精品解析：广东广州南方学院番禺附属中学2026-2027学年第一学期高一年级10月月考数学试卷

广州南方学院番禺附属中学 2026~2027学年第一学期高一年级10月月考 请把答案写在答题卡上，时间：120分钟，满分：150 一、单选题（每题5分，满分40分） 1. 已知集合，，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的基本运算即可解决. 【详解】由，可知 . 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“” 的否定是“”. 3. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法表示全集，再利用补集的定义进行求解即可 【详解】，所以 4. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，故. 6. 若为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当时，则，在该不等式的两边同时除以得，即“”“”， 当时，不妨取，此时，即“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 7. 如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 8. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 二、多选题（每题全对6分，部分对给部分分，有错选项0分，满分18分） 9. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】， 则，，则AB正确. 10. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若命题，则的否定为： B. 若，则 C. D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定可判断A；根据不等式的性质可判断B；利用二次函数的值域即可判断C；由命题所含范围的包含关系即可推断D. 【详解】对于A，若命题，则的否定为：，故A正确； 对于B，若，则，即，故B错误； 对于C，因为， 所以为真命题，故C正确； 对于D，因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集确定，是方程的两根，由韦达定理得到，再由基本不等式逐项判断即可. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得，且是方程的两根， 则，，解得． 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，结合B，有，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（每题5分，满分15分） 12. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． 13. 若“”是假命题，则实数的取值范围是___________.（用集合表示） 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为命题“，”是真命题，即恒成立，故可求解实数的取值范围. 【详解】若“，”是假命题，则“，”是真命题， 所以，对恒成立，所以，得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【解析】 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 四、解答题(5题共77分，要有必要的答题书写过程) 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并运算即可求解； （2）利用集合的交并补运算即可求解； 【小问1详解】 易知，又， 所以，. 【小问2详解】 已知全集，易知或，， 因此或. 16. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】（1） （2），宣传单的面积最小，最小的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【小问1详解】 由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. 【小问2详解】 设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 17. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据是的子集可得为方程的根，进而结合韦达定理求解即可； （2）结合题设分、中只有1个元素、中有2个元素讨论求解即可. 【小问1详解】 ， 因为是的子集，所以为方程的根， 则，解得. 【小问2详解】 由，是的子集， 当时，，解得，此时满足题意； 当中只有1个元素时，，解得， 此时，满足题意； 当中有2个元素时，由（1）知，，此时. 综上所述，实数的取值范围为或. 18. 已知函数（）. （1）当时，解不等式； （2）当时，解不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）代入参数，因式分解二次不等式，利用开口方向直接写出解集； （2）先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【小问1详解】 当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知集合， （1）求证：任何奇数都是中的元素； （2）判断偶数是否为的元素？请说明理由； （3）求证：属于的两个元素之积仍属于； （4）试求中第个正整数． 【答案】（1）设任意奇数为，则， 其中，故，即任何奇数都是中的元素. （2）不是中的元素，理由如下： 假设，则存在，使得， 因式分解得：，由于与奇偶性相同： 若二者均为奇数，则乘积为奇数，与右边为偶数矛盾； 若二者均为偶数，则乘积为4的倍数，而右边仅能被2整除，矛盾， 故假设不成立，. （3）设，则存在，使得， 则， 由于，故，即属于的两个元素之积仍属于. （4）2701 【解析】 【分析】（1）由奇数可表示为，即可证明； （2）分析集合中元素的特征，即可判断； （3）不妨设，则存在，使得，根据整式乘法即可证明； （4）由（1）（2）可知，每4个连续正整数中有3个属于，从而计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 由（1）（2）可知，集合中的正整数为所有正奇数和所有能被4整除的正偶数， 每4个连续正整数中有3个属于，而，，，故中第2026个正整数为2701. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州南方学院番禺附属中学 2026~2027学年第一学期高一年级10月月考 请把答案写在答题卡上，时间：120分钟，满分：150 一、单选题（每题5分，满分40分） 1. 已知集合，，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（ ） A. B. 3 C. D. 4 8. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题（每题全对6分，部分对给部分分，有错选项0分，满分18分） 9. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 10. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若命题，则的否定为： B. 若，则 C. D. “”是“”的必要不充分条件 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 三、填空题（每题5分，满分15分） 12. 不等式的解集是___________． 13. 若“”是假命题，则实数的取值范围是___________.（用集合表示） 14. 已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 四、解答题(5题共77分，要有必要的答题书写过程) 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 16. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 17. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 18. 已知函数（）. （1）当时，解不等式； （2）当时，解不等式. 19. 已知集合， （1）求证：任何奇数都是中的元素； （2）判断偶数是否为的元素？请说明理由； （3）求证：属于的两个元素之积仍属于； （4）试求中第个正整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $