25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（人教版·新教材）

25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系　　 若方程3x2＋7x－9＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2等于(A) A．－ B． C．－3 D．3 若两个数的和为6，积为5，则以这两个数为根的一元二次方程可以是(C) A．x2－5x＋6＝0 B．x2－5x－6＝0 C．x2－6x＋5＝0 D．x2－6x－5＝0 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2＋4x－6＝0； 解：(1)x1＋x2＝－4，x1x2＝－6. (2)3x2－5x－1＝0； 解：(2)x1＋x2＝，x1x2＝－. (3)4x(x－2)＝3x－6； 解：(3)x1＋x2＝，x1x2＝. (4)3x2－x＋3＝5x＋2. 解：(4)x1＋x2＝2，x1x2＝. 一元二次方程的根与系数的关系的应用　　 (湖北襄阳期中)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0有一个根是5，则该方程的另一个根是(A) A．－1 B．0 C．1 D．－5 (广东广州期中)关于x的方程ax2＋8x－c＝0的两根为1和－3，则a，c的值分别为(B) A．4，－12 B．4，12 C．－4，12 D．－4，－12 (东营中考)若x1，x2是关于x的一元二次方程x2－25x－1＝0的两个实数根，则代数式x－24x1＋x2的值为(C) A．0 B．25 C．26 D．－1 若一元二次方程x2－7x＋5＝0的两个实数根分别是a，b，则一次函数y＝abx＋a＋b的图象一定不经过(D) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 若菱形两条对角线的长度是方程x2－4x＋3＝0的两根，则该菱形的面积为． 已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两个实数根为x1，x2，且有x＋x＝11，求k的值． 解：根据题意，得Δ＝(2k＋1)2－4(k2－2)≥0， 解得k≥－. ∵x1＋x2＝－(2k＋1)，x1·x2＝k2－2. 而x＋x＝11，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝11， 即(2k＋1)2－2(k2－2)＝11. 整理，得k2＋2k－3＝0，解得k1＝－3，k2＝1. 又∵k≥－，∴k＝1. (湖北武汉期中)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x＋x＝19，求实数m的值． 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0有实数根， ∴Δ＝[－(2m＋3)]2－4(m2＋2)＝4m2＋12m＋9－4m2－8＝12m＋1≥0，∴m≥－. (2)∵方程两实数根分别为x1，x2， ∴x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2. ∵x＋x＝19，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝19， ∴(2m＋3)2－2(m2＋2)＝19， 整理，得m2＋6m－7＝0，解得m＝1或m＝－7. 由(1)知m≥－，∴m＝1. (云南昆明期末)关于方程3x2－x－4＝0的四种说法正确的是(D) A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．两实数根的和为 D．两实数根的积为－ (陕西西安期中)若一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根为m，n，则一次函数y＝(m＋n)x＋mn的大致图象是(B) 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)，下列说法中正确的有(D) ①若a＋b＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1； ②若方程的两根为－1和2，则有2a＋c＝0成立； ③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则有ac＋b＋1＝0成立． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0的实数根分别是x1，x2，满足3x1x2－x1－x2>2，则m的取值范围是3<m≤5． 已知a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，则代数式2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值是36． 在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是－3，1；小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，－4，则原来的方程是x2＋2x－20＝0． 已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若x1，x2是方程的两个实数根，且＋＝－，求m的值． (1)证明：∵Δ＝[－(2m－1)]2－4×1×(－3m2＋m)＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝(4m－1)2≥0， ∴无论m为何值，方程总有实数根． (2)解：由题意知x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. ∵＋＝＝－2＝－， ∴－2＝－，整理，得5m2－7m＋2＝0， 解得m＝1或m＝. 关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)k>. (2)存在，k的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $