐标与纵坐标满足解析式， ∴点在直线上， 令，得：，解得：， ∴直线与轴交点为，即点坐标， ∴直线的解析式为， ∵要使直线分矩形的面积为，直线只可能与边或相交， ∴需要对此进行分类讨论， 当直线与边相交于时，如图所示： ∵点是该抛物线上的点，横坐标为， ∴， ∵四边形是矩形，轴， ∴轴， ∴， ∵，， 由矩形面积被直线分成两部分可得：， ∴，即， ∴为中点， ∴， 将代入得：，解得：或（舍去）， 当直线与边相交于时，如图所示： ∵四边形是矩形，轴， ∴轴， ∴， ∵，， 由矩形面积被直线分成两部分可得：， ∴，即， ∴为中点， ∴， 将代入得：，解得：或（舍去）， 综上：或． ②∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， 令，得，解得：或， ∴抛物线与坐标轴的两个交点分别为， ∵点的坐标， ∴点在直线上，且直线与轴交于点， 当点P在点Q左侧，如图， 此时， 解得； 当点P在点Q右侧时，如图： ∵， ∴抛物线顶点坐标为， 此时， 解得； 综上：当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围或． 10．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）已知抛物线与x轴交于、，且二次项系数为，设解析式为，展开化简后得到； （2）①先求得与直线，设、，分三种直角情况，结合坐标几何性质与勾股定理列方程，舍去超出第一象限范围的解，得到符合条件的t值；②与同底，则计算得，将面积差转化为纵坐标之差；利用设平移直线解析式，联立求N点坐标，构建关于t的二次函数，通过顶点公式求最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、，且二次项系数为， ∴设函数表达式为 ， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①由（1）得，当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 将、代入直线中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为t，轴，M在上， ∴，， 当时，∵轴，且， ∴，即为水平方向， ∴点P与点C纵坐标相等，均为3， ∴ 解得（舍去），， 当时，则， ∵； ； ， ∴ ∴或， 解得（舍去），（舍去）； 当时，则， ∴ ∴或， 解得（舍去），； 综上，满足条件的t值为或． ②由题意得，， ∵和的底均为， ∴高分别为点P、点N的纵坐标， ∴，， ∴ ， 设直线的解析式为，代入、： 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线可由直线平移m个单位得来， ∴设直线为，， 将点P代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与的解析式，得 解得， 将x代入，得， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值， ∴顶点横坐标为， 将代入得， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $