专题04 角的平分线（期中重难点复习）2026-2027学年人教版八年级上学期数学期中考试重难点专题训练

专题04 角的平分线（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 作角平分线(尺规作图)】 1 【题型2 角平分线的性质定理】 5 【题型3 角平分线的判定定理】 9 【题型4 角平分线性质的实际应用】 12 【题型1 】 1．如图，中，，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一的长为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，于H，，则的面积为（     ） A．7 B．9 C．10 D．18 2．下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述作法的依据是（        ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，交于点D，点E在边上，，连接，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 4．如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于E、F两点：再分别以E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线交于点H．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 5．如图，中，，利用圆规在、上分别截取、，使，分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G．若，，P为上一动点，则取最小值时的长是（     ） A．0 B．1 C． D．4 6．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为_______________． 7．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是________． 8．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 9．如图，在中，．请用无刻度直尺和圆规作的平分线，与边交于点D．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 10．如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的前提下，连接，若是的中点，求证：是的平分线． 11．如图，在中，，，， (1)在边上求作一点P，使得P到边的距离等于P到AB的距离（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长 12．如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为__________． ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)得出的理论依据是__________（填序号）． ①；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等． (3)过点作于点，若，，，求的长． 【题型2 】 13．如图，射线平分，于点C，点D是上的一个动点，连接．若，则线段最短为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 14．如图，点E是上一点，，，平分，平分．若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 15．如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．如图，在中，，平分交于点，于点，点在上，点在上，，平分，下列结论中：①；②若，则；③射线上有两个点到三边距离相等；④；⑤若，的面积为，的周长为，则的面积为．其中说法正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 17．如图，E是的中点，，，平分．下列结论：①是直角三角形；②；③；④，其中成立的是______________． 18．如图，在Rt中，，高线和的平分线交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是__________（只填写序号） 19．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______． 20．如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为_______． 21．如图，在中，平分交于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 22．如图，分别平分，相交于点P，过点P作，，，垂足分别为、． (1)求证：点在的平分线上； (2)若，，，，则的面积为______． 23．如图，平分，，，垂足分别为点，，． (1)求证：； (2)如果，，直接写出___________（用含的代数式表示） 24．【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法 (1)如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据________证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 (2)如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 (3)如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为____________．（直接写出） 【题型3 】 25．两个完全一样的三角板按如图所示摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（     ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．的平分线上 26．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（     ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 27．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则①平分；②；③；④．则正确结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 28．如图，在中，，是上一点，，，垂足分别为，，，连接，则的度数为___________； 29．如图，在和中，，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的有_______ ． 30．已知：如图，在中，，是上一点，于，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 31．如图，，，E是边中点，平分． (1)求证：平分； (2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明． 32．已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点． (1)如图1．若，则___________； (2)如图1．求证：； (3)如图2，连接，求证：平分． 33．如图，的外角的角平分线与内角的角平分线交于点E，点F在边的延长线上，的延长线交边的延长线于点D，过点E作于点H． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，，，且，求的面积． 【题型4 】 34．如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 35．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 36．如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有________． 37．在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 38．已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 角的平分线（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 作角平分线(尺规作图)】 1 【题型2 角平分线的性质定理】 11 【题型3 角平分线的判定定理】 25 【题型4 角平分线性质的实际应用】 35 【题型1 】 1．如图，中，，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一的长为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，于H，，则的面积为（     ） A．7 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】作于M，先利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算出，，最后根据，即可得出结果． 【详解】解：作于M，如图， 由题干作图过程得平分， 而，， ∴， ∴，， ∴． 2．下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述作法的依据是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据尺规作图痕迹可得，，结合公共边，利用判定三角形全等． 【详解】解：由作图步骤可知，． 在和中， ，，， ． ． 依据为． 3．如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，交于点D，点E在边上，，连接，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】由作图可得平分，因此，从而证明，得到，再将的周长转化为即可解答． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于E、F两点：再分别以E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线交于点H．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得：平分，所以，再结合，得，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后用平角的定义直接求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 5．如图，中，，利用圆规在、上分别截取、，使，分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G．若，，P为上一动点，则取最小值时的长是（     ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】过点G作于点H，由作图方法可知，平分，则，证明，得到，则，再由垂线段最短可得，当时，有最小值，此时点P与点H重合，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H， 由作图方法可知，平分， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时点P与点H重合， ∴取最小值时的长是1． 6．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为_______________． 【答案】2 【分析】过点F作于点H，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点F作于点H， 由题意知平分，， 即点F到的距离为2． 7．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是________． 【答案】 /63度 【分析】利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解： 由作图可知，平分 ∴． 8．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 9．如图，在中，．请用无刻度直尺和圆规作的平分线，与边交于点D．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示即为所作， 【分析】以点为圆心适当长度为半径画弧，交、于点、，分别以点、为圆心大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点． 【详解】略 10．如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的前提下，连接，若是的中点，求证：是的平分线． 【答案】(1) (2)如图，过点E作于点F， 则， 由作图知，是的平分线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 【分析】（1）按照用尺规作角平分线的方法完成即可； （2）过点E作于点F，由角平分线的性质定理得，再由中点得，由角平分线的判定即可证明． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 11．如图，在中，，，， (1)在边上求作一点P，使得P到边的距离等于P到AB的距离（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长 【答案】(1)解∶如图，点P即为所求． (2) 【分析】（1）作的角平分线，交于点，点即为所求； （2）设，由角平分线性质得；利用大三角形面积拆分为两个小三角形面积，列方程求解． 【详解】（1）作图：略； （2）解：过点作于． 平分，（），， ． 设，则，． ， ． 12．如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为__________． ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)得出的理论依据是__________（填序号）． ①；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等． (3)过点作于点，若，，，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)． 【分析】（1）根据作角平分线的顺序进行判断，即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据角平分线的性质可得，进而根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接，． 由作图得，，， 又∵， ， ， ∴得出的理论依据是①； （3）解：如图所示，过点作于点． ，，， ． ， ∴， ， 解得． 【题型2 】 13．如图，射线平分，于点C，点D是上的一个动点，连接．若，则线段最短为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】过点P作于点E，由角平分线的性质得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点E， ∵射线平分，，， ∴， ∵点D是上的一个动点，且垂线段最短， ∴， ∴线段最短为4． 14．如图，点E是上一点，，，平分，平分．若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】C 【分析】利用角平分线的性质定理，过点作的垂线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出，进而求解． 【详解】解：过点作于点 平分 平分 ． 15．如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式求出的长，结合角平分线的性质求解． 【详解】解：过点作于点， ，， ， ， 是的角平分线，，， ， 点到的距离是4． 故选：． 16．如图，在中，，平分交于点，于点，点在上，点在上，，平分，下列结论中：①；②若，则；③射线上有两个点到三边距离相等；④；⑤若，的面积为，的周长为，则的面积为．其中说法正确的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】利用角平分线的性质、全等三角形判定与性质、三角形内心与旁心定义、三角形面积公式，逐个验证五个结论的对错，统计正确结论数量选出答案． 【详解】解：平分，，， ，故①正确． ，，， （）， ． 平分， ， ． 如图，作于点， 平分，， ， ， 平分． 若， ，，， ，， ，，，， ，故②错误． 到，，距离相等，在射线上，的三条角平分线的交点也在射线上，且到三边的距离相等， 射线上有两个点到三边距离相等，故③正确． ， ， ，故④正确． ，到三边距离均为， ， ． ， ， ，⑤正确． 综上，①③④⑤正确，共4个． 17．如图，E是的中点，，，平分．下列结论：①是直角三角形；②；③；④，其中成立的是______________． 【答案】①②④ 【分析】过E作于F，可得，证明，可得，；运用点E是的中点即可判断③是否正确；证明，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；运用即可判断①是否正确． 【详解】解：过E作于点F，如图， ∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴ 即， ∴是直角三角形，故①正确． 因此正确的有①②④． 18．如图，在Rt中，，高线和的平分线交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是__________（只填写序号） 【答案】 ①②④ 【分析】利用角的平分线定义和三角形内角和定理、对顶角相等判断①，用角平分线的性质判断②，用证明，利用全等的性质判断③和④． 【详解】解：平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ，故①正确； 过点E作交于点H，如下图所示， 平分，，， ， ，， ，故②正确； ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， 无法判断，故③错误，④正确， 综上所述，正确的是①②④． 19．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【分析】根据角平分线的性质得到，可判定①；根据证明，可判断②；证明得到，，结合，，可判断③；由得到，结合以及线段的和差可判断④． 【详解】解：为的角平分线，，， ，故①正确； 在和中， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ，， ，，且， ，故③不正确； ， ， ， ，故④正确． 20．如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为_______． 【答案】2 【分析】根据是的中线，可得的面积是面积的两倍，再利用的面积求出，然后根据角平分线的性质得． 【详解】解：∵的面积为，是的中线， ∴的面积为4， ∵，的长为， ∴， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴． 21．如图，在中，平分交于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：平分，，， ． (2)8 【分析】（1）直接利用角平分线上的点到角两边距离相等证明即可； （2）由（1）得到，再用三角形面积公式计算的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 即的面积为． 22．如图，分别平分，相交于点P，过点P作，，，垂足分别为、． (1)求证：点在的平分线上； (2)若，，，，则的面积为______． 【答案】(1)证明：∵分别平分， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴点在的平分线上． (2) 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得，再根据角平分线的判定定理证明即可； （2）连接，利用割补法计算的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知，， ， ． 23．如图，平分，，，垂足分别为点，，． (1)求证：； (2)如果，，直接写出___________（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明：∵ 平分，，， ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ． (2) 【分析】（1）先利用角平分线的性质得到，结合条件，用 证明与全等，得到对应边． （2）先利用 证明与全等，得到，再代入、以及，整理求出． 【详解】（1）略． （2）解：∵ 平分，， ∴ ， 在和中 ∴ ∴ ， ∵ ，， ∴ ． 由（1）可知 ， ∴ ． ∴ ． 24．【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法 (1)如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据________证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 (2)如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 (3)如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为____________．（直接写出） 【答案】(1) (2) (3)， 证明：如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴； (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据垂直的性质得到，再利用证明即可； （2）延长交于点，由（1）可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （3）延长与交于点，利用证明，得到，由（1）可知：，则有，即可得出结论； （4）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（3）中的方法可证，得到，由（1）可知：，则有，即可得出结论． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 故根据证明，则． （2）延长交于点， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴； （3）略 （4）线段与的数量关系为． 如图4，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（3）中的方法可得， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴． 【题型3 】 25．两个完全一样的三角板按如图所示摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（     ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．的平分线上 【答案】B 【详解】解：两个完全一样的三角板，三角板的一条直角边分别与的边重合， ∴点M到的距离相等， ∴点M一定在的平分线上 26．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（     ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 【答案】B 【分析】在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，根据角平分线判定推出即可． 【详解】解：∵于点，于点，， ∴点在的平分线上． 但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上． 27．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则①平分；②；③；④．则正确结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】过点P作于点D，由角平分线的性质得到，则由角平分线的判定定理可判断①；证明，得到，，同理可证明，则，可证明，据此可判断②；根据三角形外角的性质可证明，，据此可判断③；由全等三角形的性质可判断④． 【详解】解：如图所示，过点P作于点D， ∵、的角平分线、交于点，，，， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； ∵， ， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 28．如图，在中，，是上一点，，，垂足分别为，，，连接，则的度数为___________； 【答案】/度 【分析】根据角平分线的判定定理即可求解． 【详解】解：，，，， ． 29．如图，在和中，，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的有_______ ． 【答案】①② 【分析】证明，得到，故①正确；由三角形的外角性质可证明，故②正确；作于点G，于点H，证明，得到，则平分，假设，则可证明，推出，与矛盾，故③错误；根据现有条件不可以证明平分，故④错误． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 由三角形的外角性质得：， ∴，故②正确； 作于点G，于点H，如图所示， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴，与矛盾，故③错误； 根据现有条件不可以证明平分，故④错误； 综上所述，正确的有①②． 30．已知：如图，在中，，是上一点，于，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ，， 点在的平分线上， 即平分； (2)． 【分析】（1）根据角平分线的判定即可证明； （2）利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求解． 【详解】（1）略； （2）解：在中，，， ， 平分， ． 31．如图，，，E是边中点，平分． (1)求证：平分； (2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明． 【答案】(1)证明：如图，过点E作于点F ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵E是边中点 ∴ ∴ ∵， ∴平分； (2)解：，理由如下： ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）过点E作于点F，由平行线的性质得到，然后利用角平分线的性质定理得到，等量代换得到，然后利用角平分线的判定定理证明； （2）证明，得到，证明，得到，然后等量代换证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 32．已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点． (1)如图1．若，则___________； (2)如图1．求证：； (3)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (3)证明：如图，过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，计算即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （3）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ∴ ； （2）略； （3）略． 33．如图，的外角的角平分线与内角的角平分线交于点E，点F在边的延长线上，的延长线交边的延长线于点D，过点E作于点H． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 又点在的内部，，， 平分； (2) (3)26 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （2）由为的角平分线，为的角平分线，可得，，再由，，可得，，再求解即可； （3）设，再根据求得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ，， ． （3）解：由（1）已得：， 设， ， ， ， ， ． 【题型4 】 34．如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理即可作答． 【详解】解：由题意得，平分， ∵， ∴． 35．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 36．如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有________． 【答案】②③④ 【分析】根据直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的平分线性质进行求解判断即可． 【详解】解：，，， ， 又∵， ， 从现有条件无法得出， 无法得出， 故①错误； ， ， ， ， 故②正确； 平分， 点到，的距离相等，都设为， ， 故③正确． 在和中， ， ， 故④正确； 综上：正确的是②③④． 37．在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的性质可得，在中，与的度数，再根据“三角形内角和为”求得的度数． （2）过点作两条分别垂直于、的辅助线后，由“角平分线上的点到角的两边距离相等”推导即可． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ． （2）解：过点作于，于， 平分，，， ， 平分，，， ， ． 38．已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 【答案】(1) (2) ①画图步骤： 步骤一：过点作，交于点； 步骤二：以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 步骤三：连接，交于点，线段即为所求的关于点的“好线”． 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 即点是的中点； ②如图：线段即为所求． 画图步骤： 步骤一：作点关于点的对称点，连接； 步骤二：过点作，交于点；过点作，交于点； 步骤三：连接，，线段即为所求的关于点的“好线”． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，结合平行线的性质构造全等三角形是解题的关键． （1）根据定义得出，过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得，即可求解； （2）①结合小明的思路，构造，使其与全等，结合平行线的性质和全等三角形的判定和性质即可证明； ②根据全等三角形的判定的定理可得出，，根据全等三角形的性质得出，，，推得，即点、、三点共线，即可证明． 【详解】（1）解：∵为关于点的“好线”， ∴点是的中点， 即， 过点分别作于点，于点，如图： ∵点在的平分线上，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （2）①略 ②略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $