专题01 解一元二次方程的方法选择专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册
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内容正文：
2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义
专题01 解一元二次方程的方法选择
▌专题目标
1. 理解一元二次方程的概念与一般形式，掌握四种基本解法。
2. 掌握直接开平方法与配方法的适用情形与求解步骤。
3. 掌握公式法与判别式的计算，理解判别式与根的关系。
4. 掌握因式分解法（十字相乘），会根据方程特征选择最优解法。
5. 会用换元与整体思想解结构特殊的方程，养成解后检验的习惯。
▌专题目录
题型01：直接开平方法的适用情形与求解
题型02：配方法的适用情形与求解
题型03：公式法的适用情形与求解（判别式的计算）
题型04：因式分解法的适用情形与求解
题型05：根据方程特征选择最优解法（换元与整体思想）
▌题型01：直接开平方法的适用情形与求解
题型描述：题干为形如(x＋m)²＝n或缺一次项的方程（ax²＋c＝0）。核心得分点是识别“平方等于数”的结构并注意开方取正负。
基础知识：
1. 直接开平方法适用于x²＝p或(ax＋b)²＝p（p≥0）型方程；
2.
x²＝p的解为x＝±；
3. p＜0时方程无实数根。
解题方法：
1. 化标准：把方程整理成平方等于常数的形式；
2. 判符号：常数项为负则无实数根；
3. 开平方：两边开方，右边加±；
4. 解两根：分别解两个一元一次方程。
解题思路：
口诀：形、号、方、根。见“完全平方＝常数”直接开方；开方漏掉负根是本题型最常见错误。
1．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）方程的根是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
移项得，
开平方得，即，.
2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）方程的解是________．
【答案】，
【分析】若实数满足（），则是的平方根，据此即可解答.
【详解】解：对等式两边直接开平方，可得．
∴ ，即方程的解为，．
3．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）若，则x的值为_________．
【答案】
3或
【分析】题干给出含的整式的平方等于定值4，利用平方根的定义将二次方程降次为一元一次方程求解．
【详解】解：∵，
∴或，
解得或．
4．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则此三角形周长为__________．
【答案】10
【分析】首先解方程，得到三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系解答即可．
【详解】解：∵，
或，
解得或，
当4为等腰三角形的腰时，另一腰长为4，此时，底边长为2，
且，此时，三角形存在，
故三角形的周长为：；
当2为等腰三角形的腰时，另一腰长为2，此时，底边长为4，
且，此时，三角形不存在，此种情况舍去；
故三角形的周长为10．
▌题型02：配方法的适用情形与求解
题型描述：题干要求用配方法解方程或把二次式配方。核心得分点是掌握“一移、二化、三配、四开”的步骤。
基础知识：
1.
配方依据：x²＋bx配上成完全平方；
2. 二次项系数不为1时先两边同除以系数；
3. 配方法通用于所有一元二次方程，也是推导求根公式的基础。
解题方法：
1. 移常数：把常数项移到右边；
2. 化系数：二次项系数化为1；
3. 配平方：两边同加一次项系数一半的平方；
4. 开方解：写成平方等于常数后开方求解。
解题思路：
口诀：移、化、配、开。“一半的平方”是核心动作；二次项系数不化1就配方是典型错误。
5．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据配方法解方程的方法和步骤解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
6．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）用配方法解方程，应在方程两边同时加上______．
【答案】16
【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为，再两边同加上一次项系数一半的平方解答即可．
【详解】解：，
，
转化为：．
7．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）用配方法解方程：．
【答案】，．
【详解】解：，
移项得，
配方得，即，
开方得，
解得：，．
8．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：．
二次项系数化为1，得． 第一步
移项，得． 第二步
配方，得，即． 第三步
由此，可得． 第四步
所以， 第五步
完成下列任务：
(1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是__________（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是__________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）；
(2)小明同学解题过程中，从第__________步开始出现错误；
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)“降次”；“完全平方公式”
(2)三
(3)解：．
二次项系数化为1，得，
移项，得，
配方，得，即，
由此，可得，
所以，．
【分析】（1）根据配方法的定义及一元二次方程的解法思想进行分析即可；
（2）根据配方法的具体步骤逐一验证小明的解题过程即可；
（3）根据配方法解一元二次方程的步骤写出正确的解题过程即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
▌题型03：公式法的适用情形与求解（判别式的计算）
题型描述：题干为一般形式的一元二次方程（尤其系数较大或不能分解时），要求求解或判断根的情况。核心得分点是正确使用求根公式并先算判别式。
基础知识：
1. 一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）；
2.
判别式：Δ＞0两不等实根，Δ＝0两相等实根，Δ＜0无实根；
3.
求根公式。
解题方法：
1. 化一般式：整理为ax²＋bx＋c＝0，定a、b、c；
2. 算判别式：求Δ并判断根的情况；
3. 套公式：Δ≥0时代入求根公式；
4. 化简根：结果化到最简。
解题思路：
口诀：般、Δ、套、简。a、b、c带符号代入，b为负时−b别算错；先算Δ，Δ＜0直接写“无实数根”。
9．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）用公式法解方程时，的值是__________．
【答案】49
【详解】解：∵，
∴．
10．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是________．
【答案】
5
【分析】先求解给定的一元二次方程，根据对角线长度为正的实际意义确定有效根，再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理计算菱形边长．
【详解】解：由，
可得或，
∵对角线长度为正数，
∴舍去负根，即菱形的另一条对角线长为6，
∵菱形的对角线互相垂直且互相平分，
∴两条对角线的一半长度分别为，，
∴菱形的边长为以3、4为直角边的直角三角形的斜边长，
由勾股定理得边长为．
11．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）解方程：．
【答案】，
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，．
12．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围，
(2)若该方程的一个根是，求它的另一个根及m的值．
【答案】(1)
(2)该方程的另一个根为，的值为
【分析】（1）根据有两个不相等的实数根，得，据此即可列关于m的不等式，解出即可得m的取值范围；
（2）把该方程的一个根代入方程，即可解出m，进而可得原方程，再解方程即可得原方程的另一个根．
【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根，
∴，解得：，
∴m的取值范围为.
（2）解：∵该方程的一个根是，
∴，解得：，
∴题目方程为：，解得：，，
∴该方程的另一个根为，的值为．
▌题型04：因式分解法的适用情形与求解
题型描述：题干为易于因式分解的方程（如x²−5x＋6＝0），要求快速求解。核心得分点是十字相乘法分解后令各因式为0。
基础知识：
1. 因式分解法依据：ab＝0则a＝0或b＝0；
2. 十字相乘口诀：竖分常数项，交叉验中项，横写两因式；
3. 常见结构：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘。
解题方法：
1. 移成零：右边化为0；
2. 分因式：用十字相乘或公式分解左边；
3. 令零解：令每个因式等于0；
4. 写两根：写出全部解。
解题思路：
口诀：零、分、令、根。能分解就不配方；两边除以含x的式子会丢根，只能移项后分解。
13．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为__________．
【答案】
【分析】先求解给定一元二次方程得到两个边长的可能取值，再结合等腰三角形的边长特征分类讨论，依据三角形三边关系排除无法构成三角形的组合，最终计算符合要求的三角形周长．
【详解】解：，
，
方程的两个根为，，
分两种情况讨论等腰三角形的边长组合，
当腰长为3，底边长为7时，，不满足三角形任意两边之和大于第三边的三边关系，
所以，该组合无法构成三角形，舍去，
当腰长为7，底边长为3时，，满足三角形三边关系，
所以，该组合可构成三角形，此时三角形的周长为．
14．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先提取公因式，转化为一元一次方程再求解；
（2）十字相乘法因式分解求解即可．
【详解】（1）解：
或
，
（2）
或
，．
15．（26-27九年级上·贵州安顺·阶段检测）解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)
，
(2)
，
【详解】（1）解：
;
（2）解：
．
16．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知：关于的方程的一个实数根为1，求另一个实数根．
【答案】另一个实数根为4
【分析】把代入方程求出的值，再把代入原方程即可求解．
【详解】解：将代入方程得：，
∴，
再把代入原方程得：，
∴，
∴或
∴，，
∴另一个实数根为4．
▌题型05：根据方程特征选择最优解法（换元与整体思想）
题型描述：题干为结构特殊的方程（高次、分式或含重复式子的方程），要求选方法求解。核心得分点是观察结构，用换元化为一元二次方程。
基础知识：
1. 最优解法顺序：直接开平方→因式分解→公式法（配方法）；
2. 换元法：设重复式为t，化高次（分式）方程为二次方程；
3. 分式方程要验根，高次方程回代后可能多解。
解题方法：
1. 观特征：看是否为标准二次或含重复结构；
2. 选方法：标准型选最优解法，特殊型先换元；
3. 解新元：解关于t的方程；
4. 回代验：回代求x并检验（分式方程验增根）。
解题思路：
口诀：观、选、解、验。方法选择口诀：“缺一次项直接开方，能分解不配方，不得已用公式”；换元必回代。
17．（26-27九年级上·湖北随州·阶段检测）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】利用方程解的定义，将看作整体，与原方程中的取值对应求解．
【详解】解：∵方程的解为，，
∴，，
令，解得，
令，解得，
即方程的解为，．
18．（26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题：
解方程．我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为：，．
(1)利用这种方法解方程
(2)已知．利用上述方法求的值
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，进而求出的值即可；
（2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再结合求解即可．
【详解】（1）解：设，则原方程可化为，
因式分解，得，
解得，，
当时，即，解得，
当时，即，解得，
所以原方程的解为，．
（2）解：设，则原方程可化为，
因式分解，得，
解得，，
又∵，
∴，
即．
19．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）问题背景：
我们知道，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，我们还可以用换元法来解某些方程，如：解方程，可以将看作一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程无实数解．故原方程的解为，．
解决问题：
(1)请用换元法解方程：．
(2)已知实数x，y满足，求的值．
【答案】(1)，
(2)9
【分析】（1）令，将原方程化为关于y的一元二次方程，再利用因式分解法求出y，即可解答；
（2）设（），将原方程化为关于t的一元二次方程，再利用因式分解法求出t，即可解答．
【详解】（1）解：令，则原方程为：，
∴或者，
解得，，
当时，，∴；
当时，，∴；
∴，．
（2）解：设（）
则原方程化为，
解得或（舍去），
∴．
20．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式）
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
(2)已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）仿照题例“换根法”解答即可；
（）仿照题例“换根法”解答即可．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，
∴，
把代入方程，得，
化简，得，
∴所求方程为；
（2）解：设所求方程的根为，则，
∵已知方程的根不为零，
∴，，，
∴，
把代入方程，得，
化简，得，
∴所求方程为．
▌专题综合训练
一、选择题
1．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）若是关于x的方程的一个解，则的最大值为（ ）
A．0 B．8 C．16 D．24
【答案】C
【分析】将方程的解代入原方程，建立m与n的数量关系，再转化为二次式配方求最值即可．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴将代入原方程得，
，
将代入得，
，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为．
2．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）对于方程，下列说法正确的是（ ）
A．其中一个根是 B．有两个实数根且和为
C．此方程无实数根 D．有两个实数根且积为
【答案】D
【分析】先利用因式分解法解方程，进而逐项判断即可．
【详解】解：将原方程移项，得，
因式分解得，
解得，，
∵不是方程的根，
∴A错误；
∵两根之和为，
∴B错误；
∵方程有两个实数根，
∴C错误；
∵ 两根之积为，
∴D正确．
3．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】C
【分析】需按二次项系数是否为0分类讨论，结合方程有实数根的条件求解．
【详解】解：当时，原方程为，有实数根；
当时，原方程为一元二次方程，
方程有实数根，
，即，解得，
即且，
综上，的取值范围是．
4．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据赵爽的几何解法，确定大正方形的边长与的关系，结合面积求解即可．
【详解】解：由方程得．
根据题意，构造面积为的正方形，四周构造四个面积为的矩形．矩形的长为，则宽为．补图得到大正方形，其边长为．
∵大正方形的面积为，
∴．
∵为正数，
∴，
∴．
二、填空题
5．（26-27九年级上·陕西渭南·期中）若一个直角三角形的两直角边长恰好是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长为________．
【答案】
【分析】先对一元二次方程因式分解求解得到两条直角边长，再利用勾股定理求出斜边长，最后根据直角三角形斜边上中线的性质计算结果．
【详解】解：原方程为 ，
变形得 ，
提取公因式得 ，
解得 ，，即直角三角形两条直角边长为和，
斜边长为 ，
直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半，
斜边上的中线长为 ．
6．（26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是________．
【答案】
【分析】先求出方程的两个根，根据倍根方程定义得到两种情况，求出和的关系，代入所求分式计算即可．
【详解】解：解方程，得，，
∵方程是倍根方程，
∴分两种情况讨论：
第一种情况：，即，可得，
代入得：；
第二种情况：，即，可得，
代入得：
综上，的值为．
7．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，则________．
【答案】
【分析】将看作整体，用换元法解一元二次方程，再根据方程是否存在实数根舍去不合题意的解，得到结果．
【详解】解：设，原方程可化为，
，
因式分解得，
解得，，
当时，方程为，
整理得，
∵，
∴该方程无实数根，舍去，
当时，方程，
整理得，
∵，该方程有实数根
∴．
8．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，满足，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】将原方程整理得出，然后代入代数式利用配方法求解即可．
【详解】解：
整理得：，即，
∴，
∴即，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
三、解答题
9．（26-27九年级上·山东滨州·阶段检测）解方程
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【详解】（1）解：，
整理，得，
因式分解，得，
所以或，
解得，．
（2）解：，
变形为，
因式分解，得，
即，
所以或，
解得，．
（3）解：，
因式分解，得，
所以或，
解得，．
（4）解：，
因为，，，
，
所以方程有两个不相等的实数根，
，
所以，．
10．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”______；
(2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论；
(3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．
【答案】(1)
(2)，（两空顺序可互换）；特殊关系为：一元二次方程（，）的两根与其“友好方程”的两根互为倒数.
证明：设是方程的根.
∵，
∴.
将两边同时除以，得
，
∴是方程的根.
同理可证，“友好方程”的任意一个根的倒数也是原方程的根.
∴两方程的两根互为倒数.
(3)方程的两根为，.
【分析】（1）根据“友好方程”的定义，互换原方程的二次项系数与常数项，保持一次项系数不变即可得到结果；
（2）先求解“友好方程”的两根，对比原方程根的特征得到倒数关系的猜想，再利用方程根的定义证明结论；
（3）将待求方程变形为“友好方程”的结构，通过换元结合（2）的倒数关系求解．
【详解】（1）解：根据“友好方程”的定义，方程中，，，
互换与的值，保持不变，得到其“友好方程”为；
（2）解：方程的“友好方程”为，
整理得，
因式分解得，
解得，；
证明部分略；
（3）解：整理方程，得
，
设，则方程变为，
两边乘得，
∵方程的两根为，，且是的“友好方程”，
根据（2）的结论，“友好方程”的两根是原方程两根的倒数，
∴，，
当时，，解得；
当时，，
解得，
综上所述，方程的两根为，．
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2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义
专题01 解一元二次方程的方法选择
▌专题目标
1. 理解一元二次方程的概念与一般形式，掌握四种基本解法。
2. 掌握直接开平方法与配方法的适用情形与求解步骤。
3. 掌握公式法与判别式的计算，理解判别式与根的关系。
4. 掌握因式分解法（十字相乘），会根据方程特征选择最优解法。
5. 会用换元与整体思想解结构特殊的方程，养成解后检验的习惯。
▌专题目录
题型01：直接开平方法的适用情形与求解
题型02：配方法的适用情形与求解
题型03：公式法的适用情形与求解（判别式的计算）
题型04：因式分解法的适用情形与求解
题型05：根据方程特征选择最优解法（换元与整体思想）
▌题型01：直接开平方法的适用情形与求解
题型描述：题干为形如(x＋m)²＝n或缺一次项的方程（ax²＋c＝0）。核心得分点是识别“平方等于数”的结构并注意开方取正负。
基础知识：
1. 直接开平方法适用于x²＝p或(ax＋b)²＝p（p≥0）型方程；
2.
x²＝p的解为x＝±；
3. p＜0时方程无实数根。
解题方法：
1. 化标准：把方程整理成平方等于常数的形式；
2. 判符号：常数项为负则无实数根；
3. 开平方：两边开方，右边加±；
4. 解两根：分别解两个一元一次方程。
解题思路：
口诀：形、号、方、根。见“完全平方＝常数”直接开方；开方漏掉负根是本题型最常见错误。
1．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）方程的根是 （ ）
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）方程的解是________．
3．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）若，则x的值为_________．
4．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则此三角形周长为__________．
▌题型02：配方法的适用情形与求解
题型描述：题干要求用配方法解方程或把二次式配方。核心得分点是掌握“一移、二化、三配、四开”的步骤。
基础知识：
1.
配方依据：x²＋bx配上成完全平方；
2. 二次项系数不为1时先两边同除以系数；
3. 配方法通用于所有一元二次方程，也是推导求根公式的基础。
解题方法：
1. 移常数：把常数项移到右边；
2. 化系数：二次项系数化为1；
3. 配平方：两边同加一次项系数一半的平方；
4. 开方解：写成平方等于常数后开方求解。
解题思路：
口诀：移、化、配、开。“一半的平方”是核心动作；二次项系数不化1就配方是典型错误。
5．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）用配方法解方程，应在方程两边同时加上______．
7．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）用配方法解方程：．
8．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：．
二次项系数化为1，得． 第一步
移项，得． 第二步
配方，得，即． 第三步
由此，可得． 第四步
所以， 第五步
完成下列任务：
(1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是__________（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是__________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）；
(2)小明同学解题过程中，从第__________步开始出现错误；
(3)请写出正确的解题过程．
▌题型03：公式法的适用情形与求解（判别式的计算）
题型描述：题干为一般形式的一元二次方程（尤其系数较大或不能分解时），要求求解或判断根的情况。核心得分点是正确使用求根公式并先算判别式。
基础知识：
1. 一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）；
2.
判别式：Δ＞0两不等实根，Δ＝0两相等实根，Δ＜0无实根；
3.
求根公式。
解题方法：
1. 化一般式：整理为ax²＋bx＋c＝0，定a、b、c；
2. 算判别式：求Δ并判断根的情况；
3. 套公式：Δ≥0时代入求根公式；
4. 化简根：结果化到最简。
解题思路：
口诀：般、Δ、套、简。a、b、c带符号代入，b为负时−b别算错；先算Δ，Δ＜0直接写“无实数根”。
9．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）用公式法解方程时，的值是__________．
10．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是________．
11．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）解方程：．
12．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围，
(2)若该方程的一个根是，求它的另一个根及m的值．
▌题型04：因式分解法的适用情形与求解
题型描述：题干为易于因式分解的方程（如x²−5x＋6＝0），要求快速求解。核心得分点是十字相乘法分解后令各因式为0。
基础知识：
1. 因式分解法依据：ab＝0则a＝0或b＝0；
2. 十字相乘口诀：竖分常数项，交叉验中项，横写两因式；
3. 常见结构：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘。
解题方法：
1. 移成零：右边化为0；
2. 分因式：用十字相乘或公式分解左边；
3. 令零解：令每个因式等于0；
4. 写两根：写出全部解。
解题思路：
口诀：零、分、令、根。能分解就不配方；两边除以含x的式子会丢根，只能移项后分解。
13．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为__________．
14．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
15．（26-27九年级上·贵州安顺·阶段检测）解方程：
(1)；
(2)
16．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知：关于的方程的一个实数根为1，求另一个实数根．
▌题型05：根据方程特征选择最优解法（换元与整体思想）
题型描述：题干为结构特殊的方程（高次、分式或含重复式子的方程），要求选方法求解。核心得分点是观察结构，用换元化为一元二次方程。
基础知识：
1. 最优解法顺序：直接开平方→因式分解→公式法（配方法）；
2. 换元法：设重复式为t，化高次（分式）方程为二次方程；
3. 分式方程要验根，高次方程回代后可能多解。
解题方法：
1. 观特征：看是否为标准二次或含重复结构；
2. 选方法：标准型选最优解法，特殊型先换元；
3. 解新元：解关于t的方程；
4. 回代验：回代求x并检验（分式方程验增根）。
解题思路：
口诀：观、选、解、验。方法选择口诀：“缺一次项直接开方，能分解不配方，不得已用公式”；换元必回代。
17．（26-27九年级上·湖北随州·阶段检测）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
18．（26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题：
解方程．我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为：，．
(1)利用这种方法解方程
(2)已知．利用上述方法求的值
19．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）问题背景：
我们知道，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，我们还可以用换元法来解某些方程，如：解方程，可以将看作一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程无实数解．故原方程的解为，．
解决问题：
(1)请用换元法解方程：．
(2)已知实数x，y满足，求的值．
20．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式）
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
(2)已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
▌专题综合训练
一、选择题
1．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）若是关于x的方程的一个解，则的最大值为（ ）
A．0 B．8 C．16 D．24
2．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）对于方程，下列说法正确的是（ ）
A．其中一个根是 B．有两个实数根且和为
C．此方程无实数根 D．有两个实数根且积为
3．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
5．（26-27九年级上·陕西渭南·期中）若一个直角三角形的两直角边长恰好是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长为________．
6．（26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是________．
7．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，则________．
8．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，满足，则的最小值为_______．
三、解答题
9．（26-27九年级上·山东滨州·阶段检测）解方程
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
10．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”______；
(2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论；
(3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．
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