专题05 二次函数中的最值问题 2026-2027学年人教版数学九年级上册专项训练讲义

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题05 二次函数中的最值问题 ▌专题目标 1. 掌握二次函数在给定区间上求最值的基本方法。 2. 会处理对称轴或区间含参数的最值分类讨论问题。 3. 会用二次函数模型解决几何图形面积的最值问题。 4. 会建立实际问题（利润、面积）的二次函数模型并求最值。 5. 在最值问题中体会函数思想与分类讨论思想，发展模型观念。 ▌专题目录 题型01：定轴定区间上的最值问题 题型02：动轴（动区间）上的最值分类讨论 题型03：几何图形面积的最值问题 题型04：实际问题中的最值（利润、面积模型） ▌题型01：定轴定区间上的最值问题 题型描述：题干给出确定的二次函数与确定区间，求最大值、最小值。核心得分点是比较对称轴与区间的位置关系。 基础知识： 1. 对称轴在区间内：顶点处取一个最值，端点取另一个； 2. 对称轴在区间外：函数在区间上单调，最值都在端点； 3. 开口向上：顶点取最小值，离轴远的端点取最大值。 解题方法： 1. 求轴：求出对称轴； 2. 判位置：比较轴与区间的位置； 3. 取候选：顶点（在区间内时）与两端点； 4. 比值答：比较各候选值得最值。 解题思路： 口诀：轴、位、点、比。轴在区间内顶点必算，端点不能少；开口向上离轴越远值越大，开口向下相反。 1．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）已知二次函数的图象过点，，． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)当时，求函数的最大值； 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3)当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）先求出二次函数的顶点坐标，看横坐标是否在取值范围内，求出两端点处的代数式的值，再取舍得到最小值； （3）对不同的取值范围进行讨论，得到最大值． 【详解】（1）解：点，，代入得：， 解得：， 二次函数的解析式． （2）解： ， 顶点坐标为，对称轴为直线， ，直线落在该区间内， 函数在顶点处取最大值，最大值是， 当时，； 当时，， 函数的最小值为． （3）解：， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论：当，即时，都在对称轴的左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为； 当，即时，对称轴在范围内，当时，取得最大值，最大值为； 当，即时，都在对称轴的右侧，随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值是． 综上所述，当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为． 2．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）已知二次函数． (1)当时，求该二次函数顶点坐标和对称轴 (2)当时，的最小值为，求的值； (3)若都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) (3)或 【分析】（1）把代入函数解析式，再将解析式化为顶点式，然后得出答案即可； （2）由于对称轴是直线，对和两种情况讨论求解； （3）由于，两点关于对称轴对称可知，再对点，都在对称轴左侧，点，在对称轴两侧进行讨论，列不等式求解． 【详解】（1）解：时，二次函数解析式为：， ∴二次函数顶点坐标为，对称轴为：直线； （2）解：抛物线对称轴为， 若，当时，函数值最小， ∴， 解得，， ∵， ∴； 若，当时，函数值最小， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 综上所述，； （3）解：∵关于对称轴对称， ∴， ∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线， ∴此交点关于对称轴的对称点为， ∵且， ∴，解得， 当都在对称轴左侧时， ∵， ∴，解得， 当分别在对称轴两侧时， ∵，到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴， 解得，， ∴， 综上所述，或． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（为常数，）． (1)若该二次函数的图象经过，求该二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）确定抛物线的对称轴，利用对称轴确定函数的增减性，然后利用最值求出参数． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，函数的最小值为， 即， 解得． 4．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线的顶点，经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求出二次函数最大值与最小值的差； (3)如图过点作直线交抛物线于点、，轴于，轴于，求的值． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】（1）根据顶点坐标将二次函数表达式设出来，再将点代入求解即可； （2）利用二次函数的增减性求解即可； （3）将一次函数表达式设出来，联立一次函数与二次函数，求出点横坐标之间的关系，从而确定点横坐标之间的关系，再利用两点之间的距离求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 即． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ，且， 抛物线开口向上，离对称轴越远值越大， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值是0， 最大值与最小值的差是16． （3）解：设直线的解析式为， 将点代入解得， ∴直线的解析式为， 将代入，整理得：， ，， ， ， ， ， ． ▌题型02：动轴（动区间）上的最值分类讨论 题型描述：题干中对称轴含参数（或区间含参数），求函数在区间上的最值。核心得分点是按对称轴与区间的三种位置关系分类。 基础知识： 1. 三类位置：轴在区间左侧、区间内、区间右侧； 2. 轴在区间内时最值含顶点值，需再比较端点； 3. 每类用对应的单调性（顶点）求最值。 解题方法： 1. 写轴与区间：用参数表示对称轴； 2. 分三类：按轴在左、中、右分类； 3. 逐类求：每类用单调性或顶点求最值； 4. 汇总结：分段写出最值表达式。 解题思路： 口诀：轴、类、求、汇。分类标准永远是“轴与区间的位置”；轴在区间内求最大值时，还要比较两端点谁离轴远。 5．（2025·陕西西安·一模）已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，当时，，当时，，则，即可求解． 【详解】由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线， 则比距离对称轴远， 当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值， 当时，， 当时，， 则，解得，， 故选：C． 6．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点和点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差； (3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．当线段的长随的增大而增大时，请求出的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2) (3)当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键. （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数的对称性可知当时，y随x值的增大而减小，则当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，再求解即可； （3）由题意分别求出，，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，是抛物线上的点， ， 解得， 拋物线的表达式为， ， 抛物线顶点的坐标为； （2）解：抛物线顶点的坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，在处，取得最大值， 在处，取得最小值， 当时，二次函数的最大值与最小值的差为； （3）解：设直线的表达式为， 点，， 解得， ∴直线的表达式为， 设点（且），则点， 当点在点的下方，即时，； 当时，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，， 当时，线段的长随的增大而增大， 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或. 7．（2025·河南南阳·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的表达式． (2)将点向左平移多少个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上？ (3)当时，该函数的最大值与最小值之差为，当时，该函数的最大值与最小值之差为．若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)左平移1个或9个单位长度 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标的平移、二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点向左平移个单位长度后，得到的点恰好落在该二次函数的图象上，再代入二次函数计算即可得解； （3）画出该二次函数的图象，结合函数即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得． 该二次函数的表达式为． （2）解：设点向左平移个单位长度后，得到的点恰好落在该二次函数的图象上， ， 解得或． 点向左平移1个或9个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上． （3）解：画出该二次函数的图象如解图所示， 由图象可知，当或时，有， 或． ． 8．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质. （1）先求出的图象顶点坐标，再代入即可求出的值； （2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值. （3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：∵， 的图象顶点坐标为， 的图象经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）得 的图象经过， ， ， ∴的最小值为； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为. ∵时，， ∴， 当时， ， 解得， ∴， ∴的取值范围是． ▌题型03：几何图形面积的最值问题 题型描述：题干给出动点（动线）在几何图形中运动，求某图形面积的最大值。核心得分点是用一个变量表示底和高，建立面积的二次函数。 基础知识： 1. 设动点位置为x，用x表示面积S； 2. S多为关于x的二次函数； 3. x的取值范围由图形边界决定； 4. 配方或顶点公式求最值。 解题方法： 1. 设变量：设关键线段为x并确定范围； 2. 表面积：用x表示底和高，写出关于S的函数解析式； 3. 化二次：整理成二次函数； 4. 求最值：配方求顶点，检验x在范围内。 解题思路： 口诀：设、积、式、顶。面积最值问题“一个字母走天下”；顶点横坐标超出范围时，最值在边界取得。 9．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）定义：对于一个函数，当自变量，对应函数值时，则实数叫做这个函数的一个降一点值．例如：求正比例函数的降一点值． 解：当时，， 解得： 正比例函数的降一点值为； 根据定义完成下列问题： 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a，b，c为常数，且）与y轴交于点A． (1)若，该二次函数有和1两个降一点值，且抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C左边）． ①求该二次函数的表达式； ②过线段上一点D作轴于E，的延长线交抛物线于F，若，求的值． (2)已知点P在该抛物线上，且直线经过该抛物线的顶点，设与x轴，y轴所围成的三角形面积为，，且，求的最小值． 【答案】(1)①；②1或 (2) 【分析】本题考查新定义问题、二次函数，熟练掌握二次函数的表达式和性质是解题的关键． （1）①当时，该二次函数的表达式为，根据二次函数有和1两个降一点值，列出方程组，得出、的值即可； ②由①可知，抛物线的表达式为，则点的坐标为，，直线的表达式为，假设，则，根据，解出或，分情况讨论，当时或当时，计算的值即可； （2）假设直线的表达式为，该抛物线的顶点为，根据直线经过该抛物线的顶点，得出，令，解得，根据三角形面积公式得到，分析发现当时，取得最大值，进而得到取最小值． 【详解】（1）解：①当时，该二次函数的表达式为 二次函数有和1两个降一点值 解得、 因此该二次函数的表达式为 答：该二次函数的表达式为； ②抛物线的表达式为 点的坐标为， 可得直线的表达式为 设，则 解得或 当时，， ； 当时，， 的值为1或； （2）解：由题意，设直线的表达式为 该抛物线的顶点为 直线经过该抛物线的顶点 解得 直线AP的表达式为 令，解得 又 的对称轴为直线，开口向上 离对称轴越远，的值越大 当时，取得最大值 此时取最小值，最小值为． 答：的最小值为． 10．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．    (1)求一次函数及反比例的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，当S的值最小时，求出点P的坐标及S的最小值． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)点P的坐标为或，S的最小值为． 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、二次函数的应用等知识． （1）将代入得b，即得一次函数的解析式，将代入得k，将代入一次函数解析式得m； （2）由图象可得，一次函数与反比例函数的图象交于点和，根据直线在双曲线下方的部分的自变量的范围即可求解； （3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是， 把代入得到 ， 解得， ∴反比例函数解析为； ∵在一次函数的图象上， ， ； （2）由图象可得，一次函数与反比例函数的图象交于点和， 则得解集为：或； （3）∵点P是线段上一点，设， ∴， ∴， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴当或时，有最小值，且最小值是． 此时点P的坐标是或 11．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，顶点为的抛物线交轴于点，交轴于、两点，直线过、两点，是位于直线下方抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线对称轴上一点，则的最小值为______； (3)连接，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，面积最大值 【分析】（1）已知抛物线顶点，设顶点式，代入点坐标求出，展开得到解析式； （2）利用抛物线对称性，、关于对称轴直线对称，则，，两点之间线段最短，最小值就是线段长度； （3）作轴交直线于，面积可以拆分为，底为，高之和等于、的水平距离，面积，先求表达式，再求面积最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴设抛物线顶点式：． 抛物线过，代入：， 解得， ∴， ∴抛物线解析式：． （2）解：令，， 解得，， ∴，． 抛物线对称轴为直线，是抛物线对称轴上一点，关于对称轴直线对称， ． ， 当三点共线时，最小，最小值为长． 已知， ∴， 最小值为． （3）解：设直线解析式，代入， ， ， ∴直线． 过点作轴交直线于， 设，则， ， ， 这是开口向下的二次函数，当时，面积最大． 把代入抛物线： ， ， 最大面积：． 12．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，使周长有最小值，求周长的最小值及点的坐标； (3)抛物线在第四象限上是否存在一点，使得的面积取得最大值？若有，请求出最大值，并求出此时点的坐标；若无，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)周长的最小值为，点的坐标为； (3)的面积的最大值为，此时的坐标为． 【分析】利用待定系数法即可求解； 由知抛物线解析式为，求出，，则有，，由点与点关于抛物线的对称轴对称，则对称轴上的点满足，所以的周长为，要使周长最小，即最小，即当，，三点共线时，最小值为，所以周长的最小值为，再通过待定系数法求出直线的解析式为，然后时代入即可求解； 过作轴，交于点，设，则，所以，然后通过的面积为，再由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由知抛物线解析式为， 令，得， 解得，， ∵， ∴， 令，得， ∴， ∴，， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴上的点满足， ∴的周长为，如图，连接， 要使周长最小，即最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，最小，最小值为，如图， ∴周长的最小值为， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴点的坐标为， 综上可得：周长的最小值为，点的坐标为； （3）解：如图，过作轴，交于点， 由上可得，抛物线解析式为，直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为，此时的坐标为． ▌题型04：实际问题中的最值（利润、面积模型） 题型描述：题干给出销售利润（涨价降价影响销量）或围栏面积等实际情境，求最大利润（面积）及此时方案。核心得分点是正确建立二次函数模型并关注自变量范围。 基础知识： 1. 利润＝(售价－进价)×销量； 2. “每涨x元少卖y件”：销量＝原销量－单位涨幅×； 3. 面积模型：一边靠墙时用x表示另一边的长； 4. 自变量须使价格、销量、边长为正。 解题方法： 1. 设变量：设涨价（边长）为x； 2. 建模型：写出利润（面积）的二次函数； 3. 求顶点：配方求最值； 4. 验实际：检验x为正整数（或符合范围），写出方案。 解题思路： 口诀：变、模、顶、验。利润问题抓住“单件利润×件数”；顶点横坐标取整数时比较邻近两整数。 13．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，为等边三角形，，点M从点A出发沿射线运动，点N从点B出发沿射线运动，点M与点N同时出发，速度都是每秒2个单位．连接，设M，N两点的运动时间为t秒，的面积为y． (1)求t为多少时，是直角三角形； (2)当点M在线段上运动时，求y的最大值； (3)在点M，N运动过程中，存在三个间隔相等的时刻，，（，），使得的面积都等于m，求m值． 【答案】(1)当或时，是直角三角形； (2)y的最大值为； (3)． 【分析】（1）利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）利用直角三角形的性质和勾股定理，以及三角形的面积公式求解即可； （3）分和两种情况，求得y关于的函数解析式，画出图象，题目可理解为时，对应的有3个不同的值，分别为，，，且，分别解方程和，求得，，，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 当点M在线段上运动时，即，则，， 当点M在线段延长线上运动时，即，则，， 此时是钝角，不存在直角三角形， 只有当点M在线段上运动时，才存在直角三角形； 当时， ∵为等边三角形，，， ∴， ∴，即， 解得； 当时， ∵为等边三角形，，， ∴， ∴，即， 解得； 当或时，是直角三角形； （2）解：∵点M在线段上运动， ∴， 作于点， ∵为等边三角形，，∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为； （3）解：由（2）知，当时，， 当时，作于点， ，， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 其图象如图， 题目可理解为时，对应的有3个不同的值，分别为，，，且， 则图象知， 令， 整理得， ， ∴， 解得，， 令， 整理得， ， ∴， 解得（舍去），， ∵，∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 14．（2026·山西临汾·三模）综合与实践 问题情境：为了解本土优质农产品晋祠大米的产销情况及政府对晋祠大米的相关保护措施，数学小组开展综合与实践活动． 收集信息： 信息①：晋祠大米，产自山西太原市晋祠镇，以晋祠难老泉水灌溉，米质晶莹、颗粒饱满，口感软糯香甜．2025年，晋祠大米成功获批国家地理标志保护产品． 信息②：政府提供财政补贴、税收优惠等政策支持，鼓励种植大户、专业合作社扩大种植面积，推动晋祠大米产业规模化、集约化发展，促进农民增收和乡村振兴． 信息③：某农民专业合作社直销晋祠大米，经市场调查发现，若售价为5元/千克，日销售量为340千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少20千克． 建立模型： (1)设该农民专业合作社直销晋祠大米的售价为x元/千克（且为正整数），每日销售额为y元． ①该合作社每天直销晋祠大米的数量为______千克（用含x的代数式表示）； ②求y关于x的函数表达式； 解决问题： (2)若销售过程中，有关部门规定晋祠大米销售价格不得超过15元/千克．求此时y的最大值和最小值； (3)政府为保护传统作物，销售过程中每日给农民专业合作社补贴a元（a为正整数），要使农民专业合作社日收入（日收入＝日销售额＋政府每日补贴额）不低于2500元，并且最多有5种不同的单价可以达到这个要求，请直接写出a的最小值． 【答案】(1)① ，② (2)y的最大值是2420元，y的最小值是 (3)160 【分析】（1）根据题意列出销售额的代数式，再“销售额售价数量”列出等式求解； （2）由（1）得到销售额的二次函数式，转化为二次函数的顶点式，在顶点处取得最大值，再根据二次函数的增减性找到取值范围内的最小值； （3）利用二次函数的对称性，将5种不同的价格找出来，将这5种价格中的最小值求出来，从而解决问题． 【详解】（1）解：①售价为元，则售价提高了元， 则销量为（千克）； ②由题意列式：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∵， ∴当时，取得最大值，， ∵， 当时，取得最小值，， ∴y的最大值是2420元，y的最小值是； （3）解：由题意可列式：， ∴ ∵最多有5种不同的单价可以达到这个要求， 由于二次函数的对称轴是， 则的值可以是， 根据二次函数的对称性可知，当价格为这5个价格时， 当时，最小，， ∴，解得， ∴的最小值是160． 15．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）一阆中特产商店销售某种规格的保宁醋，经市场调查发现，这种规格的保宁醋月销量（件）是售价（元／件）的一次函数，该保宁醋的月销售总利润（售价-成本）×月销量，三者有如下数据： 售价（元／件） 30 40 60 月销量（件） 210 180 120 月销售总利润（元） 2100 3600 4800 (1)试求关于的函数关系式（的取值范围不必写出）； (2)求当保宁醋售价为多少元时，月销售总利润有最大值，最大值为多少元？ (3)由于进价下降，从本月起，该规格保宁醋成本下降元／件（），且物价局规定该保宁醋售价最高不得超过元／件．若月销量与售价仍满足（1）中的关系，预计本月总利润最高为元，请你求出的值． 【答案】(1) (2)当售价为元时，月销售总利润有最大值，最大值为元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）根据销售利润的关系式求解即可； （3）根据题意重新列出二次函数，再结合自变量的取值范围，以及函数轴对称的位置，判断出当，总利润最高，代入函数表达式进行求解即可． 【详解】（1）解：令关于的函数表达式为， 当时，，当时，，代入函数表达式， 得，解得， 故函数表达式为． （2）解：当时，，利润， 由此计算出成本为， 故成本价为元／件， ∴， 化简得， ∴当时，利润最大，最大利润为元． （3）解：利润， 函数图像对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，总利润最高，为元 得， 解得，满足条件； 故的值为． 16．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，再以为邻边作正方形． (1)求证：； (2)设点P的横坐标为m，正方形的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求正方形面积的最小值． 【答案】(1)证明：在中，令，得，令，得，解得， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)，面积的最小值是9 【分析】（1）先求出点的坐标，进而求出，再求出即可证明； （2）如图，过点P作轴于点H，设点P的横坐标为m，求出，，在中，由勾股定理求出，即可得到S关于m的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求出正方形面积的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点P作轴于点H， ∵P是上的一个动点，点P的横坐标为m， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向上， ∴当时，S有最小值，最小值是9． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）关于二次函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为4 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．二次项系数， 其图象开口向下， 故该结论不正确，不符合题意； B．其图象的对称轴是直线， 故该结论不正确，不符合题意； C．对称轴是直线，图象开口向下， 当时，函数有最大值，此时， 故该结论正确，符合题意； D．对称轴是直线，图象开口向下， 当时，随的增大而增大， 故该结论不正确，不符合题意． 2．（25-26九年级上·山东济南·期末）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③函数的最大值为；④当时，；⑤时，随增大而减少；⑥ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点判断、、的正负；根据抛物线与轴的交点情况判断对应的一元二次方程解的情况；由二次函数性质判断函数最大值；由函数对称性推得时的取值范围；由抛物线图象可得时，的变化情况；利用函数图象经过点，与的数量关系，与的关系判断与的关系． 【详解】解：由图得，二次函数的图象开口向下，与轴相交上半轴，对称轴为， ，，， ， ，即结论①正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 一元二次方程有两个实数根， 即，即结论②错误； ，对称轴为， 二次函数有最大值， 当时取最大值，最大值， 即结论③错误； 对称轴为，函数图象与轴的其中一个交点是， 由二次函数对称性可得，另一个交点是， 结合函数图象得，当时，， 即结论④正确； 为函数图象对称轴，且， 时，随增大而增大，即结论⑤错误； 函数图象经过点， ， ， ， 又， ，即结论⑥正确． 综上，结论中正确的个数是个． 故选：． 【点睛】 本题考查的知识点是二次函数图象与各项系数符号、二次函数的对称性、二次函数的最值、二次函数的图象与性质，解题关键是根据对称轴得出与的数量关系． 3．（2026·江苏泰州·三模）如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A．3 B．4 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据函数图象确定运动停止的时间，结合直角三角形角的性质求出的长，用表示出和的长，利用三角形面积公式建立与的函数关系式，利用二次函数的性质求最大值 【详解】解：设， 在中，，， ，. 点、的速度均为1， 点到达终点需秒，点到达终点需秒. ， 点先到达终点. 由图可知，运动总时间为秒， ， ， 解得， ， 由题意得：，，则， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值， ，且， 当时，． 4．（24-25九年级上·山东威海·期末）某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件．设厂家批发单价是元/件，下列说法错误是（   ） A．销售量可以表示为 B．销售额可以表示为 C．所获利润可以表示为 D．当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，二次函数的应用.能根据题意得出等量关系，根据等量关系列出函数关系式是解决此题的关键，根据销售量原销量多经销的销量即可列出关系式即可判断A；根据销售额销售量批发单价列出关系式即可判断B；根据所获利润销售量×单利润即可列出函数关系式即可判断C；再根据二次函数的性质即可求出所获利润有最大值，即可判断D． 【详解】解：根据题意： A、销售量可以表示为：，故选项A正确，不符合题意； B、销售额可以表示为：，故选项B错误，符合题意； C、所获利润可以表示为：，故选项C正确，不符合题意； D、所获利润可以表示为：，则当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级下·四川自贡·阶段检测）已知二次函数，其中，则有最大值为_____ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质及最值的求法，解题的关键是熟练应用二次函数的图象及性质． 根据二次函数的解析式可知图象开口向下，对称轴为直线，根据二次函数的增减性，求出当时，的值即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 即当时，． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·天津北辰·期中）若二次函数（m为常数），当自变量 x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为5，则m的值为___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，图象的开口向下，再分三种情况：、和，利用二次函数的增减性求出最值，建立方程，解方程即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，图象的开口向下， 当时，， 当时，， ①当，即时，则在内，随的增大而减小， ∴此时函数值的取值范围是，没有最大值，不符合题意，舍去； ②当，即时， 在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，函数值的值最大，最大值为， ∴， 解得或（均不符合题设，舍去）； ③当，即时，则在内，随的增大而增大， ∴当时，函数值的值最大，最大值为， ∴， 解得，符合题设； 综上，的值为， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·四川遂宁·阶段检测）如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 _________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作轴交于E点，求得的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可. 【详解】解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组： 解得 抛物线的解析式为 作轴交AC于E点，如图， 设的解析式为，则 解得 ∴的解析式为， 设，， ， 当时，的面积的最大值是； 故答案为： 8．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传．他们计划利用长20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区，且留如图所示的两个1米宽的小门．设长为x米，宣传区的面积为S米，则S的最大值是________． 【答案】108 【分析】根据题意表示出的长，根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，求出x的取值范围，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设长为x米，则米， 由题意得，， ∵墙长20米，且矩形的边长为正数， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为108． 三、解答题 9．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）在二次函数中． (1)若它的图像过点，则的值为多少？ (2)当时，的最小值为，求的值； (3)若，，均在此二次函数的图像上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）将点代入中，即可求出的值； （2）先求出抛物线的对称轴为，且开口向上，得到抛物线的增减性，结合当时，的最小值为，即可求得的值； （3）根据已知条件可求得对称轴为直线，于是，由得到，由两点的坐标可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，根据已知条件，可知点可能在对称轴左边，也可能在对称轴右边，分两种情况分别求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得 ， 解得． （2）解：抛物线的关系式为：， 对称轴为直线， 若，当时，函数有最小值， 此时， 或（舍去）， 当时，都在对称轴的左侧，随的增大而减小， 当时，函数有最小值， 此时， 解得：（不符合题意，舍去）， 的值为． （3）解：， 均在此二次函数的图像上， 则对称轴可表示为直线， 对称轴为直线， ， ， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ， ，即， 点在抛物线上， 当在对称轴左侧时， ，都在对称轴的左侧，随的增大而减小， ， ， 解得， 此时满足的条件为． 当在对称轴右侧时， 在对称轴的左侧，且， 点到对称轴直线的距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得， 此时满足的条件是， 综上所述，的取值范围是或． 10．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）某地艺术节期间举办了为期15天的“美食”厨艺秀，小张购进一批食材制作特色美食．由于食材需要冷藏保存，导致食材成本逐日增加，已知每盒食材的成本p与保存天数：（且x为整数）之间满足一次函数关系，第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．食材制作成特色美食后，每盒售价为50元，每日销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示： 第x天 日销售量y/盒 10 (1)求p与x的函数关系； (2)若每日销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？ (3)在“美食”厨艺秀期间，共有多少天小张的日销售利润不低于300元？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)，第14天时的销售利润最大，最大销售利润是324元 (3)8天 【分析】（1）设，然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解； （3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解． 【详解】（1）解：（1）设， ∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元， ∴， 解得， 所以，； （2）解：时，， 时，， 所以，w与x的函数关系式为， 时，∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w最大为， 时，， ∴当时，w最大为324， ∵， ∴第14天时当天的销售利润最大，最大销售利润是324元； （3）解：根据题意得：小张的日销售利润不低于300元 当时，， 解得， ∴整数解为1，2，故天数为2天； 当时，， 解得，， ∴， ∵x是整数， ∴，共6天， 综上，小张的日销售利润不低于300元的天数为天． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题05二次函数中的最值问题 专题目标 掌握二次函数在给定区间上求最值的基本方法。 2. 会处理对称轴或区间含参数的最值分类讨论问题。 3. 会用二次函数模型解决几何图形面积的最值问题。 会建立实际问题（利润、面积）的二次函数模型并求最值。 在最值问题中体会函数思想与分类讨论思想，发展模型观念。 专题目录 题型01：定轴定区间上的最值问题 题型02：动轴（动区间）上的最值分类讨论 题型03：几何图形面积的最值问题 题型04：实际问题中的最值（利润、面积模型） 题型01：定轴定区间上的最值问题 题型描述：题干给出确定的二次函数与确定区间，求最大值、最小值。核心得分点是比较 对称轴与区间的位置关系。 基础知识： 对称轴在区间内：顶点处取一个最值，端点取另一个： 对称轴在区间外：函数在区间上单调，最值都在端点； 1/13 开口向上：顶点取最小值，离轴远的端点取最大值。 解题方法： b X=- 求轴：求出对称轴 2a; 判位置：比较轴与区间的位置； 取候选：项点（在区间内时）与两端点： 比值答：比较各候选值得最值。 解题思路： 口诀：轴、位、点、比。轴在区间内顶点必算，端点不能少；开口向上离轴越远值越大， 开口向下相反。 1.（26-27九年级上山东日照阶段检测)己知二次函数'=+r+ca≠0) 的图象过点 (1,0)（-1,4) (0,3) (1)求二次函数的解析式： (2)当-2≤x≤2时，求函数的最大值和最小值： (3)当m-1≤x≤m+l时，求函数的最大值： 2.（26-27九年级上山东日照阶段检测)已知二次函数'=-2x+3>0) (1)当t=3时，求该二次函数顶点坐标和对称轴 (2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求t的值： (3)若 A(m-2,aB(4,b)C(m,a） 都在这个二次函数的图象上，且a<b<3,求m的取值范围. 3.(2627九年级上浙江杭州阶段检测)已知二次函数"=-2x+2-0(“为常数，a<0). ①若该二次函数的图象经过(2，-5 ,求该二次函数的表达式； ②当0≤x≤2时)=-2x+2-0的最小值为8，求0的值 4.(2627九年级上安教合肥期中)已知抛物线的顶点H(2,0),经过点4L),与'轴交于点C. 2/13 ○ (1)求抛物线的解析式： (2)当-2≤x≤3时，求出二次函数最大值与最小值的差： (3)如图过点 (-3,0 作直线交抛物线于点F、G,FMLx轴于M,GN上x轴于N,求PMPW的值 【题型02：动轴（动区间）上的最值分类过论 题型描述：题干中对称轴含参数（或区间含参数），求函数在区间上的最值。核心得分点 是按对称轴与区间的三种位置关系分类。 基础知识： 三类位置：轴在区间左侧、区间内、区间右侧： 轴在区间内时最值含顶点值，需再比较端点： 每类用对应的单调性（顶点）求最值。 解题方法： 写轴与区间：用参数表示对称轴； 分三类：按轴在左、中、右分类： 逐类求：每类用单调性或顶点求最值： 汇总结：分段写出最值表达式。 解题思路： 口诀：轴、类、求、汇。分类标准永远是“轴与区间的位置”；轴在区间内求最大值时， 还要比较两端点谁离轴远。 5.(2025陕西西安一模)已知二次函数'=-4r+3 (a为常数，且a>0),当≤x≤4m 时，函数的 最大值与最小值之差为8，则a的值为() A.4 B.3 C.2 D.1 3/13 xOy y=-x+bx+c 6.(25-26九年级上河南信阳阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，拋物线 的顶点 为M,交x轴于点A(-l,O)和点B,点D(3,4)是抛物线上一点. M D B B 备用图 (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标： 白当15x≤5时，求二次函数'=-r+x+ 的最大值与最小值的差： (3)若点P是x轴上方抛物线上的点（不与点A,B,D重合），设点P的横坐标为n,过点P作 POlly 轴，交直线D于点.当线段吧的长随”的增大而增大时，请求出”的取值范围 PO 7.(2025河南南阳三模)已知二次函数”=a(x-2+3(a≠0)的图象经过点(-2，-5列 (①)求该二次函数的表达式. (2)将点 7,-5) 向左平移多少个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上？ ⑧)当2≤x≤”时，该函数的最大值与最小值之差为，当2≤x≤n+1 时，该函数的最大值与最小值 之差为4.若44 ,请直接写出”的取值范围。 及（25浙江杭州一模)=次正数=+2水1-3u为市数)的胸®经过=+2。 的图象顶 点. (1)求t的值. (②若二次函数y=r+2+1-3的图象经过点 （(m+1,n+1 ,求”的最小值 4/13 (3)若二次函数 y=x2+2x+t-3-3≤x≤m -3≤y≤1 在 时， m ，求的取值范围. 题型03：几何图形面积的最值问题 题型描述：题干给出动点（动线）在几何图形中运动，求某图形面积的最大值。核心得分 点是用一个变量表示底和高，建立面积的二次函数。 基础知识： 设动点位置为x,用x表示面积S: S多为关于x的二次函数： x的取值范围由图形边界决定； 配方或顶点公式求最值。 解题方法： 设变量：设关键线段为x并确定范围； 表面积：用x表示底和高，写出关于S的函数解析式： 化二次：整理成二次函数： 求最值：配方求项点，检验x在范围内。 解题思路： 口诀：设、积、式、顶。面积最值问题“一个字母走天下”；顶点横坐标超出范围时，最 值在边界取得。 9.(25-26九年级上·安徽毫州阶段检测)定义：对于一个函数，当自变量 x=Xo °，对应函数值 y=x。-1 时， 则实数叫做这个函数的一个降一点值.例如：求正比例函数'三-的降一点值。 x二0时， 解：当 -x0=x0-1 解得：。=2 ∴正比例函数y=一x的降一点值为2； 根据定义完成下列问题： y=ax+bx+c 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线1 (a,b,c为常数，且a≠0)与y轴交于 5/13 点A. (1)若a=-1,该二次函数有-4和1两个降一点值，且抛物线与x轴交于B,C两点（点B在点C左边）. ①求该二次函数的表达式： BE ②过线段AB上一点D作DE⊥x轴于B,ED的延长线交抛物线于P,若DF=2'求CE的值. (2)已知点P在该抛物线上，且直线AP经过该抛物线的顶点，设AP与x轴，y轴所围成的三角形面积 为S,b=3c2-2c+1,且2≤cs2,求S的最小值. 10,(2125九年级上东江门阶段检湖）如园。一次商数y=+6与反比例腰数y一c>0的图家文 于点Am,3)和B(3,). 0 (I)求一次函数及反比例的表达式和值 k ②)请根据图象，直接写出不等式元之-x+b的解集： 3)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,若△POD的面积为S,当S的值最小 时，求出点P的坐标及S的最小值， 2,-1 11.(26-27九年级上黑龙江佳木斯阶段检测)如图，顶点为 的抛物线'=+r+C交'轴于点 C(0,3),交x轴于A、B两点，直线'过A、C两点，P是位于直线下方抛物线上的动点. 6/13 (1)求抛物线的解析式： (2)H是抛物线对称轴上一点，则HC+HB的最小值为一； B)连接PA,PC,求当△PAC面积最大时点P的坐标及该面积的最大值. 12.(26-27九年级上四川德阳阶段检测)如图，抛物线y=r-x+C与轴交于点 -.0和点B,与' 轴交于点C B (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线的对称轴上有一动点M,使△ACM周长有最小值，求周长的最小值及点M的坐标； )抛物线在第四象限上是否存在一点9，使得△BC9的面积取得最大值？若有，请求出最大值，并求 出此时点Q的坐标；若无，请说明理由. 题型04：实际问题中的晶值（利润、面积模型） 题型描述：题干给出销售利润（涨价降价影响销量）或围栏面积等实际情境，求最大利润 (面积)及此时方案。核心得分点是正确建立二次函数模型并关注自变量范围。 基础知识： 利润=（售价一进价）×销量： “每涨x元少卖y件”：销量=原销量一单位涨幅×术； 7/13 面积模型：一边靠墙时用x表示另一边的长： 自变量须使价格、销量、边长为正。 解题方法： 设变量：设涨价（边长）为x: 建模型：写出利润（面积)的二次函数： 求顶点：配方求最值； 验实际：检验x为正整数（或符合范围），写出方案。 解题思路： 口诀：变、模、顶、验。利润问题抓住“单件利润×件数”；顶点横坐标取整数时比较邻 近两整数。 13.(25-26九年级上辽宁抚顺阶段检测)如图，△ABC为等边三角形，AB=8,点M从点A出发沿射线 AB运动，点N从点B出发沿射线BC运动，点M与点N同时出发，速度都是每秒2个单位.连接 MN,设M,N两点的运动时间为t秒，△BMN的面积为y. 净M 备用图 (I)求t为多少时，△BMN是直角三角形： (2)当点M在线段AB上运动时，求y的最大值： 6)在点M,N运动过程中，存在三个间隔相等的时刻，么，<<5，-=5-)，使得 △BMN的面积都等于m,求m值. 14.(2026山西临汾·三模)综合与实践 问题情境：为了解本土优质农产品晋祠大米的产销情况及政府对晋祠大米的相关保护措施，数学小组 开展综合与实践活动. 8/13 晋祠 大米 收集信息： 信息①：晋祠大米，产自山西太原市晋祠镇，以晋祠难老泉水灌溉，米质晶莹、颗粒饱满，口感软糯 香甜.2025年，晋祠大米成功获批国家地理标志保护产品 信息②：政府提供财政补贴、税收优惠等政策支持，鼓励种植大户、专业合作社扩大种植面积，推动 晋祠大米产业规模化、集约化发展，促进农民增收和乡村振兴 信息③：某农民专业合作社直销晋祠大米，经市场调查发现，若售价为5元/千克，日销售量为340千 克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少20千克. 建立模型： (1)设该农民专业合作社直销晋祠大米的售价为x元/千克(x≥5且为正整数)，每日销售额为y元. ①该合作社每天直销晋祠大米的数量为_千克（用含x的代数式表示）： ②求y关于x的函数表达式： 解决问题： (2)若销售过程中，有关部门规定晋祠大米销售价格不得超过15元/千克.求此时y的最大值和最小值； 3)政府为保护传统作物，销售过程中每日给农民专业合作社补贴a元(a为正整数)，要使农民专业 合作社日收入（日收入=日销售额+政府每日补贴额）不低于2500元，并且最多有5种不同的单价可 以达到这个要求，请直接写出a的最小值. 15.(25-26九年级上·四川南充阶段检测)一阆中特产商店销售某种规格的保宁醋，经市场调查发现，这 种规格的保宁醋月销量少（件）是售价x(元/件)的一次函数，该保宁醋的月销售总利润W=(售 价成本)×月销量，三者有如下数据： 售价x（元/件) 30 40 60 月销量y(件) 210 180 120 月销售总利润W 2100 3600 4800 (元) (1)试求y关于x的函数关系式(x的取值范围不必写出)： (②)求当保宁醋售价为多少元时，月销售总利润有最大值，最大值为多少元？ 9/13 (3)由于进价下降，从本月起，该规格保宁醋成本下降n元/件(0<n<10),且物价局规定该保宁醋 售价最高不得超过55元/件.若月销量y与售价x仍满足(1)中的关系，预计本月总利润W最高为 5400元，请你求出n的值. 16（2026宁抚顺模拟预测如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为0，，直线少x+4雪 x轴、y轴分别交于点A、B,P是线段AB上的一个动点，连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90° 得到线段CQ,再以CP,CQ为邻边作正方形CPD2, B (I)求证：AB=BC: 2)设点P的横坐标为m,正方形CPDO的面积为S,求S关于m的函数解析式，并求正方形CPDO面 积的最小值 专题综合训练 一、选择题 1.（26-27九年级上河南商丘阶段检测)关于二次函数'=-3+6x+1 下列结论正确的是（) A.其图象开口向上 B.其图象的对称轴是直线x=2 C.其最大值为4 D.当x<1时，y随x的增大而减小 2.(25-26九年级上山东济南期末)二次函数'=+br+ca≠0 的图象如图所示，则下列结论中正确 的个数是() 10113 ①abc>0;②b2-4ac<0;③函数的最大值为a+b+c;④当-3≤x≤1时，y≥0；⑤x<-1时，y随 x增大而减少；⑥3a+2c>0 A.4 B.3 C.2 D.1 3.(2026江苏泰州三模)如图①，R1△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.点P从B出发沿BA向点A匀速运 动，同时点Q从A出发沿AC向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动.若它们的速 度均为每秒1个单位长度.连接PQ,设运动时间为x秒，△APQ的面积为y.y与x的函数图像如图② 所示，则y的最大值为() B 43 图① 图② A.3 B.4 C.4v8 D.8 4.(24-25九年级上·山东威海期末)某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单 价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.设厂 家批发单价是x元件，下列说法错误是() A.销售量可以表示为70000-5000x 3×(70000-5000x) B.销售额可以表示为 C.所获利润可以表示为500(x-12)}'+2000 D.当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元 11/13 二、填空题 5.（2425九年级下四川自贡阶段检测)已知二次函数'=-r+4r+5,」 5,其中2≤x≤1，则'有最大值 为 6.（2425九年级上天津北辰期中)若二次函数)=-+4mx (为常数)，当自变量x的值满足 -2<x≤1时，与其对应的函数值y的最大值为5，则m的值为 7.(2425九年级下四川遂宁阶段检测)如图，已知抛物线'+r+过点 A(-3,0),B(-2,3),C(0,3) 顶点为D.若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△MPC的面积的最大值为 D A -3 ￥O 8.(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中 学的学生参与校园环保宣传.他们计划利用长20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间 有一道隔断的矩形环保宣传区ABCD,且留如图所示的两个1米宽的小门.设BC长为x米，宣传区 ABCD的面积为S米2，则S的最大值是 1米 1米 三、解答题 9.(2627九年级上浙江金华阶段检测)在二次函数'=-2+3>0中 12113 ①考它的图像过点21，则'的值为多少？ (2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求的值： 6)活1m-20),B(4b).C(m均在此二次函数的图像上，且a<b<4.求m的取值范图. 10.(26-27九年级上河南新乡·阶段检测)某地艺术节期间举办了为期15天的“美食”厨艺秀，小张购 进一批食材制作特色美食.由于食材需要冷藏保存，导致食材成本逐日增加，已知每盒食材的成本卫 与保存天数：x(1≤x≤15且x为整数)之间满足一次函数关系，第3天时，每盒成本为21元：第7 天时，每盒成本为25元.食材制作成特色美食后，每盒售价为50元，每日销售量为y盒，y与x之间 的关系如下表所示： 第x天 1≤x≤6 6<x≤15 日销售量y/盒 10 x+4 (1)求p与x的函数关系： (2)若每日销售利润为Ψ元，求Ψ与x的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是 多少元？ (3)在“美食”厨艺秀期间，共有多少天小张的日销售利润不低于300元？请直接写出答案。 13113