专题 抛物线与直线：面积定值·面积最值 专项讲解训练 2026年-2027学年人教版九年级数学上册

抛物线与直线：面积定值·面积最值

（A卷·学生版）

一、课堂目标

理解并掌握抛物线与面积定值、面积最值问题的解题策略：能够用割补法或公式法表示动点与固定线段所构成的三角形面积，并把“面积最大”转化为二次函数求最值、“面积为定值”转化为方程求解。

二、知识讲解

建立二次函数模型解决三角形面积问题：

① 整理条件：确定目标三角形及其底边所在直线（两顶点坐标）；

② 根据点在图象上的坐标特征，设出动点的坐标；

③ 用函数表示出目标三角形的面积——公式法、割补法；

　　1）对于底和高容易表示的三角形，直接用公式：S△ = 1/2 × 底 × 高；

2）对于不规则的三角形，使用铅锤定理公式：S△ = 1/2 × 水平宽 × 铅锤高；

图0　铅锤定理求三角形面积示意图

水平宽：底边两端点 A、B 横坐标之差的绝对值，即 |xA - xB|，表示边 AB 在水平方向（x 轴）上的投影宽度。

 铅垂高：点 C 到点 D 的竖直距离（纵坐标之差），记为 h。

 

　　3）对于没有水平或竖直方向底、高的三角形，采用割补法，把三角形补成便于计算的图形再求差。如图1所示。

图1　割补法求三角形面积示意图

④ 根据题目要求求解动点坐标：

　　1）“面积最大”转化为二次函数求最值的问题；

　　2）“面积为定值”转化为一元二次方程求解的问题。

 

 

 

 

 

 

 

 

三、面积定值

例题1

如图2，抛物线 y = -x² + 4x - 3 与 x 轴交于点 A(1,0)、B(3,0)，交 y 轴于点 C(0,-3)，顶点为 D(2,1)，连接 AC、AD。试探究在抛物线上是否存在除点 D 以外的点 E，使 △ACE 与 △ACD 的面积相等？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由。

 

图2　例题1图