福建南平市2026-2027学年人教版数学八年级上册期中质量监测 数学(一)

南平市八年级（上）期中质量监测·数学（一） 本卷满分：150 分 考试时长：120 分钟 考查版本：人教版 （考试学生卷 · 闭卷测试） 一、选择题（共 10 题） 1. （4分）小明把一张纸对折剪出一个图案，展开后得到的图形是轴对称图形。下列三角形中，一定是轴对称图形的是（　　）。 A. 有两边相等的三角形 B. 有一个内角为 的三角形 C. 有一个内角为 的三角形 D. 三边互不相等的三角形 2. （4分）某桥梁钢架需用三根钢管焊接成一个三角形支架。下列长度的三根钢管（单位：）能焊成三角形支架的是（　　）。 A. B. C. D. 3. （4分）已知 ，，，，。下列结论中错误的是（　　）。 A. B. C. D. 4. （4分）一个正多边形的内角和比它的外角和多 ，则这个正多边形的每个外角的度数为（　　）。 A. B. C. D. 5. （4分）在 中，， 平分 交 于点 ，且 ，则 的度数为（　　）。 A. B. C. D. 6. （4分）在 中，点 在边 上，，点 是 的中点。若 的面积为 ，则 的面积为（　　）。 A. B. C. D. 7. （4分）如图，点 、、、 在同一条直线上，，。添加下列条件后，仍不能判定 的是（　　）。 A. B. C. D. 8. （4分）如图，在 中， 是 边上的中线，，。则 的长可能是（　　）。 A. B. C. D. 9. （4分）如图，点 在 的内部，，。点 、 分别在射线 、 上运动，则 周长的最小值是（　　）。 A. B. C. D. 10. （4分）如图，在 中，，，点 在边 上，。将 沿 折叠，点 落在 边上的点 处。则 的长为（　　）。 A. B. C. D. 二、填空题（共 6 题） 11. （4分）工人师傅安装窗框时，常在窗框上加钉一根木条，使窗框上出现三角形。这样做的数学道理是三角形的________。 12. （4分）在 中，，，则 的取值范围是________。 13. （4分）在 中，，则 的外角度数为________。 14. （4分）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是________。 15. （4分）在 中，，， 的垂直平分线交 于点 ，则 的度数为________。 16. （4分）等腰三角形的一个外角为 ，则它的顶角的度数为________。 三、解答题（共 9 题） 17. （8分）如图，在 中，，，点 在 的延长线上， 平分 。 （1） 求 的度数。（4分） （2） 求 的度数。（4分） 18. （8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 ， 的三个顶点都在格点上，直线 沿竖直方向且经过格点。 （1） 画出 关于直线 的对称图形 ，其中 、、 分别是 、、 的对应点。（4分） （2） 求对称前后两个三角形重叠部分的面积。（4分） 19. （8分）如图，在 中， 是 边上的高， 平分 交 于点 ，，，点 是 的中点。 （1） 求 的度数。（4分） （2） 连接 ，若 的面积为 ，求 的面积。（4分） 20. （8分）如图，已知 。 （1） 用无刻度的直尺和圆规作 的平分线 ，交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）。（3分） （2） 第（1）问作图时，以点 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 、 于点 、；再分别以 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧在 内部交于点 。由作图痕迹证明 平分 。（5分） 21. （8分）在 中，，点 是 的中点，连接 。 （1） 求证 。（4分） （2） 求证 。（4分） 22. （10分）如图，在 中，，点 在边 上，点 在边 上，且 ， 与 相交于点 。 （1） 求证 。（5分） （2） 求证 。（5分） 23. （10分）如图，在 中， 平分 交 于点 ， 于点 ， 于点 ， 交 于点 。 （1） 求证 。（4分） （2） 求证 垂直平分 。（6分） 24. （12分）如图，在 中，，点 在直线 上（不与点 、 重合），连接 ，且 。 （1） 当点 在线段 上时，求证 。（5分） （2） 若 是等腰三角形，求 所有可能的度数。（7分） 25. （14分）如图，在 中，，，点 是 的中点，连接 。将 沿 折叠，点 落在点 处，连接 。 （1） 求证 是等边三角形。（4分） （2） 求证 是等边三角形。（6分） （3） 求 的度数。（4分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市八年级（上）期中质量监测·数学（一） 本卷满分：150 分 考试时长：120 分钟 考查版本：人教版 （教师解析与考点分析版） 一、选择题（共 10 题） 1. （4分）小明把一张纸对折剪出一个图案，展开后得到的图形是轴对称图形。下列三角形中，一定是轴对称图形的是（　　）。 A. 有两边相等的三角形 B. 有一个内角为 的三角形 C. 有一个内角为 的三角形 D. 三边互不相等的三角形 【标准答案】 A。 【考点分析】 轴对称图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合。判断时必须考虑"一定是"，即对该类三角形都成立。 【详细解析】 选项 B：两直角边不相等的直角三角形，沿任何一条直线对折都不能完全重合，不是轴对称图形（本步1分）。 选项 C：三个内角分别为 、、 的三角形，三条边互不相等，没有对称轴（本步1分）。 选项 D：三边互不相等的三角形没有对称轴（本步1分）。 选项 A：有两边相等的三角形是等腰三角形，沿底边上的中线所在直线对折，两旁部分完全重合，是轴对称图形（本步1分）。 所以选 A。 2. （4分）某桥梁钢架需用三根钢管焊接成一个三角形支架。下列长度的三根钢管（单位：）能焊成三角形支架的是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 C。 【考点分析】 判断三条线段能否组成三角形，看两条较短线段的和是否大于第三条线段。 【详细解析】 A 中 ，不能组成三角形（本步1分）。 B 中 ，两条线段的和等于第三条线段，不能组成三角形（本步1分）。 D 中 ，不能组成三角形（本步1分）。 C 中 ，三条线段能组成三角形（本步1分）。 所以选 C。 3. （4分）已知 ，，，，。下列结论中错误的是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 D。 【考点分析】 全等三角形的对应边相等、对应角相等。按 的字母顺序，点 与点 、点 与点 、点 与点 分别对应。 【详细解析】 由对应关系得 ，所以 A 正确（本步1分）。 由对应关系得 ，所以 B 正确（本步1分）。 由对应关系得 ，所以 C 正确（本步1分）。 在 中 ，所以 ，D 错误（本步1分）。 所以选 D。 4. （4分）一个正多边形的内角和比它的外角和多 ，则这个正多边形的每个外角的度数为（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 A。 【考点分析】 先用"内角和比外角和多 "这一条件列方程求出边数，再用边数求每个外角。任意多边形的外角和都是 ，与边数无关，这是本题的第一个转化点。 【详细解析】 设这个正多边形的边数为 ，则它的内角和为 ，外角和为 （本步1分）。 由题意得 ，即 ，解得 （本步2分）。 每个外角为 （本步1分）。 所以选 A。 5. （4分）在 中，， 平分 交 于点 ，且 ，则 的度数为（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 A。 【考点分析】 所求的 与已知的 不在同一个三角形中，先用外角性质把 转化为 与 的和，求出 ；再由角平分线得到 ，最后用内角和求 。 【详细解析】 是 的外角，所以 （本步1分）。 所以 （本步1分）。 平分 ，所以 （本步1分）。 在 中，（本步1分）。 所以选 A。 6. （4分）在 中，点 在边 上，，点 是 的中点。若 的面积为 ，则 的面积为（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 C。 【考点分析】 与 的高都是点 到 的距离，面积比等于底 与 的比，先由这一关系求出 的面积；再用中线把 的面积平分，得到 的面积。 【详细解析】 ，所以 ，（本步1分）。 与 的高相同，所以 （本步1分）。 点 是 的中点， 与 的高相同，所以 （本步2分）。 所以选 C。 7. （4分）如图，点 、、、 在同一条直线上，，。添加下列条件后，仍不能判定 的是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 D。 【考点分析】 已有 与 ，其中 是 的一边、 是 的一边。判定全等时，两边及其中一边的对角对应相等不能作为依据。 【详细解析】 A 中 ，与 、 构成 SAS，能判定全等（本步1分）。 B 中 ，与 、 构成 ASA，能判定全等（本步1分）。 C 中 ，与 、 构成 AAS，能判定全等（本步1分）。 D 中 使两边及其中一边的对角对应相等，不能判定全等（本步1分）。 所以选 D。 8. （4分）如图，在 中， 是 边上的中线，，。则 的长可能是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 B。 【考点分析】 、、 三条线段不在同一个三角形中，不能直接用三边关系。须延长中线 到点 ，使 ，连接 ，先由 SAS 判定 ，把 转化为 ，再在 中用三边关系求出 的取值范围。 【详细解析】 延长 到点 ，使 ，连接 （本步1分）。 是 边上的中线，所以 ；又 （对顶角），，由 SAS 得 （本步1分）。 所以 （本步1分）。 在 中，，由三边关系得 ，即 （本步1分）。 四个选项中只有 满足 ，所以选 B。 9. （4分）如图，点 在 的内部，，。点 、 分别在射线 、 上运动，则 周长的最小值是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 B。 【考点分析】 、 的长都随点 、 的位置改变，不能直接求最小值。须作点 关于 、 的对称点 、，由轴对称把 换成 、把 换成 ，使 的周长变成折线 ——— 的长，再用两点之间线段最短。 【详细解析】 作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 （本步1分）。 由轴对称得 ，，所以 的周长 （本步1分）。 ，，所以 是等边三角形，（本步1分）。 ，当点 、 都落在线段 上时取等号，所以最小值为 （本步1分）。 所以选 B。 10. （4分）如图，在 中，，，点 在边 上，。将 沿 折叠，点 落在 边上的点 处。则 的长为（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 B。 【考点分析】 折叠是轴对称变换，折叠前后的两个三角形全等；含 角的直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半。 【详细解析】 折叠后 ，（本步1分）。 点 、、 在同一条直线上，所以 （本步1分）。 在 中，，所以 （本步1分）。 所以 （本步1分）。 所以选 B。 二、填空题（共 6 题） 11. （4分）工人师傅安装窗框时，常在窗框上加钉一根木条，使窗框上出现三角形。这样做的数学道理是三角形的________。 【标准答案】 稳定性。 【考点分析】 三角形三条边的长度确定后，三角形的形状和大小就确定，这一性质叫三角形的稳定性。 【详细解析】 加钉的木条与窗框的两边组成三角形，三角形的三边确定后形状不再改变（本步2分）。 所以这样做的数学道理是三角形的稳定性（本步2分）。 12. （4分）在 中，，，则 的取值范围是________。 【标准答案】 。 【考点分析】 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【详细解析】 由三角形三边关系得 （本步2分）。 所以 （本步2分）。 13. （4分）在 中，，则 的外角度数为________。 【标准答案】 。 【考点分析】 用设未知数的方法表示三个内角，由内角和求出 ，再由邻补角求外角。 【详细解析】 设 ，则 ，解得 ，（本步2分）。 的外角为 （本步2分）。 14. （4分）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是________。 【标准答案】 。 【考点分析】 关于 轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。 【详细解析】 点 关于 轴对称的点，纵坐标不变，仍为 ；横坐标变为相反数 （本步2分）。 所以所求点的坐标是 （本步2分）。 15. （4分）在 中，，， 的垂直平分线交 于点 ，则 的度数为________。 【标准答案】 。 【考点分析】 垂直平分线的性质把 转化为 ，得到等腰三角形，再求底角。 【详细解析】 点 在 的垂直平分线上，所以 ，（本步2分）。 ，所以 （本步1分）。 所以 （本步1分）。 16. （4分）等腰三角形的一个外角为 ，则它的顶角的度数为________。 【标准答案】 或 。 【考点分析】 题中没有指明这个外角在顶角处还是在底角处，须分两种情况。先由邻补角求出与它相邻的内角，再由等腰三角形的两个底角相等求顶角。 【详细解析】 若这个外角在顶角处，则顶角为 ，此时两个底角都是 ，符合题意（本步2分）。 若这个外角在底角处，则底角为 ，顶角为 ，此时两个底角都是 ，符合题意（本步2分）。 所以顶角的度数为 或 。 三、解答题（共 9 题） 17. （8分）如图，在 中，，，点 在 的延长线上， 平分 。 （1） 求 的度数。（4分） （2） 求 的度数。（4分） 【标准答案】 ；。 【考点分析】 先用三角形内角和求 ，再用邻补角求 ，最后用角平分线的定义求 。 【详细解析】 在 中，（本步1分）。 所以 （本步3分）。 点 在 的延长线上，所以 ，（本步2分）。 平分 ，所以 （本步2分）。 18. （8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 ， 的三个顶点都在格点上，直线 沿竖直方向且经过格点。 （1） 画出 关于直线 的对称图形 ，其中 、、 分别是 、、 的对应点。（4分） （2） 求对称前后两个三角形重叠部分的面积。（4分） 【标准答案】 所作图形略；重叠部分的面积为 。 【考点分析】 画关于一条直线对称的图形时，先读出各顶点到对称轴的距离，再在对称轴的另一侧按相同距离取对应点。求重叠部分的面积时，先由网格确定重叠部分的形状，再读出它的底和高。 【详细解析】 点 、 到直线 的距离都是 个小正方形的边长（本步1分）。 点 到直线 的距离是 个小正方形的边长（本步1分）。 在直线 的另一侧取点 、、，使 、、 都垂直于 ，且 到 的距离为 、 到 的距离为 、 到 的距离为 （本步1分）。 依次连接 、、，所得 即为所求（本步1分）。 对称前后两个三角形重叠部分是 ，其中点 是 与 的交点（本步1分）。 点 、、、 在同一条网格线上，点 与点 到直线 的距离都是 ，所以 （本步1分）。 由轴对称得点 在直线 上，且 与网格线的夹角为 ，所以点 到 的距离等于点 到 的距离，为 （本步1分）。 所以重叠部分的面积为 （本步1分）。 19. （8分）如图，在 中， 是 边上的高， 平分 交 于点 ，，，点 是 的中点。 （1） 求 的度数。（4分） （2） 连接 ，若 的面积为 ，求 的面积。（4分） 【标准答案】 ； 的面积为 。 【考点分析】 第 1 问先用高的定义得 ，用内角和求 ；再由 平分 求 ，两角相减得 。第 2 问中 是 的中点， 把 分成两个等底同高的三角形，须先把 的面积转化为 的面积的 倍。 【详细解析】 是 边上的高，所以 （本步1分）。 在 中，（本步1分）。 在 中，， 平分 ，所以 （本步1分）。 射线 在 的内部，所以 （本步1分）。 点 是 的中点，所以 ， 与 等底同高，（本步2分）。 所以 （本步2分）。 20. （8分）如图，已知 。 （1） 用无刻度的直尺和圆规作 的平分线 ，交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）。（3分） （2） 第（1）问作图时，以点 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 、 于点 、；再分别以 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧在 内部交于点 。由作图痕迹证明 平分 。（5分） 【标准答案】 作图痕迹保留，射线 即为所求；证明见解题过程。 【考点分析】 尺规作角平分线的痕迹给出两组相等的线段：以点 为圆心的同一条弧使 ，以 、 为圆心、同一长度为半径的两条弧使 。再加上公共边 ，可用 SSS 判定 ，由全等得对应角相等。 【详细解析】 以点 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 、 于点 、（本步1分）。 分别以点 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧在 内部交于点 ，作射线 交 于点 ，射线 即为所求（本步2分）。 由作图得 ，（本步2分）。 在 和 中，，，（公共边），由 SSS 得 （本步2分）。 所以 ，即射线 平分 （本步1分）。 21. （8分）在 中，，点 是 的中点，连接 。 （1） 求证 。（4分） （2） 求证 。（4分） 【标准答案】 证明见解题过程。 【考点分析】 两个三角形有公共边 ，又有 、，可用 SSS 判定全等；由全等得对应角相等，再由平角求直角。 【详细解析】 在 和 中，，（点 是 的中点），（公共边）（本步3分）。 由 SSS 得 （本步1分）。 由 得 （本步2分）。 点 、、 在同一条直线上，所以 ，，即 （本步2分）。 22. （10分）如图，在 中，，点 在边 上，点 在边 上，且 ， 与 相交于点 。 （1） 求证 。（5分） （2） 求证 。（5分） 【标准答案】 证明见解题过程。 【考点分析】 由 得两个底角相等，与 、公共边 构成 SAS；全等后得 ，再用等角对等边。 【详细解析】 ，所以 （本步1分）。 （本步1分）。 （公共边）（本步1分）。 由 SAS 得 （本步2分）。 由 得 （本步2分）。 在 中，，由等角对等边得 （本步3分）。 23. （10分）如图，在 中， 平分 交 于点 ， 于点 ， 于点 ， 交 于点 。 （1） 求证 。（4分） （2） 求证 垂直平分 。（6分） 【标准答案】 证明见解题过程。 【考点分析】 两个直角三角形有公共斜边 ，又有一组锐角相等，可用 AAS 判定全等；再证第二对三角形全等，得到 且 。 【详细解析】 平分 ，所以 （本步1分）。 ，，所以 （本步1分）。 （公共边）（本步1分）。 由 AAS 得 ，所以 （本步1分）。 由 得 （本步1分）。 ，（公共边），由 SAS 得 （本步2分）。 所以 ，（本步2分）。 点 、、 在同一条直线上，所以 ，，即 ，又 ，所以 垂直平分 （本步1分）。 24. （12分）如图，在 中，，点 在直线 上（不与点 、 重合），连接 ，且 。 （1） 当点 在线段 上时，求证 。（5分） （2） 若 是等腰三角形，求 所有可能的度数。（7分） 【标准答案】 证明见解题过程；、 或 。 【考点分析】 第 1 问由 得 ，再用三角形的外角性质。第 2 问有两处没有指明： 中哪两条边相等，以及点 在直线 上的位置。点 在线段 上时， 就是 ；点 在 的延长线上时， 与 互补。两种位置下的角关系不同，须分别讨论，并剔除使三角形的内角不为正的情形。 【详细解析】 ，所以 （本步2分）。 是 的外角，所以 （本步2分）。 所以 （本步1分）。 设 ，由 得 。点 不可能在 的反向延长线上：否则 ，由 得 ，这两个角的和已不小于 ，与内角和矛盾（本步1分）。 当点 在线段 上时，，由第 1 问得 ，所以 。若 ，则 ，即 ，得 ，不合题意；若 ，则 ，即 ，得 ；若 ，则 ，即 ，得 （本步3分）。 当点 在 的延长线上时（点 在 、 之间），，，所以 。若 ，则 ，即 ，得 ，不合题意；若 ，则 ，即 ，得 ，此时 ，不合题意；若 ，则 ，即 ，得 （本步2分）。 所以 、 或 （本步1分）。 25. （14分）如图，在 中，，，点 是 的中点，连接 。将 沿 折叠，点 落在点 处，连接 。 （1） 求证 是等边三角形。（4分） （2） 求证 是等边三角形。（6分） （3） 求 的度数。（4分） 【标准答案】 证明见解题过程；。 【考点分析】 第 1 问用" 角所对的直角边等于斜边的一半"把 写成 ，与 比较得到等腰，再加 角。第 2 问用折叠得 与 ，由平角得 。第 3 问先用等边三角形把 转化为 ，再用等腰三角形的底角求角。 【详细解析】 ，，所以 （本步1分）。 在 中，，所以 （本步1分）。 点 是 的中点，所以 ，（本步1分）。 又 ，所以 是等边三角形（本步1分）。 由 是等边三角形得 （本步1分）。 所以 ，在 中 （本步1分）。 折叠后 ，（本步2分）。 点 、、 在同一条直线上，所以 （本步1分）。 （点 是 的中点），所以 ，又 ，所以 是等边三角形（本步1分）。 由 是等边三角形得 ，由第 1 问得 ，所以 （本步1分）。 由 是等边三角形得 ，折叠后 ，所以 （本步2分）。 在 中，，所以 （本步1分）。 学科网（北京）股份有限公司 $