专题02 一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题02 一元二次方程的根与系数关系（韦达定理） ▌专题目标 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及其使用前提。 2. 会用韦达定理求两根代数式的值。 3. 会由一根或两根关系求参数的值。 4. 掌握韦达定理与判别式结合求参数范围的方法。 5. 会求作以已知两数为根的方程，并处理韦达定理与几何的综合问题。 ▌专题目录 题型01：利用韦达定理求两根代数式的值 题型02：已知一根（或两根关系）求参数的值 题型03：韦达定理与判别式结合求参数取值范围 题型04：求作以已知两数为根的一元二次方程 题型05：韦达定理与几何问题的综合应用 ▌题型01：利用韦达定理求两根代数式的值 题型描述：题干给出方程，不解方程求、、等代数式的值。核心得分点是把目标式恒等变形为两根和与积的组合。 基础知识： 1. ，； 2. 常用变形：；=；。 解题方法： 1. 写两式：写出与； 2. 变目标：把目标式用和与积表示； 3. 代值算：整体代入求值； 4. 验前提：确认Δ≥0（方程有实根）。 解题思路： 口诀：写、变、代、验。一切向“和、积”靠拢；题目给含参方程时先保证判别式非负。 1．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知、是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，． 2．（26-27九年级上·山东枣庄·阶段检测）若，是方程的两个根，则的值是______． 【答案】 【分析】先对所求代数式提取公因式变形，再结合一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，，， ∴， 将，代入上式得， 原式． 3．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若、是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：由根与系数的关系，得 ， ∴． 4．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于，求的取值范围； (3)若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1) 证明：在方程中， ，，， ∴， ∵不论取何值，，即， ∴不论为何值，方程总有两个实数根． (2) (3) 的值为或 【分析】（1）利用根的判别式结合平方数的非负性进行证明即可； （2）利用因式分解法解方程可得，，因此，从而求出的取值范围； （3）由根与系数的关系表示出与，结合完全平方公式变形可得，将题干条件通分后代入求解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 因式分解，得， 解得，， 由题意可知，， ∴； （3）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 经检验，或都是关于的分式方程的解， ∴或． ▌题型02：已知一根（或两根关系）求参数的值 题型描述：题干给出含参方程的一个根，或两根之间的倍数、和差关系，求参数。核心得分点是代入已知根或用韦达定理列方程组。 基础知识： 1. 已知一根：代入原方程求参数，再用韦达定理求另一根； 2. 已知两根关系（如）：与、联立成方程组； 3. 求得参数后用Δ≥0检验。 解题方法： 1. 用条件：已知根代入或设两根关系； 2. 联韦达：与两根和、积联立； 3. 解参数：解方程（组）求参数； 4. 验判别式：Δ≥0检验取舍。 解题思路： 口诀：根、联、解、验。一根代入最快捷，两根关系配韦达；含参问题的收尾永远是判别式检验。 5．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的倍，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设两根满足倍数关系，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根，进而计算的值． 【详解】解：∵方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴设方程的两个根分别为和， 由根与系数的关系可得， 解得， 两根为和， ． 6．（25-26九年级上·湖南永州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一根为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，以及根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，通过两根之积求解另一个根即可． 【详解】解：设另一根为，则根据根与系数的关系，有， 解得 故答案为：1． 7．（2025·陕西商洛·一模）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是___． 【答案】/ 【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一个根为利用根与系数的关系得，然后解关于t的方程即可． 【详解】解： ∵是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为 ∴根据根与系数的关系得， 解得， 所以方程的另一个根为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； (3)定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的一元二次方程是邻根方程，直接写出的值． 【答案】(1)，另一根的值为； (2)； (3)． 【分析】（1）将已知的方程的根代入原方程即可求得的值，再将的值代入原方程，通过因式分解法即可求得方程另一根； （2）方程有两个不等实根即，代入求解即可； （3）根据邻根方程的定义得出其方程的解都满足，结合根与系数的关系求出，，再由即可求出的值． 【详解】（1）解：方程有一根为， ， ， 即原方程为， ， ，， 即另一根的值为， 故，另一根的值为； （2）解：若方程有两个不等实根， 则， ， ； （3）解：设方程两根为、，依题得，邻根方程的解满足， 即， 由根与系数的关系可得，，， ， 解得． 【点睛】本题考查的知识点是由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程的相关知识点． ▌题型03：韦达定理与判别式结合求参数取值范围 题型描述：题干给出两根满足的不等关系（如两根同号、一正一负、都大于某数），求参数范围。核心得分点是把根的条件翻译成和、积的不等式并兼顾Δ。 基础知识： 1. 两根同正：＞0且＞0；一正一负：＜0； 2. 两根都大于m：且； 3. 前提Δ≥0，三类条件取公共部分。 解题方法： 1. 写前提：先写Δ≥0求出参数大范围； 2. 译条件：把根的特征翻译成和、积的不等式； 3. 解不等式：分别求解； 4. 取交集：与Δ的范围取公共部分。 解题思路： 口诀：Δ、译、解、交。实根前提先行，符号条件居中，取交集收尾；“都大于m”要平移成处理。 9．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求常数的值及方程的另一个根； (2)若该方程有两个不相等的实数根，求常数的取值范围． 【答案】(1) ，方程的另一个根为 (2) 的取值范围是且 【分析】（1）把代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，再根据一元二次方程根与系数的关系求出方程的另一个根； （2）根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求出的取值范围． 【详解】（1）解：一元二次方程的一个根为， ， 解得：， 一元二次方程为， 设一元二次方程的两个根分别为，， ， ； （2）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 整理可得：， 解得：， 又， ， 的取值范围是且． 10．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根、． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)的取值范围是且； (2)不存在，理由如下： 由根与系数的关系得： ，， 代入得：， ∵两边同时乘得：， 解得， ∵，不符合的取值范围， ∴不存在实数使得． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，再根据方程有两个不相等的实数根得到，据此解不等式组即可； （2）由根与系数的关系得，，代入，可得关于的方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：由题意得， 计算判别式： ， ， 解得， 综上，的取值范围是且； （2）略 11．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程两实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵方程有两个实数根， ∴，即， ∵， ∴实数m的值为． 12．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点P的坐标为_； (2)若关于x的一元二次方程有衍生点: ①求实数q的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差，求q的值； (3)已知不论为何值，关于x的方程的衍生点G始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①且；②的值为或 (3)， 【分析】（1）求解一元二次方程得到两根，根据衍生点定义直接写出坐标； （2）①由衍生点定义得方程有两个不等实根，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件，列不等式求q的取值范围；②利用根与系数的关系，结合两根差的平方与两根和、两根积的关系列方程求解，结合①的范围验证结果； （3）将直线解析式变换为，可知不论为何值，直线恒过定点，再根据衍生点都在这条直线上，可得衍生点G为，进而即可求解． 【详解】（1）解： 解得， ∴点P的坐标为； （2）解：①由题意得，， ∴ 解得， ∵是一元二次方程， ∴， 的取值范围是且； ②∵， ∴， 衍生点纵坐标与横坐标相差，且， ， ∴， ， ∴ 解得， 经检验，和均满足且， 的值为或； （3）解：由题意得， ， ， ∵不论为何值，衍生点都在这条直线上， ∴点G的坐标与k的取值无关， ∵只有当且时，等式两边恒为0，与k无关， ∴直线恒过定点，即衍生点， ∴方程的两个根为，， ∴ 解得， 解得， 综上所述，，． ▌题型04：求作以已知两数为根的一元二次方程 题型描述：题干给出两数（或要求的两根性质），求作以它们为根的一元二次方程。核心得分点是用“和定一次项、积定常数项”构造方程。 基础知识： 1. 以为根的方程可写为x²－()x＋＝0； 2. 先求两根之和与积； 3. 系数含参数时按条件确定参数。 解题方法： 1. 求和积：计算两根之和与积； 2. 套结构：代入x²－(和)x＋积＝0； 3. 化系数：化去分母，整理成整系数方程； 4. 验根：代回一根检验。 解题思路： 口诀：和、积、套、验。注意一次项前是“减和”；已知根含根号时和、积往往可化简。 13．（25-26九年级下·湖南衡阳·阶段检测）关于的方程的两根为2和3，则直线不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出b、c的值，再判断直线经过的象限. 【详解】解：由根与系数的关系，得， ∴， ∴直线解析式为 ∵一次项系数，常数项 ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限. 14．（24-25八年级下·浙江温州·期中）赵爽在周髀算经中有这样的记载，命题1：勾股各自乘，并之为弦实．意思是：记直角三角形勾股弦分别为，，．则．命题2：“加差于勾，即股．”意思是：已知，，求，．其中就是二次方程的根，例如方程的一个根为．问题1：请你构建一个形如“”，且一个根为的方程____________． 问题2：已知关于的方程，则其中一个根为___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与一元二次方程的综合应用，解题关键是利用勾股数构造满足条件的方程，以及通过对一元二次方程右边式子变形找到方程的根 ． 利用常见勾股数，令，确定、值，代入方程构建方程．根据题意令，求出，即可解答． 【详解】∵根据题意设，，． 则， ∵一个根为 将，代入，得到． 再将，代入方程右边，得， ∴得到方程为． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵是二次方程的根， ∴方程的一个根是． 故答案为：，． 15．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数，满足，，且，则可将，看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_； (2)已知实数，满足，，求的值； (3)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 或 (3) 的最大值为 【分析】（1）直接利用根与系数的关系计算两根之积； （2）分和两种情况，时构造一元二次方程，结合根与系数的关系化简求值； （3）根据与的表达式构造以、为根的一元二次方程，利用判别式非负列不等式求解的最大值 【详解】（1）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系得 ； （2）解：分两种情况讨论： ① 当时， ∵实数，满足，， ∴，可看作方程的两个不相等实数根， 由根与系数的关系得，， ∴； ②当时，； 综上所述，的值为或； （3）解：∵，， ∴可将，看作方程的两个实数根， ∵，为实数， ∴， 整理得， ∵， ∴， 不等式两边同时乘，得， 即， 两边开立方得， 解得， 当时，方程为，有两个相等实数根，符合题意， ∴的最大值为． 16．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两根均为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的两根均为整数，其“最值码”．现探究以下问题： (1)若关于x的一元二次方程是一个“全整根方程. ①当时，该方程的“最值码”是______； ②若m为整数，且，求m的值； (2)对于“全整根方程”（b、c为整数），若这个“全整根方程”（n为正整数），且方程的两根满足，请直接写出该方程的“最值码”所有可能的值． 【答案】(1)①；②． (2)或 【分析】（1）①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ②因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知； （2）先由题意得，得到，根据，可得 ，由韦达定理可得，，则，故，再分类求解即可． 【详解】（1）解：①当时，方程为，其中，，， “最值码”， ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 对于方程，由韦达定理可得， ∴ ∵方程是“全整根方程” ∴一定为完全平方数 而是平方数 ∴为平方数， ∵是正整数 ∴或 ∴或 ∴该方程的“最值码”为或． ▌题型05：韦达定理与几何问题的综合应用 题型描述： 题干把方程的两根作为三角形的边长（或矩形的相邻边），结合周长、面积、三边关系求参数。核心得分点是把几何条件翻译成和、积的关系。 基础知识： 1. 周长条件→的值；面积条件→的值； 2. 三边关系：两边之和大于第三边； 3. 几何量必须为正数，参数取舍以此为据。 解题方法： 1. 译几何：把周长、面积、边长条件翻译成和与积； 2. 联韦达：与方程的系数关系联立； 3. 解参数：求出参数； 4. 验几何：检验Δ≥0、根为正且满足三边关系。 解题思路： 口诀：译、联、解、验。几何条件“数字化”后再进方程；检验三重：判别式、正根、三边关系。 17．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（   ） A．19 B．18 C．17 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，三角形的三边关系，利用一元二次方程根与系数关系，可得到方程的两根之和，再运用三角形成立的条件判断即可． 【详解】解：利用根与系数的关系可知方程的两根之和为， 这个三角形的两边之和为， 第三边应小于， 答：这个三角形的第三边的长可能是． 故选：D． 18．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，这个三角形的第三边可以是___________．（写出一个即可） 【答案】6（答案不唯一，大于且小于9的数都可以） 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，进而得到两根之差的绝对值，再根据三角形三边关系确定第三边的取值范围． 【详解】解：设方程的两根为和， 根据根与系数的关系，有，， 则， 所以， 根据三角形三边关系，第三边必须满足， 即， 且， 因此可以是6． 故答案为：6（答案不唯一，大于且小于9的数都可以）． 19．（25-26八年级上·上海宝山·期中）阅读材料：如图是用4个相同的长方形与1个小正方形镶嵌成的大正方形，我们用、表示小长方形的两边长（不妨设），以为两根的一元二次方程称为这个大正方形的“伴随方程”． 在这个图形中，大正方形的“伴随方程”是，那么这个图形中小正方形的面积为___________．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，完全平方公式与图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察图中性质，得大正方形的面积为，小正方形的面积为，再结合大正方形的“伴随方程”是，则，，然后分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，大正方形的面积为，四个小长方形的面积为， 则小正方形的面积为， ∵大正方形的“伴随方程”是， ∴，， 则， 即这个图形中小正方形的面积为， 故答案为： 20．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）【综合与实践】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①） （如图②、③） （如图④） （如图⑤） 割、拼、补的过程 【初步应用】 （1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则___________； 【巩固应用】 （2）由图⑥方程配方可得___________； 【综合应用】 （3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3），2 【分析】本题主要考查配方法的应用、根与系数的关系，正确理解题意，并熟知根与系数的关系是解题关键． （1）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （2）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （3）根据题意所给的方法对方程进行配方即可，以此可写出是对哪个一元二次方程进行配方，再将方程变形为的形式，根据根与系数的关系得到，，因此可得到关于a的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴（如图⑥）， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由图⑦可得：， ∴， ∴， ∴这是对一元二次方程进行配方，方程可变形为， ∵，为方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若关于x的一元二次方程的两个实数根都是正整数，则整数m的值有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】由根与系数的关系得两根之和为4，结合两根为正整数列举所有可能的根的组合，计算对应m的取值个数． 【详解】解：设方程的两个正整数根为，， 由根与系数的关系得，， ，均为正整数， 满足和为4的正整数对为，， 对应的值分别为，， 整数的值有2个． 2．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，列出关于m的不等式，即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， 解得． ∵， ∴， 解得， 综上，的取值范围是． 3．（26-27九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，菱形的边长是5，两条对角线交于O点，且的长分别是关于x的方程的根，则m的值为（     ） A． B．5 C．5或 D．0 【答案】A 【分析】由题意可知：菱形的边长是5，则，则再根据根与系数的关系可得：，，代入中，得到关于m的方程后，即可求得m的值． 【详解】解：∵，的长分别是关于的方程的两根， 设方程的两根为和，可令，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中：由勾股定理得：， ∴，则， 由根与系数的关系得：，， ∴， 整理得：， 解得， 又∵， ∴， 解得， ∴． 4．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）若，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对第二个方程变形，构造与第一个方程同形式的一元二次方程，结合的条件，利用根与系数的关系求解． 【详解】解：若，则，与题设矛盾， 故． 将两边同时除以，得. ∵　，且即， ∴　，是方程的两个不相等的实数根.由根与系数的关系得， 即． 二、填空题 5．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）关于x的方程的两根为2和3，则一次函数不经过第_________象限． 【答案】三 【分析】先根据根与系数的关系算出和，再根据一次函数的图象与性质求解． 【详解】解：∵关于x的方程的两根为2和3， ∴，， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 6．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为________________．（要求是一元二次方程的一般形式） 【答案】 【分析】根据题意设一元二次方程的两根为，，再根据根与系数的关系计算一次项系数和常数项，即可得到所求方程． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， ， ， ， 所求一元二次方程的一般形式为． 7．（26-27八年级上·上海闵行·阶段检测）已知一元二次方程的两个根分别是和，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】对所求代数式因式分解，再利用根与系数的关系整体代入求值． 【详解】解：一元二次方程的两个根是和， ，， 8．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）已知关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，；，；…；，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到每组两根的和与积． 将所求的每一组变形后裂项． 再通过裂项相消计算总和． 【详解】解：对于，方程的两根记为． 根据根与系数的关系可得： 对通分变形得： ， ∴ 原式 ． 三、解答题 9．（26-27九年级上·山东滨州·阶段检测）已知关于的方程有实数根． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为或. (2)存在，的值为. 【分析】（1）将代入方程求解，结合方程有实根的判别式条件验证结果； （2）利用根与系数的关系变形所求代数式，列方程求解，结合判别式筛选符合条件的值． 【详解】（1）解：∵方程的一个根为，∴将代入，得，即， 解得，， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∵和均满足， ∴的值为或. （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， ∴代入得， 整理得， 解得，. ∵方程有实数根， ∴， ∴不符合条件，舍去， ∴. 综上所述，存在实数使得成立． 10．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课本中的材料：一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出： 如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为、．反过来，如果一元二次方程的两个根为、，那么，即．由此可得．因此． 小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程： 【初步感知】 (1)已知一元三次方程的三个根为， 计算可得： ①三个根的和； ②每两个根的乘积之和； ③三个根的积． 观察计算结果，思考与原方程系数1，，19，之间的关系并完成下面的填空： 一般地，若一元三次方程的三个根为，则___________，___________，___________．（用含的代数式表示） (2)【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明（1）中的结论； (3)【灵活运用】若已知关于x的一元三次方程的三个实根按从小到大排列依次为，且，求实数的最大值． 【答案】(1)；；； (2)证明：如果一元三次方程的三个根为， 那么， 即， 由此可得，，， 因此，，； (3)3 【分析】（1）根据一元三次方程的三个根的计算结果分析即可； （2）类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，将展开，进而得到，，，即可得证； （3）根据上述结论得到，，进而得出，，设，则，即可得解． 【详解】（1）解：在一元三次方程中，，，，， 三个根的和， 三个根的和为； 每两个根的乘积之和， 每两个根的乘积之和为 三个根的积． 三个根的积为， 一般地，若一元三次方程的三个根为，则，，． （2）略 （3）解：关于x的一元三次方程的三个实根为， ，， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， ， 当 时，实数有最大值为3． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题02一元二次方程的根与系数关系（韦达定理） 专题目标 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及其使用前提。 2. 会用韦达定理求两根代数式的值。 3. 会由一根或两根关系求参数的值。 掌握韦达定理与判别式结合求参数范围的方法。 会求作以已知两数为根的方程，并处理韦达定理与几何的综合问题。 专题目录 题型01：利用韦达定理求两根代数式的值 题型02：已知一根（或两根关系）求参数的值 题型03：韦达定理与判别式结合求参数取值范围 题型04：求作以已知两数为根的一元二次方程 题型05：韦达定理与几何问题的综合应用 【题型01：利用韦达定理求两根代数式的值 1,1 恩型描述：题干给出方程，不解方程求+x、。、k-等代数式的值。核心得 分点是把目标式恒等变形为两根和与积的组合。 1/12 基础知识： 6 x1+X3= a. a 1+1+五 箭用变形：+好=(6+广-2x5,方=书.(6x》=(6+广-4杯。 解题方法： x= 写两式：写出 a与 a: 变目标：把目标式用和与积表示： 代值算：整体代入求值： 验前提：确认△≥0（方程有实根）。 解题思路： 口诀：写、变、代、验。一切向“和、积”靠拢：题目给含参方程时先保证判别式非负。 1. (26-27九年级上广东广州阶段检测)已知a、b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a+b的值是 (2627九年级上山东枣庄阶段检测若，是方程P-5x+3=0的两个根，则+的值是 2. 3.(26-27九年级上四川成都阶段检测)若a、B是方程x2-2x-5=0的两个实数根，则代数式 (a-3(B-3) 的值为」 2-(k+4)x+2k+4=0 4.(26-27九年级上·贵州贵阳阶段检测)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：不论k为何值，方程总有两个实数根： (2)若方程有一个根小于一2，求k的取值范围； a+B_5 (③)若方程的两个根为a,B,且B'a2,求k的值. 题型02：已知一根（或西根送系）求参数的值 2/12 题型描述：题干给出含参方程的一个根，或两根之间的倍数、和差关系，求参数。核心得 分点是代入己知根或用韦达定理列方程组。 基础知识： 已知一根：代入原方程求参数，再用韦达定理求另一根： 己知两根关系（如=2x):与+、书2联立成方程组： 求得参数后用△≥0检验。 解题方法： 用条件：已知根代入或设两根关系； 联韦达：与两根和、积联立； 解参数：解方程（组）求参数： 验判别式：△≥0检验取舍。 解题思路： 口诀：根、联、解、验。一根代入最快捷，两根关系配韦达；含参问题的收尾永远是判别 式检验。 5.(26-27九年级上河北沧州阶段检测)己知关于x的一元二次方程2-6x+m=0有两个实数根，其中一 个根是另一个根的2倍，则m的值为() A.10 B.8 C.6 D.4 6.(25-26九年级上湖南永州期末)已知关于的一元二次方程+m-3= 的一个根为3，则它的另 一根为 -3 7.(2025陕西商洛·一模)己知 是一元二次方程-3x-4=0的一个根，侧方程的另一个根是一 8.(25-26九年级上·河北唐山阶段检测)已知关于x的一元二次方程x2-3x+m-2=0. (1)若方程有一根为4，求m的值及另一根的值： (2)若方程有两个不等实根，求实数m的取值范围； (3)定义：如果关于x的一元二次方程a2+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两个实数根，且 其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.若关于x的一元二次方程 3/12 x2-3x+m-2=0 是邻根方程，直接写出的值. 题型03：韦达定理与判别式结合求参数取值范围 题型描述：题干给出两根满足的不等关系（如两根同号、一正一负、都大于某数），求参 数范围。核心得分点是把根的条件翻译成和、积的不等式并兼顾△。 基础知识： 两根同正：x>0且+>0：一正一负：Xx<0: 两根都大于m:(任-m)+(,-m)>0且(：-m)(:,-m)>0. 前提△≥0，三类条件取公共部分。 解题方法： 写前提：先写△≥0求出参数大范围： 译条件：把根的特征翻译成和、积的不等式： 解不等式：分别求解： 取交集：与△的范围取公共部分。 解题思路： 口诀：△、译、解、交。实根前提先行，符号条件居中，取交集收尾；“都大于”要平 移成（飞-m小(：m）处理。 9.(26-27九年级上·四川成都阶段检测)已知关于的一元二次方程 k-1)x2-14x+48=0 (1)若方程的一个根为x=-2,求常数k的值及方程的另一个根： (②)若该方程有两个不相等的实数根，求常数k的取值范围. x2-(2k+1)x+k-1=0 10.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)已知关于x的方程 有两个不相等的实数 根、 (I)求k的取值范围： ②是否存在实数人，使得=2+)？若存在，求出k的值：若不存在，说明理白。 4/12 2+(2m-1)x+m2-1=0 11.(25-26九年级上新疆乌鲁木齐阶段检测)已知关于x的一元二次方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； ②若方程两实数根分别为，5，且满足+号= X1,X2 ,求实数的值. x2+bx+c=0(a≠0) 12.(26-27九年级上江苏盐城：阶段检测)定义：若关于x的一元二次方程 的两个实 数根分别为，(5<) 分别以，云为横坐标和纵坐标得到点 (,x2) 则称点M为该一元二 次方程的衍生点. (1)直接写出方程x2+5x=0的衍生点P的坐标为-： ②)考关于x的一元二次方程9-x+1=0 有衍生点： ①求实数q的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差1.5，求q的值： )已知不论k0)为何值，关于x的方程r+低+c=0的衍生点G始终在直线+32-上。 求b,c的值 ■题型04：求作以已知两数为根的一元二次方程 题型描述：题干给出两数（或要求的两根性质），求作以它们为根的一元二次方程。核心 得分点是用“和定一次项、积定常数项”构造方程。 基础知识： 以、x2为根的方程可写为x2一(x+x2)x十xx=0: 先求两根之和与积： 系数含参数时按条件确定参数。 解题方法： 求和积：计算两根之和与积： 套结构：代入x2一（和）x十积=0： 化系数：化去分母，整理成整系数方程： 5/12 验根：代回一根检验。 解题思路： 口诀：和、积、套、验。注意一次项前是“减和”；己知根含根号时和、积往往可化简。 13.(25-26九年级下湖南衡阳阶段检测)关于x的方程x2+bx+c=0的两根为2和3，则直线y=bc+C 不经过（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.(24-25八年级下浙江温州期中)赵爽在周髀算经中有这样的记载，命题1：勾股各自乘，并之为弦 实.意思是：记直角三角形勾股弦分别为a,b,c,则d+b=c2.命题2：“加差于勾，即股.” 意思是：已知c,b-a,求a:b.其中u就是=次方程+b-x=C-白- 2的根，例如方程 r+4-3)x=52-(4-3y 2的个根为x=3.问题1：请你构建一个形2+6-)x=--a 2 ”,且一个根为x=5的方程 问题2：已知关于x的方 牌x+(b-a)x=3+2w5a-a2 2,则其中一个根为 15.(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)阅读材料： 材料1，一元二次方程+b伽+c=0a≠0，-4c≥0)的两根，有如下的关系（韦达定 理)：为+为=-b =C a' 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用 一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则可 将m,n看作是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根. 6/12 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数a,b满足a+b=3,ab=2,则可以将a,b看作 是方程x2-3x+2=0的两实数根.根据上述材料解决下面问题： )已知一元二次方程+5x-2026=0 的两根，元，则名 n:m ②)已知实数m,n满足3m2-m-2=0,3n2-n-2=0,求m+n的值： 泥如安数。6：c满起+6=6-5，助=写% 5-c,且c<5,求c的最大值. 16.(26-27九年级上广东佛山阶段检测)定义：若关于x的一元二次方程ac+br+c=0(0)的两根 均为整数，则称方程为“全整根方程”.通过计算发现，任何一个“全整根方程”的判别式 △=b2-4ac一定为完全平方数.现规定F(a,b.c)=4ac- 4a 一为该“全整根方程”的“最值码”.例如 “全整根方程”-3x-4=0的两根均为整数，其“最值码F化-34)=4以()3.2为 4×1 4. 现探究以下问题： (1)若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-m-1=0是一个“全整根方程 ①当m=3时，该方程的“最值码”是一 ②若m为整数，且1<m<8,求m的值； 回对于“全整根方程”+r+e=0么c为整数)，若这个“全悠根方程FL6©小0m为 正整数)，且方程的两根，5满足氏-3≤6 请直接写出该方程的“最值码”所有可能的值. 题型05：韦达定理与几何问题的综合应用 题型描述： 题干把方程的两根作为三角形的边长（或矩形的相邻边），结合周长、面积、三边关系求 参数。核心得分点是把几何条件翻译成和、积的关系。 基础知识： 7/12 周长条件→x+x的值；面积条件→xx的值： 三边关系：两边之和大于第三边： 几何量必须为正数，参数取舍以此为据。 解题方法： 译几何：把周长、面积、边长条件翻译成和与积； 联韦达：与方程的系数关系联立： 解参数：求出参数： 验几何：检验△≥0、根为正且满足三边关系。 解题思路： 口诀：译、联、解、验。几何条件“数字化”后再进方程；检验三重：判别式、正根、三 边关系。 17.(24-25九年级上江西景德镇期中)如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2-17x+66=0 的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是() A.19 B.18 C.17 D.16 18.(25-26九年级上：广东佛山期中)如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2-9x+13=0的 两个实数根，这个三角形的第三边可以是 (写出一个即可) 19.(25-26八年级上·上海宝山期中)阅读材料：如图是用4个相同的长方形与1个小正方形镶嵌成的大 正方形，我们用x、y表示小长方形的两边长（不妨设x>y),以太y为两根的一元二次方程称为这 个大正方形的“伴随方程”. 在这个图形中，大正方形的“伴随方程”是x2+x+n=0,那么这个图形中小正方形的面积为 (用含有m,n的代数式表示) 长 20.(24-25九年级上江苏盐城阶段检测)【综合与实践】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想 到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 8/12 配方的过程 x(x+2)=24 (如图 ①) x2+2x=24 (如图 ②、③) x2+2x+12=24+12 (如图④) (x+1}=25 (如图 ⑤) 割、拼、补的过程 1 1x 24 x+2 1 图① 图② 图③ a m mx a 1.x x+1 25 m对 x+1 m 图④ 图⑤ 图⑥ 图⑦ 【初步应用】 )如图@是用矩形割、拼、补对方程(x+5)= 配方的结果，则m= 【巩固应用】 (2)庙图⑥方程*(x+5)=6 方可得 【综合应用】 9/12 (3)如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为a(0<a<12)的小正方形，类比以上用矩形割、 拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满 足=2(+），请求出“的值 专题综合训练 一、选择题 1.(26-27九年级上河北沧州阶段检测)若关于x的一元二次方程x-4x+m=0的两个实数根都是正整 数，则整数m的值有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2(26-27九年级上四川德阳阶段检测)若关于的一元二次方程2×-2x+3m-1=0 两个实数根为， ,且满足>+为-4 则实数m的取值范围是() 73 B.msI 2 c.m<-3 n.ms对 Γ2 3.(26-27九年级上河北衡水阶段检测)如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且 A0、B0的长分别是关于x的方程 2+(2m-1)x+m+3=0 的根，则的值为() B A.-3 B.5 C.5或-3 D.0 m 4.(26-27九年级上贵州贵阳阶段检测)若mn≠1，且3m2+2026m+5=0,5n2+2026m+3=0,则 () 2026 2026 A.5 B.3 C.- 5 D 3 10112 二、填空题 5.(26-27九年级上四川成都阶段检测)关于x的方程x+bx+c=0的两根为2和3，则一次函数 y=bx+c 不经过第 象限. 6。（26-27九年级上江苏镇江阶段检测)写出一个以2+5、2-V5 为两根且二次项系数为1的一元二 次方程为 (要求是一元二次方程的一般形式) 7.(2627八年级上上海闵行阶段检测)已知一元二次方程-2026x-1=0的两个根分别是”和，则 代数武+巧的值是 8.(2627九年级上广东深圳阶段检测)已知关于产的一元二次方程--㎡-m=0(m>0,当 m=1,2,3,.,2026 时，相应的一元二次方程的两根分别记为 &月.凸.B,s,Ba6,则 111+1++ 十一十 1+1 a1月a42月20a226B26的值为 三、解答题 9(26-27九年级上山东滨州阶段检测)已知关于*的方程r+(21-1小x+m=0 实数根. (1)若方程的一个根为1，求m的值： 似设“，P是方程的两个实数根，是否存在实数m使得“ 2+B2-a邱=6 成立？如果存在，请求出”的 值，若不存在，请说明理由. 10.(26-27九年级上：广东东莞·阶段检测)小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课 本中的材料：一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出： 如果一元二次方程r+br+C=0的左边可以分解因式为 (x-)x-),那么方程m+x+c=0的 11/12 两个根为、。.反过来，如果一元二次方程r+伽+=0的两个根为、，郑么 +hr+c=a(x-x-）,即ar+r+c=-a(+x)x+a5 由此可得 +五-名55= b -a(x+x)=b,匹书=c.因此 a a 小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程： 【初步感知】 (1)已知一元三次方程x-8x2+19x-12=0的三个根为l,3,4, 计算可得： ①三个根的和1+3+4=8： ②每两个根的乘积之和1×3+1×4+3×4=19； ③三个根的积1×3×4=12 观察计算结果，思考与原方程系数1，-8,19，-12之间的关系并完成下面的填空： x3+bx2+cx+d=0(a≠0) 一般地，若一元三次方程 的三个根为x,则+石+无= xx2+xx+x2x= X1·无2·无3曰 (用含 a,b,c,d 的代数式表示) (2)【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明(1)中的结论： 6)【灵活运用】若已知关于x的一元三次方程-3x+x+b=0 的三个实根，5,5按从小到大排列 依次为 ≤55，且5--，求实数的最大指 12112