福建南平市2026-2027学年人教版数学八年级上册期中质量监测 数学(二)

南平市八年级（上）期中质量监测·数学（二） 本卷满分：150 分 考试时长：120 分钟 考查版本：人教版 （考试学生卷 · 闭卷测试） 一、选择题（共 10 题） 1. （4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）。 A. 线段 B. 角 C. 等腰三角形 D. 三边长分别为 ，， 的三角形 2. （4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）。 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. （4分）已知 ，其中点 与点 对应，点 与点 对应。若 ，，，则 的度数与 的长分别是（　　）。 A. ， B. ， C. ， D. ， 4. （4分）一个多边形的内角和比它的外角和的 倍少 。若这个多边形是正多边形，则它的每个内角的度数是（　　）。 A. B. C. D. 5. （4分）在 中，延长 到点 ， 的平分线与 的平分线相交于点 。若 ，则 的度数是（　　）。 A. B. C. D. 6. （4分）若一个多边形的对角线条数等于它的边数的 倍，则这个多边形的内角和是（　　）。 A. B. C. D. 7. （4分）在 和 中，，。添加下列条件后，仍不能判定 的是（　　）。 A. B. C. D. 8. （4分）如图，在 中， 于点 ， 于点 ， 与 交于点 。若 ，则 的度数是（　　）。 A. B. C. D. 9. （4分）如图，在 中，，。将 沿过点 的直线 折叠，使点 落在边 上的点 处，折痕 交 于点 。则 的度数是（　　）。 A. B. C. D. 10. （4分）如图，将长方形纸条 沿 折叠，点 的对应点是点 ，折叠后 与 交于点 。若 ，则 的度数是（　　）。 A. B. C. D. 二、填空题（共 6 题） 11. （4分）工人师傅在安装长方形窗框时，常常沿窗框的一条对角线钉上一根木条。这样做的数学依据是 ________。 12. （4分）已知一个三角形的两边长分别是 和 ，则第三边长 的取值范围是 ________。 13. （4分）在 中，延长 到点 。若 ，，则 的度数为 ________。 14. （4分）在平面直角坐标系中，点 与点 关于 ________ 对称。 15. （4分）在 中，，边 的垂直平分线交 于点 。若 ，则 的度数为 ________。 16. （4分）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 和 两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ________。 三、解答题（共 9 题） 17. （8分）在 中，，。 （1） 求 的度数。（4分） （2） 延长 到点 ，求 的度数。（4分） 18. （8分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ，，。 （1） 画出 关于 轴的对称图形 ，其中点 与点 对应，点 与点 对应，点 与点 对应。（4分） （2） 求 的面积。（4分） 19. （8分）如图，在 中， 是边 上的中线， 是边 上的高，。 （1） 求 的长，并说明 与 的面积相等。（4分） （2） 若 的面积为 ，，求点 到直线 的距离。（4分） 20. （8分）如图，。 （1） 用尺规作 的平分线 ，保留作图痕迹，不写作法。（4分） （2） 设第（1）问中所作的弧与 ， 分别交于点 ，，两弧交于点 。连接 ，，证明 平分 。（4分） 21. （8分）如图，点 ，，， 依次在同一条直线上，点 ， 在直线 的同侧，，，。 （1） 求证 。（4分） （2） 求证 。（4分） 22. （10分）如图， 是 的边 的中点， 于点 ， 于点 ，。 （1） 求证 。（5分） （2） 求证 平分 。（5分） 23. （10分）如图，在 中，用尺规作线段 的垂直平分线 ：分别以点 ， 为圆心，大于 的同一长度为半径作弧，两弧分别交于点 ，；作直线 ，直线 与 交于点 ，连接 。 （1） 说明直线 是线段 的垂直平分线的理由。（5分） （2） 若 ，，求 的周长。（5分） 24. （12分）如图，在 中，，。 （1） 求证 是等边三角形。（4分） （2） 点 在边 上，以 为边作等边三角形 ，使点 与点 在直线 的两侧，连接 。求证 。（4分） （3） 在（2）的条件下，若 是等腰三角形，求 的度数。（4分） 25. （14分）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 在 轴上。 （1） 在 轴上确定点 的位置，使 的值最小，并写出点 的坐标。（8分） （2） 说明你所确定的点 使 的值最小的理由。（6分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市八年级（上）期中质量监测·数学（二） 本卷满分：150 分 考试时长：120 分钟 考查版本：人教版 （教师解析与考点分析版） 一、选择题（共 10 题） 1. （4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）。 A. 线段 B. 角 C. 等腰三角形 D. 三边长分别为 ，， 的三角形 【标准答案】 D。 【考点分析】 沿某条直线折叠后两部分能完全重合的图形是轴对称图形，逐项检查每个图形是否存在这样的直线。 【详细解析】 线段沿它所在直线或它的垂直平分线折叠，两部分完全重合，所以线段是轴对称图形。（本步1分）角沿角平分线所在直线折叠，两部分完全重合，所以角是轴对称图形。（本步1分）等腰三角形沿底边上的中线所在直线折叠，两部分完全重合，所以等腰三角形是轴对称图形。（本步1分）三边长分别为 ，， 的三角形三条边互不相等，不存在使两部分完全重合的直线，所以它不是轴对称图形。（本步1分） 2. （4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）。 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【标准答案】 A。 【考点分析】 用三角形三边关系判断：任意两边之和大于第三边时，三条线段才能组成三角形。 【详细解析】 B 中 ，两边之和不大于第三边，不能组成三角形。（本步1分）C 中 ，不能组成三角形。（本步1分）D 中 ，不能组成三角形。（本步1分）A 中 ，，，任意两边之和都大于第三边，能组成三角形。（本步1分） 3. （4分）已知 ，其中点 与点 对应，点 与点 对应。若 ，，，则 的度数与 的长分别是（　　）。 A. ， B. ， C. ， D. ， 【标准答案】 B。 【考点分析】 全等三角形的对应角相等、对应边相等，先由内角和求出 ，再由对应关系换算。 【详细解析】 全等三角形的对应角相等，点 与点 对应，所以 。（本步1分）三角形内角和为 ，所以 ，即 。（本步2分）全等三角形的对应边相等， 与 是对应边，所以 。（本步1分） 4. （4分）一个多边形的内角和比它的外角和的 倍少 。若这个多边形是正多边形，则它的每个内角的度数是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 A。 【考点分析】 先用“内角和比外角和的 2 倍少 180°”定出内角和的数值，再对内角和用公式 求边数，最后用内角和除以边数。 【详细解析】 多边形的外角和为 ，所以这个多边形的内角和为 。（本步1分）设这个多边形的边数为 ，则 ，解得 。（本步2分）正五边形的每个内角为 。（本步1分） 5. （4分）在 中，延长 到点 ， 的平分线与 的平分线相交于点 。若 ，则 的度数是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 C。 【考点分析】 两个平分线各给出一个半角。先用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”把 与 、 联起来，得到两个半角的差；再用 的外角把 表示成这个差。 【详细解析】 设 ，。 是 的外角，所以 ，即 。（本步2分） 是 的外角，所以 ，即 。（本步1分）所以 。（本步1分） 6. （4分）若一个多边形的对角线条数等于它的边数的 倍，则这个多边形的内角和是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 C。 【考点分析】 题中既没给边数也没给内角和，须先用“多边形对角线总条数为 ”与“对角线条数等于边数的 2 倍”列出关于边数 的方程，解出边数后才能代入内角和公式，两次转化缺一不可。注意不要与“对角线条数等于边数”的情形（对应五边形）混淆。 【详细解析】 设这个多边形的边数为 ，多边形的对角线总条数为 。（本步1分）由对角线条数等于边数的 倍得 ，，两边同除以 得 ，解得 。（本步2分）这个多边形的内角和为 。故选 C。（本步1分） 7. （4分）在 和 中，，。添加下列条件后，仍不能判定 的是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 D。 【考点分析】 已有两个条件：一组对应边相等、一组对应角相等。逐项判断补充条件后能否用 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 判定，注意“两边及其中一边的对角”不能判定全等。 【详细解析】 添加 后，已知两角及其夹边对应相等，由 ASA 能判定全等。（本步1分）添加 后，已知两组对应角相等且其中一组角的对边相等，由 AAS 能判定全等。（本步1分）添加 后，已知两组对应边相等且它们的夹角相等，由 SAS 能判定全等。（本步1分）添加 后，是两边及其中一边的对角分别相等，这种条件下两个三角形不一定全等，所以不能判定全等。（本步1分） 8. （4分）如图，在 中， 于点 ， 于点 ， 与 交于点 。若 ，则 的度数是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 B。 【考点分析】 图中的 与 都是 的余角，先用这一关系把等角找出来，再用 AAS 证 ，把 转化为 ；最后在直角三角形 中由两直角边相等得锐角为 。全等是必经环节，缺少这一步无法把已知的线段相等转成角。 【详细解析】 由 ， 得 。（本步1分）在 中 ，在 中 ，而 ，所以 。（本步1分）在 和 中，，，，由 AAS 得 ，所以 。（本步1分）在 中，，，所以 。（本步1分） 9. （4分）如图，在 中，，。将 沿过点 的直线 折叠，使点 落在边 上的点 处，折痕 交 于点 。则 的度数是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 C。 【考点分析】 折叠给出 ，于是 被折痕平分。点 的隐含位置条件是它落在边 上，所以 ，折痕与 的夹角只有 ，而不是 。再由 的内角和得 ，用折叠把它搬到 ，最后作邻补角与角的差。 【详细解析】 ，所以 。（本步1分）由折叠得 ，所以 ，。点 在边 上，所以 ，。（本步1分）在 中，，所以 。（本步1分），所以 。（本步1分） 10. （4分）如图，将长方形纸条 沿 折叠，点 的对应点是点 ，折叠后 与 交于点 。若 ，则 的度数是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 D。 【考点分析】 折叠把 原样搬到 ，而题面给的不是折痕处的角，是折叠后 与 相交所成的 ，须逆向把已知角通过内错角折返回 所在直线，再发现“、、 三个角恰好拼成平角”这一题面未写的隐含条件列方程，漏掉其中任何一环都会算错。 【详细解析】 ，直线 截 ，， 与 是内错角，所以 。（本步1分）由折叠得 。（本步1分）点 在边 上，射线 与射线 是同一条射线，，， 三个角拼成一个平角，所以 。（本步1分）解得 。（本步1分） 二、填空题（共 6 题） 11. （4分）工人师傅在安装长方形窗框时，常常沿窗框的一条对角线钉上一根木条。这样做的数学依据是 ________。 【标准答案】 三角形具有稳定性。 【考点分析】 沿对角线钉木条后，四边形被分成两个三角形，考查三角形的稳定性。 【详细解析】 沿对角线钉上木条后，窗框被分成两个三角形。三角形的三边长度确定后形状和大小就确定，四边形不具备这一性质。（本步2分）所以这样做的数学依据是三角形具有稳定性。（本步2分） 12. （4分）已知一个三角形的两边长分别是 和 ，则第三边长 的取值范围是 ________。 【标准答案】 。 【考点分析】 由三角形三边关系，第三边大于已知两边之差、小于已知两边之和。 【详细解析】 设第三边长为 。由三角形三边关系得 。（本步3分）即 。（本步1分） 13. （4分）在 中，延长 到点 。若 ，，则 的度数为 ________。 【标准答案】 。 【考点分析】 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 【详细解析】 是 的外角，所以 。（本步2分）代入得 。（本步1分）所以 。（本步1分） 14. （4分）在平面直角坐标系中，点 与点 关于 ________ 对称。 【标准答案】 轴。 【考点分析】 比较两点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数，符合“关于 轴对称”的坐标特征；若纵坐标相同、横坐标互为相反数，才是关于 轴对称。 【详细解析】 点 与点 的横坐标都是 ，纵坐标 与 互为相反数。（本步2分）关于 轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数，所以点 与点 关于 轴对称。（本步2分） 15. （4分）在 中，，边 的垂直平分线交 于点 。若 ，则 的度数为 ________。 【标准答案】 。 【考点分析】 先用等边对等角求底角，再用垂直平分线的性质得到 ，最后作角的差。 【详细解析】 ，所以 。（本步2分）点 在边 的垂直平分线上，所以 ，。（本步1分）。（本步1分） 16. （4分）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 和 两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ________。 【标准答案】 。 【考点分析】 中线把周长分成“腰与半腰之和”和“半腰与底边之和”两部分，题中没有说明哪一部分是 ，需要分两种情况设元；其中一种情况算出的三边不能组成三角形，必须剔除。 【详细解析】 设腰长为 ，底边长为 ，则半腰长为 ，中线分出的两部分长分别为 与 ，且 。（本步1分）若 ，，则 ，，三边为 ，，，而 ，不能组成三角形，舍去。（本步2分）若 ，，则 ，，三边为 ，，，任意两边之和大于第三边，符合题意。（本步1分）所以底边长为 。 三、解答题（共 9 题） 17. （8分）在 中，，。 （1） 求 的度数。（4分） （2） 延长 到点 ，求 的度数。（4分） 【标准答案】 ；。 【考点分析】 把三个内角用 表示后由内角和求值，再用外角等于不相邻两内角之和求外角。 【详细解析】 设 ，则 ，。（本步1分）由三角形内角和得 。（本步1分）解得 ，即 。（本步2分）由 得 。（本步1分） 是 的外角，所以 。（本步2分）所以 。（本步1分） 18. （8分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ，，。 （1） 画出 关于 轴的对称图形 ，其中点 与点 对应，点 与点 对应，点 与点 对应。（4分） （2） 求 的面积。（4分） 【标准答案】 ，，，按坐标描点连线即得 ； 的面积为 。 【考点分析】 关于 轴对称的两点纵坐标相同、横坐标互为相反数；三角形面积用补形法，用一个正方形减去三个直角三角形。 【详细解析】 关于 轴对称的两点纵坐标相同、横坐标互为相反数，所以 ，，。（本步2分）在图中描出点 ，，，依次连接，得到 。（本步2分）以直线 ，，， 为边界的正方形边长为 ，面积为 ， 的三个顶点都在这个正方形上。（本步1分）正方形内、 外的三个直角三角形面积分别为 ，，。（本步1分）所以 的面积为 。（本步2分） 19. （8分）如图，在 中， 是边 上的中线， 是边 上的高，。 （1） 求 的长，并说明 与 的面积相等。（4分） （2） 若 的面积为 ，，求点 到直线 的距离。（4分） 【标准答案】 ； 与 等底同高，面积相等；点 到直线 的距离为 。 【考点分析】 中线给出相等的两段底，两三角形在 边上的高都是 ，所以面积相等。第二小问换一条底边：把 看作底，同一个面积对应 边上的高，这个高就是点 到直线 的距离。 【详细解析】 是边 上的中线，所以 。（本步2分） 的面积为 ， 的面积为 。因为 ，且两三角形在 边上的高都是 ，所以两三角形面积相等。（本步2分）设点 到直线 的距离为 ，则 就是 中 边上的高，由面积公式得 。（本步2分）解得 ，即点 到直线 的距离为 。（本步2分） 20. （8分）如图，。 （1） 用尺规作 的平分线 ，保留作图痕迹，不写作法。（4分） （2） 设第（1）问中所作的弧与 ， 分别交于点 ，，两弧交于点 。连接 ，，证明 平分 。（4分） 【标准答案】 按尺规作角平分线的步骤作出射线 并保留弧的痕迹；由作图得 ，，又 ，所以 ，，即 平分 。 【考点分析】 第一问按“以 为圆心画弧截两边，再以两交点为圆心画等半径弧”的步骤作图，两弧的交点与 的连线就是所求的平分线。第二问要把作图痕迹读成三组相等的边：同一次画弧给出 ，同一次画弧给出 ， 是公共边，由 SSS 得全等，再由全等得角相等。 【详细解析】 以点 为圆心、任意长为半径作弧，分别交 ， 于点 ，；分别以点 ， 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧在 内部交于点 ；作射线 ，射线 就是 的平分线，作图痕迹保留在图中。（本步4分）由作图可知 ，。（本步1分）在 和 中，，，。（本步1分）由 SSS 得 。（本步1分）所以 ，即 平分 。（本步1分） 21. （8分）如图，点 ，，， 依次在同一条直线上，点 ， 在直线 的同侧，，，。 （1） 求证 。（4分） （2） 求证 。（4分） 【标准答案】 证明见解题过程。 【考点分析】 先把 转化为 ，用 SSS 证全等；再由全等得同位角相等，推出两直线平行。 【详细解析】 由 得 ，即 。（本步1分）又已知 ，。（本步1分）在 和 中，三组边分别相等，由 SSS 得 。（本步2分）由 得 。（本步1分） 与 是直线 ， 被直线 所截得到的同位角。（本步1分）同位角相等，所以 。（本步2分） 22. （10分）如图， 是 的边 的中点， 于点 ， 于点 ，。 （1） 求证 。（5分） （2） 求证 平分 。（5分） 【标准答案】 证明见解题过程。 【考点分析】 第一问用斜边、直角边证两个直角三角形全等；第二问由全等得 ，再用角平分线的判定。 【详细解析】 是边 的中点，所以 。（本步1分）由 ， 得 。（本步1分）在 和 中，，，且它们都是直角三角形。（本步1分）由 HL 得 。（本步2分）由 得 。（本步2分）因为 ，，所以点 到边 ， 的距离相等。（本步1分）到角的两边距离相等的点在角的平分线上，所以点 在 的平分线上，即 平分 。（本步2分） 23. （10分）如图，在 中，用尺规作线段 的垂直平分线 ：分别以点 ， 为圆心，大于 的同一长度为半径作弧，两弧分别交于点 ，；作直线 ，直线 与 交于点 ，连接 。 （1） 说明直线 是线段 的垂直平分线的理由。（5分） （2） 若 ，，求 的周长。（5分） 【标准答案】 理由是点 ， 到 ， 的距离分别相等，都在线段 的垂直平分线上，两点确定一条直线； 的周长为 。 【考点分析】 第一问用垂直平分线的判定，两次使用“到线段两端距离相等的点在垂直平分线上”；第二问用垂直平分线的性质把 换成 。 【详细解析】 由作图可知 ，。（本步2分）到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以点 ， 都在线段 的垂直平分线上。（本步2分）两点确定一条直线，所以直线 是线段 的垂直平分线。（本步1分）点 在直线 上，所以 。（本步2分） 的周长为 。（本步2分）所以 的周长为 。（本步1分） 24. （12分）如图，在 中，，。 （1） 求证 是等边三角形。（4分） （2） 点 在边 上，以 为边作等边三角形 ，使点 与点 在直线 的两侧，连接 。求证 。（4分） （3） 在（2）的条件下，若 是等腰三角形，求 的度数。（4分） 【标准答案】 证明见解题过程；。 【考点分析】 第一问用等边对等角与内角和得到三个角都等于 ；第二问用等边三角形的边相等和 证 SAS；第三问不给分类提示，须先把 的三个角都用 表示出来，得到 、、，再按“等腰三角形有两个角相等”逐一讨论，其中 大于另两角，只能让另外两角相等。 【详细解析】 ，所以 。（本步2分）由内角和得 ，所以 ， 是等边三角形。（本步2分）由 是等边三角形得 。（本步1分）由 是等边三角形得 ，。（本步1分）因为 ，所以 ，，即 。（本步1分）在 和 中，，，，由 SAS 得 。（本步1分）设 。由 得 ，又 ，点 与点 在直线 的两侧，所以 。（本步1分）在 中，，所以 ；又 ，所以 。（本步1分）所以 。（本步1分）若 是等腰三角形，则其中有两个角相等。因为 ，所以 与 都小于 ，都不可能等于 ，只能是 ，解得 。所以 。（本步1分） 25. （14分）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 在 轴上。 （1） 在 轴上确定点 的位置，使 的值最小，并写出点 的坐标。（8分） （2） 说明你所确定的点 使 的值最小的理由。（6分） 【标准答案】 ；理由见解题过程。 【考点分析】 把 轴同侧的两点转化为异侧两点：作点 关于 轴的对称点 ，则 ，，问题变为两点之间线段最短；最小性用三角形两边之和大于第三边说明。 【详细解析】 点 关于 轴的对称点 的横坐标与点 相同，纵坐标与点 的纵坐标互为相反数，所以 。（本步2分）在图中描出点 ，连接 ， 与 轴的交点记为 ，点 就是使 的值最小的点。（本步3分）由图中网格读出点 的坐标为 。（本步3分）设 是 轴上任意一点，且 与 不重合。（本步1分）点 与点 关于 轴对称，点 在 轴上，所以 ；同理 。（本步1分）所以 ，。（本步1分）在 中，两边之和大于第三边，所以 。（本步1分）点 ，， 在同一条直线上，点 在线段 上，所以 。（本步1分）所以 ，即点 使 的值最小。（本步1分） 学科网（北京）股份有限公司 $