25.3 .1 实际问题与一元二次方程 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

课   题

25.3 .1 实际问题与一元二次方程

课型

新授课

教材分析

本节课是九年级上册一元二次方程章节的核心应用课时，聚焦几何类实际问题，通过勾股定理、矩形周长与面积两大典型情境，搭建方程与几何的桥梁。教材以 “三边长为连续整数的直角三角形” 和 “细绳围矩形” 为例，引导学生经历 “建模—列方程—求解—验根” 的完整过程，既渗透数形结合思想，又对比多种方式设未知量方法的优劣，凸显数学建模的灵活性。本节课既是对一元二次方程解法的巩固，也是后续复杂应用问题的基础，能有效提升学生分析几何情境、提炼等量关系、检验解的实际意义的综合能力，在本章中具有承上启下的关键作用。

学情分析

九年级学生已熟练掌握一元二次方程的各类解法，也具备直角三角形、矩形等几何图形的基础知识。但学生将几何问题转化为代数方程的建模能力不足，面对连续边长、周长面积综合问题时，难以快速梳理等量关系。部分学生设未知量单一，不善于选用简便设法简化运算，同时普遍忽视根的检验，容易忽略边长为正、图形限制等实际条件，知识灵活运用与综合推理能力有待提升。

核心素养

1.从几何情境中抽象数量关系与图形特征，借助几何直观分析问题，提升抽象能力。

2.经历列、解、验方程的全过程，依托勾股定理、面积公式推理运算，发展推理与运算能力。

3.规范梳理解题流程，构建几何问题方程模型，强化模型意识与实际应用能力。

教学目标

1.能运用勾股定理、矩形面积公式等几何知识找等量关系，列一元二次方程解决实际问题.

2.准确挖掘几何问题中的隐含等量关系，合理检验方程根的实际意义.

3.经历 “审题 — 设元 — 列方程 — 解方程 — 检验 — 作答” 的完整过程，培养分析和解决实际问题的能力.

教学重点

结合几何图形性质，找出等量关系，列一元二次方程解决几何类实际问题。

教学难点

灵活选择设未知量的方法，正确理解方程根的几何意义，并结合实际情况检验根的合理性。

教学媒体

多媒体课件

上课教师

上课时间

教学过程

教学环节

教学活动

二次备课

情景导入

思考：在前面的课程中，我们已经学习了哪些解一元二次方程的方法？这些方法的关键思想或注意事项是什么？

①直接开平方法（平方根的意义）

②配方法（配一次项系数一半的平方）

③公式法（先比较∆与0的大小）

④因式分解法（提公因式、完全平方公式、十字相乘）

师：学习方程的最终目的是为了解决实际问题，今天我们就一起来探究如何用一元二次方程解决我们非常熟悉的几何图形问题。

探究：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？

想一想

三个连续正整数可以怎么表示？

解：设最短边为 x,则另外两边为 x+1、x+2

由勾股定理，得

x2+(x+1)2=(x+2)2,

探究新知

解方程，得

x1=3,x2=−1 (不符合题意，舍去). 

师：如果把 "三个连续正整数" 改成 "三个连续偶数"，这样的直角三角形存在吗？如果存在，三边长是多少？

分析：要判断三个连续偶数能否构成直角三角形，需结合勾股定理验证：设三个连续偶数为 2n−2、2n、2n+2（n 为正整数，最大数 2n+2 为斜边），若两短边平方和等于长边平方，则存在这样的直角三角形.

解：根据勾股定理列方程：

(2n−2)2+(2n)2=(2n+2)2

化简得：

4n(n−4)=0

解得 n=4 (n=0 舍去，边长不能为 0)

对应三边长为 6、8、10。

小结：

直角三角形问题技巧总结

设未知量技巧：通常设最小的数为x,其余数用x+1、x+2(或 x+2、x+4)表示

等量关系：直角三角形问题必须明确斜边是最长边，避免将直角边和斜边混淆

根的检验技巧：几何问题中，边长、长度等物理量必须为正数，所有负根一律舍去；

若涉及三角形三边关 系，还需检验两边之和大于第三边.

探究：用一根长为 40m 的细绳，能否围成一个面积为 96m^2 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？

想一想：细绳的长度对应矩形的什么量？

师：如果设矩形的边长为 x m，你能用含 x 的式子表示出它的邻边长吗？

解：设矩形的边长为x m,由矩形的周长为 40 m,可得此边的邻边长为(20−x)m;再由矩形的面积为96 m2,得

x(20−x)=96.

解方程，得

x1=12, x2=8.

师：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？

师：除了刚才的设法，我们还有其他设未知数的方法吗？

①可设一边的长为x m,那么其邻边长为96/x m

②设一边长的为(10+x)m，那么邻边长为(10−x)m

师：想一想这两种设法有什么不同？哪种设法解方程更简便？为什么？

常规设 x、20−x：直观通用、易列方程、略繁。

设 x、96/x：面积直写、分式方程、步骤稍多。

对称设 10+x、10−x：和为定值、平方差、最简最快。

师：如图，要把长为4m、宽为3m的长方形花坛四周扩展相同的宽