专题2 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理的综合应用）（复习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 专题2 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理的综合应用） （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、一元二次方程根的判别式 3 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 4 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 5 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 6 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 6 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 7 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 7 【题型6 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 7 【题型7 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 9 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 12 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 16 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ·韦达定理基础公式识记与直接代入：能根据一元二次方程一般形式，准确写出两根之和、两根之积，注意前提条件a≠0且△≧0，利用两根代数式直接求值，是本专题基础考点。 ・含参数方程中利用韦达定理求参数：已知两根关系（和、积、平方和、倒数和、差的平方等），构造等式求解参数，同步结合判别式对参数取值进行限制，是本专题核心运算考点。 ・代数式恒等变形转化：掌握平方和、两根差、倒数和、等常见代数式配方变形，将目标式子转化为仅含、的形式，避开直接解方程的繁琐计算，是本专题的核心技巧考点。 ・根的符号、正负性判断：结合两根之和、两根之积的符号，判断两根同正、同负、一正一负，搭配判别式确定方程根的分布情况，是方程定性分析的中档考点。 ・跨模块综合应用：韦达定理与一元二次方程判别式、代数式化简、二次函数交点、几何线段长度等内容结合，实现代数推理与综合计算，作为区分度考点。 ・基础命题：以纯代数式求值为主，给出确定的一元二次方程，求两根和、积、简单对称式的值；题干简洁，无复杂参数，多为选择、填空题，侧重韦达定理公式记忆与简单变形，难度偏低。 ・综合命题：以含参数一元二次方程为载体，给定两根满足的等量关系求解参数，强制搭配判别式检验参数的取值范围；常出现两根平方和、倒数和、两根之差等变形设问，多为填空压轴或解答中档小题，考查公式变形、参数约束的完整推理。 ・素养命题：设置隐藏前提条件，弱化直接提示，如仅告知方程有实数根，需要自主挖掘△≧0；结合二次函数图象与 x 轴交点、几何线段数量关系进行情境化命题，重点考查逻辑推理、严谨性思维，侧重检验学生是否忽略韦达定理使用前提。 考情解码： ・模块地位：本专题属于一元二次方程拓展核心内容，建立方程系数与根之间的桥梁，承接一元二次方程求解、根的判别式；同时是后续二次函数交点问题、高中一元二次方程根分布的前置铺垫，在代数推理板块起到承上启下作用。 ・考频与分值：月考、期中期末高频考点，题型以填空、选择压轴和解答小问为主；单独考查分值 4–6 分；中考中常和二次函数结合出题，单独考查或作为大题其中一问，分值 3–6 分。 ・高频考法：已知方程求对称代数式的值；已知两根关系求参数；判断根的正负性；结合判别式综合限定参数范围；、)、是最高频变形公式。 ・失分规律：忽略韦达定理使用前提（a≠0，方程必须有实数根△≧0），求出参数不回代检验；代数式配方变形出错；两根之和符号记错；混淆两根差与两根差的平方；参数多解时没有舍去不符合题意的值，其中忘记判别式检验是最普遍丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 【例1】设二次方程有两个不相等的实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【变式1-1】已知关于的整式，其中为常数．给出下列命题：①若是关于的二次三项式，则；②若为单项式，则；③若是关于的一次函数，则；④当时，不能分解为两个关于的一次因式的乘积．其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【变式1-3】若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 【例2】若是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】一元二次方程 的两个实数根为，，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知是一元二次方程的两个根，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是（     ） A．2 B．4 C．0.5 D．1 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 【例3】关于的一元二次方程的解为 ，，则代数式 的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】设、是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2023 B．2026 C．2029 D．4052 【变式3-3】若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 【例4】若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【变式4-1】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 【变式4-3】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 【例5】关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】关于的方程，当___________时，两根互为倒数；当___________时，两根互为相反数（     ） A．1， B．，9 C．，3 D．，1 【变式5-2】已知实数满足，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 【变式5-3】若一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A．5 B．3 C．2 D．0 【题型6 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 【例6】有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【变式6-1】若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【变式6-2】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【变式6-3】定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【题型7 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 【例7】“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 (1)请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 (2)关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 (3)是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 【变式7-1】【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【变式7-2】我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： (1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【变式7-3】对于代数式，若存在实数n，使得当时，代数式的值等于n2，则称n为这个代数式的等根值．例如：对于代数式，当时，，因此0是该代数式的等根值． (1)基础计算 关于x的代数式的等根值是_____． (2)存在判断 关于x的代数式是否存在等根值？若有，请求出所有等根值；若没有，试说明理由． (3)综合应用 已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个等根值，求实数k的值； ②若此代数式有两个不相等的等根值、，且为整数，求正整数k的所有可能值． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．若是一元二次方程的两个根，以下方程满足的是（     ） A． B． C． D． 2．已知m、n为一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A．-7 B．0 C．7 D．-11 3．若是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．1 D．11 4．设一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D．0 5．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．2 D．3 6．若、是方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．若a、b是方程的两个根，则（     ） A．2026 B．2027 C．2025 D．2029 8．已知，是方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 9．如果，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为（     ） A．2026 B．2027 C．2035 D．2037 10．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则坐标为的点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知、是方程的两个实数根，则的值是____． 12．已知，，，则_________． 13．对于一元二次方程（为常数，且，有下列说法：若，则方程必有一根为当时，方程至少有一个根为若，则方程无实数根；若方程的两个根互为相反数，则其中正确结论是__________________． 14．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 15．关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根均为负数，求的取值范围． 16．已知，，是实数，且． (1)求证：是正数； (2)已知，求与的值． 17．我们约定：关于的一元二次方程有两个实数根分别是，若，为整数，则称为方程的“伴点”． (1)是否存在“伴点”？若存在，求出该方程的“伴点”； (2)若关于x的一元二次方程：的“伴点”为，求的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一个“伴点”，且该点在直线上，若存在，求出的值及方程的“伴点”；若不存在，请说明理由． 18．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 专题2 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理的综合应用） （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 1 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、一元二次方程根的判别式 3 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 5 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 8 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 10 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 11 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 12 【题型6 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 14 【题型7 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 20 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 28 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 39 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ·韦达定理基础公式识记与直接代入：能根据一元二次方程一般形式，准确写出两根之和、两根之积，注意前提条件a≠0且△≧0，利用两根代数式直接求值，是本专题基础考点。 ・含参数方程中利用韦达定理求参数：已知两根关系（和、积、平方和、倒数和、差的平方等），构造等式求解参数，同步结合判别式对参数取值进行限制，是本专题核心运算考点。 ・代数式恒等变形转化：掌握平方和、两根差、倒数和、等常见代数式配方变形，将目标式子转化为仅含、的形式，避开直接解方程的繁琐计算，是本专题的核心技巧考点。 ・根的符号、正负性判断：结合两根之和、两根之积的符号，判断两根同正、同负、一正一负，搭配判别式确定方程根的分布情况，是方程定性分析的中档考点。 ・跨模块综合应用：韦达定理与一元二次方程判别式、代数式化简、二次函数交点、几何线段长度等内容结合，实现代数推理与综合计算，作为区分度考点。 ・基础命题：以纯代数式求值为主，给出确定的一元二次方程，求两根和、积、简单对称式的值；题干简洁，无复杂参数，多为选择、填空题，侧重韦达定理公式记忆与简单变形，难度偏低。 ・综合命题：以含参数一元二次方程为载体，给定两根满足的等量关系求解参数，强制搭配判别式检验参数的取值范围；常出现两根平方和、倒数和、两根之差等变形设问，多为填空压轴或解答中档小题，考查公式变形、参数约束的完整推理。 ・素养命题：设置隐藏前提条件，弱化直接提示，如仅告知方程有实数根，需要自主挖掘△≧0；结合二次函数图象与 x 轴交点、几何线段数量关系进行情境化命题，重点考查逻辑推理、严谨性思维，侧重检验学生是否忽略韦达定理使用前提。 考情解码： ・模块地位：本专题属于一元二次方程拓展核心内容，建立方程系数与根之间的桥梁，承接一元二次方程求解、根的判别式；同时是后续二次函数交点问题、高中一元二次方程根分布的前置铺垫，在代数推理板块起到承上启下作用。 ・考频与分值：月考、期中期末高频考点，题型以填空、选择压轴和解答小问为主；单独考查分值 4–6 分；中考中常和二次函数结合出题，单独考查或作为大题其中一问，分值 3–6 分。 ・高频考法：已知方程求对称代数式的值；已知两根关系求参数；判断根的正负性；结合判别式综合限定参数范围；、)、是最高频变形公式。 ・失分规律：忽略韦达定理使用前提（a≠0，方程必须有实数根△≧0），求出参数不回代检验；代数式配方变形出错；两根之和符号记错；混淆两根差与两根差的平方；参数多解时没有舍去不符合题意的值，其中忘记判别式检验是最普遍丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 【例1】设二次方程有两个不相等的实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【分析】先计算一元二次方程的判别式，结合p、q为素数，利用因式分解，通过奇偶性反证根号内的数不能为完全平方数，判断根为无理数． 【详解】解：对于方程， 判别式， 求根公式， ∵方程有两个不相等的实数根，假设是整数， ∴设为（k为整数且）， 则， ， ∵，p、q是素数，，， ∴2q只能分解为或， 情况1：， 若或，均推得，与矛盾； 若p、q为奇素数，由①得k为奇数，则为偶数，②式不成立． ∴情况1不成立． 情况2：， 两式相加得 左边2p是偶数，右边是奇数，等式不成立． 因此不是整数，方程的根一定是无理数． 【变式1-1】已知关于的整式，其中为常数．给出下列命题：①若是关于的二次三项式，则；②若为单项式，则；③若是关于的一次函数，则；④当时，不能分解为两个关于的一次因式的乘积．其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多项式、一次函数的定义，逐个判断四个命题，利用判别式判断二次多项式能否分解为一次因式乘积，最终统计正确命题个数． 【详解】解：已知，逐个判断： 若是二次三项式，需满足二次项系数不为，且一次项、常数项均不为， ∴一次项系数为，由二次项系数得，常数项得， ∴满足二次三项式要求， ∴正确． 若为单项式，需二次项系数为且常数项为， ∴ 得，得， ∴当时是单项式， 当时是二项式， ∴错误． 若是一次函数，需二次项系数为，一次项系数不为， ∴ 得， ∴均满足一次函数要求，与命题不符， ∴错误． 当时，，是二次多项式，计算判别式： 当时，，， ∵， ∴，得， 当时，，， ∵， ∴，得， ∴，二次多项式无实根，不能分解为两个一次因式的乘积， ∴正确． 综上所述，正确的命题个数是． 【变式1-2】定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】先根据新定义得出方程，然后根据根的判别式进行求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即， ∵， ∴有两个不相等的实数根． 【变式1-3】若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m的取值范围，再分和两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个数． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴， ①当时，方程化为，是一元一次方程， ∴方程有1个实数根； ②当时，方程是一元二次方程， 此时， ∵， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程的实数根有1个或2个， 故选：D． 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 【例2】若是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把一元二次方程化为一般形式，再利用根与系数的关系可得，，对所求的代数式进行整理变形，最后整体代入进行计算即可． 【详解】解：把一元二次方程化为一般形式，得， 根据根与系数的关系可得：， ∴． 【变式2-1】一元二次方程 的两个实数根为，，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根与系数的关系，，，转化为，转化为． 【详解】解：对于一元二次方程， ，，， 由根与系数的关系得，，， 所以，A、B选项不符合题意； ， C选项不符合题意； ， D选项符合题意． 【变式2-2】已知是一元二次方程的两个根，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】所求代数式展开后含与，利用根与系数的关系整体代入计算． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系得，． ∵ ， ∴ 原式． 【变式2-3】已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是（     ） A．2 B．4 C．0.5 D．1 【答案】C 【分析】根据方程有两个实数根，得到，求出的范围，根据根与系数的关系，求出的值，根据一次函数的性质，求出最小值即可. 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 由根与系数的关系得：，， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为. 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 【例3】关于的一元二次方程的解为 ，，则代数式 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义可以求出，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，所以可得，再根据乘方的定义计算． 【详解】解：是一元二次方程的解， ， 解得：， 和是一元二次方程的解， ， ． 【变式3-1】设、是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，利用整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：是一元二次方程的根， ， ， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ， ． 【变式3-2】若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2023 B．2026 C．2029 D．4052 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义得，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， ， ， ． 【变式3-3】若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【分析】将拆分为与的和，利用方程根的定义及根与系数的关系整体代入求值． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 【例4】若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实数根， 且， 解得且． 【变式4-1】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 【变式4-2】关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数，一元二次方程有实数根即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 整理得， ， ∴且． 【变式4-3】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：由题意得，且， 解得：且， 故选：B． 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 【例5】关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先需要利用根与系数的关系将条件转化为关于的方程，再结合判别式验证即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵ ， ∴， ∴舍去， ∴的值为． 【变式5-1】关于的方程，当___________时，两根互为倒数；当___________时，两根互为相反数（     ） A．1， B．，9 C．，3 D．，1 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，，列式作答即可． 【详解】解：当两根互为倒数时，， 即：， ∴， 经检验，当时，方程有两个实数根； 当两根互为相反数时，， 即：， ∴， 检验，当时，方程，有两个实数根，符合题意， ∴． 【变式5-2】已知实数满足，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】将a,b视为方程的两根，结合选项排除的情况，变形所求式后用根与系数的关系计算． 【详解】解：∵实数满足，， ∴当时，a,b是方程的两个实数根， 由根与系数的关系得： ，， ∵． 【变式5-3】若一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】利用根与系数的关系，将所求代数式变形后代入求值. 【详解】解：∵ 一元二次方程的两根为，， ∴ ，， ∵ ， ∴ 原式. 【题型6 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 【例6】有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；1 (2) (3)3 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 【变式6-1】若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 【变式6-2】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 【变式6-3】定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程，得到，，根据“邻根方程”的定义，得，求解即可． （3）设方程的两个根为，， 则， ，根据题意，得方程是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． （3）略 【题型7 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 【例7】“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 (1)请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 (2)关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 (3)是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得，（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③； (3)存在，， 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）①利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ②根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得，（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． （2）解：① 略 ②∵该方程的衍生点的坐标为， 设衍生点在直线上，则， 解得，， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． （3）解：直线可化为：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为，， ∴， ∴，， 故存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 【变式7-1】【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【答案】(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． 【变式7-2】我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： (1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 满足条件的一个的值为（答案不唯一，也符合要求） 【分析】 （1）先对原方程因式分解得到两根，再根据特征数对的定义列出关于的方程组，求解得到符合条件的； （2）先求出方程的特征数对，再根据“关联全整根方程”的定义得到与的关系，结合方程是全整根方程的条件，找出满足所有要求的即可. 【详解】（1）解：， ， 解得方程的两个根为和， 特征数对为， ， 由得， 当时，，符合条件， 当时，，舍去， 故； （2）解：对方程：， ， 解得方程的两根为和， ∴方程的特征数对：，， 对于方程：， 由根与系数的关系得，， ，， ∴， ∵两个方程互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设方程两根为（为正整数），则，， 代入得， ∴， 将分解为两个大于1的正整数乘积，得： ， ∴或； ∴一个满足条件的为或12. 【变式7-3】对于代数式，若存在实数n，使得当时，代数式的值等于n2，则称n为这个代数式的等根值．例如：对于代数式，当时，，因此0是该代数式的等根值． (1)基础计算 关于x的代数式的等根值是_____． (2)存在判断 关于x的代数式是否存在等根值？若有，请求出所有等根值；若没有，试说明理由． (3)综合应用 已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个等根值，求实数k的值； ②若此代数式有两个不相等的等根值、，且为整数，求正整数k的所有可能值． 【答案】(1) (2)不存在等根值．理由如下： 假设存在等根值，则， 化简得， ， 此关于的一元二次方程没有实数根， 关于的代数式不存在等根值； (3)①k或；② 【分析】（1）依据“等根值”定义列等式，消去二次项后解一元一次方程即可求出等根值． （2）假设存在等根值，列出方程，整理为一元二次方程，通过判别式正负判断实数根有无，确定是否存在等根值． （3）①先根据定义整理得，分两类讨论：时方程为一元一次方程，仅有一解；时一元二次方程有两个相等实数根，分别求k． ②利用韦达定理写出、，对代数式化简变形，结合式子为整数确定的整数值，再用判别式取舍，求出符合条件的正整数． 【详解】（1）解：由题意，得， 化简得， 解得； （2）略 （3）①由题意，得， 化简得， 代数式仅有一个等根值， 关于的方程有两个相等的实数根或． 当，一元二次方程有两个相等实数根时， ， 解得； 当时，即时，方程变为，是一元一次方程，仅有一个实根，符合题意． 或； ②代数式有两个不相等的等根值，，且为整数 ，k是正整数， ， 即， ，，， ， ， ， ， ， 为整数，k是正整数 ． 即或， 当时， ，符合题意； 当时， ，不符合题意，舍去． 综上，正整数． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．若是一元二次方程的两个根，以下方程满足的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、中，，符合题意； B、中，，不符合题意； C、中，，不符合题意； D、是一元一次方程，不符合题意． 2．已知m、n为一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A．-7 B．0 C．7 D．-11 【答案】D 【分析】先利用根与系数的关系求得的值，再整体代入中求值即可． 【详解】解：∵m、n为一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 3．若是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．1 D．11 【答案】A 【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 4．设一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：在方程 中，，，， 根据根与系数的关系可得：，， 将其代入 可得：． 故选：C． 5．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】解：若，是一元二次方程的两个根， 则，，即， ∴ ． 6．若、是方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 7．若a、b是方程的两个根，则（     ） A．2026 B．2027 C．2025 D．2029 【答案】C 【分析】由题意知，，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴ ． 8．已知，是方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， ∴， ， ∴原式， 代入，得： 原式． 9．如果，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为（     ） A．2026 B．2027 C．2035 D．2037 【答案】D 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，由一元二次方程的定义可得，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 10．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则坐标为的点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再代入，，然后根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断点所在象限即可． 【详解】解：由得， ∴，， ∴，， ∴坐标为的点在平面直角坐标系中位于第二象限． 11．已知、是方程的两个实数根，则的值是____． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， 整理得， ∴ ． 12．已知，，，则_________． 【答案】 【分析】由题意可得、是一元二次方程的两个不相等的实数根，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴、是一元二次方程的两个不相等的实数根， 整理得， ∴． 13．对于一元二次方程（为常数，且，有下列说法：若，则方程必有一根为当时，方程至少有一个根为若，则方程无实数根；若方程的两个根互为相反数，则其中正确结论是__________________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查一元二次方程根的性质，需要根据一元二次方程的定义和根的判别式来逐一分析每个说法． 【详解】①当时方程必有一根为， 将代入一元二次方程中， 可得：， 已知，当时，方程成立， 所以方程必有一根为，故说法①正确， ②当时，原方程变为，可得， 若两个数的乘积为，则其中至少一个数为， 所以或， 当时，（），表明方程至少有一个根为，故说法②正确， ③若，则，原方程变为， 所以， 因为任何数的平方都大于等于， 所以，（），则， 当时，方程有两个不相等的实数根， 所以说法③错误， ④设方程的两根为和， 所以， 已知方程的两个根互为相反数， 即，那么， 因为，所以，故说法④正确． 故答案为：①②④． 14．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程总有两个实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 即， 解得：或； 由（1）可知该方程有两个实数根时，， ∴． 15．关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根均为负数，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵关于的方程根的判别式 ， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)的取值范围是 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可得证； （2）设这个方程的两根分别为，，先得出，，再根据，解答即可． 【详解】（1）略． （2）解：设这个方程的两根分别为，， ∴，， ∵方程的两根均为负数，即，， ∴，，即①，， 解不等式①得：， ∴， ∴要使得成立，则，即， 综上，的取值范围是． 16．已知，，是实数，且． (1)求证：是正数； (2)已知，求与的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴是正数． (2)， 【分析】（1）先根据完全平方公式对代数式进行配方，再把已知条件变形代入，根据平方非负性即可求解； （2）根据根与系数的关系构造方程，再根据平方非负性解得方程的根，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴由韦达定理，可构造方程以、为根的一元二次方程：， 对左边配方得：， ∵，， ∴，， ∴方程的根为， ∴，． 17．我们约定：关于的一元二次方程有两个实数根分别是，若，为整数，则称为方程的“伴点”． (1)是否存在“伴点”？若存在，求出该方程的“伴点”； (2)若关于x的一元二次方程：的“伴点”为，求的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一个“伴点”，且该点在直线上，若存在，求出的值及方程的“伴点”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，； (2)； (3)存在，，伴点为. 【分析】（1）求出方程的解，根据新定义，进行作答即可； （2）根据新定义，求出方程的两个实数根，利用根与系数的关系求出的值即可； （3）假设存在，根据伴点在直线上以及根与系数的关系求出的值，进而求出方程的解，即可得出结果. 【详解】（1）解：， ， 解得， 方程的两个实数根均为整数， ∴存在“伴点”，为； （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“伴点”为， ∴方程的两个根分别为，， ∴； （3）解：假设存在，则方程有两个实数根，其伴点为， ∴， 解得， 由根与系数的关系可知： ∵伴点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程化为， 解得， ∴伴点为. 18．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 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