专题03 二次函数y＝ax²＋bx＋c与系数之间的关系 2026-2027学年人教版数学九年级上册专项训练讲义

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题03 二次函数y＝ax²＋bx＋c与系数之间的关系 ▌专题目标 1. 掌握二次函数图象的开口、对称轴、顶点、与y轴交点等基本特征。 2. 会由图象位置判断a、b、c及含系数代数式的符号。 3. 掌握多结论判断问题的分析策略，能逐一验证结论。 4. 会由系数关系逆向推断图象特征。 5. 在图象与系数互判中体会数形结合思想，发展直观想象与推理能力。 ▌专题目录 题型01：由图象位置判断a、b、c的符号 题型02：由图象判断含系数代数式的符号 题型03：多结论判断问题（结论个数的确定） 题型04：由系数关系推断图象特征（逆向判断） ▌题型01：由图象位置判断a、b、c的符号 题型描述：题干给出抛物线图象，判断a、b、c的正负。核心得分点是开口定a、对称轴定b（左同右异）、与y轴交点定c。 基础知识： 1. 开口向上a＞0，向下a＜0； 2. 对称轴：对称轴在y轴左侧a、b同号，右侧异号（“左同右异”）； 3. 抛物线与y轴交点为(0，c)，交于正半轴c＞0； 4. b＝0时对称轴为y轴。 解题方法： 1. 看开口：定a的符号； 2. 看对称轴：结合a用“左同右异”定b； 3. 看y轴交点：定c的符号； 4. 写结论：汇总a、b、c符号。 解题思路： 口诀：口、轴、交、结。a看开口、b看轴位（左同右异）、c看截距；三步独立判断后汇总。 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知关于的二次函数经过原点和一、二、四象限，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数过原点得，再结合图象经过的象限判断、的符号． 【详解】解：∵ 二次函数经过原点， ∴ 将代入解析式，得， 故选项A、C不符合要求； ∵ 函数图象经过一、二、四象限， ∴ 抛物线的顶点一定在第四象限，且， ∴，， 结合， 解得，， 故选项B不符合要求， 选项D符合要求． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是二次函数的图象，则，的值可能为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点判断的符号． 【详解】解：根据题图可知，抛物线的对称轴在轴右侧，则， 解得， 抛物线与轴的交点在轴上方， 可得， 故选项满足题意． 3．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴； ∴，，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴ 解得：；②正确， ∵， ∴， 由图像可知：， ∴， 即：；③错误； ∵对于的任意值都有， ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即：， ∵二次函数图像经过点， ∴， ∴该二次函数的表达式可化为：， 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小， ∴线段变短；⑤错误， 综上，正确的有①②． 4．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，函数的图象过点和．请思考下列判断： ①；②；③； ④； ⑤若，点，，在抛物线上，且满足，则．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】对于①，由二次函数的开口方向与对称轴位置确定、的符号；对于②，观察时，函数图象的位置即可；对于③，将点和代入解析式，化简可得；对于④，将③的结论代入可得，原式；对于⑤，先计算出抛物线的对称轴，再结合函数的图象与性质将比较函数值大小转化为到对称轴的距离问题，解不等式得出的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图可知，当时，抛物线在轴下方， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象过点， ∴，即， 又∵二次函数的图象过点， ∴， 将代入，得， 整理，得， 由图可知，， ∴， ∴，故③错误； ， ∵， ，， ∴， ∵二次函数的图象交轴于正半轴， ∴，即， ∴，即，故④正确； 对于⑤：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的图象开口向下， ∴点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵， ∴， 不等式两边平方，得， 解得，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． ▌题型02：由图象判断含系数代数式的符号 题型描述：题干给出抛物线图象，判断a＋b＋c、a－b＋c、b²－4ac、2a＋b等式子的符号。核心得分点是把代数式与图象上的特殊点（x＝1、－1）或特征量对应。 基础知识： 1. a＋b＋c＝x取1时的函数值，a－b＋c＝x取－1时的函数值； 2. b²－4ac的符号由抛物线与x轴交点个数决定； 3. 2a＋b的符号由对称轴与x＝1（或－1）的位置关系决定； 4. 4a＋2b＋c对应x＝2的函数值。 解题方法： 1. 对特征：把代数式对应到特殊x值的函数值或图象特征； 2. 读图象：读出该点的纵坐标符号（在x轴上方为正）； 3. 判符号：交点个数定Δ，轴位定2a±b； 4. 写结论：逐一判断。 解题思路： 口诀：特、读、判、结。见“a±b＋c”想x＝±1的函数值；见“b²－4ac”数与x轴交点；见“2a±b”比对称轴与±1。 5．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图是抛物线的示意图，则a的值可以是（     ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∴四个数中，a的值可以是2． 6．（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题围绕二次函数的图像和性质，结合开口方向、对称轴、特殊点的函数值逐一判断选项正误． 【详解】解：A选项：抛物线开口向下，对称轴，抛物线与轴交于正半轴， ，，， ， ，选项错误； B选项：由移项得且，故，选项错误； C选项：对称轴， 与时的函数值相等， 由抛物线图像得，当时，， 当，，选项正确； D选项：由抛物线图像得，当，， 将代入得，化简得，选项错误． 7．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数经过，，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】将两点代入二次函数解析式，得到与的关系，再通过配方判断的符号，进而确定的符号，即可判断点所在象限． 【详解】解：将点代入，得， 化简得． 将点代入，得， 把代入上式，得， 整理得， 配方得． ， ， ， 点在第一象限． 8．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）④，其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系以及与坐标轴的交点问题逐项分析判断即可． 【详解】解：由图可知，该抛物线的开口向下，与y轴正半轴交于一点，对称轴在y轴的左边， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且点和点都在抛物线上， 而，，， ∴，故②错误； 由图象知，当时，为最大值， 当时，， ∴对于任意实数m，都有， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴，则，故④正确， 综上，正确的有③④，故选项B符合题意． ▌题型03：多结论判断问题（结论个数的确定） 题型描述：题干给出抛物线图象和4～5个关于系数的结论，要求判断正确结论的个数或序号。核心得分点是逐个结论用对应特征量验证。 基础知识： 1. abc符号由开口、轴位、截距联合确定； 2. a±b＋c由x＝±1的函数值确定； 3. Δ由与x轴交点个数确定； 4. 2a±b、4a±2b＋c由对称轴与特殊点确定； 5. 最值与顶点纵坐标有关。 解题方法： 1. 列结论：把每个结论编号； 2. 找对应：为每个结论找到图象依据； 3. 逐条判：独立判断正误； 4. 数个数：统计正确结论。 解题思路： 口诀：列、对、判、数。一条结论一个“证据”，不凭感觉；易混点：2a＋b看对称轴与1，2a－b看对称轴与－1。 9．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点判断，，符号；利用抛物线对称性，把的函数值转移到；再将代入的函数不等式，化简判断的正负． 【详解】A：抛物线开口向下；对称轴为直线， 因为，所以； 因为抛物线与轴交于正半轴，所以； 所以，A正确． B：利用对称性：对称轴为直线，与关于对称． 从图像：时，， 所以时函数值同样小于，所以时，，正确． C：由对称轴，得，移项：，C正确． D：时，， 又， 代入：，D错误． 【点睛】二次函数图像题的关键：①开口定；对称轴判断关系式；轴交点定；②抛物线上关于对称轴对称的两点，函数值相等；③把用替换，可化简代数式，判断式子正负． 10．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的个数是（     ） ①； ②； ③若点在抛物线上，则； ④对任意实数t，总成立； ⑤． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线开口向上，对称轴，抛物线与轴的交点位置可得，所以①错误；求解抛物线与轴的另一个交点为，可得，所以②错误；判断点关于直线的对称点坐标是，可得，故③正确；求解函数的最小值为，可得不一定成立；故④错误；联立，解得，可得，进一步判断⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上，则，对称轴， 则， ∵， ∴，所以①错误； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为， ∴当时，，即，所以②错误； ∵抛物线对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而增大，点关于直线的对称点坐标是， ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴函数的最小值为， 当时，， ∴对任意实数t，总成立， ∴不一定成立；故④错误； 联立，解得， ∵点， ∴，， ∴．故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：③⑤，有个结论正确． 11．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论：①，②，③，④．其中正确的__________． 【答案】 ②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，由对称轴的位置判断的符号及与的数量关系，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合时的函数值及的关系式进行推导判断． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线，且， ， ，故①错误； ， ，即，故②正确； 观察图象可知，当时，图象在轴下方， ，故③正确； 由②可知， 将其代入 中， 得，整理得 ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 12．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，点是抛物线的顶点．下列结论（1）；（2）；（3）：（4）对任意实数总成立；（5）若点在抛物线上，则，正确的是__________． 【答案】（1）（3） 【分析】（1）通过函数图象，利用特殊值法求解； （2）利用对称轴得出系数之间的关系； （3）利用系数之间的关系以及顶点坐标确定，然后利用抛物线与轴的交点坐标列出不等式求解； （4）利用抛物线的顶点坐标求解； （5）利用函数的增减性进行判断． 【详解】解：（1）当时，函数值为负数， ∴， 该选项正确； （2）由抛物线的对称轴为直线得， ， ∴， ∴， 该选项错误； （3）∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，抛物线与轴交于和之间， ∴， 解得， 该选项正确； （4）∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，函数值最大，为， ∴对任意实数总成立， 该选项错误； （5）若点在抛物线上，无法确定的大小， 综上，正确的选项为（1）（3）． ▌题型04：由系数关系推断图象特征（逆向判断） 题型描述：题干给出a、b、c满足的条件（如a＜0，c＞0，a＋b＋c＞0），判断抛物线的开口、交点或经过的象限。核心得分点是反向使用图象与系数的对应关系。 基础知识： 1. a定开口；c定与y轴交点； 2. a＋b＋c＞0说明x＝1时图象在x轴上方； 3. ac＜0时Δ＝b²－4ac＞0，抛物线与x轴必有两交点； 4. c＝0时抛物线过原点。 解题方法： 1. 译条件：把系数条件翻译成图象特征； 2. 推性质：由开口、交点、截距推出图象位置； 3. 判象限：确定图象经过的象限； 4. 写结论：注意“一定”“可能”的区别。 解题思路： 口诀：译、推、限、断。逆向题抓“必有结论”：ac异号必有两交点；同号关系推不出唯一图象时留意多可能。 13．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）二次函数的图象如图所示，现有以下结论，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断A，由当时，，当时，，故，从而，进而可判断C，由函数图象可判断D，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，从而判断B． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴， 故A错误； 由图可得，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故C错误； 由图可得，当时，， 故D错误； ∵， ∴当时，， ∴， ∴，即， 故B正确． 14．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；②先说明当时，函数值小于0，即，再结合①的相关结论即可判断②；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④． 【详解】解： ∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴直线， ∴，即， ∴，即①错误； 由函数图像可知：对称轴直线，当时，函数值小于0， ∵与关于对称轴直线对称， ∴当时，函数值小于0，即， ∵， ∴， ∴，即②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，即③正确； 对于直线，当时，，即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴，解得： ，④正确. 综上，正确的有③④，共2个． 15．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，其顶点坐标为，有以下结论：①；②；③；④若方程（为常数）有唯一解，则．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先得出，，再根据对称轴可得，则①正确；当时，，据此化简可得②正确；将点代入函数解析式可得，进而可得，据此可得③正确；根据一元二次方程根的判别式可得④错误． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴其对称轴为直线， ∴，， ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∴，则结论②正确； 将点代入函数解析式得：， ∴， ∴，则结论③正确； 由二次函数的图象可知，， ∵方程（为常数）有唯一解， ∴这个方程根的判别式， ∴， 由上可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则，此时方程中的二次项和一次项系数都等于0，不符合题意，舍去； ∴， ∴，即， 假设成立，则，解得，这与不符， ∴假设不成立，即不成立，结论④错误； 综上，结论正确的有3个． 16．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某二次函数的部分图象如上图所示： ①；②；③；④．以上结论中正确的是 _______________． 【答案】③④ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置，确定的符号及数量关系，结合对称性求出另一交点坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 对称轴为直线， ， ， ， ， ，故①错误． 对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点为， 当时，，故②错误． ， ， ，故③正确． ，， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论是③④． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（） A． B． C．对任意实数t，总成立 D．若点，在抛物线上，，则 【答案】B 【分析】根据图象获取顶点坐标及与轴交点范围，利用二次函数性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则． 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为． 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为． 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为， ∴对任意实数，， ，当时取等号，故C错误； 对称轴为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． 抛物线开口向下，， 点离对称轴更远，即， 解得，故D错误． 2．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）在同一平面直角坐标系中表示 和 的图象，以下四个选项中可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，判断选项中两个函数图象各自待定系数的符号，看是否出现矛盾，出现矛盾的选项就是错误的，排除即可． 【详解】解：选项A：抛物线中，直线中，，，出现矛盾，不符合题意； 选项B：抛物线中，直线中，，，不符合，不符合题意； 选项C：抛物线中，直线中，，，没有矛盾，符合题意； 选项D：抛物线中，直线中，，，出现矛盾，不符合题意． 3．（26-27九年级上·甘肃·期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口向下，与轴交于正半轴可得，，据此可得选项A错误；根据二次函数的对称轴即可得选项B错误；得出和关于对称轴直线对称，据此可得选项C正确；根据二次函数的增减性可得选项D错误． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，则选项A错误； ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则选项B错误； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴直线对称， ∴， ∴，则选项C正确； ∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等；且当时，随的增大而减小， ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上， 又∵点在抛物线上，且， ∴，则选项D错误． 4．（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（     ） A． B． C．若，则时的函数值小于时的函数值 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向及对称轴为直线即可判断A；把代入即可判断B；利用二次函数图象开口向下，离对称轴越远函数值越小，然后比较与对称轴的距离即可判断C；先确定的关系，作差配方即可判断D． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵图象对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴A项错误； ∵图象经过点， ∴， ∴B项错误； 由图可知二次函数图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ，，且， 离对称轴的距离小于离对称轴的距离， 时的函数值大于时的函数值， C项错误； ，， ，解得， ， 又∵， ∴， ∴， ∴D项正确． 二、填空题 5．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知抛物线的最高点的坐标为，那么__________0（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】> 【分析】根据函数的最值情况推出，，进而即可比较与0的大小． 【详解】解：抛物线的最高点的坐标为， ，且在时，函数取得最大值为， 当时，， ， ． 6．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）已知二次函数（、为常数，且）的图象如图所示，则点在第________象限． 【答案】 二 【分析】根据二次函数图象的开口方向向下，判断出，根据二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上，判断出，进而得出点所在象限． 【详解】解：二次函数图象的开口方向向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上， 即当时，， 点在第二象限． 7．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）二次函数的图象如图，有下列结论：①，②，③时，，④，⑤当且时，，⑥当时，．其中正确的是__________．（填写序号即可） 【答案】②③⑤ 【详解】解：①由抛物线的开口向上可得， 由对称轴在y轴的右边可得，从而有， 由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可得， 则，故①错误； ②由对称轴方程得，即，故②正确； ③由图可知，当时，最小， 则对于任意实数m（），都满足，即，故③正确； ④由图象可知，所对应的函数值为正， ∴时，有，故④错误； ⑤若，且， 则， ∴抛物线上的点与关于抛物线的对称轴对称， ∴，即，故⑤正确． ⑥由图可知，当时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误； ∴正确的有②③⑤． 8．（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 三、解答题 9．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)用含的代数式表示和； (2)若，． ①判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由； ②已知为该二次函数图象上的一点，求证：． 【答案】(1)， (2)①该二次函数图象的开口向上，理由如下： ∵，， ∴和异号，和同号， ∴和异号， ∵， ∴，， ∴， ∴该二次函数图象的开口向上； ②证明：由（1）可得，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 由①得，故， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）将，代入二次函数得到，计算即可得出结果； （2）①由题意可得和异号，和同号，从而得出和异号，结合得出，从而可得，即可得出结果；②由（1）可得，，表示出，从而可得，再结合，求出，即可得证． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴， 由可得， 将代入得， ∴， ∴； （2）解：①该二次函数图象的开口向上，理由如下： ∵，， ∴和异号，和同号， ∴和异号， ∵， ∴，， ∴， ∴该二次函数图象的开口向上； ②略． 10．（2025·山东日照·三模）平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． (1)若轴，求抛物线的解析式； (2)点为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，点在抛物线上，求证：当时，h的最大值是4． 【答案】(1) (2)或 (3) 证明：∵点在直线上，点在抛物线上， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，h无最大值， 当时，h有最大值， ∴当时，h取得最大值， ∴h随a的增大而减小， 由（2）知，， ∴当时，h取得最大值，为． 【分析】（1）根据轴，可得，得，解得，即得， （2）可得抛物线为，对称轴为，当 时，开口向上， A、B之间的部分图象位于对称轴右侧，最低点在端点时，，都有．当时，开口向下，顶点为最高点，最低点在端点或，当时，，得； （3）可得，得，可得，得，得，根据h有最大值，知当时，h取得最大值，由（2）知，，故当时，h取得最大值 ． 【详解】（1）解：∵轴， ∴点，点的纵坐标相同， 即， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴函数解析式为， ∴， ∴对称轴为， 当 时，开口向上，抛物线在A、B之间的部分图象位于对称轴右侧，y随x增大而增大，最低点出现在端点时，，如图： 故当时，都有． 当时，开口向下，顶点为最高点，最低点出现在端点或，如图： ∴当时，， 即：， 解得：， 综上， a的取值范围为 或；          （3）略 【点睛】本题考查了二次函数综合，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，增减性，二次函数与一次函数综合，二次函数最值，熟练掌握是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题03二次函数y=ax2+bx+c与系数之间的关系 专题目标 掌握二次函数图象的开口、对称轴、顶点、与y轴交点等基本特征。 2. 会由图象位置判断a、b、c及含系数代数式的符号。 3. 掌握多结论判断问题的分析策略，能逐一验证结论。 4. 会由系数关系逆向推断图象特征。 在图象与系数互判中体会数形结合思想，发展直观想象与推理能力。 专题目录 题型01：由图象位置判断a、b、c的符号 题型02：由图象判断含系数代数式的符号 题型03：多结论判断问题（结论个数的确定） 题型04：由系数关系推断图象特征（逆向判断） 1题型01：由图象位置判断4五c的符号 题型描述：题干给出抛物线图象，判断a、b、c的正负。核心得分点是开口定a、对称轴定 b(左同右异)、与y轴交点定c。 基础知识： 开口向上a>0,向下a<0: 1/13 x=- 对称轴 2a：对称轴在y轴左侧a、b同号，右侧异号(“左同右异”)； 抛物线与y轴交点为(0，c),交于正半轴c>0: b=0时对称轴为y轴。 解题方法： 看开口：定a的符号： 看对称轴：结合α用“左同右异”定b: 看y轴交点：定c的符号； 写结论：汇总a、b、c符号。 解题思路： 口诀：口、轴、交、结。a看开口、b看轴位（左同右异）、c看截距；三步独立判断后汇 总。 1.（2627九年级上·安徽合肥阶段检测)已知关于*的二次函数'=+r+(a≠0 经过原点和一、二、 四象限，那么() A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c=0 C.a<0,b<0,c>0 D.a>0,b<0,c=0 2。（26:2”九年级上浙江杭州阶段检测)如图是二次函数”=+x+ 的图象，则b,C的值可能为 () A.b=-3,c=4 B.b=3,c=4 C.b=3,c=-4 D.b=-3,c=-4 3.(2627九年级上北京海淀阶段检测)如图是二次函数=+x+c的图象，直线”=>0)与抛物 线交于A,B两点，A,B两点横坐标分别为m,n,根据函数图象信息有下列结论：①abC>0;② m+n=1;③m<-l;④若对于t>0的任意值都有m<-1,则a>1;⑤当t为定值时，若a变大，则线 2/13 段AB变长.其中正确的结论是() A.①②④ B.①② C.①④ D.②④ 4.(26-27九年级上湖北武汉阶段检测)如图，函数y=+x-c的图象过点-L,0)和m,0) 请思考 下列判断： ①ab<0:②4a-2b-c<0;③-c=ma: @@m+(2a+b)m+a+b-c<0 1 ⑤若m=3”点R-山，y)2),B(+l,⅓)在抛物线上，且满足乃<乃<，则21<1.其中 正确的是 (填序号) 题型02：由图象判断含系数代数式的符号 题型描述：题干给出抛物线图象，判断a十b十c、a-b+c、b2一4ac、2a+b等式子的符 号。核心得分点是把代数式与图象上的特殊点(x=1、一1)或特征量对应。 基础知识： a十b十c=x取1时的函数值，a一b十c=x取一1时的函数值： b2一4c的符号由抛物线与x轴交点个数决定： 2a十b的符号由对称轴与x=1(或-1)的位置关系决定； 4a十2b十c对应x=2的函数值。 解题方法： 3/13 对特征：把代数式对应到特殊x值的函数值或图象特征： 读图象：读出该点的纵坐标符号（在x轴上方为正）： 判符号：交点个数定△，轴位定2肚b: 写结论：逐一判断。 解题思路： 口诀：特、读、判、结。见“a肚b十c”想x=±1的函数值；见“b2一4ac”数与x轴交点： 见“2吐b”比对称轴与±1。 5。(26:27九年级上福建厦门阶段检测)如图是抛物线'=-3x+2 的示意图，则a的值可以是 () A.2 B.0 C.-1 D.-2 6,（26-27九年级上重庆巴南阶段检测)如图，抛物线'=+r+ 的对称轴是直线=1，则以下四个 结论中，正确的是() x=1 A.abc0 B.2a-b=0 C.4a+2b+c>0 D.3a+c>0 7.(26-27九年级上浙江温州阶段检测)二次函数'=a+r-1(a≠0)经过(-2)，（，+2n-3列 则点) 所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4/13 8.(26-27九年级上浙江杭州：阶段检测)如图，二次函数 =++Ca,b,c为常数，a≠0)的 图象与x轴交于点 对称轴是直线=一2，有以下结论：①c<0,②若点(-l,y)和点 (2,乃)都在抛物线上，则y<为，：③am+bm≤4a- 50-0(m为仁这实数)④3a+4=0,其中正确的 有() X=- y=ax2+bx+c 3 ,0) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 题型03：多结论判断问题（结论个数的确定） 题型描述：题干给出抛物线图象和4~5个关于系数的结论，要求判断正确结论的个数或序 号。核心得分点是逐个结论用对应特征量验证。 基础知识： abc符号由开口、轴位、截距联合确定； 仕b十c由x=±1的函数值确定； △由与x轴交点个数确定： 2肚b、4a肚2b十c由对称轴与特殊点确定； 4ac-b2 最值与顶点纵坐标4a有关。 解题方法： 列结论：把每个结论编号； 找对应：为每个结论找到图象依据： 逐条判：独立判断正误； 数个数：统计正确结论。 5/13 解题思路： 口诀：列、对、判、数。一条结论一个“证据”，不凭感觉：易混点：2十b看对称轴与 1,2a-b看对称轴与一1。 9.(26-27九年级上·安徽芜湖阶段检测)二次函数'=r+r+c(a≠0 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1,则下列结论错误的是（) 101 A.abc<0 B.9a+3b+c<0 C.2a+b=0 D.3a+c>0 10.(26-27九年级上山东济宁阶段检测)如图，抛物线'=ar+bx+c与x轴交于点 (1,0 ,与y轴交于 点B(0,m(-2<m<- ,对称轴为直线x=一1.则下列结论正确的个数是() ①abc>0: ②4a-2b+c>0: ③若点 4w 在抛物线上，则>2： ④对任意实数t,at+bt>a-b总成立； 12 ⑤3<a<3: A.1 B.2 C.3 D.4 1.（26-27九年级上四川南充阶段检测)已知二次函数'=r+r+ 的图象如图所示，则以下结论： 6/13 ①abc>0,②2b+3a=0,③a-b+c<0,④5a+2c<0.其中正确的 、3 12.(26-27九年级上辽宁抚顺阶段检测)如图，点P是抛物线'=+x+c(a≠0) 的顶点，下列结论 3 1 (1)a-b+c<0:(2)2a+b=0:(3)4a<-2:(4)对任意实数1，a+b1<4a+2b总成立， (5)若点 (-m),B(1+m,乃)在抛物线上，则H<片，正确的是 题型04：由系数送系推断图象特征（逆向判断） 题型描述：题干给出a、b、c满足的条件（如a<0,c>0,a十b+十c>0),判断抛物线的 开口、交点或经过的象限。核心得分点是反向使用图象与系数的对应关系。 基础知识： a定开口；c定与y轴交点： a十b十c>0说明x=1时图象在x轴上方： ac<0时△=b2一4ac>0,抛物线与x轴必有两交点： c=0时抛物线过原点。 解题方法： 译条件：把系数条件翻译成图象特征： 推性质：由开口、交点、截距推出图象位置： 7/13 判象限：确定图象经过的象限： 写结论：注意“一定”“可能”的区别。 解题思路： 口诀：译、推、限、断。逆向题抓“必有结论”：c异号必有两交点；同号关系推不出唯 一图象时留意多可能。 y=ax+bx+c 13.(26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测)二次函数 的图象如图所示，现有以下结论，其 中正确的是() A.abc>0 B.2c<3b b2<(a+c)2 D 4a+2b+c<0 14。（2627九年级上·山东济宁阶段检测)如图所示，已知二次函数'=+r+ C的图像与轴交于A, B两点，与'轴交于点C,对称轴为直线=1.直线'=一x+C与抛物线’=++C交于C,D两 点，D点在*轴下方且横坐标小于3，则下列结论：Oc>0,②3a+c>0,③(r+b)≤a+h:④ a<1.其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.(26-27九年级上重庆阶段检测)二次函数'=+x+c(a≠0) 的部分图象如图所示，其顶点坐标 8/13 为(-2，n),有以下结论：①g>0:②36-4c<0:③2-4a(c-m）=0:④若方程 (a-1)r+(b-4)x+c-k=0k为常数)有唯一解，则k+m=4.其中正确的有（） (-2,n)个 计43-21012x A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 16。(26-27九年级上上海杨浦阶段检测)某二次函数'=+r+c(a≠0) 的部分图象如上图所示： b ①abc<0:②a-h+c<0:®a=2:④8a+c>0:以上结论中正确的是 专题综合训练 一、选择题 1.（26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，点P是抛物线'=+r+c(a≠0) 的顶点，下列结论正 确的是() ò 3 9/13 A.2a+b=0 2 C.对任意实数i,a2+b1<4a+2b总成立 D.若点1(1-m）.B1+m, 在抛物线上，片<乃，则m>1 y=ax2(a≠0) 2.(26-27九年级上：湖北十堰阶段检测)在同一平面直角坐标系中表示 和 y=ax+b(ab>0) 的图象，以下四个选项中可能正确的是() 子 y=ax-+bx+c 3.(26-27九年级上甘肃期中)二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=2 6,0) 且图象经过点 ， 则下列结论正确的是() 2 6衣 A.ac>0 B.4a+b=1 10113 C.若+=四+且≠巧，则+五=4 D.若2，），(3）两点都在抛物线=ar+x+c上，则片<y 4,(26-27九年级上·安徽蚌埠阶段检测)如图是二次函数'=ar+br+c(a≠0 图象的一部分，对称轴为 直线x=2,且经过点(2,0)，下列选项正确的是（） x☑ A.a-b=0 B.4a+2b+c<0 1 C.若n>m>0,则x=2+m时的函数值小于x=2”时的函数值 n.42m(am+创 二、填空题 5。(26:27九年级上上海普陀阶段检测)已知抛物线”=++C的最高点的坐标为L,0 那么a+b 0(填“>”、“=”或“<) 6,(2627九年级上陕西延安阶段检测)己知二次函数”=-2x+C(“、C为常数，且“≠0)的图象 P(a,c) 如图所示，则点 在第 象限 11/13 7,（2627九年级上辽宁鞍山阶段检测)二次函数"=+br+aa*0。 的图象如图，有下列结论：① c<0,②2a+h=0,③ml时，a+b<am+bm,@4-6+c<0,同当m+c=a+且 *5时，+5=2，©当1Kx<3时，>0 其中正确的是 ,(填写序号即可) -1012刘3龙 8.(2026江苏淮安·中考真题)己知二次函数 =++c(A,6,C为常数。a<0)的图像过点 A(-1,-) ，则下列说法正确的是 (填写所有正确说法的序号) ①a-b+c=-1;②若b>0,则当-1<x<1时，y随x的增大而增大；③若0<b<-2a,则 9a+3b+c<0 x'+bx+c=x a+b<1 ；④若关于”的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 三、解答题 9.(2627九年级上福建龙岩阶段检测)在平面直角坐标系0中，二次面数'=+r+©a40的图 象过点4，-4a).B3,-c) (1)用含a的代数式表示b和c: 12113 2)若ac<0.a(c+1)>0 ①判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由： ②已 C(c川为该二次函数图象上的一点，求证：6a+n<0. 10.(2025山东日照三模)平面直角坐标系0中，抛物线'=+x+C经过点 (0-2）B(6%) ，点 (1)若AB∥x轴，求抛物线的解析式： C(m,n 2)点 为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n之-2，求a 的取值范围； (3)在(2)的条件下，若 点M(,）在直线y=-2x+1上，点N(:+4,+)在抛物线=+x+c上， 求证：当1+1 时，h的最大值是4. 13113