精品解析：福建莆田市城厢区莆田第五中学九华分校2026-2027学年上学期期中考试八年级数学试卷

莆田第五中学九华分校2026-2027学年上学期期中考试 八年级数学 试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶．下列四幅图形分别代表“立春”“芒种”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，画出边上的高，画法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 三角形的两条边长分别为和，则第三边的长可以为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长是（　　） A. B. C. D. 6. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（ ） A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③ 9. 如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题4分，共24分．） 11. 在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：______． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 13. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠B＝40°，∠D＝30°，则∠BED的度数是_____． 14. 如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 15. 如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______． 16. 如图，E是的中点，，，平分．下列结论：①是直角三角形；②；③；④，其中成立的是______________． 三、解答题（9道大题，共86分） 17. 尺规作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，E是的边上一点，请在上找一点F，连接，使得．若，，求的度数． （2）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔与两个城镇A、B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？ 18. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 19. 如图，在中，、分别是边上的中线和高，，．求和的长． 20. 在由单位正方形（每个小正方形边长都为）组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）请画出关于x轴对称的，关于y轴对称的． （2）求的面积． 21. 如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 22. 如图，中，的平分线上有一点，点恰好在线段的垂直平分线上，点在边上，，求证：点在线段的垂直平分线上． 23. 证明：等腰三角形两腰上的中线相等（要求：根据图形，写出已知，求证，并证明） 已知：如图所示，是等腰三角形，，__________，是边上的中线． 求证：__________ 证明： 24. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明． “”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中（已作）， （_________ ） （中点定义） （_________ ）， （2）探究得出的取值范围是_____； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，中，是的中线，，且，求的长． 25. 如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． （1）如图，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为 ． （2）如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第二象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第五中学九华分校2026-2027学年上学期期中考试 八年级数学 试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶．下列四幅图形分别代表“立春”“芒种”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，故A符合题意， B、C、D选项：观察图形，找不到任何一条直线，使图形沿该直线折叠后两边完全重合，因此不是轴对称图形．故B、C、D不符合题意， 故选：A． 2. 在中，画出边上的高，画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高线的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 观察各图形，选项A中不是高，选项B中是边上的高，选项D中不是高，均不符合题意， 而选项C中是边上的高，符合题意． 3. 三角形的两条边长分别为和，则第三边的长可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：设第三边的长为，根据题意得： ， 解得：， ∴第三边的长可以为． 故选：D 4. 如图，已知，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5. 如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行列式解答即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 故选：B 6. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点关于轴对称时，对称点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数． 【详解】解:∵点关于轴对称的坐标规律为横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，原点坐标为， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为，即对称点坐标为． 7. 如图，在中，，是角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等边对等角得，由等腰三角形三线合一性质得是中边上的高，推出，最后由可得答案．掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴是中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：A． 8. 在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（ ） A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图痕迹可知，图①作的是∠BAC的平分线，图②作的是CA=CD，图③作的是AC的垂直平分线，然后逐一判断即可解答． 【详解】解：图①：由题意得：AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°， ∵∠BAC=90°，AB≠AC， ∴∠B≠∠C≠45°， ∴∠C≠∠CAD， ∴△ACD不是等腰三角形，故①错误； 图②：由题意得： CA=CD， ∴△ACD是等腰三角形，故②正确； 图③：由题意得： 点D在AC的垂直平分线上， ∴DA=DC， ∴△ACD是等腰三角形，故③正确， 所以，上列作法中，正确的有：②③， 故选：A． 【点睛】本题考查了基本作图－解平分线、线段垂直平分线，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 9. 如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角坐标系和全等三角形的判定和性质，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，则，，即可利用证明，有和．结合点坐标得，，，可求得和即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标是， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选C． 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分．） 11. 在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：这样做的依据是：三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，首先分情况讨论腰长和底边长，依据三角形三边的关系验证能否构成三角形，再求三角形的周长． 【详解】解：当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 不能构成三角形； 当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 能构成三角形， 三角形的周长为． 故答案为：． 13. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠B＝40°，∠D＝30°，则∠BED的度数是_____． 【答案】70° 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出∠C的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】∵AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝30°， ∴∠C＝∠B＝40°． ∵∠BED是△CDE的外角， ∴∠BED＝∠C+∠D＝40°+30°＝70°． 故答案为70° 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质以及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 14. 如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，据此求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是上的中线， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴的面积是． 15. 如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】解： 是的垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 16. 如图，E是的中点，，，平分．下列结论：①是直角三角形；②；③；④，其中成立的是______________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】过E作于F，可得，证明，可得，；运用点E是的中点即可判断③是否正确；证明，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；运用即可判断①是否正确． 【详解】解：过E作于点F，如图， ∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴ 即， ∴是直角三角形，故①正确． 因此正确的有①②④． 三、解答题（9道大题，共86分） 17. 尺规作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，E是的边上一点，请在上找一点F，连接，使得．若，，求的度数． （2）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔与两个城镇A、B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？ 【答案】（1）如图所示： ． （2）如图所示： 【解析】 【分析】第小题，利用同位角相等，两直线平行作平行线；先借助三角形内角和求出，再利用平行线性质完成角度计算，将作图原理和角度计算结合考查． 第小题属于选址作图问题，是两个轨迹的综合：到角两边距离相等的点在角平分线上；到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，满足双重条件的点是两条轨迹的交点． 【小问1详解】 解：作图思路：作，同位角相等，两直线平行，，落在上． 图见答案 在中 （两直线平行，同位角相等）； 【小问2详解】 解：作图思路：作的角平分线（到、距离相等的点在角平分线上）； 作线段的垂直平分线（到、距离相等的点在线段垂直平分线上）； 两条线在区域内的交点，就是发射塔的位置． 图见答案 18. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】略 19. 如图，在中，、分别是边上的中线和高，，．求和的长． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高和中线，掌握相关定义是解题关键．根据高和三角形的面积，得出的长，再结合中线的定义，即可求出和的长． 【详解】解：是边上的高，，， ， ， 是边上的中线， ， ，． 20. 在由单位正方形（每个小正方形边长都为）组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）请画出关于x轴对称的，关于y轴对称的． （2）求的面积． 【答案】（1）如图所示： （2）． 【解析】 【分析】轴对称核心是坐标变换规律；格点三角形不方便直接用底乘高，优先用矩形割补法，用大矩形面积减去四周直角三角形面积． 【小问1详解】 解：图见答案 作图规则： 关于轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数：，，，依次连接得到； 关于轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数：，，，依次连接得到． 【小问2详解】 解：如图， ． 21. 如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵平分的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识，数形结合是关键，根据角平分线的定义，平行线的性质得到，结合等腰三角形的定义即可求解． 【详解】略 22. 如图，中，的平分线上有一点，点恰好在线段的垂直平分线上，点在边上，，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】 证明：∵平分 ∴ 又∵ ∴， ∴ 又∵点恰好在线段的垂直平分线上， ∴ ∴ ∴点在线段的垂直平分线上． 【解析】 【分析】先证明得出，根据垂直平分线的性质得出，则，根据垂直平分线的判定定理，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． 23. 证明：等腰三角形两腰上的中线相等（要求：根据图形，写出已知，求证，并证明） 已知：如图所示，是等腰三角形，，__________，是边上的中线． 求证：__________ 证明： 【答案】 解：已知：如图所示，是等腰三角形，，是边上的中线，是边上的中线． 求证：； 证明：在中，，，分别是腰，上的中线， ， 在和中， ， ， ， 即等腰三角形两腰上的中线相等． 【解析】 【分析】根据题目中的条件和的判定方法，可以证明，然后即可得到． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明． “”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中（已作）， （_________ ） （中点定义） （_________ ）， （2）探究得出的取值范围是_____； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，中，是的中线，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3）6 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据题干已知可得； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案． 【详解】证明：（1）延长到点，使 在和中，（已作） （对顶角相等） （中点定义） ， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴，则， 故，即， 故答案为：； （3）延长交的延长线于点，如图 ∵，， ∴ ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴ ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴． 25. 如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． （1）如图，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为 ． （2）如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第二象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 【答案】（1） （2）， 理由如下： 如图，延长交的延长线于点， 轴平分，， 是等腰三角形，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，证，得出，求出，即可得出答案； （2）延长交的延长线于点，先证是等腰三角形，得出，再证，得出，即可得出结论； （3）分两种情况：当B在x轴负半轴，C在y轴负半轴，A在第二象限时，当B在x轴负半轴，C在y正半轴，A在第二象限时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， 则， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 在和中， ， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， 点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当B在x轴负半轴，C在y轴负半轴，A在第二象限时，如图，过点作于点， 则， 轴， 四边形是长方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 当B在x轴负半轴，C在y正半轴，A在第二象限时，如图4，过点A作于点H， 则， ∵轴，， ∴四边形是长方形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质、同角的余角相等、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $