专题01 一元二次方程的解法与方法选择（高效培优专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程七种解法，通过题型分类构建从基础解法到方法选择的递进训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|7题|含平方形式方程|从特殊形式到一般应用，体现数学抽象| |配方法|6题|需配方转化的方程|强化代数变形能力，培养数学思维| |公式法|6题|通用解法应用|建立求根公式与方程系数的关联| |因式分解法|7题|可分解因式的方程|体现转化思想，发展运算能力| |换元法|7题|复杂方程换元转化|培养数学眼光中的符号意识| |指定方法|6题|明确解法要求|巩固单一解法熟练度| |适当方法|7题|解法优化选择|综合应用七种解法，提升推理能力|

专题01 一元二次方程的解法与方法选择 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 因式分解法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 换元法解一元二次方程 题型六 指定方法解一元二次方程 题型七 适当方法解一元二次方程 题型一 直接开平方法解一元二次方程 1．用直接开平方法解方程：． 2．用直接开平方法解方程：． 3．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 5．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 6．用直接开平方法解方程 7．解关于的方程：． 题型二 配方法解一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（配方法）． 2．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 3．用配方法解方程： (1)； (2)． 4．用配方法解方程：． 5．用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型三 公式法解一元二次方程 1．用公式法解一元二次方程：（用公式法求解）． 2．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 3．解方程： (公式法)． 4．用公式法解方程：． 5．用公式法解方程：． 6．解方程：． 题型四 因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解方程：x(x-4)=12-3x（用因式分解法）． 2．解方程： (1)； (2)． 3．解方程： (1)； (2)． 4．解方程： 5．解方程： (1)； (2)． 6．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 7．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 题型五 换元法解一元二次方程 1．已知实数m，n满足，则的值为（ ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 2．解关于的方程：． 3．解方程：． 4．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 5．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 6．若实数满足，则的值为______． 7．如果实数满足，则代数式 的值为_____． 题型六 指定方法解一元二次方程 1．（1）用公式法解方程：． （2）用配方法解方程：． （3）用分解因式法解：． 2．用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 3．解一元二次方程： (1)用因式分解法解方程； (2)用配方法解方程； (3)用公式法解方程； (4)用适当的方法解方程． 4．用适当的方法解方程： (1)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (2)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (3)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (4)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 5．解方程 (1) (用配方法解) (2) （用公式法解） (3) （用因式法解） 6．按要求解方程 (1)（配 方 法 ） (2)（公 式 法 ） 题型七 适当方法解一元二次方程 1．用适当方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．用适当方法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 3．选择适当方法解一元二次方程： (1)； (2)． 4．用适当方法求解如下关于x的一元二次方程： (1)x2+2x+1＝4； (2)x2+10x+16＝0； (3)． 5．解一元二次方程：． 6．用适当的方法解方程． (1)； (2)． 7．用适当法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的解法与方法选择 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 因式分解法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 换元法解一元二次方程 题型六 指定方法解一元二次方程 题型七 适当方法解一元二次方程 题型一 直接开平方法解一元二次方程 1.【答案】， 【分析】根据题意，将方程化为，再根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 2．【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 3．【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法，是解题的关键： （1）移项，系数化1，再开方即可； （2）移项，合并，系数化1，再开方即可． 【详解】（1）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． （2）移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． 4．【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 5．【答案】（1），．（2），． 【分析】（1）先把左边写成完全平方的形式，再开平方即可； （2）先把左边写成完全平方的形式，再开平方即可； 【详解】（1）原方程可化为， 两边开平方，得， 所以或， 所以，． （2）原方程可化为， 两边开平方，得， 所以或， 所以或， 所以，． 6．【答案】当时，，当时，，当时，为任意实数. 【分析】利用直接开平方法解答即可. 【详解】原方程可化为，故或，化简得或；当时，若，则，若，则该方程的根为任意实数；当时，若，则，若，则该方程的根为任意实数，综上可得，当时，，当时，，当时，为任意实数． 7．【答案】当时，原方程无解，当时，或 【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出，再分情况：当时，当时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，原方程无解， 当时，或． 题型二 配方法解一元二次方程 1．【答案】(1)x1=，x2= (2)x1=，x2=3 【分析】（1）将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解； （2）方程两边都除以2并将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解： ，   方程变形得：x2－3x=1， 配方得：x2－3x+ =1+ ，即（x－ ）2= ， 开方得：x－ =± ， 解得：x1= ，x2= ； （2）解：移项得： 系数化1得： 两边加上一次项系数一半的平方得： 配方得： 开方得： 解得：x1=，x2=3． 2．【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，． 3．【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握解一元二次方程——配方法． （1）先去括号，移项、合并同类项，再配方，开方求解； （2）先移项、合并同类项，二次项系数化为 ，再配方求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 配方，得， 由此可得， ． （2）解：移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 配方，得 ∵， ∴原方程无实数根． 4．【答案】， 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元一次方程是解题的关键； 根据配方法解一元一次方程的方法即可求解； 【详解】解：两边都除以，得 配方，得 ∴， 5．【答案】（1）；（2）原方程无实数根；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】（1）方程两边加上1，再进行配方即可求解； （2）移项后，方程两边都加上一半的平方，再进行配方即可求解； （3）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解； （4）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解； （5）先将方程整理后，再进行配方即可求解； （6）先将方程整理后，再进行配方即可求解． 【详解】（1） 配方，得， ． （2） 移项，得． 配方，得． ， 原方程无实数根． （3） 移项，得． 配方，得， ． （4） 移项，得． 配方，得， ． （5） 原方程化为一般形式为． 移项，得． 配方，得， ． （6） 原方程化为一般形式为． 二次项系数化为1得． 配方，得， ． 题型三 公式法解一元二次方程 1．【答案】， 【分析】按照公式法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】解：∵a=2，b=7，c=－4， ∴△=－4×2×（－4）=81， ∴x= ， ∴，． 2．【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 3．【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的公式法，熟练掌握公式法是解本题的关键． 用公式法求出解即可． 【详解】解： ，， 故方程有两个不相等的实数根 即， 4．【答案】， 【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数、、，再计算判别式，最后代入求根公式求解．本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题的关键． 【详解】解： ，，， ， ∴， ∴，． 5．【答案】， 【分析】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法的运用．先求出值，判断符号，再利用求解即可． 【详解】解： ， ∴，． 6．【答案】 【分析】利用公式法求出解即可． 【详解】解：这里a=1，，c=-1， ∵， ∴， 解得：． 题型四 因式分解法解一元二次方程 1．=4，=-3 【分析】先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． 【详解】解：∵x（x-4）=12-3x， ∴x（x-4）+3（x-4）=0， 则（x-4）（x+3）=0， ∴x-4=0或x+3=0， 解得=4，=-3； 2．【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）把方程右边移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 3．【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）先把原方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，，即， ∴， 解得：，． （2）解： ∴， ， 解得：，． 4．【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．将方程变形为，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得：，． 5．【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，灵活选择一元二次方程解法是解题的关键． （1）先将方程分解为，再根据“若两个因式的积为0，则至少一个因式为0”，分别求解两个一次方程，得到方程的解； （2）先需整理方程，将右边的移到左边，使方程右边为0，得到；再提取公因式，将方程分解为；最后分别求解和，即可得到方程的解． 【详解】（1）解： ， ∴或， ∴； （2）解： ， ， ∴或， ∴，． 6．【答案】(1)，； (2)，； (3)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （2）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （3）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或， 所以，． 7．【答案】(1) (2) 【分析】根据因式分解法和十字相乘法解一元二次方程即可 【详解】解：（1）整理，得， 移项，得， 把方程左边因式分解，得， 或， 解得． （2）原方程分解后可得， 或， 解得． 题型五 换元法解一元二次方程 1．【答案】B 2．【答案】 3．【答案】 【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 可根据方程特点设，则原方程可化为，解一元二次方程求y，再求x． 【详解】设，则原方程化为 ， 即， 解得，． 当时，，该方程无解， 当时，． 解得，， 检验：当时，原方程左边右边， 当时，原方程左边右边， ∴，都是原方程的根， ∴原方程的根是，． 4．【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 5．【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代换法求解新方程． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因为方程的解是，， 所以或，即或， 解得或． 故答案为：，． 6．【答案】4 7.【答案】2 题型六 指定方法解一元二次方程 1．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程即可； （2）先把一次项移到左边，然后常数项移到方程右边，再配方解方程即可； （3）先移项，然后提取公因式分解因式解方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）∵， ∴， ∴，即， ∴或， 解得． 2．【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 3．【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先将式子化为，再利用平方差公式将式子因式分解，进行计算即可； （2）按照配方法的步骤进行求解即可； （3）直接利用求根公式进行计算； （4）利用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得：，， 原一元二次方程的解为：，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得：，， 原一元二次方程的解为：，； （3）解：， ， ， ，， 原一元二次方程的解为：，； （4）解：， ， 或， 解得：，， 原一元二次方程的解为：，． 4．【答案】(1)x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣ (2)x1＝，x2＝ (3)x1＝﹣，x2＝﹣ (4) 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）根据公式法求解即可； （3）根据因式分解法求解即可； （4）根据公式法求解即可； 【详解】（1）解：x2+2x﹣1＝0， x2+2x＝1， x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2， ∴x+1＝±， ∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． （2）解：3x2﹣5x+1＝0， ∵a＝3，b＝﹣5，c＝1， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， 则x＝， 即x1＝，x2＝； （3）解：3（2x+1）2＝4x+2， 3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0， （2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0， 2x+1＝0或6x+1＝0， x1＝﹣，x2＝﹣． （4）解：3x2+5x＝3x+3， 3x2+2x-3=0 ∵a＝3，b＝2，c＝-3， ∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝． 5．【答案】(1) （2）x= ,x=；(3) x=,x=1. 【分析】（1）整理后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）求出的值，再代入公式求出即可； （3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）4x(x−1)=1， 4x−4x+1=1+1， (2x−1)=2， 2x−1=±， （2）2x−4x−1=0， b−4ac=(−4) −4×2×(−1)=24， x=， x= ,x=； （3）(2−3x)+(3x−2) =0， (2−3x)(1+2−3x)=0， 2−3x=0或1+2−3x=0， x=,x=1. 6．【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解； （2）先写出，再求出的值，然后利用公式． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴，． 题型七 适当方法解一元二次方程 1．【答案】(1)，； (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用提公因式法解方程即可得到答案； （2）利用直接开平方解方程即可得到答案； （3）利用因式分解法解方程即可得到答案； （4）利用公式法解方程即可得到答案 【详解】（1）解： 提公因式得： 解得：，． （2）解：， 开平方得：， 解得：，． （3）解： 因式分解得： 解得：，． （4）解： ∵， ∴， ∴， ∴，． 2．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项，然后再因式分解法即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 所以． （2）解：， ， ， ， ， 所以． 3．【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）首先移项，然后利用直接开平方法计算即可； （2）利用公式法计算即可． 【详解】（1）解： 移项，可得：， 方程两边直接开平方，可得：， 于是得：或， ∴或． （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， ∴或． 4．【答案】(1)x1=1，x2=-3 (2)x1=-2，x2=-8 (3)x1=，x2= 【分析】（1）方程利用因式分解法求解； （2）方程利用因式分解法求解； （3）方程利用公式法求解． 【详解】【小题1】解：， ∴， ∴， 解得：x1=1，x2=-3； 【小题2】， ∴， 解得：x1=-2，x2=-8； 【小题3】， ∴a=1，b=，c=， ∴， ∴x=， 解得：x1=，x2=． 5．【答案】 【分析】本题主要考查因式分解法求一元二次方程，掌握因式分解法的计算是关键．根据题意，运用因式分解求一元二次方程的解即可． 【详解】解：， ∴，     ∴或，     解得：． 6．【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，关键是选择恰当的方法解方程； （1）把方程整理成一般形式，用因式分解法解方程即可： （2）移项后用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：整理得：， ， 解得：； （2）解：整理得：， 解得：． 7．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用开平方法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）整理后利用因式分解法求解即可； （5）利用十字相乘法求解即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， 即； （2）两边同时除以2得：， 开平方得：， 即，， 即； （3）原方程可化为：， 即， 即， 即； （4）整理得， 即， 即； （5）利用十字相乘法因式分解得：， 即或， 解得． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的解法与方法选择 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 因式分解法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 换元法解一元二次方程 题型六 指定方法解一元二次方程 题型七 适当方法解一元二次方程 题型一 直接开平方法解一元二次方程 1．用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据题意，将方程化为，再根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 2．用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 3．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法，是解题的关键： （1）移项，系数化1，再开方即可； （2）移项，合并，系数化1，再开方即可． 【详解】（1）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． （2）移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 5．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），．（2），． 【分析】（1）先把左边写成完全平方的形式，再开平方即可； （2）先把左边写成完全平方的形式，再开平方即可； 【详解】（1）原方程可化为， 两边开平方，得， 所以或， 所以，． （2）原方程可化为， 两边开平方，得， 所以或， 所以或， 所以，． 6．用直接开平方法解方程 【答案】当时，，当时，，当时，为任意实数. 【分析】利用直接开平方法解答即可. 【详解】原方程可化为，故或，化简得或；当时，若，则，若，则该方程的根为任意实数；当时，若，则，若，则该方程的根为任意实数，综上可得，当时，，当时，，当时，为任意实数． 【点睛】本题考查了直接开平方法，注意分类讨论是解题的关键. 7．解关于的方程：． 【答案】当时，原方程无解，当时，或 【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出，再分情况：当时，当时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，原方程无解， 当时，或． 题型二 配方法解一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（配方法）． 【答案】(1)x1=，x2= (2)x1=，x2=3 【分析】（1）将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解； （2）方程两边都除以2并将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解： ，   方程变形得：x2－3x=1， 配方得：x2－3x+ =1+ ，即（x－ ）2= ， 开方得：x－ =± ， 解得：x1= ，x2= ； （2）解：移项得： 系数化1得： 两边加上一次项系数一半的平方得： 配方得： 开方得： 解得：x1=，x2=3． 2．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，． 3．用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握解一元二次方程——配方法． （1）先去括号，移项、合并同类项，再配方，开方求解； （2）先移项、合并同类项，二次项系数化为 ，再配方求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 配方，得， 由此可得， ． （2）解：移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 配方，得 ∵， ∴原方程无实数根． 4．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元一次方程是解题的关键； 根据配方法解一元一次方程的方法即可求解； 【详解】解：两边都除以，得 配方，得 ∴， 5．用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）原方程无实数根；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】（1）方程两边加上1，再进行配方即可求解； （2）移项后，方程两边都加上一半的平方，再进行配方即可求解； （3）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解； （4）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解； （5）先将方程整理后，再进行配方即可求解； （6）先将方程整理后，再进行配方即可求解． 【详解】（1） 配方，得， ． （2） 移项，得． 配方，得． ， 原方程无实数根． （3） 移项，得． 配方，得， ． （4） 移项，得． 配方，得， ． （5） 原方程化为一般形式为． 移项，得． 配方，得， ． （6） 原方程化为一般形式为． 二次项系数化为1得． 配方，得， ． 题型三 公式法解一元二次方程 1．用公式法解一元二次方程：（用公式法求解）． 【答案】， 【分析】按照公式法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】解：∵a=2，b=7，c=－4， ∴△=－4×2×（－4）=81， ∴x= ， ∴，． 2．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 3．解方程： (公式法)． 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的公式法，熟练掌握公式法是解本题的关键． 用公式法求出解即可． 【详解】解： ，， 故方程有两个不相等的实数根 即， 4．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数、、，再计算判别式，最后代入求根公式求解．本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题的关键． 【详解】解： ，，， ， ∴， ∴，． 5．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法的运用．先求出值，判断符号，再利用求解即可． 【详解】解： ， ∴，． 6．解方程：． 【答案】 【分析】利用公式法求出解即可． 【详解】解：这里a=1，，c=-1， ∵， ∴， 解得：． 题型四 因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解方程：x(x-4)=12-3x（用因式分解法）． 【答案】=4，=-3 【分析】先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． 【详解】解：∵x（x-4）=12-3x， ∴x（x-4）+3（x-4）=0， 则（x-4）（x+3）=0， ∴x-4=0或x+3=0， 解得=4，=-3； 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）把方程右边移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）先把原方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，，即， ∴， 解得：，． （2）解： ∴， ， 解得：，． 4．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．将方程变形为，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得：，． 5．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，灵活选择一元二次方程解法是解题的关键． （1）先将方程分解为，再根据“若两个因式的积为0，则至少一个因式为0”，分别求解两个一次方程，得到方程的解； （2）先需整理方程，将右边的移到左边，使方程右边为0，得到；再提取公因式，将方程分解为；最后分别求解和，即可得到方程的解． 【详解】（1）解： ， ∴或， ∴； （2）解： ， ， ∴或， ∴，． 6．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （2）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （3）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或， 所以，． 7．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据因式分解法和十字相乘法解一元二次方程即可 【详解】解：（1）整理，得， 移项，得， 把方程左边因式分解，得， 或， 解得． （2）原方程分解后可得， 或， 解得． 题型五 换元法解一元二次方程 1．已知实数m，n满足，则的值为（ ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 2．解关于的方程：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对原方程变形，再采用换元法将原方程转化为整式方程求解，最后对分式方程的根进行检验． 【详解】解：原方程变形，得， 移项，得 ， 设，则原方程化为： 因式分解，得 解得，， 当时，，方程两边同乘（），整理得，此时方程无实数根， 当时，，方程两边同乘（），整理得 因式分解得， 解得， 检验：将代入原方程分母，得 ， 因此是原方程的解． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 可根据方程特点设，则原方程可化为，解一元二次方程求y，再求x． 【详解】设，则原方程化为 ， 即， 解得，． 当时，，该方程无解， 当时，． 解得，， 检验：当时，原方程左边右边， 当时，原方程左边右边， ∴，都是原方程的根， ∴原方程的根是，． 4．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 5．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代换法求解新方程． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因为方程的解是，， 所以或，即或， 解得或． 故答案为：，． 6．若实数满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值，掌握换元思想，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解后根据实数 的条件排除无效解即可． 【详解】设 ， ∵原方程为， ∴原方程可化为 ， 即 ， 因式分解得 ， ∴ 或 ， ∵ ，且 ，此时方程无实数解， ∴舍去， 综上， ． 故答案为：． 7．如果实数满足，则代数式 的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解的应用，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于的二次方程，解出的值．再将所求代数式用表示，代入的值求解．由于时对应方程无实数解，故只取，得到代数式的值为2． 【详解】解：设，则原方程化为． 解方程， 判别式， 所以， 得，． 所求代数式． 当 时，； 当时，． 但， 即，整理得， 判别式，无实数解． 故只有符合题意，代数式的值为2． 故答案为：2． 题型六 指定方法解一元二次方程 1．（1）用公式法解方程：． （2）用配方法解方程：． （3）用分解因式法解：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程即可； （2）先把一次项移到左边，然后常数项移到方程右边，再配方解方程即可； （3）先移项，然后提取公因式分解因式解方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）∵， ∴， ∴，即， ∴或， 解得． 2．用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 3．解一元二次方程： (1)用因式分解法解方程； (2)用配方法解方程； (3)用公式法解方程； (4)用适当的方法解方程． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先将式子化为，再利用平方差公式将式子因式分解，进行计算即可； （2）按照配方法的步骤进行求解即可； （3）直接利用求根公式进行计算； （4）利用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得：，， 原一元二次方程的解为：，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得：，， 原一元二次方程的解为：，； （3）解：， ， ， ，， 原一元二次方程的解为：，； （4）解：， ， 或， 解得：，， 原一元二次方程的解为：，． 4．用适当的方法解方程： (1)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (2)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (3)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (4)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 【答案】(1)x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣ (2)x1＝，x2＝ (3)x1＝﹣，x2＝﹣ (4) 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）根据公式法求解即可； （3）根据因式分解法求解即可； （4）根据公式法求解即可； 【详解】（1）解：x2+2x﹣1＝0， x2+2x＝1， x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2， ∴x+1＝±， ∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． （2）解：3x2﹣5x+1＝0， ∵a＝3，b＝﹣5，c＝1， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， 则x＝， 即x1＝，x2＝； （3）解：3（2x+1）2＝4x+2， 3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0， （2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0， 2x+1＝0或6x+1＝0， x1＝﹣，x2＝﹣． （4）解：3x2+5x＝3x+3， 3x2+2x-3=0 ∵a＝3，b＝2，c＝-3， ∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝． 5．解方程 (1) (用配方法解) (2) （用公式法解） (3) （用因式法解） 【答案】(1) （2）x= ,x=；(3) x=,x=1. 【分析】（1）整理后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）求出的值，再代入公式求出即可； （3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）4x(x−1)=1， 4x−4x+1=1+1， (2x−1)=2， 2x−1=±， （2）2x−4x−1=0， b−4ac=(−4) −4×2×(−1)=24， x=， x= ,x=； （3）(2−3x)+(3x−2) =0， (2−3x)(1+2−3x)=0， 2−3x=0或1+2−3x=0， x=,x=1. 6．按要求解方程 (1)（配 方 法 ） (2)（公 式 法 ） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解； （2）先写出，再求出的值，然后利用公式． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴，． 题型七 适当方法解一元二次方程 1．用适当方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用提公因式法解方程即可得到答案； （2）利用直接开平方解方程即可得到答案； （3）利用因式分解法解方程即可得到答案； （4）利用公式法解方程即可得到答案 【详解】（1）解： 提公因式得： 解得：，． （2）解：， 开平方得：， 解得：，． （3）解： 因式分解得： 解得：，． （4）解： ∵， ∴， ∴， ∴，． 2．用适当方法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项，然后再因式分解法即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 所以． （2）解：， ， ， ， ， 所以． 3．选择适当方法解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）首先移项，然后利用直接开平方法计算即可； （2）利用公式法计算即可． 【详解】（1）解： 移项，可得：， 方程两边直接开平方，可得：， 于是得：或， ∴或． （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， ∴或． 4．用适当方法求解如下关于x的一元二次方程： (1)x2+2x+1＝4； (2)x2+10x+16＝0； (3)． 【答案】(1)x1=1，x2=-3 (2)x1=-2，x2=-8 (3)x1=，x2= 【分析】（1）方程利用因式分解法求解； （2）方程利用因式分解法求解； （3）方程利用公式法求解． 【详解】【小题1】解：， ∴， ∴， 解得：x1=1，x2=-3； 【小题2】， ∴， 解得：x1=-2，x2=-8； 【小题3】， ∴a=1，b=，c=， ∴， ∴x=， 解得：x1=，x2=． 5．解一元二次方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解法求一元二次方程，掌握因式分解法的计算是关键．根据题意，运用因式分解求一元二次方程的解即可． 【详解】解：， ∴，     ∴或，     解得：． 6．用适当的方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，关键是选择恰当的方法解方程； （1）把方程整理成一般形式，用因式分解法解方程即可： （2）移项后用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：整理得：， ， 解得：； （2）解：整理得：， 解得：． 7．用适当法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用开平方法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）整理后利用因式分解法求解即可； （5）利用十字相乘法求解即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， 即； （2）两边同时除以2得：， 开平方得：， 即，， 即； （3）原方程可化为：， 即， 即， 即； （4）整理得， 即， 即； （5）利用十字相乘法因式分解得：， 即或， 解得． 13 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $