精品解析：云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2026-2027学年高二上学期10月期中考试数学试题

2026—2027学年（上）期中考试 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 6 2. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 内含 4. 如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（ ） A. 双曲线的左支 B. 两条射线 C. 双曲线的右支 D. 整个双曲线 5. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆C的上顶点为M，且，点P在椭圆C上，若，则的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 已知定义在R上的偶函数，当时，，若为奇函数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆的半径为2，则（ ） A. B. 当直线平分圆C的周长时， C. 点在圆C的内部 D. 直线被圆C截得的弦长为4 10. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，E为的中点，M为的中点，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 三棱锥的体积为 C. 圆柱的外接球的表面积为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 11. 加斯帕尔·蒙日是世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（） A. 椭圆的左焦点为 B. 椭圆的蒙日圆方程为 C. 若为正方形，则的边长为 D. 长方形的面积的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的离心率为________． 13. 方程有两实数解，则的取值范围是___________. 14. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为，则的离心率为______.过点的直线与交于，两点（均异于左、右顶点），若，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，且． （1）求； （2）设函数，求的值域和单调增区间． 16. 如图，已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，、、、分别是、、、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 17. 已知圆，点P是直线上的动点，过点P作圆O的切线，，切点分别为A，B． （1）当点P的坐标为时，求切线方程； （2）当取最大值时，求的外接圆方程． 18. 如图，多面体中，正方形的边长为2，，，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为的中点，，分别在，上，且平面平面，求的长. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1． （1）求的方程； （2）过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点． （i）若的面积是的面积的3倍，求的方程； （ii）设，，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年（上）期中考试 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】经过，两点的直线的方向向量为，得直线的斜率为，所以. 2. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，则， 且当时，斜率为，斜率为， 斜率乘积不为，两直线不垂直； 当时，斜率为，斜率为， 斜率乘积不为，两直线不垂直； 综上，. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【详解】由圆与圆可知，， ，，，所以两圆外切. 4. 如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（ ） A. 双曲线的左支 B. 两条射线 C. 双曲线的右支 D. 整个双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】先把根式理解为点到两个定点的距离，对比双曲线定义，判断距离差与两定点间距的大小，再根据差的正负判断是左支还是右支即可. 【详解】表示点到点的距离，表示点到点的距离. 由条件得，两定点，，所以. 因为，满足双曲线定义里距离之差为定值且小于焦距的条件，又，说明点到更远，对应双曲线的右支. 5. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，，，. 因为点  在  上，且 ， 所以 . 又因为  为  中点， 根据向量加法的平行四边形法则（或中点公式），可得 . 在  中，由向量减法的三角形法则可得：  . 6. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出向量与，再求出的单位方向向量，利用点到直线距离公式计算距离即可. 【详解】由题意，，，. ，，， 设，. 所以点到直线的距离 . 7. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆C的上顶点为M，且，点P在椭圆C上，若，则的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆上顶点到焦点的距离为长半轴长求出,再由焦距求出,进而得;然后由椭圆定义与余弦定理求出,最后用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的上顶点为,左焦点为,所以. 由得. 由得,所以. 设,,由椭圆定义得. 因为. 在中,由余弦定理得. 所以,即. 于是,从而. 所以. 8. 已知定义在R上的偶函数，当时，，若为奇函数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性得到对称性，再结合对称性得到函数的周期性，结合函数的奇偶性、对称性和周期性及已知条件求解函数值. 【详解】已知是定义在上的偶函数，故. 又是奇函数，对任意有， 且在处有定义，故. 将中的替换为，得, 结合偶函数性质，故. 再将替换为，得，进一步得， 即是周期为4的周期函数；当时，， 所以， 又因为时，，且，所以， 结合得到，即，， 所以时，. 由周期性可得. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆的半径为2，则（ ） A. B. 当直线平分圆C的周长时， C. 点在圆C的内部 D. 直线被圆C截得的弦长为4 【答案】AD 【解析】 【分析】A. 根据圆的标准方程得，可求解 ；B. 直线平分圆的周长，等价于直线经过圆心（直径平分周长），将圆心坐标代入直线方程即可求 ；C.计算点到圆心的距离，与半径比较；D.直线经过圆心，则直线截圆所得的弦为直径，弦长等于 . 【详解】选项A， ，故 ，由圆的标准方程得 ，A 正确； 选项B，直线平分圆周长 直线过圆心 ，得得 ，B 错误； 选项C，设点 ，圆心 ，，圆的半径，因为，即点到圆心的距离大于半径，因此点在圆外，C 错误； 选项D，因为圆心 的坐标满足，所以圆心在直线方程 上，因此直线截得的弦为圆的直径，故弦长为，D 正确. 10. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，E为的中点，M为的中点，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 三棱锥的体积为 C. 圆柱的外接球的表面积为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项：利用侧面积公式代入求解；B选项：利用体积公式，先找出高，再代入求解；C选项：利用圆柱外接球公式求出半径，代入面积公式求解；D选项：建立适当的空间直角坐标系，利用异面直线公式代入即可求解。 【详解】设圆柱底面半径为，高为， 由轴截面矩形，得，， 对于A：圆柱的侧面积为，故A错误； 对于B：点为弧的中点，则，易得， 则， 因平面，平面，则， 又因，，平面，则平面， 故，故B正确； 对于C：易得圆柱外接球的球心为的中点，则其半径， 其表面积，故C正确； 对于D：易得，，则异面直线与所成角即. 在直角三角形中，，则，故D错误. 11. 加斯帕尔·蒙日是世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（） A. 椭圆的左焦点为 B. 椭圆的蒙日圆方程为 C. 若为正方形，则的边长为 D. 长方形的面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项：利用椭圆中的关系求出，即可得到左焦点坐标；B选项：直接利用题干给出的“蒙日圆”方程公式计算即可；C选项：正方形是特殊的长方形，其四个顶点必定在蒙日圆上，正方形的对角线即为蒙日圆的直径，利用勾股定理求边长；D选项：由长方形对角线等于蒙日圆直径，得到长和宽的平方和为定值，利用基本不等式求面积的最大值. 【详解】已知椭圆，则. A选项：椭圆的半焦距，所以左焦点坐标为，故A正确； B选项：根据题意给出的蒙日圆方程公式，椭圆的蒙日圆方程为，故B正确； C选项：若长方形为正方形，由于长方形的四边均与椭圆相切， 根据蒙日圆定义，其四个顶点均在蒙日圆上.因此正方形的对角线长为蒙日圆的直径. 设正方形的边长为，则，解得，故C错误； D选项：设长方形的长和宽分别为. 由上述分析可知，长方形的对角线即为蒙日圆的直径，故. 长方形面积.由均值不等式可得，当且仅当（即正方形）时取等号. 所以长方形面积的最大值为，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得的值，结合离心率的公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可化为，可得， 所以，，所以双曲线的离心率为. 13. 方程有两实数解，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】方程有两实数解等价于与直线有两个交点，画出图象即可求解 【详解】方程有两实数解等价于与直线有两个交点. 画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线的图象有两个公共点，则的取值范围是 故答案为： 14. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为，则的离心率为______.过点的直线与交于，两点（均异于左、右顶点），若，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用斜率公式、结合椭圆的定义与余弦定理求解即可. 【详解】设，上下顶点坐标分别为和， 所以，得，且， 所以，离心率； 设，，则，， 因为，所以， 则， 整理为，得， 所以，，， 中，根据余弦定理. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，且． （1）求； （2）设函数，求的值域和单调增区间． 【答案】（1） （2）的值域为；单调递增区间． 【解析】 【分析】（1）利用结合的范围求解； （2）利用正弦函数的图象和性质求解. 【小问1详解】 ，, 又，． 【小问2详解】 由（1）得， , ． ，的值域为． 令，解得， 即的单调递增区间为． 16. 如图，已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，、、、分别是、、、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1）证明：因为，分别是，的中点， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 在直三棱柱中，且， 又因为，分别是，的中点， 所以且， 故四边形是平行四边形，从而. 因为平面，平面， 所以平面. 又，，平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）要证线面平行，可转化为面面平行：先证平面，平面，得平面平面，再由平面得证. （2）以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，用夹角公式求余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面. 又，即. 以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，， 于是，. 设平面的法向量为， 则，取，得，， 所以平面的一个法向量为. 易得平面的一个法向量为. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知圆，点P是直线上的动点，过点P作圆O的切线，，切点分别为A，B． （1）当点P的坐标为时，求切线方程； （2）当取最大值时，求的外接圆方程． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）先判断P在圆外，分斜率存在、斜率不存在两种情况设切线，利用圆心到切线距离=半径求解. （2）取最大值时，最小，此时是到直线的垂足，利用直角三角形外接圆性质求解. 【小问1详解】 当切线斜率k不存在时，切线方程为, 圆心到距离，是一条切线， 当切线斜率k存在时，设切线方程为， 即， 圆心到切线的距离等于半径5，即，解得， 所以切线方程为，整理得， 综上，切线方程为或． 【小问2详解】 是切线，，， ， 要让最大最小， 在直线 上，直线 时，最短, 取最大值，设此时， 直线 的斜率 ，所以的斜率 ， 方程：， 联立，解得， 则， 因为，是直角三角形，直角在点， 所以直角三角形外接圆圆心斜边中点，半径， ，其中点为，的外接圆圆心为， ，半径 ， 的外接圆方程为． 18. 如图，多面体中，正方形的边长为2，，，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为的中点，，分别在，上，且平面平面，求的长. 【答案】（1） 正方形中，, 又，平面, , 所以平面,又平面, 所以. 在中，，，, 则 , 则, 所以,即, 又平面, , 所以平面,又平面, 所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得所以平面,又平面, 所以；再利用余弦定理求得的长度，继而证明，再利用线面垂直的判定定理证得平面,继而可得. （2）以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，进一步计算即可. （3）设，，继而求得平面的法向量，利用平面平面，两平面的法向量平行，进一步计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则, 所以, 设平面的法向量， 则,即， 令，得， 则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 为的中点，则其坐标为， 又平面平面， 平面平面, 平面平面, 则, 设，,则， 所以, 设平面的法向量， 则,即， 令，得 则，又平面平面， 所以，则， 此时, 故. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1． （1）求的方程； （2）过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点． （i）若的面积是的面积的3倍，求的方程； （ii）设，，证明：为定值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）（i）设出直线的方程，由三角形面积关系用的斜率表示出点坐标并列出方程求解；（ii）联立直线的方程与的方程，利用韦达定理及共线向量的坐标表示列式计算得证. 【小问1详解】 由椭圆的左焦点为，得椭圆的半焦距， 由到上任意一点的距离最小值为1，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）得，直线的斜率存在，设其方程为，则， 由，得，而的面积是的面积的3倍， 则，由在线段上，得是线段的中点，于是， 又点在椭圆上，则，解得， 所以直线的方程为. （ii）由消去得， 设，则， 由，得，则，同理， 因此， 所以为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $