第6讲·二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质·培优讲义 ·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第6讲·二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴公式，能快速求顶点与最值 · 能根据图象与系数符号判断a、b、c及代数式的正负 · 能利用对称轴与增减性比较函数值的大小，求函数值的取值范围 · 会用一般式、顶点式、交点式求二次函数解析式 · 能综合运用图象信息求与坐标轴交点、判别式相关问题并解决实际应用 📚 知识梳理 ☆ 1.顶点坐标与对称轴公式 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为(-, ) 对称轴是直线x=-，最值y= 配方法：y=a(x+)2+，化为顶点式 由顶点和对称轴可快速判断增减性、求范围 概念辨析例题：二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标是（　　） 答案：(2,1) 解析：a=1、b=-4、c=5，x=-=2，y===1，顶点(2,1)。 ☆ 2.系数符号与图象的关系 a决定开口方向：a>0开口向上、a<0开口向下 b与对称轴：对称轴x=-在y轴右侧则a、b异号（左同右异） c决定与y轴交点：c>0交y轴正半轴、c<0交负半轴、c=0过原点 由图象可判断a、b、c及a+b+c、a-b+c等的符号 概念辨析例题：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图（开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧），则（　　） 答案：a<0，c>0，b>0 解析：开口向下a<0；交y轴正半轴c>0；对称轴在y轴右侧，->0，a<0则b>0（左同右异）。 ☆ 3.增减性与函数值比较 对称轴x=-为增减分界：a>0左减右增，a<0左增右减 比较函数值大小：比点到对称轴的距离，开口向上远者大 求函数值范围：在给定区间内，考虑顶点（对称轴处取最值）与端点 利用对称轴x=可由等函数值的点求对称轴 概念辨析例题：点(-1,y1)、(1,y2)、(3,y3)在抛物线y=-(x-1)2+4上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） 答案：y2>y1>y3 解析：对称轴x=1，a<0开口向下，离对称轴越远函数值越小：1距0、-1距2、3距2，y2最大，y1=y3？不对，-1与3到1的距离都是2，故y1=y3，y2>y1=y3。 ☆ 4.求二次函数解析式 一般式y=ax2+bx+c：已知三点代入解方程组 顶点式y=a(x-h)2+k：已知顶点（或对称轴+最值） 交点式y=a(x-x1)(x-x2)：已知与x轴两交点 开放题：按要求（开口、顶点、过点）构造即可，答案不唯一 概念辨析例题：抛物线经过点(0,3)、(1,0)、(2,-1)，则其解析式为（　　） 答案：y=-x2-2x+3 解析：设y=ax2+bx+c，代入三点：c=3；a+b=-3；4a+2b=-4，解得a=-1、b=-2，解析式y=-x2-2x+3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 顶点坐标 (-, ) 对称轴x=- 最值 y= 开口向上取最小 系数符号 a定开口，c定y截距 左同右异看b 增减性 a>0左减右增 以对称轴为界 函数值比较 比到对称轴距离 开口向下远者小 求解析式 一般/顶点/交点式 按已知条件选形式 ⚠️ 核心考点 【考点1】顶点坐标与对称轴（第1-5题） · 套公式x=-、y=，或配方 · 已知两点等函数值，对称轴x= · 顶点在x轴上⇔Δ=0，顶点在y轴上⇔b=0 1．（23-24九年级上·重庆巴南·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数的图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（25-26九年级上·河南漯河·阶段检测）拋物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为______． 4．（23-24九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象经过点，，则其对称轴为直线______． 5．（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，为抛物线（是常数）上的两点． (1)求抛物线的顶点坐标（用表示）； (2)若，求的取值范围． 【考点2】系数符号与图象判断（第6-10题） · a看开口，c看与y轴交点，b由对称轴位置（左同右异）判 · a+b+c=f(1)，a-b+c=f(-1)，代入图象上的点判断 · 含参数的图象选择题，用排除法逐个验证 6．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 10．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）已知二次函数（、为常数，且）的图象如图所示，则点在第________象限． 【考点3】增减性与函数值大小比较（第11-19题） · 比点到对称轴距离：开口向上远者大、向下远者小 · 同侧点直接看增减性，异侧点比距离 · 区间内最值：考虑对称轴是否在区间内 11．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·重庆南岸·期末）已知二次函数，当自变量和时，函数值，则该抛物线的对称轴为____________________． 14．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则______． 15．（23-24九年级上·重庆长寿·阶段检测）二次函数，当时，y的取值范围为_______． 16．（25-26八年级下·北京·期末）二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 17．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 18．（23-24九年级上·北京东城·阶段检测）已知二次函数，当自变量的取值在的范围中时，函数有最小值，则的最大值是______. 19．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【考点4】求二次函数解析式（第20-29题） · 三点用一般式，顶点用顶点式，交点用交点式 · 开放构造题按条件直接写，注意a≠0 · 配方题把一般式化为顶点式，注意符号 20．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）请写出一个二次函数的表达式，要求其图象不经过原点，且当时，y随x的增大而减小．你写出的函数的表达式为______． 21．（24-25九年级上·河南郑州·期末）请你写一个图象过点的二次函数：______． 22．（25-26九年级上·河南漯河·阶段检测）写出一个开口向上、顶点是的抛物线解析式为________（写出一个即可）． 23．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 24．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 25．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）计算 (1)解方程： (2)二次函数经过点，，求二次函数的表达式． 26．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数． (1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)根据图象写出当y为正数时x的取值范围为_______． (3)当时，y的取值范围为_______． 27．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（b，c是常数）过点三点． (1)若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式； (2)已知， ①若，求的取值范围； ②若，试比较与的大小． 28．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数）． (1)求证：该函数的图像与轴总有公共点； (2)当该函数图像的顶点纵坐标的值最大时，的值为________． 29．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）已知抛物线经过点，和，求该抛物线的解析式． 【考点5】图象与坐标轴交点及判别式（第30-39题） · 与x轴交点：令y=0解方程，Δ决定交点个数 · 与直线交点：联立方程组，判别式判断位置关系 · 读图求值：由对称轴、过点等信息建立方程 30．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图像经过四个象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，若直线的解析式为，则的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 32．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，二次函数 的函数图像经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④，⑤当时，；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 34．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，当二次函数图象的顶点到轴的距离最小时，该二次函数图象与轴两交点之间的距离为（    ） A．4 B．8 C． D． 35．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）数学课上，老师给出以下探究问题：“已知二次函数，当时，函数最大值为8，求最小值．”下列关于此题求解所需条件的说法，正确的是（） A．只需知道，便可求 B．只需知道，便可求 C．，需都知道，才能求t D．即使，都知道，仍无法求 36．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）二次函数的部分图象如图，图象过点，与y轴的交点在，之间（包含端点），对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤；⑥（m为任意实数）．其中正确的结论有_______． 37．（24-25九年级上·北京·期中）已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点，则m的取值范围是_____． 38．（2024·江苏扬州·一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是________． 39．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数（）．图象的顶点为，其图象与轴的交点的横坐标分别为，下面四个结论： ； ；只有当时，是等腰直角三角形；使为等腰三角形的的值可以有三个．那么，其中正确的结论是______．（只填你认为正确结论的序号） 注：二次函数（）图象的顶点坐标为 【考点6】综合解答与应用（第40-45题） · 实际应用先列函数关系式，再求最值或特定取值 · 综合题先求解析式，再数形结合逐问求解 · 注意自变量的实际取值范围 40．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … (1)表格中______； (2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； (3)根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 41．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图像与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与一次函数的图像交于A，C两点． (1)求b的值； (2)求点C坐标并求出的面积； (3)根据图像，直接写出当时x的取值范围． 42．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点和点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差； (3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．当线段的长随的增大而增大时，请求出的取值范围． 43．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的右侧），连接，作轴交抛物线于点C，连接．若与的面积相等，求k的值． 44．（23-24九年级上·广东汕头·阶段检测）在坐标系中，正方形的顶点A，B在x轴上，.抛物线与x 轴交于点和点 F. (1)如图，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点C的对应点P落在直线上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出a的取值范围. 45．（25-26九年级上·天津·期中）抛物线与x轴交于点和点与y轴交于点B，点E为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若过抛物线上的点A作线段平行于x轴，交对称轴于点H，且，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，点A的横坐标满足．求四边形的面积S的最大值； (3)若点P为抛物线上的一动点，且位于直线的下方，当时，求点P的坐标． 💯 课后巩固 复习建议 · 顶点坐标、对称轴公式要记牢，配方法同步掌握 · 系数符号：a看开口、c看截距、b看对称轴（左同右异） · 比函数值大小看离对称轴的距离，开口向上远者大 · 求解析式按已知条件选一般式、顶点式、交点式 · 综合题先求解析式，注意自变量实际范围 【作业1】．（23-24九年级上·重庆·阶段检测）若，是抛物线上的两个点，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【作业2】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如果点三点都在抛物线的图象上，那么、与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）抛物线与直线的一个交点为，那么b的值是（） A．5 B．6 C．-5 D．-6 【作业4】．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26九年级上·云南昆明·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【作业6】．（23-24九年级上·云南昭通·期末）二次函数的顶点坐标是______． 【作业7】．（25-26九年级上·广东清远·期末）把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【作业8】．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为_______． 【作业9】．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）若抛物线开口向上，则a满足的条件为________． 【作业10】．（2025·广东揭阳·一模）如果三点和在抛物线的图象上，那么的大小关系是___________．（用“”连接） 【作业11】．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【作业12】．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）已知抛物线经过点和． (1)求，的值； (2)求该抛物线的顶点坐标． 【作业13】．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）请你结合“二次函数”的学习经验，研究抛物线． 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别是点和点（点在点的左侧），与轴的交点为点，顶点为． (1)分别写出，，，点的坐标，并在坐标系中画出此抛物线的草图． (2)当时，求函数的取值范围．小亮同学的解答如下： 解：当时，则； 当时，则；所以函数的取值范围为 小亮的解答正确吗？如果错误，请写出正确的解答过程． (3)连接，点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值． (4)点是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【作业14】．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段检测）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足，则飞机着陆至停下来滑行的时间是______． 【作业15】．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，直线分别与轴，轴交于点，，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一点，且的面积为． ①求点的坐标； ②点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲·二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 第6讲·二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴公式，能快速求顶点与最值 · 能根据图象与系数符号判断a、b、c及代数式的正负 · 能利用对称轴与增减性比较函数值的大小，求函数值的取值范围 · 会用一般式、顶点式、交点式求二次函数解析式 · 能综合运用图象信息求与坐标轴交点、判别式相关问题并解决实际应用 📚 知识梳理 ☆ 1.顶点坐标与对称轴公式 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为(-, ) 对称轴是直线x=-，最值y= 配方法：y=a(x+)2+，化为顶点式 由顶点和对称轴可快速判断增减性、求范围 概念辨析例题：二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标是（　　） 答案：(2,1) 解析：a=1、b=-4、c=5，x=-=2，y===1，顶点(2,1)。 ☆ 2.系数符号与图象的关系 a决定开口方向：a>0开口向上、a<0开口向下 b与对称轴：对称轴x=-在y轴右侧则a、b异号（左同右异） c决定与y轴交点：c>0交y轴正半轴、c<0交负半轴、c=0过原点 由图象可判断a、b、c及a+b+c、a-b+c等的符号 概念辨析例题：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图（开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧），则（　　） 答案：a<0，c>0，b>0 解析：开口向下a<0；交y轴正半轴c>0；对称轴在y轴右侧，->0，a<0则b>0（左同右异）。 ☆ 3.增减性与函数值比较 对称轴x=-为增减分界：a>0左减右增，a<0左增右减 比较函数值大小：比点到对称轴的距离，开口向上远者大 求函数值范围：在给定区间内，考虑顶点（对称轴处取最值）与端点 利用对称轴x=可由等函数值的点求对称轴 概念辨析例题：点(-1,y1)、(1,y2)、(3,y3)在抛物线y=-(x-1)2+4上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） 答案：y2>y1>y3 解析：对称轴x=1，a<0开口向下，离对称轴越远函数值越小：1距0、-1距2、3距2，y2最大，y1=y3？不对，-1与3到1的距离都是2，故y1=y3，y2>y1=y3。 ☆ 4.求二次函数解析式 一般式y=ax2+bx+c：已知三点代入解方程组 顶点式y=a(x-h)2+k：已知顶点（或对称轴+最值） 交点式y=a(x-x1)(x-x2)：已知与x轴两交点 开放题：按要求（开口、顶点、过点）构造即可，答案不唯一 概念辨析例题：抛物线经过点(0,3)、(1,0)、(2,-1)，则其解析式为（　　） 答案：y=-x2-2x+3 解析：设y=ax2+bx+c，代入三点：c=3；a+b=-3；4a+2b=-4，解得a=-1、b=-2，解析式y=-x2-2x+3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 顶点坐标 (-, ) 对称轴x=- 最值 y= 开口向上取最小 系数符号 a定开口，c定y截距 左同右异看b 增减性 a>0左减右增 以对称轴为界 函数值比较 比到对称轴距离 开口向下远者小 求解析式 一般/顶点/交点式 按已知条件选形式 ⚠️ 核心考点 【考点1】顶点坐标与对称轴（第1-5题） · 套公式x=-、y=，或配方 · 已知两点等函数值，对称轴x= · 顶点在x轴上⇔Δ=0，顶点在y轴上⇔b=0 1．（23-24九年级上·重庆巴南·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数的性质．将二次函数化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标． 【详解】解：， 顶点坐标为， 故选：B． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数的图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】由交点式得到函数图象与轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴即可． 【详解】解：， 令，即， 解得： 函数图象与轴的交点坐标为，， 函数图象的对称轴为直线， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，掌握由交点式得到函数图象与轴的交点坐标是解题的关键． 3．（25-26九年级上·河南漯河·阶段检测）拋物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出对称轴为直线，则抛物线的顶点的横坐标为，根据顶点在轴上，得到，据此求出，则抛物线解析式为，由此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∴抛物线的顶点的横坐标为， ∵拋物线的顶点在轴上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象经过点，，则其对称轴为直线______． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】根据二次函数的对称性可判断点A和点B是一组对称点，由此可求出二次函数的对称轴． 【详解】解：∵和在抛物线上， ∴A、B是抛物线上的一组对称点， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查利用抛物线的对称点求抛物线的对称轴，抛物线的对称轴一定过对称点连线的中点是解题的关键． 5．（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，为抛物线（是常数）上的两点． (1)求抛物线的顶点坐标（用表示）； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）将一般式化为顶点式即可求解； （2）由可得，据此即可求解． 【详解】（1）解： ∴抛物线的顶点坐标为 （2）解：由（1）可得：抛物线的开口向上，对称轴为直线 ∵ ∴ 即 解得： 【点睛】本题考查了将抛物线的一般式化为顶点式以及二次函数的增减性．熟记相关的结论，注意计算的准确性即可． 【考点2】系数符号与图象判断（第6-10题） · a看开口，c看与y轴交点，b由对称轴位置（左同右异）判 · a+b+c=f(1)，a-b+c=f(-1)，代入图象上的点判断 · 含参数的图象选择题，用排除法逐个验证 6．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象和性质，掌握它们的性质是解题的关键．根据二次函数图象开口方向可以判断出的符号，由对称轴的位置判断b的符号，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象可知，函数图形开口向下， ∴ ∴一次函数中随的增大而减小， ∵抛物线的对称轴直线在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数交于轴的正半轴， ∴一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 7．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据开口方向，抛物线与y轴交点坐标可判断a，c的正负，再根据对称轴为直线可判断b的正负，进而可判断选项；再根据，即可判断选项，再根据当时，二次函数对应的点的纵坐标为负即可判断． 【详解】解：由图象可知，， 对称轴是直线， ， ，， ， 故正确不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故错误符合题意， 由图象可知，当时，， 故正确不符合题意； 故选：． 8．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 9．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 10．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）已知二次函数（、为常数，且）的图象如图所示，则点在第________象限． 【答案】 二 【知识点】判断点所在的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数图象的开口方向向下，判断出，根据二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上，判断出，进而得出点所在象限． 【详解】解：二次函数图象的开口方向向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上， 即当时，， 点在第二象限． 【考点3】增减性与函数值大小比较（第11-19题） · 比点到对称轴距离：开口向上远者大、向下远者小 · 同侧点直接看增减性，异侧点比距离 · 区间内最值：考虑对称轴是否在区间内 11．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，则在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵点都在函数的图象上，且， ∴， 故选：D． 12．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 由于，的纵坐标相等，所以点与点是抛物线上的对称点，所以抛物线的对称轴为直线，然后通过比较点到直线的距离的大小来判断的大小． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， 注意到，两点的纵坐标都是， ∴二次函数的图象是开口向下，且对称轴为直线，即的抛物线， 点，，均在二次函数的图象上， ， ， 故选：D． 13．（23-24九年级上·重庆南岸·期末）已知二次函数，当自变量和时，函数值，则该抛物线的对称轴为____________________． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性和题目中对应值，即可求出对称轴． 【详解】解：根据题意可知： 二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则______． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为：直线， 如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·重庆长寿·阶段检测）二次函数，当时，y的取值范围为_______． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当和对应的y值，确定端点值，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴当时，y有最小值， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当和对应的y值是解此题的关键． 16．（25-26八年级下·北京·期末）二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 17．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 【答案】的值为8或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解： ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． 18．（23-24九年级上·北京东城·阶段检测）已知二次函数，当自变量的取值在的范围中时，函数有最小值，则的最大值是______. 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，分、及三种情况考虑，利用二次函数的性质结合的取值范围即可找出的取值范围，取其最大值即可得出结论． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线． 当时，时取最小值，此时； 当时，时取最小值，此时； 当时，时取最小值，此时． 综上所述：的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，分、及三种情况考虑是解题的关键． 19．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 4 5 0 0 m (1)此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2) 二次函数的图象如图所示： (3) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； （2）略 （3）解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 【考点4】求二次函数解析式（第20-29题） · 三点用一般式，顶点用顶点式，交点用交点式 · 开放构造题按条件直接写，注意a≠0 · 配方题把一般式化为顶点式，注意符号 20．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）请写出一个二次函数的表达式，要求其图象不经过原点，且当时，y随x的增大而减小．你写出的函数的表达式为______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 【详解】解：根据题意可得： 不经过原点，当时，y随x的增大而减小， 故答案为：（答案不唯一）． 21．（24-25九年级上·河南郑州·期末）请你写一个图象过点的二次函数：______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，设二次函数为，代入点即可求解． 【详解】解：设二次函数为， 代入点得， ∴过点的二次函数可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 22．（25-26九年级上·河南漯河·阶段检测）写出一个开口向上、顶点是的抛物线解析式为________（写出一个即可）． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查求函数解析式，根据抛物线的顶点坐标，可设解析式为顶点式，由开口向上可知，取即可得到解析式． 【详解】解：由题意，抛物线的顶点为，且开口向上，因此可设其解析式为，其中．取，得解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 23．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，设出抛物线的顶点式是解本题的关键，设二次函数的表达式为，再把代入即可得到答案． 【详解】解：设二次函数的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴二次函数的表达式为． 24．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 【答案】(1) (2)2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）把代入（1）中解析式求出x的值，然后求出抛物线的对称轴，最后结合已知写出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的纵坐标为，点在抛物线上， ∴， 解得，， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点C在对称轴右侧， ∴ ∴点C 到 y 轴的距离2．． 25．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）计算 (1)解方程： (2)二次函数经过点，，求二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了解一元二次方程，求二次函数表达式，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤，以及用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）把，代入，求出m和n的值，即可得出二次函数表达式． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：把，代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的表达式为． 26．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数． (1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)根据图象写出当y为正数时x的取值范围为_______． (3)当时，y的取值范围为_______． 【答案】(1)画出函数图象，如图： (2) (3) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象，找到时，的取值范围即可； （3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解． 【详解】（1）解：∵， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … （2）解：由图象可知：当为正数时，； 故答案为：； （3）解：由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称， ∴和时的函数值相同，为最小值，， 当时，有最大值为：， ∴； 故答案为：． 27．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（b，c是常数）过点三点． (1)若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式； (2)已知， ①若，求的取值范围； ②若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)①，② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．需要熟练掌握二次函数的性质方可解答该题． （1）根据顶点式写出即可； （2）①由抛物线过点A，得到，由，可知，得到，即可得到，由，可得；②由，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为二次函数的顶点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴ ，得， 将代入，得到， ， ， ； ② ， ， ，， ∴， ， ． 28．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数）． (1)求证：该函数的图像与轴总有公共点； (2)当该函数图像的顶点纵坐标的值最大时，的值为________． 【答案】(1) 解：令，则， ∵，，， ∴， ∴方程有实数根， ∴该函数的图像与轴总有公共点； (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质以及最值的求解方法，解题的关键是熟练掌握这些知识点进行求解． （1）令，得一元二次方程，证明方程总有实数根，即可证明函数图像与x轴有交点； （2）利用配方法将一般式写成顶点式，得到顶点坐标的纵坐标，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴该函数图像的顶点纵坐标为， 设， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为0． 故答案为：． 29．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）已知抛物线经过点，和，求该抛物线的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】利用待定系数法求抛物线的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，和， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． 【考点5】图象与坐标轴交点及判别式（第30-39题） · 与x轴交点：令y=0解方程，Δ决定交点个数 · 与直线交点：联立方程组，判别式判断位置关系 · 读图求值：由对称轴、过点等信息建立方程 30．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图像经过四个象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，令时解出两个交点，根据图像经过四个象限，交点在y轴两边求解即可得到答案； 【详解】解：当时， 解得，， ∵二次函数的图象经过四个象限， ∴， 解得：， 故选：D． 31．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，若直线的解析式为，则的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象与性质，待定系数法求一次函数参数，熟练掌握函数图象与不等式的关系是解题的关键．先由二次函数可求得点坐标，代入即可得到，然后由变形为，观察图象即可得到答案． 【详解】解： 与轴交于点，即时，， 又点在直线：上， 将代入，得 直线的解析式为 观察图象可知，当时，直线在抛物线的上面，当时，直线在抛物线的下面，当时，直线在抛物线的上面， ，即 观察图象可知，该不等式的解集为：或． 故选：D． 32．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，二次函数 的函数图像经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④，⑤当时，；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置可判断，，的符号及与的关系，从而判断①②；由图像可得时，可判断③；由及可判断④；当时，，可判断⑤．解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ，故结论①正确； 由图像可得：抛物线的对称轴在和之间， ∴， ∴，即，故结论②错误； 由图像可得： 当时，，故结论③正确； 当时，， 当时，，即， ∴， ∴，故结论④正确； ∵抛物线过点， ∴， 当时，， ∴，即， ∴，故结论⑤正确， ∴正确结论的个数是． 故选：B． 33．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的图象． 根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可． 【详解】解：选项A：由的图象可得： 由的图象可得：则故A不符合题意； 选项B：由的图象可得： 由的图象可得：则 而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意； 选项C：由的图象可得： 由的图象可得：则 故C不符合题意； 选项D：由的图象可得： 由的图象可得：则 而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意； 故选：D． 34．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，当二次函数图象的顶点到轴的距离最小时，该二次函数图象与轴两交点之间的距离为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，根据顶点坐标计算公式可得原二次函数的顶点坐标为，根据点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值可得二次函数图象的顶点到轴的距离为，根据二次函数的性质求出有最小值时，c的值，进而确定原二次函数解析式，再求出原二次函数与x轴的两个交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解；∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当时二次函数图象的顶点到轴的距离最小， ∴此时二次函数解析式为， 当时，解得， ∴当二次函数图象的顶点到轴的距离最小时，该二次函数图象与轴两交点之间的距离为， 故选：D． 35．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）数学课上，老师给出以下探究问题：“已知二次函数，当时，函数最大值为8，求最小值．”下列关于此题求解所需条件的说法，正确的是（） A．只需知道，便可求 B．只需知道，便可求 C．，需都知道，才能求t D．即使，都知道，仍无法求 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值问题，在本题中分类讨论思想运用是解题的关键．先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论． 【详解】解：二次函数， 该抛物线的对称轴为直线，且， 当， 当时，二次函数有最大值为：，即， 当时，二次函数有最小值为：，即， 当， 当时，二次函数有最大值为：， 当时，二次函数有最小值为：，即， 当， 此时当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值，即， ，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，即， ，当或1时．函数有最大值， 当时，函数有最小值，即， 的值与有关，但与无关， 故选：． 36．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）二次函数的部分图象如图，图象过点，与y轴的交点在，之间（包含端点），对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤；⑥（m为任意实数）．其中正确的结论有_______． 【答案】①③⑤⑥ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象的对称轴可判断①；根据时的函数值可判断②；根据函数图象经过得到，结合，可判断③；确；根据函数图象的开口方向和对称轴可判断④⑥；根据图象过点得到， 再根据y轴的交点在，之间（包含端点）得到，进而可判断⑤；进而可解答． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ②当时，， ∴， ∴，故②错误； ③∵图象过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故④错误； ⑤∵图象过点， ∴， ∴， ∴， ∵y轴的交点在，之间（包含端点）， ∴，即， ∴，故⑤正确； ⑥∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴（m为任意实数）， ∴（m为任意实数），故⑥正确； 故答案为：①③⑤⑥． 37．（24-25九年级上·北京·期中）已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点，则m的取值范围是_____． 【答案】或或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的对称性、抛物线与线段交点个数等知识点，分情况画出图形成为解题的关键． 分抛物线经过点，抛物线经过点，抛物线的顶点在线段上，三种情况分别求出点m的值，然后再结合图形即可解答． 【详解】解：∵抛物线为， ∴如图：当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线的顶点在线段上时，，解得：； 结合图象可知，m的取值范围是或或． 故答案为：或或． 38．（2024·江苏扬州·一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是________． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、配方法的应用、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了配方法的运用，二次函数的性质．根据题意得到，先将配方得到，由，进而得到，即可得到，再根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解： 是关于字母的二次三项式， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 39．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数（）．图象的顶点为，其图象与轴的交点的横坐标分别为，下面四个结论： ； ；只有当时，是等腰直角三角形；使为等腰三角形的的值可以有三个．那么，其中正确的结论是______．（只填你认为正确结论的序号） 注：二次函数（）图象的顶点坐标为 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的定义，先根据图象与轴的交点的横坐标分别为确定出的长及对称轴，由对称轴即可判断；根据对称轴及函数图象即可判断；由为等腰直角三角形，必须保证到轴的距离等于长的一半，得到，与、联立方程组解答即可判断；由为等腰三角形，则必须保证或或，分三种情况利用勾股定理解答即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵图象与轴的交点的横坐标分别为， ∴， ∴对称轴， ∴， ∴，故本选项正确； ∵对称轴，当时，， ∴，故本选项错误； 要使为等腰直角三角形，必须保证到轴的距离等于长的一半， 而到轴的距离就是当时，的值的绝对值， 当时，， 即， ∵当时，， ∴， 又∵图象与轴的交点的横坐标分别为， ∴当时，，即， 当时，，即， 解方程组得， ， ∴只有当时，是等腰直角三角形， 故本选项正确； 要使为等腰三角形，则必须保证或或， 当时， ∵，为直角三角形， 又∵的长即为， ∴， ∵由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， 与、联立组成方程组得， ， 解得； 同理当时， ∵，为直角三角形， 又∵的长即为， ∴， ∵由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， 与、联立组成方程组得， ， 解得； 同理当时， 在中，， 在中，， ∵， ∴，此方程无解， ∴满足条件的只有两个，故本选项错误； ∴正确的结论是， 故答案为：． 【考点6】综合解答与应用（第40-45题） · 实际应用先列函数关系式，再求最值或特定取值 · 综合题先求解析式，再数形结合逐问求解 · 注意自变量的实际取值范围 40．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … (1)表格中______； (2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； (3)根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 【答案】(1) (2)补全的图象如图： (3)①；② 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】（1）当时，计算出矩形的宽，进而可得矩形的面积； （2）描点、连线即可； （3）①观察两个函数图象的交点，看横坐标的取值即可： ②)结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为多少时， 【详解】（1）解:(1)当时，， ∴. 故答案为：； （2）略 （3）（3）①观察两个函数图象的交点，此时两个图形的面积相等，所对应的x的值约为4.7 故答案为：4.7； ②结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为7.1m时，， 故答案为：； 41．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图像与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与一次函数的图像交于A，C两点． (1)求b的值； (2)求点C坐标并求出的面积； (3)根据图像，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1) (2)；6 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、根据交点确定不等式的解集、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与不等式之间的关系，求一次函数解析式等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）求出点A的坐标，再把点A的坐标代入一次函数解析式中计算求解即可； （2）联立两函数解析式求出点C坐标，再根据求出对应的面积即可； （3）利用函数图像找到二次函数图象在一次函数图像上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，当时，则， 解得或， ∴， 把点A的坐标代入中得， 解得； （2）解：由（1）得，，， ∴； 联立， 解得或， ∴， ∴； （3）解：由函数图像可得，当时，x的取值范围为或． 42．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点和点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差； (3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．当线段的长随的增大而增大时，请求出的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2) (3)当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键. （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数的对称性可知当时，y随x值的增大而减小，则当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，再求解即可； （3）由题意分别求出，，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，是抛物线上的点， ， 解得， 拋物线的表达式为， ， 抛物线顶点的坐标为； （2）解：抛物线顶点的坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，在处，取得最大值， 在处，取得最小值， 当时，二次函数的最大值与最小值的差为； （3）解：设直线的表达式为， 点，， 解得， ∴直线的表达式为， 设点（且），则点， 当点在点的下方，即时，； 当时，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，， 当时，线段的长随的增大而增大， 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或. 43．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的右侧），连接，作轴交抛物线于点C，连接．若与的面积相等，求k的值． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法，熟练掌握二次函数与一次函数的交点间的关系，平行线的性质是解题的关键． 由面积相等可得，则直线的解析式为，分别求出，，再由点点A在直线上，得到方程，求出k的值即可． 【详解】解：与的面积相等， ， ∴直线的解析式为， 由时，解得或 ， ， 轴， 点与C点关于y轴对称， ， ∵点A在直线上， ， 解得， ， ． 44．（23-24九年级上·广东汕头·阶段检测）在坐标系中，正方形的顶点A，B在x轴上，.抛物线与x 轴交于点和点 F. (1)如图，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点C的对应点P落在直线上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出a的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3)的取值范围为或 【知识点】列一次函数解析式并求值、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的几何综合以及二次函数的性质： （1）运用待定系数法进行解二次函数的解析式，得，再令，即可作答． （2）运用待定系数法得到直线的表达式为，设点，则点，依题意，把点代入，即可作答． （3）分类讨论，①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，或②如图，当抛物线与直线交点在点c下方，且与直线交点在点上D方时，与正方形有两个交点，联立不等式组，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得： 解得 ： ∴ 令 ∴ ∴ 解得：， ∴； （2）解：如图所示： 设直线的表达式为过点，， ∴ 解得 ： ∴ 设点，则点 把点代入 ∴ 整理得： 解得： ∴； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴顶点坐标为， ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ∴ ∴ ②如图，当抛物线与直线交点在点c下方，且与直线交点在点上D方时，与正方形有两个交点， ∴ 综上所述，a的取值范围为或． 45．（25-26九年级上·天津·期中）抛物线与x轴交于点和点与y轴交于点B，点E为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若过抛物线上的点A作线段平行于x轴，交对称轴于点H，且，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，点A的横坐标满足．求四边形的面积S的最大值； (3)若点P为抛物线上的一动点，且位于直线的下方，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)点P的坐标为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数求最值． （1）利用待定系数法求得本题答案； （2）根据题意设D点坐标为，再利用分割法表示出四边形面积，再利用二次函数求最值即可得到本题答案； （3）延长交x轴于点G，延长交y轴于点Q，先求得直线的解析式，求得，证明，求得点G的坐标为，再求得直线解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：点和点代入抛物线解析式， ∴，得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设D点坐标为， ∵平行于y轴， ∴C点横坐标为t． ∵平行于x轴，且A到对称轴的距离是点C到对称轴距离的两倍， 对称轴为直线， ∴，即． 代入解析式得A的纵坐标， ∵，得， ∴D在第四象限的抛物线上． ∴四边形面积， ∴四边形面积， ∵时，S随着t的增大而增大， 故当时，面积S最大值； （3）解：∵抛物线的解析式为，顶点E的坐标为， 如图，延长交x轴于点G，延长交y轴于点Q， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴即， ， ∴， 即， 在与中， ，，， ∴， ∴， 点G的坐标为； 当时，， ∴ 同理，直线解析式为， 将与联立方程， 得， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，， 点P的坐标为． 💯 课后巩固 复习建议 · 顶点坐标、对称轴公式要记牢，配方法同步掌握 · 系数符号：a看开口、c看截距、b看对称轴（左同右异） · 比函数值大小看离对称轴的距离，开口向上远者大 · 求解析式按已知条件选一般式、顶点式、交点式 · 综合题先求解析式，注意自变量实际范围 【作业1】．（23-24九年级上·重庆·阶段检测）若，是抛物线上的两个点，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查的是利用抛物线上对称的两点坐标求解对称轴方程，理解对称轴方程的含义是解本题的关键． 由，是抛物线上的两点，而这两点关于抛物线的对称轴对称，从而可得答案． 【详解】解： ，是抛物线上的两点， 抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 【作业2】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如果点三点都在抛物线的图象上，那么、与之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，先确定抛物线的开口方向与对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴离对称轴越近，函数值越小 又∵点在对称轴上，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴， 故选：C． 【作业3】．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）抛物线与直线的一个交点为，那么b的值是（） A．5 B．6 C．-5 D．-6 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】此题考查了二次函数一次函数的交点问题．把代入即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 把代入得到，解得， ∴一次函数为， 故选：B 【作业4】．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、反比例函数、二次函数图象综合判断、已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质：通过观察4个选项的共性：二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴，即，结合，与的条件，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴， ∴， ∵ ∴排除选项； 当时， ∴，故错误； 当时，， 故选． 