26.4 专题1 二次函数与最值问题专项训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

二次函数与最值问题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3范围内的最小值为﹣1，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在﹣1≤x≤3的范围内有最小值得出答案． 【解答】解：将函数解析式配方可得：y＝（x﹣2）2+m﹣4， ∵函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，且﹣1＜2＜3， ∴当x＝2时，y取得最小值m﹣4， ∴m﹣4＝﹣1， 解得m＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握该知识点是关键． 2．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 【分析】把（1，3）代入y＝x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，即可得到mn+1＝﹣（m﹣1）2+2，根据二次函数的性质即可得到代数式mn+1有最大值2． 【解答】解：把（1，3）代入y＝x2+mx+n得3＝1+m+n， ∴n＝﹣m+2， ∴mn+1 ＝m（﹣m+2）+1 ＝﹣m2+2m+1 ＝﹣（m﹣1）2+2； 所以mn+1有最大值2， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键． 3．若二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当m≤x≤2时，y有最大值4，最小值﹣5，则m的取值范围是（　　） A．﹣4≤m≤2 B．﹣4≤m≤﹣1 C．m≤﹣1 D．﹣1≤m≤2 【分析】根据抛物线的图象及性质可知当x＝﹣1时，y有最大值4，当x＝2时，y＝﹣（2+1）2+4＝﹣5，（2，﹣5）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣4，﹣5），据此即可求解． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当m≤x≤2时，y有最大值4，最小值﹣5， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，开口向下， 当x＝﹣1时，y有最大值4， 当x＝2时，y＝﹣（2+1）2+4＝﹣5， （2，﹣5）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣4，﹣5）， ∵当m≤x≤2时，y有最大值4，最小值﹣5， ∴﹣4≤m≤﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了求二次函数最值的问题，解决本题的关键是根据对称轴求出顶点坐标． 4．若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 【分析】二次函数开口向下，顶点为（2，13），最大值为13．由于要求区间内最大值为4（小于13），故对称轴为直线x＝2不在区间内，即区间完全在对称轴左侧或右侧．分两种情况讨论：①区间在左侧时，最大值在右端点取得；②区间在右侧时，最大值在左端点取得．分别解方程求t，并验证区间条件． 【解答】解：若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4， ∵y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点， ①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大， ∴当t+3＜2，即t＜﹣1，函数有最大值4， ∴﹣（t+3）2+4（t+3）+9＝4， 解得t＝﹣4或t＝2（舍去，t＜﹣1）， ∴t＝﹣4； ②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小， ∴当t＞2时，即函数有最大值4， ∴﹣t2+4t+9＝4， 解得t＝5或t＝﹣1（舍去）， ∴t＝5， 综上，t的值为﹣4或5， 故选A． 【点评】本题考查二次函数的最值问题，熟练将二次函数解析式化为顶点式，再根二次函数的性质分两种情况解答是解题关键． 5．若函数y＝x2+ax+b在0≤x≤1的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与0≤x≤1的位置关系，计算M﹣m即可判断结果． 【解答】解：对配方得，开口向上，对称轴为直线， 当，即a≥0 时，函数在0≤x≤1，y随着x的增大而增大， ∴当x＝0时，y有最小值，x＝1时，y有最大值， ∴M＝1+a+b，m＝b， ∴M﹣m＝1+a，结果不含b； 当，即a≤﹣2 时，函数在0≤x≤1，y随着x的增大而减小， 当x＝0时，y有最大值，x＝1时，y有最小值， ∴M＝b，m＝1+a+b， ∴M﹣m＝﹣1﹣a，结果不含b； 当﹣1≤a＜0 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在x＝1处取得， ∴， ∴，结果不含b； 当﹣2＜a＜﹣1 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在x＝0处取得， ∴， ∴，结果不含b， 综上，所有情况的M﹣m都只与a有关，不含b，因此M﹣m与a有关，与b无关． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握该知识点是关键． 6．定义运算：a★b＝a（a+2b）﹣3，例如4★3＝4×（4+2×3）﹣3，则函数y＝（x+1）★2的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣21 【分析】根据新定义运算，将函数化为二次函数，然后化为顶点式，根据二次函数性质求最小值即可． 【解答】解：定义运算：a★b＝a（a+2b）﹣3，例如4★3＝4×（4+2×3）﹣3， y＝（x+1）★2＝（x+1）[（x+1）+2×2]﹣3＝（x+1）（x+5）﹣3＝x2+6x+2， 化为顶点式得 y＝（x+3）2﹣7， ∵a＝1＞0，抛物线开口向上， ∴当x＝﹣3时，y有最小值，y最小＝﹣7． 故选：B． 【点评】本题考查了新定义运算的理解与二次函数的最值求解，将新定义运算转化为二次函数并利用配方法（顶点式）分析最值是解题的关键． 7．已知点P是抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上的动点，点Q（a+4，﹣a+6）是坐标平面内的动点，则线段PQ长度的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据点Q的坐标得出点Q在直线y＝﹣x+10上，然后设与直线y＝﹣x+10平行且与抛物线y＝﹣x2﹣3x+4相切的直线为y＝﹣x+b，联立直线与抛物线方程，根据判别式Δ＝0 求出b的值，进而求出切点坐标，最后根据两点间距离公式求出线段PQ长度的最小值． 【解答】解：已知点Q（a+4，﹣a+6）， 设x＝a+4，则a＝x﹣4， 那么y＝﹣a+6＝﹣（x﹣4）+6＝﹣x+10， 所以点Q在直线y＝﹣x+10上运动． 结合题意，联立直线与抛物线方程 将y＝﹣x+b代入y＝﹣x2﹣3x+4中， 可得﹣x+b＝﹣x2﹣3x+4， 移项化为一元二次方程的一般形式为x2+2x+b﹣4＝0， 因为直线与抛物线相切， 所以此一元二次方程的判别式Δ＝22﹣4×1×（b﹣4）＝0， 即4﹣4b+16＝0，20﹣4b＝0，4b＝20， 解得b＝5． 把b＝5代入x2+2x+b﹣4＝0， 得到x2+2x+1＝0， 根据完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2， 可得（x+1）2＝0， 解得x＝﹣1． 把x＝﹣1代入y＝﹣x+5， 可得y＝﹣（﹣1）+5＝6， 所以切点坐标为 （﹣1，6）． ∴直线y＝﹣x+10， 已知点Q（a+4，﹣a+6）， 由 x＝a+4得 a＝x﹣4， 将a代入y＝﹣a+6中， 得：y＝﹣（x﹣4）+6＝﹣x+4+6＝﹣x+10， 所以，点Q始终在直线y＝﹣x+10上运动． 点P是抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上的动点． 要使线段PQ最短，即求抛物线上的点到直线y＝﹣x+10的最小距离． 根据几何性质，当抛物线上某点的切线与直线y＝﹣x+10平行时，距离最小． 设与直线y＝﹣x+10平行的直线为y＝﹣x+b， 联立该直线与抛物线方程： ， 消去y整理得：﹣x+b＝﹣x2﹣3x+4， x2+2x+（b﹣4）＝0， 因为直线与抛物线相切（只有一个交点）， 所以该一元二次方程的判别式△＝0， Δ＝22﹣4×1×（b﹣4）＝0， 4﹣4（b﹣4）＝0， 4﹣4b+16＝0， 解得：b＝5， 将b＝5 代回方程x2+2x+（5﹣4）＝0， 即x2x+1＝0， 解得x＝﹣1． 将 x＝﹣1代入y＝﹣x+5， 得 y＝﹣（﹣1）+5＝6． 所以，抛物线上距离直线最近的点（切点）坐标为P0（﹣1，6）， 过点P0（﹣1，6）作y轴的平行线（竖直线），交直线y＝﹣x+10于点M． 点M的横坐标与P0相同，为﹣1， 将x＝﹣1代入直线方程 y＝﹣x+10， 得y＝﹣（﹣1）+10＝11． ∴点M的坐标为（﹣1，11）， 观察直线 y＝﹣x+10， 它与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形（因为x和y的系数绝对值相等，均为1）， 这意味着直线与竖直线的夹角为45°． 过点P0作直线的垂线，垂足为H， 则线段P0H的长度即为我们要找的最小距离d． 在Rt△P0HM中，∠P0MH＝45°，斜边P0M＝5， 根据三角函数或等腰直角三角形三边比例关系， d＝P0H＝P0M×sin45°， ， ∴线段PQ长度的最小值为， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的最值、性质及坐标特征，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 8．已知二次函数y＝2x2的图象上有两点M（x1，y1），N（x2，y2），设S＝y1+y2，若x1•x2＜0，x1+x2＝2，则下列结论正确的是（　　） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 【分析】依据题意，由二次函数y＝2x2的图象上有两点M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＝2，y2＝2，从而S＝y1+y2＝222[（x1+x2）2﹣2x1x2]，又x1+x2＝2，则S＝2（4﹣2x1x2）＝8﹣4x1x2＝4（x2﹣1）2+4，又x1•x2＜0，x1+x2＝2，可得x2（2﹣x2）＜0，故x2＜0或x2＞2，进而S＞8，可得S没有最小值，也没有最大值，即可得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝2x2的图象上有两点M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴y1＝2，y2＝2， ∴S＝y1+y2＝22 ＝2（） ＝2[（x1+x2）2﹣2x1x2]． ∵x1+x2＝2， ∴S＝2（4﹣2x1x2）＝8﹣4x1x2． 又∵x1＝2﹣x2， ∴S＝8﹣4x2（2﹣x2） ＝48x2+8 ＝4（2x2+1）+4 ＝4（x2﹣1）2+4． ∵x1•x2＜0，x1+x2＝2， ∴x2（2﹣x2）＜0， ∴x2＜0或x2＞2． ∴S＞8． ∴S没有最小值，也没有最大值． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 9．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm．动点P从点A出发，以2mm/s的速度沿边AB向终点B运动；动点Q从点B同时出发，以4mm/s的速度沿边BC向终点C运动．设出发时间为ts．有下列结论： ①当t＝2s时，AP＝CQ；②当1≤t≤5时，△BPQ的最大面积为36mm2；③t有两个不同的值满足△BPQ的面积为四边形APQC面积的．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据题意可得AP＝2tmm，CQ＝BC﹣BQ＝（24﹣4t）mm，据此求出t＝2s时，CQ，AP的长，即可判断①；根据三角形面积计算公式得到S△BPQ4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36即可判断②；由题意得出S四边形APQC＝3S△BPQ，即可得出t2﹣6t+12＝0，利用根的判别式即可判断③． 【解答】解：由题意得，AP＝2tmm，BQ＝4tmm， ∴CQ＝BC﹣BQ＝（24﹣4t）mm， 当t＝2s时，则AP＝4mm，CQ＝16mm， ∴当t＝2s时，AP≠CQ，故①说法错误； S△BPQ4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36， ∵﹣4＜0， ∴t＝3时，S有最大值36， ∴当1≤t≤5时，△BPQ的最大面积为36mm2，故②符合题意； ∵S△ABC144mm2，S△BPQ＝﹣4t2+24t， △BPQ的面积为四边形APQC面积的， ∴S四边形APQC＝3S△BPQ， ∴3×（﹣4t2+24t）＝144， 整理得t2﹣6t+12＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×12＜0， ∴不存在t的值满足△BPQ的面积为四边形APQC面积的，故③错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，掌握其相关知识点是解题的关键． 10．矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝7cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动．设运动的时间为ts．当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当t＝6s时，四边形APCQ是平行四边形； ②△APQ的最大面积为cm2； ③当△APQ的面积为10cm2时，t＝2s或t＝10s． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】依据题意，由AB＝5cm，AD＝7cm，从而结合题意可分下面三种情形分析：当0＜t≤5时，St2；当5＜t≤7时，St；当7＜t＜12时，S＝35t2+6t，接着对各个选项逐个判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵AB＝5cm，AD＝7cm， ∴可分下面三种情形分析： 当0＜t≤5时，St2； 当5＜t≤7时，St； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t． ①当t＝6s时，如图所示， ∴CQ＝AB+BC﹣6＝12﹣6＝6（cm），AP＝6cm，即AP＝CQ， 又∵AP∥CQ， ∴四边形APCQ是平行四边形，故①正确； ②当0＜t≤5时，St2，则S最大值为； 当5＜t≤7时，St，则S最大值为； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t（t﹣6）2+18，此时最大值小于， 综上，△APQ的最大面积为cm2，故②正确； ③当0＜t≤5时，St2， 令S＝10，则t＝2s，负值舍去； 当5＜t≤7时，St， 令S＝10，则t＝4＜5，不合题意； 当7＜t＜12时，S＝35t2+6t， 令S＝10，则t2+6t＝10， ∴t＝2或10， ∵7＜t＜12， ∴t＝10． 综上，t＝2s或t＝10s，故③正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值、平行四边形的判定与性质、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 二．填空题（共6小题） 11．当﹣2≤x≤3时，函数y＝﹣x2﹣2x+3有最大值　4　 ． 【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质求出二次函数的最值． 【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3 ＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3 ＝﹣（x+1）2+4， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＝﹣1时，函数y＝﹣x2﹣2x+3有最大值，最大值是4， ∵﹣2≤﹣1≤3， ∴当﹣2≤x≤3时，函数y＝﹣x2﹣2x+3有最大值4， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是二次函数的最值，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 12．当﹣3≤x≤1时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝　或　 ． 【分析】求得对称轴，根据x的取值，分2a≥1、2a≤﹣3和﹣3＜2a＜1三种情况讨论求得即可． 【解答】解：∵函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的对称轴为直线x2a，开口向下， ∴当2a≥1时，则x＝1时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，即﹣1+4a+2＝8， 解得a， 当2a≤﹣3时，则x＝﹣3时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，即﹣9﹣12a+2＝8， 解得a，不合题意，舍去； ∴当﹣3＜2a＜1时，则x＝2a时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，即﹣（2a）2+4a•2a+2＝8， 解得a或a（不符合题意）， 故答案为：或． 【点评】本题考查了二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 13．已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为　50　 ． 【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．设一条直角边为xcm，则另一条为（20﹣x）cm，则根据三角形面积公式即可得到面积S和x之间的解析式，求最值即可． 【解答】解：设一条直角边为xcm，则另一条为（20﹣x）cm， ∴Sx（20﹣x）（x﹣10）2+50， ∵0， ∴当x＝10时，S最大＝50． 故答案为：50． 【点评】本题考查了二次函数的最大值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单． 14．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为　﹣16或2　 ． 【分析】先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16讨论求解即可． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a， ∴该二次函数对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣a）， 当a＜0时，函数在x＝﹣2处有最大值， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16， ∴﹣a＝16， ∴a＝﹣16； 当a＞0时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16， ∴当x＝1时，y＝16， ∴a+4a+3a＝16， ∴a＝2； 综上所述，a＝﹣16或a＝2． 故答案为：﹣16或2． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是关键． 15．已知二次函数y＝﹣x2+5x﹣1，点A在该图象的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则AB+AC的最大值为　8　 ． 【分析】设点A的坐标为（x，y），其中x＞0，y＞0，由垂线性质可得AB＝y，AC＝x，则AB+AC＝x+y，代入抛物线解析式y＝﹣x2+5x﹣1，得到AB+AC＝﹣x2+6x﹣1，通过求二次函数的最大值即可求解． 【解答】解：设点A的坐标为（x，y），其中x＞0，y＞0， 由条件可知AB＝y，AC＝x， ∴AB+AC＝x+y＝x+（﹣x2+5x﹣1）＝﹣x2+6x﹣1， ∵﹣x2+6x﹣1＝﹣（x﹣3）2+8，且﹣1＜0， ∴当x＝3时，﹣x2+6x﹣1有最大值8， 故答案为：8． 【点评】此题考查二次函数的性质，二次函数的最大值，熟练掌握该知识点是关键． 16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．连接AF，则△AEF面积的最大值为　2　 ． 【分析】设正方形 ABCD 的边长为 4，以A为原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，设E点坐标为（t，0），其中（0＜t＜4），则ED＝4﹣t，作FH⊥x轴于H，通过证得△EHF≌△CDE（AAS），即可证得FH＝ED＝4﹣t，得到F点的纵坐标为4﹣t，利用三角形面积公式即可得到S△AEFAE•（4﹣t）（t﹣2）2+2，利用二次函数的性质可知当t＝2时，S△AEF的值最大，最大值为2． 【解答】解：设正方形 ABCD 的边长为 4，以A为原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（0，﹣4），C（4，﹣4），D（4，0）， 设E点坐标为（t，0），其中（0＜t＜4），则ED＝4﹣t，作FH⊥x轴于H， ∵∠CED+∠ECD＝∠CED+∠FEH＝90°， ∴∠ECD＝∠FEH， ∵∠EDD＝∠FHE＝90°，EC＝EF， ∴△EHF≌△CDE（AAS），∴ ∴FH＝ED＝4﹣t， ∴F点的纵坐标为4﹣t， ∴S△AEFAE•（4﹣t）（t﹣2）2+2， ∴当t＝2时，S△AEF的值最大，最大值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查与正方形有关的计算，解题关键是掌握正方形的性质，二次函数求最值的方法． 三．解答题（共9小题） 17．如下表格是抛物线y＝ax2+bx+c上部分点（x，y）的横、纵坐标信息． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … m ﹣8 n p 7 q … （1）若m＝n，则该函数有　最小值　 （最大值或最小值）；最值为　﹣8　 ； （2）若a＝﹣4，请通过计算判断p与q的大小关系． 【分析】（1）根据对称性可得对称轴，再由对称轴处的函数值与x＝2时的函数值的大小关系即可得到结论； （2）利用待定系数法求出解析式，进而求出p、q的值即可得到答案． 【解答】解：（1）由题知， 当x＝﹣2时，y＝m；当x＝0时，y＝n． 因为m＝n， 则抛物线的对称轴为直线x． 因为2＞﹣1且7＞8， 则在对称轴右侧，y随x的增大而增大， 所以抛物线的开口向上． 又因为当x＝﹣1时，y＝﹣8， 所以该函数有最小值为﹣8． 故答案为：最小值，﹣8； （2）将（﹣1，﹣8），（2，7）代入y＝ax2+bx+c中得， ， 解得， 则当a＝﹣4时， ， 所以此时函数解析式为y＝﹣4x2+9x+5， 当x＝1时，p＝﹣4×12+9×1+5＝10， 当x＝3时，q＝﹣4×32+9×3+5＝﹣4， 因为10＞﹣4， 所以p＞q． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 18．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象经过点A（﹣1，8）和点B（0，3）． （1）求b，c的值． （2）点C在该二次函数的图象上，它的横坐标为t．记t≤x≤t+5时，二次函数的最大值与最小值之差为Δy． ①若点C与B重合，求Δy的值． ②若点C在点A，B之间运动（含点A，B），求Δy的最小值． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）根据（1）的结论可得y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，即对称轴为直线x＝2，开口向上，顶点为（2，﹣1）；①由点C与B重合可得t＝0，即0≤x≤5，然后在0≤x≤5上求得最大值和最小值，然后作差即可；②先说明对称轴x＝2始终在t≤x≤t+5范围内，以求得有最小值y＝﹣1；再求出当2﹣t＝t+3时，y的最大值为，即；再分别求得t＝﹣1、t＝0的时Δy的值，然后比较即可解答． 【解答】解：（1）由条件可知， 解得：． （2）由（1）可得：b＝﹣4，c＝3，即y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝2，开口向上，顶点为（2，﹣1）． ①当点 C 与B（0，3）重合，即t＝0， ∴0≤x≤5， ∴当x＝2时，有最小值y＝﹣1； ∵|0﹣2|＝2＜3＝|5﹣2|， 当x＝5时，最大值为y＝52﹣4×5+3＝8． ∴Δy＝8﹣（﹣1）＝9； ②∵点C在点A，B之间运动（含点A，B）， ∴﹣1≤t≤0， ∴t＜2且t+5≥4， ∴对称轴x＝2始终在t≤x≤t+5范围内， ∴当x＝2时，有最小值y＝﹣1； ∵x＝t 到x＝2的距离2﹣t，点 x＝t+5 到x＝2的距离t+5﹣2＝t+3， 当2﹣t＝t+3时，即时，y的最大值为y， ∴； 当t＝﹣1，即﹣1≤x≤4时， ∵|2﹣（﹣1）|＝3，4﹣2＝2，3＞2， ∴当x＝﹣1时，有最大值y＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+3＝8； ∴Δy＝8﹣（﹣1）＝9； 当t＝0时，由①可得Δy＝8﹣（﹣1）＝9． 综上，Δy的最小值为． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数最值问题，熟练掌握以上知识点是关键． 19．实数a＜b，当a≤x≤b时，函数y＝x2﹣2x的最小值为m，最大值为8． （1）若b为负数，直接写出a的值为　﹣2　 ； （2）若m＝a，直接写出b的值为　4　 ；a的值为　﹣1或3　 ． 【分析】（1）由解析式可知函数y＝x2﹣2x的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣1），有最小值﹣1，当b为负数时，则x＝a时有最大值8，即a2﹣2a＝8，解方程即可； （2）分三种种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴函数y＝x2﹣2x的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣1），有最小值﹣1， ∴当b为负数时，则x＝a时有最大值8， ∴a2﹣2a＝8， 解得a＝4或a＝﹣2， ∵a＜b＜0， ∴a的值为﹣2； 故答案为：﹣2； （2）若m＝a，则数y＝x2﹣2x的最小值为a， ∴当a＞1时，则x＝a时有最小值a，即a2﹣2a＝a，解得a＝3或a＝0（舍去）； x＝b时有最大值8，即b2﹣2b＝8，解得b＝4或b＝﹣2（舍去）， ∴此时a＝3，b＝4； 当a＜1＜b时，则x＝1时有最小值a，即12﹣2×1＝a，解得a＝﹣1； x＝b时有最大值8，即b2﹣2b＝8，解得b＝4或b＝﹣2（舍去）， ∴此时a＝﹣1，b＝4； 当a＞1时，不合题意； 综上，b的值为4，a的值为﹣1或3． 故答案为：4，﹣1或3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2． （1）当﹣1≤x≤t时，y有最大值4，求t的值； （2）当t≤x≤t+1时，y有最小值，求t的值． 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可； （2）将二次函数解析式化为顶点式，分类讨论x＝t，x＝t+1时y取最小值． 【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，1）， ∵当﹣1≤x≤t时，y有最大值4， ∴x＝t（t＞﹣1）时，y＝（t+1）2+1有最大值4， ∴4＝（t+1）2+1 解得t＝﹣1（舍）或t＝﹣1； （2）∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，1）， 当t+1＜﹣1时，t＜﹣2， 当x＝t+1时，y＝（t+2）2+1最小值为， 解得t＝﹣2（舍）或t＝﹣2， 当t＞﹣2时，x＝t时，y＝（t+1）2+1最小值为， 解得t＝﹣1或t＝﹣1（舍）， 故答案为：﹣2或﹣1． 【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解． 21．当t≤x≤t+1时（其中t为实数），求函数的最小值的取值范围． 【分析】先求得其对称轴为x＝1，再分t+1≤1、t＜1＜t+1和t≥1根据二次函数的单调性分别求得其最小值． 【解答】解：函数yx2﹣x（x﹣1）2﹣3， ∴函数的图象开口向上，对称轴方程为x＝1， 当t+1≤1时，函数在[t，t+1]上是减函数，故函数的最小值为：t2﹣3， ∴当t+1≤1时，函数最小值的最小值为﹣3， 当t＜1＜t+1时，函数的最小值为：﹣3； 当t≥1时，函数的最小值为：t2﹣t， ∵t2﹣t（t﹣1）2﹣3， ∴当t≥1时，函数的最小值的最小值为﹣3， ∴函数的最小值的取值范围是y≥﹣3． 【点评】本题主要考查二次函数的单调性和最值，掌握二次函数的单调性是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 22．二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． （1）求a的值． （2）当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值减去最小值的差为d1，当﹣2≤x≤m+1时，该函数的最大值减去最小值的差为d2． ①若d1＝9，求m的取值范围； ②是否存在d1＞d2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法，将（0，﹣3）代入函数解析式即可求出a； （2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可； ②分类讨论，求出不同m的取值范围对应的d1、d2即可比较即可． 【解答】解：（1）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． 将x＝0，y＝﹣3代入函数解析式可得： ﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝1； （2）①y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）的开口方向向上，对称轴为直线x＝1，根据函数的性质可得： 抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵﹣2≤x≤2， ∴当x＝1时，y最小，y最小＝1﹣2﹣3＝﹣4； 当x＝﹣2时，y最大，y＝4+4﹣3＝5． ∴当m＝1时，﹣2≤x≤1时，函数y＝a（x+1）（x﹣3）的最大值4和最小值﹣5的差为d1＝4﹣（﹣5）＝9． 当x＝4时，y＝42﹣2×4﹣3＝5． ∴当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，且﹣4≤y≤5， 此时，d1的值保持不变，始终等于9， ∴m的取值范围是1≤m≤4， ②设x＝m时的函数值为y1，x＝m+1时的函数值为y2， I．当﹣2≤m≤0时，即﹣2≤m≤m+1≤1，则必有y1＞y2≥﹣4， 对应的最大值都是5．对应的最小值分别为y1，y2， 此时d1＝5﹣y1；d2＝5﹣y2， ∴d1＜d2 II．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，则必有y1＞﹣4，y2＞﹣4， 对应的最大值都是5．当﹣2≤m≤0时的最小值为y1＞﹣4，当﹣2≤x≤m+1时的最小值为﹣4， 此时d1＝5﹣y1；d2＝5﹣（﹣4）＝9， ∴d1＜d2； III．当1≤m≤3时，必有﹣4≤y1＜y2≤5， 对应的最大值都是5．对应的最小值都是﹣4． 此时d1＝d2＝9； IV．当3＜m≤4时，必有0＜y1≤5＜y2， 最小值都是﹣4．当﹣2≤m≤0时的最大值为5，当﹣2≤x≤m+1时的最大值为y2， 此时d1＝5﹣（﹣4）＝9；d2＝y2﹣（﹣4）＞9， ∴d1＜d2， V．当m＞4时，必有y1＜y2，对应的最小值都是﹣4．对应的最大值分别为y1，y2， 此时d1＝y1+4；d2＝y2+4， ∴d1＜d2， 综上所述，不存在d1＞d2． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 23．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接EP，ED，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题． （1）设△EPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ （2）是否存在x的值，使得EP⊥DP？试说明理由． 【分析】（1）根据图形得，化简后由二次函数的性质即可求解； （2）由勾股定理得DE2＝AD2+AE2＝16+x2，EP2＝BE2+BP2＝（3﹣x）2+x2，DP2＝CP2+CD2＝（4﹣x）2+9，EP2+DP2＝DE2，即可求解． 【解答】解：（1）动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动， 矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， BC＝AD＝4， CD＝AB＝3， ∴AE＝BP＝x， BE＝3﹣x， CP＝4﹣x， ∴ ， ∵，0＜x≤3， ∴当x＝2时，S最小＝4； 故（0＜x≤3），当x＝2时，S最小＝4； （2）存在，理由如下： ∵∠A＝∠B＝∠C＝90° ∴DE2＝AD2+AE2＝16+x2， EP2＝BE2+BP2＝（3﹣x）2+x2， DP2＝CP2+CD2＝（4﹣x）2+9， ∵EP⊥DP， ∴EP2+DP2＝DE2， ∴（3﹣x）2+x2+（4﹣x）2+9＝16+x2， 解得，（舍去）， 故当时，EP⊥DP． 【点评】本题考查二次函数的最值，正确进行计算是解题关键． 24．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动． （1）写出△PBQ的面积S（cm2）与动点运动时间t（s）之间的函数表达式； （2）运动时间t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）利用两点运动的速度表示出PB，BQ的长，进而表示出△PBQ的面积即可； （2）利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm， S△PBQBQ•PB2t（6﹣t）＝﹣t2+6t； S＝﹣t2+6t； （2）∵S＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9， ∴当t＝3s时，△PBQ的面积最大，最大值是9cm2． 【点评】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出PB，BQ的长是解题关键． 25．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值． 【分析】根据二次函数与一次函数的解析式设出点C、D的坐标，然后然后用点C的纵坐标减去点D纵坐标表示出CD，再根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：设C（m，2m+1），D（m，m2）， 则CD＝2m+1﹣m2＝﹣m2+2m+1＝﹣（m﹣1）2+2， 当m＝1时，CD有最大值2． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，设出C、D的坐标并列出CD的表达式是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/30 19:35:33；用户：付洋；邮箱：13998414261；学号：35557238 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与最值问题 一．选择题（共10小题） 1．二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3范围内的最小值为﹣1，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 3．若二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当m≤x≤2时，y有最大值4，最小值﹣5，则m的取值范围是（　　） A．﹣4≤m≤2 B．﹣4≤m≤﹣1 C．m≤﹣1 D．﹣1≤m≤2 4．若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 5．若函数y＝x2+ax+b在0≤x≤1的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 6．定义运算：a★b＝a（a+2b）﹣3，例如4★3＝4×（4+2×3）﹣3，则函数y＝（x+1）★2的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣21 7．已知点P是抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上的动点，点Q（a+4，﹣a+6）是坐标平面内的动点，则线段PQ长度的最小值是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数y＝2x2的图象上有两点M（x1，y1），N（x2，y2），设S＝y1+y2，若x1•x2＜0，x1+x2＝2，则下列结论正确的是（　　） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 9．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm．动点P从点A出发，以2mm/s的速度沿边AB向终点B运动；动点Q从点B同时出发，以4mm/s的速度沿边BC向终点C运动．设出发时间为ts．有下列结论： ①当t＝2s时，AP＝CQ；②当1≤t≤5时，△BPQ的最大面积为36mm2；③t有两个不同的值满足△BPQ的面积为四边形APQC面积的．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝7cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动．设运动的时间为ts．当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当t＝6s时，四边形APCQ是平行四边形； ②△APQ的最大面积为cm2； ③当△APQ的面积为10cm2时，t＝2s或t＝10s． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二．填空题（共6小题） 11．当﹣2≤x≤3时，函数y＝﹣x2﹣2x+3有最大值_____ ． 12．当﹣3≤x≤1时，函数y＝﹣x2+4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝____________________ ． 13．已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为_______ ． 14．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为__________ ． 15．已知二次函数y＝﹣x2+5x﹣1，点A在该图象的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则AB+AC的最大值为_____ ． 16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．连接AF，则△AEF面积的最大值为_____ ． 三．解答题（共9小题） 17．如下表格是抛物线y＝ax2+bx+c上部分点（x，y）的横、纵坐标信息． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … m ﹣8 n p 7 q … （1）若m＝n，则该函数有________ （最大值或最小值）；最值为_______ ； （2）若a＝﹣4，请通过计算判断p与q的大小关系． 18．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象经过点A（﹣1，8）和点B（0，3）． （1）求b，c的值． （2）点C在该二次函数的图象上，它的横坐标为t．记t≤x≤t+5时，二次函数的最大值与最小值之差为Δy． ①若点C与B重合，求Δy的值． ②若点C在点A，B之间运动（含点A，B），求Δy的最小值． 19．实数a＜b，当a≤x≤b时，函数y＝x2﹣2x的最小值为m，最大值为8． （1）若b为负数，直接写出a的值为_______ ； （2）若m＝a，直接写出b的值为_____ ；a的值为_________ ． 20．已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2． （1）当﹣1≤x≤t时，y有最大值4，求t的值； （2）当t≤x≤t+1时，y有最小值，求t的值． 21．当t≤x≤t+1时（其中t为实数），求函数的最小值的取值范围． 22．二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． （1）求a的值． （2）当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值减去最小值的差为d1，当﹣2≤x≤m+1时，该函数的最大值减去最小值的差为d2． ①若d1＝9，求m的取值范围； ②是否存在d1＞d2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 23．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接EP，ED，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题． （1）设△EPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ （2）是否存在x的值，使得EP⊥DP？试说明理由． 24．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动． （1）写出△PBQ的面积S（cm2）与动点运动时间t（s）之间的函数表达式； （2）运动时间t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 25．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $