专题02 三角形的内角与外角2026-2027学年人教版八年级上学期数学期中考试
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内容正文：
专题02 三角形的内角与外角（期中重难点复习）
【新教材人教版八年级上册】
题型归纳
【题型1 三角形内角和定理的证明】 1
【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 6
【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 14
【题型4 三角形折叠中的角度问题】 23
【题型5 三角形内角和定理的应用】 27
【题型6 直角三角形的两个锐角互余】 33
【题型7 三角形的外角的定义及性质】 45
【题型1 】
1．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将三角形三个内角拼在一起，若顶点重合、相邻边重合且组成平角，则验证了内角和为．
【详解】解：验证三角形内角和，需将三个内角拼在一起组成平角，
∵平角等于，
∴ 正确的拼法应使三个角的顶点重合，相邻边重合，且三个角之和构成平角，
A选项拼法中角未紧密拼接，错误，该选项不符合题意；
B选项拼法中边未重合，错误，该选项不符合题意；
C选项拼法中角未构成平角，错误，该选项不符合题意；
D选项拼法中三个角顶点重合，相邻边重合，构成平角，正确，该选项符合题意．
2．下面是某位同学证明“三角形内角和为”的方法．
证明：延长到，过点作．
∴．
∵，
∴．
①平行线的性质，②平角的定义，③等量代换，这三个依据中用到的有（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【详解】解：由得出，依据是平行线的性质，即①
由，依据是平角的定义，即②
由代入得出，依据是等量代换，即③，
综上，用到的依据有①②③
3．如图，直线，直线AB交，于D，B两点，交直线于点C．若，则__________．
【答案】110°/110度
【分析】利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC的度数，再利用平行线的性质可得∠3的度数，再根据邻补角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示：
∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，
∵∠1=20°，
∴∠ADC=180°-90°-20°=70°，
∵，
∴∠3=∠ADC=70°，
∴∠2=180°-70°=110°，
故答案为：110°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角定理，垂直的定义，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
4．证明三角形内角和定理：三角形三个内角和等于．
已知：如图，．求证：．
【答案】
证明：过点作直线
∵
∴，
∵
∴
即．
【分析】过点作直线，根据平行线的性质即可证明．
【详解】略
5．数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程．
如图①，的三个内角分别为，，．将和撕下，按图②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与重合，的一边与重合．
理由：由操作可知，
所以______________（________）．
同理，．
所以______________．（________）．
因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点，，在同一直线上，
所以______．
即_______+_______=_______．
【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；；
【分析】根据平行线的判定和性质，平角的定义作答即可．
【详解】略
6．数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明．
(1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明；
(2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明；
【答案】(1)证明：如图，过点A作，
则，．(两直线平行，内错角相等）
∵点，，在同一条直线上，
∴．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为．
(2)∵，
∴，
∵，
∴
∴
，
．
【分析】（1）如图，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为．
（2）根据平行线的性质，将三个内角转化为，根据平角的定义，即可得证；
【详解】（1）证明：略．
（2）推理说明：略．
【题型2 】
7．如图，直线，，．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点B作，利用平行线的判定和性质，求解即可；
【详解】解：过点B作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，．
∴，
，
∴；
8．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质及垂直定义可得，结合及平行线性质求出，进而判断①②；利用角平分线及三角形内角和定理求出，即可判断③；通过已证结论即可判断④．
【详解】解：，，
，即，故①正确；
，
，
，
，
，
，即，，
，
，
，故②正确；
平分，
，
在中，，故③正确；
∵，若平分，则需，
但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误；
综上所述，正确的结论有①②③，共3个．
9．如图，中，，若，，则________
【答案】
【分析】由平行得出，再结合三角形内角和定理求解．
【详解】解：，，
，
，，
．
10．小华将一副三角板（和）按如图所示的方式摆放，其中，，，，则的度数为_____．
【答案】
【分析】设与交于点，根据平行线的性质可得，则．
【详解】解：如图，设与交于点，
由题意得，，，
，
，
．
11．如图，从点观测处、处的仰角分别为，，从处观测处的仰角为，则从处观测，两处的视角是多少度？
【答案】
【分析】两直线平行，内错角相等，先求出的度数，再利用平角定义求出的度数，最后用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：如下图所示，
，
，
，
，
，
．
12．如图，，．
(1)证明：；
(2)若，平分，直接写出的度数．
【答案】(1)证明：，
，
，
，
；
(2)
【分析】（1）根据平行线性质推出，再结合题意进行等量代换推出，进而即可证明；
（2）利用角平分线定义求出，进而得到，再根据求解，即可解题．
【详解】（1）略
（2）解：平分，
，
，
结合（1）可知，
，
．
13．如图1，已知直线与直线平行，两个相同的直角三角尺和摆放在与之间，其中，，点E在直线上，边在直线上，点G，P，F，N在同一条直线上．
(1)请猜想的度数，并说明理由．
(2)将绕点E以每秒的速度逆时针旋转并记为，设运动时间为t秒（）．
①如图2，固定不动，当与的其中一边平行时，求t的值．
②如图3，点Q在边上，连结，使平分．在旋转的同时，也绕点M以每秒的速度顺时针旋转并记为．当与的其中一边平行时，请直接写出t的值．
【答案】(1)解：，理由如下：
过点F作，如图
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)①t的值为或30或60；②t的值为20，30，50
【分析】（1）过点F作，先推导出，求出，再根据平行线的判定与性质进行求解即可；
（2）①由题意，得到，分类讨论：第一种情况：当时，第二种情况：当时，第三种情况：当时，逐个分析求解即可；
②分类讨论：第一种情况：当时，第二种情况：当时，第三种情况：当时，逐个分析求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：①由题意，得
，
第一种情况：当时，如图
∴，
即，
解得；
第二种情况：当时，如图
此时点在直线上，
∴，
解得，
第三种情况：当时，如图
∵，
∴，即此时点在直线上，
∴，
即
解得，
综上所述，当与的其中一边平行时，t的值为或30或60；
②第一种情况：当时，如图，延长交直线于点I，令与直线的交点为H，
由题意，得
，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得；
第二种情况：当时，如图，延长交直线于点K，
同理可得，
∵，
∵，，
∴，
∴，
解得；
第三种情况：当时，如图，延长交直线于点L，
同理可得，，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为20，30，50．
【题型3 】
14．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线定义求，利用直角三角形两锐角互余求，作差即可．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴
∵是边上的高
∴
∵
∴
∴
15．如图，在中，和的角平分线相交于点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，，和的角平分线相交于点
∴，
∴．
16．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，与相交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可得，结合角平分线的定义求出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
17．如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为________．
【答案】
130
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线定义得出的度数，再利用三角形内角和定理计算．
【详解】解： ，
，
、分别平分、 ，
，
，
．
18．如图，在中，平分，交于点，，。点在线段内部，过作，交直线于点，则______________．
【答案】
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据直角三角形两个锐角互余求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
19．如图，在中，，，平分，求的度数．
【答案】
【分析】利用三角形的内角和定理求解，结合角平分线可得，进一步求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
20．新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“倍角三角形”．
(1)在中，若，，则_________，为“_____倍角三角形”．
(2)如图，在中，，，的角平分线相交于点．
①求的度数．
②若为“倍角三角形”，请求出的度数．
【答案】(1)；
(2)①；②的度数为或
【分析】（1）利用三角形的内角和为，求出的大小，再根据题意比较最大最小角判断即可；
（2）①利用角平分线的性质和三角形的内角和运算求解即可；
②分类讨论或，结合三角形内角和运算即可．
【详解】（1）解：在中，，，
则，
∴最小，最大，且，
∴为“倍角三角形”，
（2）①∵，
∴，
∵、的角平分线相交于点，
∴，
∴，
∴；
②∵为“倍角三角形”，
∴或，
当时，，
当时，，则，
综上所述，的度数为或．
21．如果两个角的差等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．
(1)已知和互为“伙伴角”，，且和互补，求的度数；
(2)在中，，是角平分线．
①如图，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数．
②如图，过点作的平行线，射线平分，且与射线交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数．
【答案】(1)
(2)①或；②或
【分析】（1）根据“伙伴角”定义列出两角差的等式，再结合互补的条件联立二元一次方程组，求解的度数；
（2）①利用三角形内角和定理，结合角平分线表示相关角；再根据伙伴角定义分两种情况列方程求出，回代计算；
②设，利用平行线性质、角平分线表示与，由伙伴角定义得到的两种情况；结合三角形内角和定理分别列方程求解，得到度数．
【详解】（1）解：和互为“伙伴角”，，
，
和互补，
，
联立得：，
解得：；
（2）解：①，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
与互为“伙伴角”，
或，
或，
或，
或；
②设，
，，
，
平分，
，
，，
，
平分，
，
与互为“伙伴角”，
或，
当时，
，
，
解得：；
当时，
，
，
解得：，
综上所述，或．
22．如图①，在中，与的平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求与的数量关系；
(3)如图②，作外角，的角平分线交于点，求与的数量关系，并根据你的发现直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）由三角形内角和定理可得，结合角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果；
（2）由三角形内角和定理可得，结合角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果；
（3）由三角形内角和定理可得，表示出，结合角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
∵与的平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∵与的平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：在中，，
∵，，
∴，
∵作外角，的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，
由（2）可得，
∴．
【题型4 】
23．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据折叠性质得出 ，，利用平角定义表示出 与 的关系，结合三角形内角和定理求解．
【详解】解： 将三角形纸片 沿 折叠，点 落在点 处，
，，
， ，
，
，
，
，
．
24．如图，在三角形纸片中，D，E分别是边上的点，将三角形纸片沿折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据折叠的性质确定，的角度，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴．
25．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则______．
【答案】/205度
【分析】首先由折叠的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：如图，
由折叠得，，
∴，
∴．
26．如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为________．
【答案】/118度
【分析】在中利用三角形内角和定理可求出的度数，由折叠的性质，可知：，，结合的度数可求出的度数，在中利用三角形内角和定理可求出的度数，再由即可求出结论．
【详解】解：中，，，
∴．
由折叠可知：，，
∴，
∴，
∴．
27．解答以下问题
(1)如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则___________；
(2)如图2，在中，，剪去后成为四边形，则___________；
(3)若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)解：，理由如下：
由图知，，
由折叠可知，，
，
，
，
．
【分析】（1）根据邻角互补得到，再结合三角形内角和求解，即可解题；
（2）根据邻角互补得到，再结合三角形内角和求解，即可解题；
（3）根据邻角互补得到，再结合折叠性质与三角形内角和求解，即可解题；
【详解】（1）解：如图，，
为直角三角形，，
，
，
；
（2）解：如图，，
，，
，
，
；
（3）解：，理由见答案．
【题型5 】
28．下列条件中，能确定是直角三角形的是（ ）
A．与都是锐角 B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合三角形内角和为，根据各选项中角的数量关系判断是否存在直角．
【详解】解：∵，
对选项A，∵，均为锐角，
∴可能为锐角、直角或钝角，不能确定是直角三角形；
对选项B，设，则，，
∵，
∴，
∴，不是直角三角形；
对选项C，∵，
∴，
∴，可确定是直角三角形；
对选项D，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，无法确定其余两角是否为直角，不能确定是直角三角形．
29．如图，在中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
30．将一副直角三角板（和）按如图所示方式叠放在一起，，边与在一条直线上，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形内角和定理求出和的度数，再根据对顶角相等求解即可．
【详解】解：
边与在一条直线上
如图，
在中，
与是对顶角
．
31．在中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（ ）
A．或或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】当为直角三角形时，分两种情况：或，根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：情况1：当时，如图所示，
，
．
情况2：当时，如图所示，
，
，
又，
．
综上所述，或．
32．如图，在中，，的两条内角平分线交于点P，则的度数为______．
【答案】133
【分析】首先根据三角形内角和定理解得，再根据三角形角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵为的两条内角平分线，
∴，
∴，
∴．
33．如图，有、、三个小岛，在的北偏东，岛在岛的南偏西，岛在岛的南偏西方向，那么的度数为______度．
【答案】
【分析】利用为正北方向、为正南方向，把题面的三个方位角分别转化为、与，再用角的和差求出、，最后由三角形内角和求．
【详解】解：表示正北方向，表示正南方向（如图）．
岛在岛的北偏东方向，
．
岛在岛的南偏西方向，
岛在岛的北偏东方向，即，
，．
岛在岛的南偏西方向，
．
又，
．
在中，，
．
34．如图，，，，则的度数为________．
【答案】/度
【详解】解：延长，交于，设与交于点，
，，
，
，，
，
，
，
．
35．在中，．
(1)分别求、的度数；
(2)请按边对进行分类，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)是不等边三角形，
理由：因为互不相等，
所以的三边互不相等，
因此是不等边三角形．
【分析】（1）根据题中条件设，，利用三角形内角和算出的值，即可求出两个角的度数；
（2）根据三个内角都不相等，判断这个三角形是不等边三角形．
【详解】（1）解：设，
由，
得，
解得．
所以，．
（2）略
36．已知是的角平分线，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据角平分线的性质计算即可；
【详解】（1），，
；
（2）是的角平分线，
．
37．如图，在中，，点在边上，点在上，．求证：是直角三角形．
【答案】证明：∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
【分析】根据题意得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】略．
38．如图，，是的两条高．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据角之间的关系可以求出，即可求出，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数；
（2）根据三角形的面积公式可得，即可求出的长．
【详解】（1）解：是的高，，
，
，
，
，
是的高，
；
（2）解：，是的两条高，
，
即，
．
【题型6 】
39．如图，中，，平分，交于点，若，为上一动点，则最小时与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】过点作于，根据直角三角形的两个锐角互余得到得出，根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，此时．
【详解】解：如图，过点作于，
，
，
，
，
根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，此时．
40．如果直角三角形的两个锐角的度数分别是，，则的值为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
【答案】A
【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质列等式，消去y后求解x．
【详解】解：∵直角三角形两锐角和为，
∴，
合并同类项得，
解得．
41．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平角的定义可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：．
【详解】解：如下图所示，在中，，，
，
，
，
，
，
，
．
42．如图，在四边形中，于点，于点，平分交于点，，为上方一点，连接、，点、分别是，延长线上的点．则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．与是内错角 D．
【答案】D
【分析】由，判定；由等角的余角相等得；由内错角的定义得到与为内错角；不一定等于，因此不一定等于．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴，
故A正确，不符合题意；
B、∵，
，
∵，
∴，
故B正确，不符合题意；
C、与为内错角，
故C正确，不符合题意；
D、∵，
∴，
若，则，
∵平分，
∴，
，
∵，
∴，
但不一定是，
∴不一定等于，
故D错误，符合题意．
43．如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是___________．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据角之间的关系即可求出的度数.
【详解】解：在中，，，
，
平分，
，
，
，
，
.
44．将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______．
【答案】或或
【分析】根据直角三角形的性质求出，，分三种情况分析：当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据平行线的判定和性质得出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出．
【详解】解：根据题意可得，，，
当直线与直线垂直时， 与的交点为点，如图所示，
则，
∴，
∴；
当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示，
则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示，
则，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或．
45．如图，在中，是的高，点在边上，过点作于点，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．正确的是__________．（填出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】根据垂直的定义和平行线的判定定理可判断①；根据平行线的性质和同角的余角相等可判断②；根据角平分线的定义和已知条件可判断③；根据直角三角形的两锐角互余和平行线的性质可判断④.
【详解】解：∵是的高， ，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，故②正确；
若平分，则，
∴， 题目未给出，故③错误；
在中，，
∵，
∴，故④正确；
综上可知，正确的是：①②④．
46．如图，，平分交于点，，，分别是延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为________．
【答案】
【分析】先由邻补角求出，再由角平分线定义得出，结合，求出，最后在中，由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图所示：
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
在中，．
47．如图，在中，于点，平分交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中由三角形内角和为可得，由角平分线可得，由可得与互余，进而求出的度数；
（2）设，，，根据题意表示出，，，再利用三角形内角和定理建立方程，解出的值即可．
【详解】（1）解：∵在中，，
又∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：设，，，
∵，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵,
∴，
在中，，
∴，
即，
整理得，
解得．
即．
48．如图，垂直于点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求证：是直角三角形．
【答案】(1)．
理由如下：∵，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
(2)证明：∵，
∴
∴
∵
∴
∴是直角三角形．
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可；
（2）根据锐角互余的三角形是直角三角形证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
49．综合探究
(1)如图1，在中，，，于点，平分，则__________；
【拓展提问】
(2)若将条件“，”改为（），其余条件不变，求的度数；
【拓展变式】
(3)如图2，在中，平分，在的延长线上任取一点，过点作于点．直接写出的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）利用三角形内角和定理可得，利用角平分线的定义可得，利用垂直的定义及直角三角形两锐角互余可得，再根据角的和差关系即可求解；
（）同理（）解答即可；
（）过点作于点，同理（）可得，再根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
∵平分，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
【题型7 】
50．如图，在中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可得出答案．
【详解】解：∵是的一个外角，，，
∴．
51．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和与外角性质解答．
【详解】解：是的一个外角，
，
平分，
，
是的一个外角，
，
．
52．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论正确的有（ ）个
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形外角的性质及三角形内角和定理，分别推导各结论中的角度关系进行判断．
【详解】解： 平分，
，
是 的外角，
，
，
是 的外角 ，
，
，
，故②正确 ;
在 的延长线上 ，
，
，
，故③正确 ;
设 与 交于 ，
，
，
，
，
，
，故④正确；
，
，
，
，
若 ，则 ，题目未给此条件，故①错误 ;
综上所述，正确的结论有3个.
53．如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③，其中正确的为（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③．
【详解】解：平分，，
，
，
，
∴，故①正确；
平分，
，
，
，即，
，
，
，
，故②正确；
平分，
，
又，
，故③正确．
54．如图，点D是线段延长线上的点，，，则的度数为________．
【答案】
/度
【分析】利用三角形外角的性质得出，结合已知条件建立方程求解即可．
【详解】解： 是的外角，
，
，，
，
，
，
．
55．如图，在中，平分，交于点，于点．若，，则的度数是________．
【答案】
【分析】根据垂直的定义和直角三角形两锐角互余求得，然后根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
56．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知，的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为倍角三角形，则__________．
【答案】或
【分析】由平分,平分，推出，由是倍角三角形，分情况讨论出的度数，再由平分得到，结合平分推出，从而求得的度数．
【详解】解：平分,平分，
，，
是倍角三角形，
当时，,
当时，．
，
．
平分,
,
又，
,
,
或．
57．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)求证．
【答案】(1)的度数为
(2)证明：∵是的外角，
∴．
∵平分，
∴．
∴，
又∵是的外角，
∴．
将代入得，，
∴，
∴．
【分析】（1）先由外角性质得，代入、，算出；再根据平分，由角平分线定义得，计算得；
（2）先由的外角得，结合角平分线性质得；再由的外角得，将其代入前式整理，即可证得．
【详解】（1）解：∵是的外角，
∴．
∵，，
∴，
∵平分，
∴．
∴；
（2）略
58．如图，在中，，，是的外角的角平分线，求的度数．
【答案】
【分析】先结合，根据三角形外角性质算出，再结合进行角平分线的定义，即可作答．
【详解】解：∵在中，，，
，
是的外角的角平分线，
．
59．已知点在线段上，点和点在线段同侧，且：
(1)如图1，，则__________；
(2)如图2，分别作、的角平分线并交于点，求的度数；
【答案】(1)70
(2)
【分析】（1）根据三角形的内角和计算即可；
（2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理及三角形外角的定义解题即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，点在线段上，
∴．
（2）解：如图，设与的交点为M，与的交点为N，
∵，分别平分，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∵，点在线段上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，．
60．我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”．
概念理解：如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合）
(1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
(2)若，求证：是“和谐三角形”．
(3)应用拓展：如图2，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取点F，使，．若是“和谐三角形”，求的度数．
【答案】(1)，是
(2)证明：∵，，，
∴，
∴，即，
∴是“和谐三角形”．
(3)或
【分析】（1）先得出，再根据三角形的内角和定理即可得的度数，然后根据“和谐三角形”的定义即可得；
（2）先求出的度数，再根据“和谐三角形”的定义即可得证；
（3）设，先得出，，进而可得和的度数，再根据“和谐三角形”的定义建立方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴是“和谐三角形”．
（2）略．
（3）解：设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴在中，，，
∵是“和谐三角形”，
∴或，
∴或，
解得或，
即的度数为或．
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专题02 三角形的内角与外角（期中重难点复习）
【新教材人教版八年级上册】
题型归纳
【题型1 三角形内角和定理的证明】 1
【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 3
【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 6
【题型4 三角形折叠中的角度问题】 9
【题型5 三角形内角和定理的应用】 10
【题型6 直角三角形的两个锐角互余】 12
【题型7 三角形的外角的定义及性质】 15
【题型1 】
1．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下面是某位同学证明“三角形内角和为”的方法．
证明：延长到，过点作．
∴．
∵，
∴．
①平行线的性质，②平角的定义，③等量代换，这三个依据中用到的有（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3．如图，直线，直线AB交，于D，B两点，交直线于点C．若，则__________．
4．证明三角形内角和定理：三角形三个内角和等于．
已知：如图，．求证：．
5．数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程．
如图①，的三个内角分别为，，．将和撕下，按图②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与重合，的一边与重合．
理由：由操作可知，
所以______________（________）．
同理，．
所以______________．（________）．
因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点，，在同一直线上，
所以______．
即_______+_______=_______．
6．数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明．
(1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明；
(2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明；
【题型2 】
7．如图，直线，，．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，中，，若，，则________
10．小华将一副三角板（和）按如图所示的方式摆放，其中，，，，则的度数为_____．
11．如图，从点观测处、处的仰角分别为，，从处观测处的仰角为，则从处观测，两处的视角是多少度？
12．如图，，．
(1)证明：；
(2)若，平分，直接写出的度数．
13．如图1，已知直线与直线平行，两个相同的直角三角尺和摆放在与之间，其中，，点E在直线上，边在直线上，点G，P，F，N在同一条直线上．
(1)请猜想的度数，并说明理由．
(2)将绕点E以每秒的速度逆时针旋转并记为，设运动时间为t秒（）．
①如图2，固定不动，当与的其中一边平行时，求t的值．
②如图3，点Q在边上，连结，使平分．在旋转的同时，也绕点M以每秒的速度顺时针旋转并记为．当与的其中一边平行时，请直接写出t的值．
【题型3 】
14．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在中，和的角平分线相交于点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，与相交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为________．
18．如图，在中，平分，交于点，，。点在线段内部，过作，交直线于点，则______________．
19．如图，在中，，，平分，求的度数．
20．新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍（为大于的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“倍角三角形”．
(1)在中，若，，则_________，为“_____倍角三角形”．
(2)如图，在中，，，的角平分线相交于点．
①求的度数．
②若为“倍角三角形”，请求出的度数．
21．如果两个角的差等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．
(1)已知和互为“伙伴角”，，且和互补，求的度数；
(2)在中，，是角平分线．
①如图，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数．
②如图，过点作的平行线，射线平分，且与射线交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数．
22．如图①，在中，与的平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求与的数量关系；
(3)如图②，作外角，的角平分线交于点，求与的数量关系，并根据你的发现直接写出与之间的数量关系．
【题型4 】
23．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
24．如图，在三角形纸片中，D，E分别是边上的点，将三角形纸片沿折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则______．
26．如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为________．
27．解答以下问题
(1)如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则___________；
(2)如图2，在中，，剪去后成为四边形，则___________；
(3)若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
【题型5 】
28．下列条件中，能确定是直角三角形的是（ ）
A．与都是锐角 B．
C． D．
29．如图，在中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
30．将一副直角三角板（和）按如图所示方式叠放在一起，，边与在一条直线上，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
31．在中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（ ）
A．或或 B．或 C．或 D．或
32．如图，在中，，的两条内角平分线交于点P，则的度数为______．
33．如图，有、、三个小岛，在的北偏东，岛在岛的南偏西，岛在岛的南偏西方向，那么的度数为______度．
34．如图，，，，则的度数为________．
35．在中，．
(1)分别求、的度数；
(2)请按边对进行分类，并说明理由．
36．已知是的角平分线，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
37．如图，在中，，点在边上，点在上，．求证：是直角三角形．
38．如图，，是的两条高．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，，求的长．
【题型6 】
39．如图，中，，平分，交于点，若，为上一动点，则最小时与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
40．如果直角三角形的两个锐角的度数分别是，，则的值为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
41．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
42．如图，在四边形中，于点，于点，平分交于点，，为上方一点，连接、，点、分别是，延长线上的点．则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．与是内错角 D．
43．如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是___________．
44．将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______．
45．如图，在中，是的高，点在边上，过点作于点，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．正确的是__________．（填出所有正确结论的序号）
46．如图，，平分交于点，，，分别是延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为________．
47．如图，在中，于点，平分交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数．
48．如图，垂直于点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求证：是直角三角形．
49．综合探究
(1)如图1，在中，，，于点，平分，则__________；
【拓展提问】
(2)若将条件“，”改为（），其余条件不变，求的度数；
【拓展变式】
(3)如图2，在中，平分，在的延长线上任取一点，过点作于点．直接写出的数量关系．
【题型7 】
50．如图，在中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
51．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
52．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论正确的有（ ）个
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
53．如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③，其中正确的为（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
54．如图，点D是线段延长线上的点，，，则的度数为________．
55．如图，在中，平分，交于点，于点．若，，则的度数是________．
56．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知，的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为倍角三角形，则__________．
57．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)求证．
58．如图，在中，，，是的外角的角平分线，求的度数．
59．已知点在线段上，点和点在线段同侧，且：
(1)如图1，，则__________；
(2)如图2，分别作、的角平分线并交于点，求的度数；
60．我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”．
概念理解：如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合）
(1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
(2)若，求证：是“和谐三角形”．
(3)应用拓展：如图2，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取点F，使，．若是“和谐三角形”，求的度数．
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