【作业5】．（25-26九年级上·云南昆明·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质；根据二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，可得，，即可判断③；再由二次函数的图象的对称轴为直线，可得，可判断①；根据当时，，可判断②；根据抛物线与轴有两个不同的交点，即可判断④． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵根据函数图象可知：当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有②③④． 故选：C． 【作业6】．（23-24九年级上·云南昭通·期末）二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是二次函数顶点坐标式的应用．把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：把二次函数化为顶点式为：； 顶点坐标为：． 故答案为：． 【作业7】．（25-26九年级上·广东清远·期末）把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 【作业8】．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为_______． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别把和代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 【作业9】．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）若抛物线开口向上，则a满足的条件为________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数系数与图象的关系是解题关键．根据抛物线开口向上，得到，即可求解． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， ， 故答案为： 【作业10】．（2025·广东揭阳·一模）如果三点和在抛物线的图象上，那么的大小关系是___________．（用“”连接） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，关于对称轴直线的对称点是， ， ， 故答案为：． 【作业11】．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，从而得出该二次函数与x轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为， 故答案为：． 【作业12】．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）已知抛物线经过点和． (1)求，的值； (2)求该抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的顶点坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式． （1）把点和代入，列出方程组，即可求解； （2）根据（1）中求出的，的值，得出抛物线的表达式，将其化为顶点式，即可求出顶点坐标． 【详解】（1）解：将点点和代入得， ， 解得： ； （2）由（1）得，，                                                                           抛物线的顶点坐标为． 【作业13】．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）请你结合“二次函数”的学习经验，研究抛物线． 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别是点和点（点在点的左侧），与轴的交点为点，顶点为． (1)分别写出，，，点的坐标，并在坐标系中画出此抛物线的草图． (2)当时，求函数的取值范围．小亮同学的解答如下： 解：当时，则； 当时，则；所以函数的取值范围为 小亮的解答正确吗？如果错误，请写出正确的解答过程． (3)连接，点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值． (4)点是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，，，如图所示： (2)错误，正确解答过程如下： 解：∵当，； 当时，则； 当时，则； ∴ ∴函数的取值范围为 (3) (4)或或 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）令，，将一般式配成顶点式即可求解； （2）根据顶点坐标重新确定函数的最小值即可求解； （3）求出直线的解析式，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （4）分类讨论为对角线时为对角线时为对角线时，三种情况，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：令，则； 令，则，解得； ∴，， ∵ ∴ （2）略 （3）解：过点作轴，如图所示： 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴当，有最大值，且最大值为； （4）解：设点， 为对角线时： ， 解得：， ∴ 为对角线时： ， 解得：， ∴ 为对角线时： ， 解得：， ∴ 综上所述： 或或 【点睛】本题综合考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的增减性，二次函数与面积及特殊四边形的关系，数量掌握二次函数的相关性质是解题关键． 【作业14】．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段检测）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足，则飞机着陆至停下来滑行的时间是______． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题； 利用配方法求出时，飞机着陆后滑行的距离最大，再由飞机着陆后滑行的距离最大时就是滑行的时间得出答案． 【详解】解：∵， ∴当时，飞机着陆后滑行的距离最大， ∴飞机着陆至停下来滑行的时间是， 故答案为：． 【作业15】．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，直线分别与轴，轴交于点，，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一点，且的面积为． ①求点的坐标； ②点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离． 【答案】(1) (2)①；②0或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据一次函数解析式求得的坐标，进而得出的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）①过作轴交于，设，则，表示出△的面积，根据其面积为，建立方程，解方程，即可求解； ②若为直角顶点，则与点重合，即，此时点到抛物线对称轴的距离为；若为直角顶点，设，证明，得出 ，进而即可求解． 【详解】（1）解：当时，，解得，则，， 当时，，则， 点为的中点， ， 把，代入 得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）①过作轴交于，如图， 设，则， ∵ 整理得，解得， ∴； ②抛物线解析式为， 抛物线的顶点为， ， ， ， ， ， 若为直角顶点，则与点重合，即，如图， 此时点到抛物线对称轴的距离为； 若为直角顶点，如图， 过点作轴，于，于， ， ， ， 设，则：， ， ， ， ， ， 点坐标为或； 若点坐标为，则点到抛物线对称轴的距离为， 若点坐标为，则点到抛物线对称轴的距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，面积问题，勾股定理解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $