精品解析：福建省南平市武夷山市朱子中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

福建省南平市武夷山市朱子中学2025-2026学年上学期 八年级期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）． A. 2，3，6 B. 4，5，9 C. 3，5，6 D. 1，2，3 3. 如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 4. 如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于E，图中全等三角形有（　　） A. 3对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 5. 如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 两内角的平分线的交点处 B. 两边高线的交点处 C. 两边中线的交点处 D. 两边垂直平分线的交点处 6. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 把一块三角板和直尺如图所示放置，，则______． 8. 若等腰三角形的两边的边长分别为和，则第三边的长是____________. 9. 如果点和点关于直线（与轴平行且纵坐标等于2的直线）对称，那么_____． 10. 如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是_____（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 11. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 _____． 12. 当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．如果“倍角三角形”△ 中，且，那么的度数为_________． 三、解答：本大题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 14. 如图，点、、、在同一条直线上，已知，，，，求证：． 15. 如图，在中，，，，，求的长 16. 在中，AB边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O．的周长为． （1）求的长； （2）分别连接、、，若的周长为，求的长． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴成轴对称的图形，并写出的坐标为 ； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置，并写出点P的坐标； （3）请求出的面积为 ．（直接写出结果） 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 18. 如图，在中，过顶点的一条直线把分割成两个等腰三角形，且是其中一个等腰三角形的顶角． （1）当时，是多少度？说明理由； （2）当为中最小角时，请探究与之间的数量关系． 19. 在中，，在中，，平分交于点O， （1）如图（1），求证：． （2）如图（2），若E为上一点，且．求证：． 20. 在学习完角平分线的性质与判定后，老师布置了如下作业： 如图，点E是的中点，平分． ①如图1，若，求证：平分； ②如图2，若，求的长． （1）小明发现第①小题只需要作辅助线，用全等的知识即可完成证明．老师看了小明的做法，说道：用你的辅助线，如果要求不能利用全等，你能完成这一问题吗？请你帮小明按老师的要求完成证明． （2）请完成第②小题． 五、探究题：本题10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知：在中，为锐角，D是射线上一动点（D与C不重合）．以为一边向右侧作等边（C与E不重合），连接． （1）若为等边三角形，当点D在线段上时，（如图1所示），则直线与直线所夹锐角为 度； （2）若为等边三角形，当点D在线段的延长线上时（如图2所示），你在（1）中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）若不是等边三角形，且（如图3所示）．试探究当点D在线段上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当满足什么条件时，能使（1）中的结论成立？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省南平市武夷山市朱子中学2025-2026学年上学期 八年级期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）． A. 2，3，6 B. 4，5，9 C. 3，5，6 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 A、2+3=5＜6，不能组成三角形； B、4+5=9，不能组成三角形； C、5+3=8＞6，能够组成三角形； D、1+2=3，不能组成三角形． 故选C． 【点睛】本题考查三角形三边关系． 3. 如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4. 如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于E，图中全等三角形有（　　） A. 3对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据题目的意思，可以推出△ABE≌△CDF，△AOE≌△COF，△ABO≌△CDO，△BCO≌△DOA，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△ADE≌△CBF．再分别进行证明． 详解：①△ABE≌△CDF． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴AB=CD，∠ABE=∠CDF． ∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于E， ∴∠AEB=∠CFD， ∴△ABE≌△CDF； ②△AOE≌△COF． ∵AB∥CD，AD∥BC，AC为ABCD对角线， ∴OA=OC，∠EOA=∠FOC． ∵∠AEO=∠CFO， ∴△AOE≌△COF； ③△ABO≌△CDO． ∵AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O， ∴OD=OB，∠AOB=∠COD，OA=OC， ∴△ABO≌△CDO； ④△BOC≌△DOA． ∵AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O， ∴OD=OB，∠BOC=∠DOA，OC=OA， ∴△BOC≌△DOA； ⑤△ABC≌△CDA． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴BC=AD，DC=AB，∠ABC=∠CDA， ∴△ABC≌△CDA； ⑥△ABD≌△CDB． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC， ∴△ABD≌△CDA； ⑦△ADE≌△CBF． ∵AD=BC，DE=BF，AE=CF， ∴△DEC≌△BFA． 故选D． 点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS，ASA、HL．同时考查了平行四边形的性质，题目比较容易． 5. 如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 两内角的平分线的交点处 B. 两边高线的交点处 C. 两边中线的交点处 D. 两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查运用线段垂直平分线的性质来确定超市的位置，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴超市应建在两边垂直平分线的交点处， 故选：D． 6. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故①正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故②错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 把一块三角板和直尺如图所示放置，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等． 根据三角形的外角的性质证得：，再根据平行线的性质得到即可得到结论． 【详解】解：， 直尺的两对边平行， ， 故答案为：． 8. 若等腰三角形的两边的边长分别为和，则第三边的长是____________. 【答案】20 【解析】 【分析】题中没有指明哪边是底哪边是腰，故应该分两种情况进行分析求解． 【详解】①当20cm为底边时，第三边长为9cm，因为9+9＜20，故不能构成三角形； ②当9cm为底边时，第三边长为20cm，20﹣9＜20＜20+9，故能构成三角形． 故答案为20． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，注意最后利用三角形三边关系进行检验． 9. 如果点和点关于直线（与轴平行且纵坐标等于2的直线）对称，那么_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化对称，解决本题的关键是掌握对称的性质．直接根据坐标系中对称点的性质求解即可． 【详解】解：因为点和点关于直线对称， ， ， ， 故答案为：5． 10. 如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是_____（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．注意：判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可． 【详解】解：甲图中只有一边和一角与的对应边、角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 乙图中三角形的三边和三边对应相等，故可以根据判定该三角形和全等； 丙图中只有两角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 丁图中有三角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 故答案为：乙． 11. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形面积公式可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长，即当点、、在同一直线上，且时，的周长最小，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接，， ∵等腰三角形的底边长为4，点D为底边的中点， ∴，， ∵等腰三角形的面积是14， ∴，即， ∴， ∵腰的垂直平分线分别交，于点E、F， ∴， ∴的周长， ∴当点、、在同一直线上，且时，的周长最小，为， 即的周长的最小值为， 故答案为：． 12. 当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．如果“倍角三角形”△ 中，且，那么的度数为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．正确理解新定义是解决问题的关键．利用“倍角三角形”的定义得到或或或或，然后根据三角形内角和计算出各种情况下的的度数． 【详解】解：△为“倍角三角形”， 或或或或， 当，则，此时，符合题意； 当，则，此时，符合题意； 当，则，此时，不符合题意，舍去； 当，则，此时，不符合题意，舍去； 当，因为，即，解得，此时，符合题意， 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答：本大题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为．直角三角形两内角互余．根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 14. 如图，点、、、在同一条直线上，已知，，，，求证：． 【答案】 证明： ，即 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意可得，再利用即可证明结论． 【详解】略 15. 如图，在中，，，，，求的长 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质．先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定与性质可得，据此根据线段的和差即可得． 【详解】解：， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 即的长为． 16. 在中，AB边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O．的周长为． （1）求的长； （2）分别连接、、，若的周长为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后根据已知可得，再利用等量代换即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质可得，，再根据已知和（1）的结论可得，即可解答． 【小问1详解】 解：边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为； 【小问2详解】 解：如图： 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴成轴对称的图形，并写出的坐标为 ； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置，并写出点P的坐标； （3）请求出的面积为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）如图，△即为所求．由图可得，． （2） 如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求．由图可得，点的坐标为． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，即可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：△的面积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 18. 如图，在中，过顶点的一条直线把分割成两个等腰三角形，且是其中一个等腰三角形的顶角． （1）当时，是多少度？说明理由； （2）当为中最小角时，请探究与之间的数量关系． 【答案】（1） 解：， 理由：过作直线交于，则是等腰三角形． ∵为顶角， ∴， ∴，， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，注意同一个三角形中内角不能存在两个钝角． （1）过作直线交于．可以求出和的度数，从而求解； （2）先证出不能为另一等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵是其中一个等腰三角形的顶角， ∴， ∴， ∴， ∴必为钝角， ∵同一个三角形中内角不能存在两个钝角， ∴ 不能为顶角， ∴为等腰三角形的顶角， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 在中，，在中，，平分交于点O， （1）如图（1），求证：． （2）如图（2），若E为上一点，且．求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 证明：过点作于点， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）过点作于点，证明，得到，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在学习完角平分线的性质与判定后，老师布置了如下作业： 如图，点E是的中点，平分． ①如图1，若，求证：平分； ②如图2，若，求的长． （1）小明发现第①小题只需要作辅助线，用全等的知识即可完成证明．老师看了小明的做法，说道：用你的辅助线，如果要求不能利用全等，你能完成这一问题吗？请你帮小明按老师的要求完成证明． （2）请完成第②小题． 【答案】（1） 证明：过点作， ，， ，， ，，平分， ． 为的中点， ， ． 又，， 是的平分线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，推得，根据角平分线的判定定理即可证明； （2）在上截取，连接，判定△△，即可得出，，再判定△△，可得，进而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，在上截取，连接， 平分， ， 又， △△， ，， 又是的中点， ， ， ， ，， ， 又， △△， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的综合运用，角平分线的性质；解题的关键是作辅助线，灵活运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、解决． 五、探究题：本题10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知：在中，为锐角，D是射线上一动点（D与C不重合）．以为一边向右侧作等边（C与E不重合），连接． （1）若为等边三角形，当点D在线段上时，（如图1所示），则直线与直线所夹锐角为 度； （2）若为等边三角形，当点D在线段的延长线上时（如图2所示），你在（1）中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）若不是等边三角形，且（如图3所示）．试探究当点D在线段上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当满足什么条件时，能使（1）中的结论成立？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：仍然成立，直线与直线所夹锐角为，证明： 与都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ； （3） 解：问题（1）中结论不成立， 当不是等边三角形时，不能证明直线与直线所夹锐角为， 当时，能使直线与直线所夹锐角为， 证明： ①当时，在上截取一点，使得，连接（如图所示）， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ∴， ， ， ， 此时直线与直线所夹锐角为， ②当时，点与点重合，不符合题意． ③当时，延长到，在上截取一点，使得，连接（如图所示）． 同①可证． ， ， 此时直线与直线所夹锐角为． 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论是解题关键． （1）根据为等边三角形，为等边三角形，证出，进而得出，从而得出答案； （2）根据与都是等边三角形，得出，进而得出； （3）分别根据当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形，为等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， 直线与直线所夹锐角为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $