专题03 有理数的乘法与除法（期中重难点复习）2026-2027学年人教版七年级上学期数学期中考试重难点专题训练

专题03 有理数的乘法与除法（期中重难点复习） 【新教材人教版七年级上册】 题型归纳 【题型1 两个有理数的乘法运算】 1 【题型2 多个有理数的乘法运算】 5 【题型3 有理数乘法的实际应用】 7 【题型4 倒数】 11 【题型5 有理数乘法运算律】 14 【题型6 有理数的除法运算及应用】 17 【题型7 有理数乘除混合运算】 24 【题型8 有理数四则混合运算】 28 【题型9 有理数四则混合运算的实际应用】 35 【题型10 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 42 【题型1 】 1．在验光时，验光师经常会以“”的方式记录近视情况，例如：将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．通常，近视超过200度要持续佩戴眼镜进行视力矫正，现有6位同学的验光记录如下，则有（   ）位同学需要持续佩戴眼镜． ，，，，，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，得近视度数，转化为近视度数，解答即可． 【详解】解：∵近视50度记录为“”，∴近视度数， ∴，度数为度，，度数为度， ，度数为度，，度数为度， ，度数为度，，度数为度， 综上所述，超过200度的同学有2位． 2．若，，且满足，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】由得、同号，结合绝对值的取值分情况计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，． ∵ ， ∴ 、同号． 当，时，； 当，时，． 综上，的值为或． 3．有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】由数轴可知，且，根据有理数的运算法则逐一判断． 【详解】解：由数轴可知，且， ∴①正确； ②，故②错误； ③∵，，∴，故③错误； ④∵，，且， ∴，故④正确． 综上，正确的有①④． 4．，则的整数部分是________，的小数部分是________． 【答案】 【分析】各加数均接近整数8，采用凑整法将加数转化为整数与小数的差，可大幅简化计算，再结合整数部分、小数部分的定义求解． 【详解】解：∵ ∵ ∵ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴的整数部分为，小数部分为 5．规定：，则__________． 【答案】19 【详解】解：由题意得，． 6．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）化简去括号，按照有理数的加减混合运算计算即可； （2）先去绝对值，再按照有理数的加减混合运算计算即可； （3）先按照有理数的乘法法则计算，再按照有理数的减法法则计算； （4）先按照有理数的乘法法则计算，再按照有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 7．对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”，并按照此运算写出了一些式子：，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_______，异号得_______，并把绝对值_______． (2)根据法则计算：_______；_______； 【答案】(1)正，负，相加 (2)， 【分析】（1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据“乘加法”运算法则，计算出结果即可． 【详解】（1）解：“乘加法”法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相加． （2）解：， ． 【题型2 】 8．下列乘积的结果，符号为正的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先排除含因数0的选项，再根据负因数个数的奇偶性判断剩余选项乘积的符号． 【详解】解：选项A，，不符合题意； 选项B、D，算式均含3个负因数，乘积为负，不符合题意； 选项C，算式含2个负因数，乘积为正，符合题意． 9．下列说法中，正确的是（     ） A．几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负 B．几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负 C．几个有理数相乘，当负因数有偶数个时，积为正 D．几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个 【答案】D 【分析】根据负因数个数与积的符号的关系判断（需注意几个有理数相乘含0因数时积为0的特殊情况）． 【详解】解：A. 若相乘的有理数中含有0，积为0，不是负数，错误； B. 积的符号与因数的总个数无关，且若含0因数则积为0，错误； C. 若相乘的有理数中含有0，积为0，不是正数，错误； D. 积为负数，说明相乘的有理数中不含0，且负因数的个数为奇数，正确． 10．如图，可以确定数轴上被盖住的所有整数的积是__________． 【答案】 【详解】解：遮住的整数有：，，，，，， 则乘积为：． 11．已知，为有理数，若定义一种新的运算“※”，规定，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴将，代入得. 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）解：； （2）解： ． 13．如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． (1)若摸出的四个小球上分别标有2，，0，5，计算：； (2)若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘法，再计算加减法即可； （2）根据题意可得摸出的4个数字为，5，2，，据此计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵摸出的四个数字的积不为0， ∴摸出的4个数字中不能有0， ∴摸出的4个数字为，5，2，， ∴这四个数字的和为． 【题型3 】 14．无锡某景区推出分段优惠：购票总金额中，不超过元的部分不打折；超过元但不超过元的部分打折；超过元的部分打折．某学校组织名教师、名学生购票入园，已知成人票每张元、学生票每张元，则该学校实际支付的门票费用为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】解：购票总金额为元， ∵， ∴实际支付费用为 元． 15．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，则这4筐白菜的总质量为______． 【答案】 【分析】先计算4筐白菜与标准质量的总偏差，再加上4筐的标准总质量，即可得到实际总质量． 【详解】解：先计算4筐白菜与标准质量的偏差和： 4筐白菜的标准总质量为 因此4筐白菜的实际总质量为． 16．把几个不同的整数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：；；…我们称之为集合，其中的每一个整数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为m，且，则该黄金集合的元素的个数是_________． 【答案】或 【分析】根据黄金集合定义，元素必有，每对元素和为，分集合包含和不包含两种情况，结合的范围计算元素个数即可． 【详解】解：由黄金集合定义，若集合含，则必含，每一组与和为100，占个元素；50单独为个元素，和为50， ①集合不含50，总和为100的倍数，满足，只能， 配对数：，元素个数：； ②集合含有50，成对部分和为2000，，满足， 元素个数：． 综上所述，该黄金集合的元素个数是或． 17．小丽的爸爸是一名交警，某个周末早上，他乘交通巡逻车从交警队出发，在东西方向的路上行驶，规定向东行驶为正，向西行驶为负，巡逻七次结束后恰好到达小丽家门口，行驶记录如下表（单位：）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)小丽家在交警队的哪个方向？与交警队相距多少千米？ (2)若该交通巡逻车每千米耗油，每升汽油需要7元，求该交通巡逻车完成这七次巡逻所需的汽油费用． 【答案】(1)小丽家在交警队的正东方向，与交警队相距． (2)该交通巡逻车完成这七次巡逻所需的汽油费用为元． 【分析】（1）要求小丽家的位置，即求这七次行驶记录的代数和，结果的符号决定方向（正为东，负为西），结果的绝对值决定距离． （2）要求汽油费用，首先需要计算巡逻车行驶的总路程，总路程是各次行驶记录绝对值的和，与方向无关，计算出总路程后，根据耗油量和单价计算总费用． 【详解】（1）解：根据题意，将七次行驶记录相加： （） 因为，且规定向东为正， 所以小丽家在交警队的东方，与交警队相距． 答：小丽家在交警队的正东方向，与交警队相距． （2）巡逻车行驶的总路程为各次行驶记录绝对值的和： （） 所需的汽油费用为：（元） 答：该交通巡逻车完成这七次巡逻所需的汽油费用为元． 18．某检修小组乘汽车沿一条东西方向的公路检修线路，约定向东为正，向西为负，A地为出发地点（如图）．某天从A地出发到收工时的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)收工时，检修小组在A地的哪个方向？距A地多远？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.1升，则这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)检修小组在A地东边，距A地千米 (2)共耗油升 【详解】（1）解：（千米）， 因为结果为正， 所以收工时检修小组在A地东边，距A地15千米． （2）解：这一天行驶的总路程为各段路程的绝对值之和：（千米）， 共耗油（升）． 答：共耗油升． 19．我国最新型无人机在9月3日的胜利日阅兵中首次亮相，充分展示了我国在无人机领域的发展水平，某加工厂生产一批无人机零件，计划每天生产200个，但实际每天的产量与计划产量相比有所增减，若超过计划产量记为正，不足计划产量记为负．如表是该厂某一周无人机零件的产量情况．（单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该厂本周一共生产了多少个无人机零件； (2)该厂生产这批无人机零件的员工每天的总薪资为6000元，为了提升产量，该厂承诺，实际每天的产量比计划产量超出的部分每个可加薪40元，不足的部分每个减薪15元，则该厂员工本周的总薪资是多少元？ 【答案】(1)该厂本周一共生产了1450个无人机零件 (2)该厂员工本周的总薪资是44775元 【分析】（1）用7天的计划生产量加上7天实际产量的出入数量即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知， （个） 答：该厂本周一共生产了1450个无人机零件； （2）解： （元）， 即该厂员工本周的总薪资是44775元． 20．为增强同学们的体质，丰富同学们课外活动，武胜中学七年级组织了一次“徒步拉练”活动．队伍从学校出发，沿迎宾大道步行，途中同学们还开展了观察主干道交通情况、记录城市风情风貌、捡拾垃圾等研学任务． 现规定向东为正，向西为负．队伍从学校出发，依次行走的行程记录如下（单位：）： ，，，，，， (1)收工时，队伍在学校的哪个方向？距离学校多远？ (2)队伍这一天一共走了多少千米？若平均每走用时12分钟，全程共用时多少小时？ 【答案】(1)收工时队伍在学校的正东方向，距离学校 (2)队伍这一天一共走了，全程共用时4小时 【分析】（1）把所给的行程记录相加，所得结果为正，则在学校的东边，为负，则在学校的西边，为0，则回到学校，所得结果取绝对值，即为与学校的距离； （2）把所给行程记录取绝对值，然后求和可求出行走的总路程，进而可求出总时间． 【详解】（1）解： ． 答：收工时队伍在学校的正东方向，距离学校． （2）解： ， （分钟）（小时）． 答：队伍这一天一共走了，全程共用时4小时． 【题型4 】 21．的倒数是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：，， 即的倒数是． 22．已知，则a，，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合的条件，判断各数的正负及大致范围后排序． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．下列各组数中，互为倒数的是（     ） A．与 B．与2 C．与1 D．与 【答案】D 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数逐项判断即可． 【详解】解：A、，故与不是互为倒数； B、，故与2不是互为倒数； C、，故与1不是互为倒数； D、，故与互为倒数． 24．5.6的相反数是______，的倒数是______． 【答案】 【分析】依据相反数、倒数的定义计算对应数值，计算带分数的倒数前需先将其转化为假分数． 【详解】解：∵互为相反数的两个数符号相反，且两数之和为0 ∴的相反数为 ∵互为倒数的两个数乘积为1 先将带分数化为假分数，可得 ∴与乘积为1的数为， 即的倒数为． 25．__________；的倒数是__________；比较大小：__________（填“”“”或“”）． 【答案】 3 【详解】解：； ∵， ∴的倒数是； ∵，，且， ∴． 26．请根据图示的对话解答下列问题． (1) ， ； (2)请用比较，，，的大小 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据相反数、倒数的定义计算即可； （2）求出，的值，进而比较即可． 【详解】（1）解：∵a与2互为相反数，b与​互为倒数， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 【题型5 有理数乘法运算律】 27．在算式中，运用了（     ） A．乘法对加法的分配律 B．乘法对加法的分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律 【答案】C 【分析】根据有理数混合运算的运算定律进行判断即可． 【详解】解：将1.25与交换位置，运用了乘法交换律，将1.25与结合计算，运用了乘法结合律． 28．若，则的值可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形为，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 29．计算：__________． 【答案】 【分析】利用乘法分配律可简便计算，按照有理数运算法则求解即可． 【详解】解： 30．用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【答案】 【分析】（1）利用加法交换律、结合律，先凑整再进行计算即可； （2）提取公因数，括号内小数先合并得到31，约分后直接得结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 31．用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解： 32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 33．阅读下面的材料，完成问题． 为了保证小学学过的乘法运算律在有理数范围内仍然成立，我们来探究负数乘负数的计算方法． 例如探究： 根据乘法对加法的分配律： ． 也就是，因此． 题目 (1)请你仿照上面的方法，说明． (2)利用你发现的规律，直接写出结果：_____． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∴． (2)24 【分析】（1）根据乘法对加法的分配律证明即可； （2）利用乘法分配律计算，再根据，再根据等式的性质即可得出的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴， ∴． 【题型6 有理数的除法运算及应用】 34．已知a，b是两个有理数，下列说法不正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则a与b的符号相同 D．若，则 【答案】A 【详解】解：A．∵当时，成立， 又∵除数不能为， ∴此时无意义， ∴选项A说法不正确． B若，则a与b互为相反数，则，故B正确； C若，则a与b的符号相同，故C正确；     D若，则，故D正确． 35．下列说法中正确的是（） A．任何数都有倒数 B．0除以任何数都得0 C．两个整数相乘，积一定大于任意一个因数 D．两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积 【答案】D 【分析】用反例法排除错误选项，结合绝对值性质验证正确选项． 【详解】解：∵没有倒数， ∴A错误． ∵不能作除数，除以非数才得， ∴B错误． ∵两个整数相乘，如，积小于因数， ∴C错误． ∵对任意有理数，， ∴D正确． 36．下列说法中，正确的有（     ） ①任何数乘以0，其积为零； ②0除以任何一个不等于零的数，其商为零； ③任何有理数的绝对值都是正数； ④两个有理数相比较，绝对值大的反而小． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据有理数乘法、有理数除法、绝对值、有理数大小逐个判断即可． 【详解】解：①任何数乘以0，其积为零，正确； ②0除以任何一个不等于零的数，其商为零，正确； ③∵，0不是正数， ∴任何有理数的绝对值都是正数的说法错误； ④∵，，且， ∴两个有理数相比较，绝对值大的反而小的说法错误． 综上，正确的说法共2个． 37．如图1，点A，B，O，C为数轴上四点，点A对应数，点O对应0，点C对应3，（表示点A到点B的距离），如图2，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的点O和点C，若，则点A在刻度尺上对应的刻度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据O、C两点算出数轴一个单位对应刻度尺的长度，再由、长度依次求出B、A在数轴上对应的数字，再算出A到O的数轴距离，换算成刻度尺长度，用O对应的刻度减去该长度，得到点A对应的刻度尺读数． 【详解】解：数轴上3个单位长度对应的刻度尺长度：， 数轴上1个单位长度对应刻度尺长度：， 因为点C对应3，， 所以点B对应的数为． 因为， 所以点A对应的数为． 因为点A到点O的距离为4个单位长度， 则对应刻度尺长为， 因为刻度尺上“”对应数轴上的点O， 所以点A对应的刻度尺刻度为． 38．我们规定一种新运算：，例如：，则的值为________． 【答案】 【分析】按照给定的新运算规则，先计算括号内的，再将计算结果作为新运算的第一个数，与进行第二次新运算，逐步代入求值即可 【详解】解：根据新运算定义，分步计算如下 先计算括号内的 ∵ 取，代入运算规则 ∴ . 再计算 ∵ 取，代入运算规则 ∴ ． 39．直接写出计算结果： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【答案】 / 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 40．已知是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若是有理数，且满足，则．其中正确的有_____．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】由数轴可知，且，据此逐项判断①②③；结论④需分的两种情况求出，再求，注意其结果不唯一． 【详解】解：由数轴可知：，且， ①∵，， ∴，正确； ②∵，且，， ∴，正确； ③∵， ∴； ∵， ∴， ∴，正确； ④若，，且，则或， 当时，；当时，， ∴不一定成立，错误； ∴正确的结论是①②③． 41．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） 解： ； （2）解： ； （3） 解： ； （4）解： ． 42．如图， (1)写出数轴上的点、、表示的数． (2)把，，这三个数分别用点、、在数轴上表示出来． (3)从这个数中选择两个相除，使其值最小． 【答案】(1)点、、表示的数分别为、、 (2) (3)选择，相除，最小值为 【分析】（1）根据在数轴上表示有理数求解作答即可． （2）根据在数轴上表示有理数求解作答即可． （3）要使两个数相除的商最小，商需要是负数，并且绝对值尽可能大． 【详解】（1）解：点、、表示的数分别为、、． （2）解：数：在数轴处描点记为； 数：在数轴处描点记为； 数：在数轴和中间描点记为． （3）解：这6个数：、、、、、， 两个数相除，要商最小，则商是负数，且负数的绝对值最大． 正数除以负数：正数越大、负数越接近，商越小，则为这一类中最小值； 负数除以正数：负数越小、正数越小，商越小，则为这一类中最小值． ， 最小值为． 43．数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是： 原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式． (1)你认为解答过程完全正确的是______； (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． ①计算：； ②计算：． 【答案】(1)甲、乙 (2)①；② 【分析】（1）根据有理数的运算法则即可作出判断； （2）观察所求的式子，可以按照乙同学的解法求解． 【详解】（1）解：甲同学的解法：先算括号里面的，再算除法，运算过程正确； 乙同学的解法：先算原式的倒数，运用乘法分配律进行计算，最后再算出原式，运算过程正确； 丙同学的解法：除法没有分配律，运算过程错误； 所以甲、乙同学的运算过程都正确，丙同学的运算过程错误． （2）解：①原式的倒数为， ∴． ②原式的倒数为， ∴． 【题型7 】 44．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，故本选项计算错误； 选项B：，故本选项计算正确； 选项C：，故本选项计算错误； 选项D：，故本选项计算错误． 45．有下列五个算式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：①，故①错误． ②，故②错误． ③，故③错误． ④，故④正确． ⑤，故⑤正确． ∴正确的算式有④⑤，共2个． 46．小明把一个数乘错看成除以，结果得，正确的结果是______． 【答案】 【分析】先根据错误的计算逆推求出原来的数，再按正确运算计算结果． 【详解】解：∵小明错将乘看成除以，得到结果， ∴这个数为：， 因此正确的结果为：． 47．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为___________． 【答案】 【分析】先求出，，再结合数轴上两点间的距离公式计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴． 48．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．解决下列问题： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）去括号，从左到右依次计算． （2）带分数化为假分数，除法转化为乘法，再约分． （3）运用乘法分配律展开计算． （4）带分数化为假分数，除法转化为乘法． （5）逆用乘法分配律，提取公因数． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ． （4）解：， ， ， ． （5）解：， ， ， ， ． 50．某粮库用一种标准质量为每袋50千克的袋子装玉米种子．现从中任意抽取8袋进行检测，超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，记录如下表（单位：千克）： 袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 与标准质量的差 0 (1)这8袋中，质量最接近标准质量的是第几袋？ (2)求这8袋玉米种子的平均质量（结果精确到0.1千克）． (3)规定每袋与标准质量相差不超过1千克的为合格产品，求这批样品的合格率． 【答案】(1)第4袋 (2)约50.1千克 (3) 【分析】（1）结合表格确定与标准质量相差的绝对值最小的那一袋，即可获得答案； （2）首先确定8袋与标准质量的差的总和，进而可得平均每袋与标准质量的差值，然后计算这8袋玉米种子的平均质量即可； （3）首先确定与标准质量相差不超过1千克的共计几袋，然后计算这批样品的合格率． 【详解】（1）解：由表格可知，与标准质量相差的绝对值最小的是， 所以第4袋最接近标准质量； （2）8袋与标准质量的差的总和为（千克）， 平均每袋与标准质量的差为（千克）， 所以平均质量为（千克）． （3）与标准质量相差不超过1千克的有第1、2、4、5、6、8袋，共6袋， 合格率为． 【题型8 有理数四则混合运算】 51．定义一种新运算，，则的结果为（     ） A． B．5 C．7 D． 【答案】B 【分析】根据新定义列式，先算乘法，再算加减法即可． 【详解】解：∵， ∴． 52．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等份点处分别标上数字0，1，2，3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在圆上，则数轴上表示数2020的点与圆周上重合的点的数字是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】计算数轴上2020与起始点的距离，利用圆周长为4的周期性规律，通过余数确定对应位置． 【详解】解：∵圆的周长为4， ∴在数轴上，从开始，及其右边的数每4个数为一个循环，依次对应圆周上的数字0，1，2，3， ∵， ∴数轴上表示数2020的点与圆周上重合的点的数字是2． 53．已知有理数a，b，c满足且．则______． 【答案】 【分析】先得出在三个数中，有一个正数两个负数，再分三种情况：①，②，③，分别化简绝对值，计算除法与加减法即可． 【详解】解：∵， ∴在三个数中，有一个正数两个负数，或有三个正数， 又∵， ∴在三个数中，只能是一个正数两个负数，不可能是三个正数， ①当时，则； ②当时，则； ③当时，则； 综上，． 54．利用公式计算：________． 【答案】 【详解】解：． 55．对于一个各个数位上的数字互不相同的四位正整数（，，，是正整数，且，，，），如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且满足，则称这个四位数为“绝对平衡数”，则最小的“绝对平衡数”是________；将“绝对平衡数”的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位数，若且存在正整数，使得，则满足条件的“绝对平衡数”的最大值与最小值之差是________． 【答案】 【分析】要找最小的“绝对平衡数”，从最小千位开始，再让百位尽可能小，求出十位、个位数字，验证条件即可； 由得，设，，可知只能为1，2，3，化简，由得到，可知，列出所有可能性，找出最大值和最小值，相减即可． 【详解】解：要使四位正整数最小，千位最小取，再让百位尽可能小，取； 根据条件，得，代入： ， 即， 解得：或（舍去） ∴， 因此最小的“绝对平衡数”是； 由得， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴只能为1，2，3， ，交换后， 则：， ∵，， ∴， ∵， ∴ 由得， 即， 根据只能为1，2，3且列出所有可能性， u v 满足 满足 满足 满足 1 满足 2 满足 由可知只有符合要求， 则， 要是四个数都在1至9内，b可为， 对应的数为， 这些数中最大的是，最小的是， ∴满足条件的“绝对平衡数”的最大值与最小值之差是． 56．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用有理数加减法法则计算即可； （2）先将带分数化成假分数，然后再通分，最后合并计算即可； （3）先根据乘法分配律去括号，再算乘法，最后算加减即可； （4）先将带分数化成假分数，小数化成分数，再算乘法即可； （5）先将带分数化成假分数和去绝对值，再合并计算同分母分数的加法，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ； （5）解： ． 57．设、都表示有理数，规定一种新运算“”：当时，；当时，．例：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1). (2). 【分析】先比较两个数a、b的大小，再按对应规则套用公式．有括号时先算括号内部，逐步替换．注意不要凭习惯运算，严格按题目给出的规则选择公式． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴． ， ∴， ∴． 58．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)最后一名老师送到目的地时，小王在什么位置？ (2)若汽车耗油量为升/千米，汽油价9元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15千瓦时，每千瓦时电费为元，请估计司机小王换成新能源汽车后行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小王在出发点西侧3千米处； (2)换成新能源汽车后行驶费用比原来节省元． 【分析】（1）把所有数据相加，根据结果进行判断即可； （2）先求出出租车的行程，再根据汽车的行驶费减去新能源汽车行驶费即可求出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 即最后一名老师送到目的地时，小王在出发点西侧3千米处； （2）解：（千米）， （元）， 即换成新能源汽车后行驶费用比原来节省元． 59．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 【答案】 【分析】仿照材料中的倒数法，先计算原式的倒数，利用乘法分配律简化运算，再取倒数得到原式结果． 【详解】解：先求原式的倒数， 得 ， ∴ 原式． 【题型9 】 60．乐乐买了一箱不超过千克的水蜜桃，但是记不清水蜜桃的具体质量了，只记得是千克．已知水蜜桃每千克元，这箱水蜜桃的总价可能是（     ）元． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用质量范围和小数部分特征快速排除错误选项，再验证剩余选项对应质量是否符合要求． 【详解】解：质量不超过千克且为千克，故最大质量为千克，最高总价为（元）， ， 排除A； 质量的十分位是4，单价的十分位是6，， 总价的百分位为4， 的百分位是8， 排除D； （千克），不符合的形式， 排除B； （千克），符合要求． 61．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号0对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据规定分别求出每个密文字母对应的明文即可求解． 【详解】解：根据题意可知，对应的序号为4， 的余数是4， 为1， 对应的明文为， 同理可得，对应的明文为，对应的明文为，对应的明文为， “”解密后对应的明文是． 62．如图，点A，B是数轴上两点，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒． （1）点P和点Q相向运动，当t=___________时，点P和点Q重合； （2）当t=___________时，点P和点Q相距1单位长度． 【答案】 2 或 【分析】根据数轴确定点、的坐标及间的距离． （1）利用相遇问题的基本关系：时间路程速度和，列式计算即可； （2）分相遇前和相遇后两种情况，根据路程关系列方程求解． 【详解】解：由图可知，点表示的数为，点表示的数为2， ， （1）点和点相向运动，点的速度为1，点的速度为2， 两点相遇所需时间； （2）根据题意，点和点相向运动， ①当点和点相遇前相距1个单位长度时， 两点运动的路径和为， ； ②当点和点相遇后相距1个单位长度时， 两点运动的路径和为， ， 综上所述，当或时，点和点相距1单位长度． 63．一段地下管道，两个工程队从两端向中间铺设．甲队从A端开始，乙队从B端开始，两队同时开工．甲队每天铺设，乙队每天铺设的长度比甲队少．两队同时开工2天后，在管道中的C点会合（如图），这段管道的总长度是___________米． 【答案】 【分析】根据甲队速度及乙队比甲队少求出乙队速度，利用总长度等于两队速度之和乘以时间求解． 【详解】解：乙队每天铺设的长度为， 两队每天共铺设的长度为， 这段管道的总长度为， 故这段管道的总长度是米． 64．某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)本周产量中最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (2)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (3)已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【答案】(1)本周产量中最多的一天比最少的一天多生产个工艺品 (2)该工艺厂本周实际生产工艺品个 (3)该工艺厂这一周应付出的工资总额为元 【分析】（1）根据有理数的减法，即可求解； （2）根据有理数的加法，即可求解； （3）根据每件的价格乘以件数，可得工资，根据每件的奖励乘以件数，可得奖金． 【详解】（1）解：∵（个）， ∴本周产量中最多的一天比最少的一天多生产个工艺品； （2）解：∵， ∴（个）， ∴该工艺厂本周实际生产工艺品个； （3）解：（元）， ∴该工艺厂这一周应付出的工资总额为元． 65．水果店销售一种“黄金”百香果，统计了一个月（按四周计算）的实际销售情况，以每千克16元为标准售价，超过或不足的钱数分别用正、负来表示；以每周的销售量200千克为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，记录如下： 第一周 第二周 第三周 第四周 相对于标准售价（元） 0 2 相对于标准销售数量（千克） 20 10 80 (1)这个月内，“黄金”百香果售价最高的是第___________周；这一周的售价是每千克___________元． (2)这个月“黄金”百香果实际的销售数量是多少千克？ (3)已知这种“黄金”百香果的进价是每千克13元，若这家水果店本月原计划按标准数量销售，则这家水果店这个月实际销售“黄金”百香果的利润比原计划销售“黄金”百香果的利润多了多少元？ 【答案】(1)四， (2)千克 (3)元 【分析】（1）比较各周售价偏差的大小，确定售价最高的周次，结合标准售价计算最高售价； （2）先计算四周标准总销量，再加各周销量偏差的和，得到实际总销量； （3）分别计算实际总利润与原计划总利润，二者的差值即为所求． 【详解】（1）解：各周相对于标准售价的偏差为，且 “黄金”百香果售价最高的是第四周，这一周的售价为（元/千克）； （2）解：四周标准总销量为（千克）， 四周销量偏差总和为（千克）， 实际总销量为（千克）； （3）解：原计划总销量为（千克）， 原计划每千克利润为（元）， 原计划总利润为（元）， 第一周实际售价为（元/千克）， 实际销量为（千克）， 利润为（元）， 第二周实际售价为16元/千克， 实际销量为（千克）， 利润为（元）， 第三周实际售价为（元/千克）， 实际销量为（千克）， 利润为（元）， 第四周实际售价为（元/千克）， 实际销量为（千克）， 利润为（元）， 实际总利润为（元）， 实际利润比原计划多（元）， 答：这家水果店这个月实际销售“黄金”百香果的利润比原计划销售“黄金”百香果的利润多了735元． 66．出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：． 起步价（3千米以内） 超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足4分钟以4分钟计） （单价：元） 11 2.5 每4分钟2.5元 (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点 （南/北） 千米； (2)若汽车耗油量是0.2升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为62分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？ 【答案】(1)南，1 (2)8.8 (3)第三位乘客需支付车费61元 【分析】（1）因为要确定最终位置与出发点的相对关系，所以将所有行车里程相加，根据和的正负判断方向，和的绝对值为距离出发点的距离． （2）因为耗油量和行驶的总路程有关，与方向无关，所以先计算所有行车里程的绝对值之和，再乘以单位耗油量得到总耗油量． （3）首先确定第三位乘客的行车里程的绝对值，因为车费由起步价、超出3千米的费用和等候费组成，所以先判断里程是否超过3千米，超出部分按规则计算费用，再根据等候时间的计费规则计算等候费，三者相加得到总车费． 【详解】（1）解：将所有行车里程相加，和的符号代表方向，绝对值代表距离： ． 规定向北为正，负数代表向南， 故小李在出发点南侧1千米处． （2）解：耗油量和实际行驶的总路程有关，路程是所有行车里程的绝对值之和，再乘以单位耗油量： 总行驶路程： （千米）． 总耗油量：（升）． （3）解：第三位乘客对应的行车里程绝对值为7千米，车费由行驶费用和等候费两部分组成： 行驶费用： 3千米以内起步价11元， 超过3千米的部分为千米，这部分费用为元， 行驶部分总费用为元． 等候费：参照题干“不足1千米按1千米计”的进一计费逻辑，等候时间不足4分钟按4分钟计． 62分钟除以4得15余2，剩余2分钟按1个4分钟区间计费，共16个4分钟区间， 等候费为元． 总车费：元． 故第三位乘客需支付车费61元． 67．重庆百利摩托车厂计划一周销售全新原装豪华摩托车1400辆，平均每天销售200辆，但由于种种原因，实际每天销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该厂星期五销售摩托车__________辆； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售__________辆； (3)本周实际销售总量是否达到了计划数量没有？通过计算说明 (4)该厂实行每日计件工资制，每销售一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少销售一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)本周实际销售总量达到了计划数量． ∵一周销量与计划量的差值总和为，且 ∴实际总销量比计划多9辆，达到了计划数量． (4)该厂工人这一周的工资总额是元． 【分析】（1）用计划每天销售量加上星期五对应的差值，即可求出星期五的销售量． （2）先找出最大差值与最小差值，再用最大差值减去最小差值，得到销量最多一天比最少一天多销售的数量． （3）把一周所有差值相加，若和大于0，说明实际总量达到计划；若小于0，则没有达到． （4）先算出实际销售总数，计算基础工资；再分别算出超额部分的奖励、少销售部分的扣款，最后求和得到工资总额． 【详解】（1）解：星期五销售：（辆）； （2）解：销售量最多的一天（星期六）比最少的一天（星期五）多销售：（辆）． （3）略 （4）解：实际销量：（辆）， 超额的总和：（辆）， 不足的总和：（辆）， 工资总额 （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 【题型10 】 68．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过数轴判断出点所代表的数的符号以及大小关系即可． 【详解】解：由数轴可知，，，， A．因为，故A错误． B．a与b异号，所以，故B错误． C．由可知，而，因此．故C错误． D．因为，所以；又因为，所以．故D正确． 69．在原点左侧，在原点右侧，且，把，，，从小到大排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合a,b的位置与绝对值条件，利用相反数的性质比较各数大小． 【详解】解：∵a在原点左侧，b在原点右侧， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 70．如图所示，数轴上点，，分别表示有理数，，，若，，三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知：， 因为，，三个数的乘积为正数， 所以，，三个数要么是两负一正，要么就是三个都为正数， 又因为这三个数的和与其中一个数相等， 所以， 所以． 71．表示数的点在数轴上的位置如图所示，某某根据图示写出了5个不同的结论： ①四个数中，最小的是a；②；③；④；⑤． 请问他所写结论正确的是______． 【答案】 ①③/③① 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围，结合有理数的大小比较、乘法法则、减法法则及绝对值的性质逐一判断各结论． 【详解】解：∵在数轴的最左端， ∴四个数中，最小的是，故①正确， ，故②错误， ，， ∴，故③正确， ∵，， ∴，故④错误， ∵， ∴， ∵， ∴，，故⑤错误， 综上所述，正确的结论是①③． 72．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 对于①，∵在原点左侧，，故①错误 对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误 对于③，∵，∴，故③错误 对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确 综上所述，结论正确的是④ 73．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据在数轴上的对应点的位置判定即可； （2）根据绝对值的性质即可得出结论； （3）根据绝对值的性质求出，再代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴上的排列顺序可得：； （2）解：∵， ∴，，； （3）解：∵，，且， ， ∴， ∴． 74．已知b是最大的负整数，且a，b，c满足，试回答下列问题． (1)________；________；________； (2)若a在数轴上所对应的点为A，P为数轴上一动点，其对应的数为x，当点P在原点与A点之间运动时，请化简式子：． 【答案】(1)1，，4 (2)8 【分析】（1）根据负整数的定义得到b的值，然后由绝对值的非负性求得a、c的值； （2）由题意得，据此化简式子的绝对值，然后运算即可解答． 【详解】（1）解：因为是最大的负整数，所以． 因为，且，， 所以，， 所以，． （2）解：由题意得， 所以，，， 所以． 75．【知识拓展】 学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是，因此可以看作，那么的意义可以看作数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离： 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 (1)如图，若点分别表示的数是， ___________； 化简：___________； (2)若，则的值为___________；若，则的值为___________． (3)求的最小值． 【答案】(1)；； (2)或，或； (3)的最小值为． 【分析】根据数轴上两点间的距离公式即可求解； 由数轴确定的正负，然后去绝对值进行化简即可； 根据绝对值的意义，然后结合题意即可求解； 结合数轴进行分析，可知当点在到之间时，取得最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； 由数轴可知，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵的意义为数轴上表示数与的两点间的距离， ∴当时，的值为或； ∵的意义为数轴上表示数与的两点间的距离， ∴当时，的值为或； 故答案为：或，或； （3）解：当数在与之间，或数在处，或数在处时，恒成立； 当数在的左侧时，； 当数在的右侧时，； 综上，的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数的乘法与除法（期中重难点复习） 【新教材人教版七年级上册】 题型归纳 【题型1 两个有理数的乘法运算】 1 【题型2 多个有理数的乘法运算】 2 【题型3 有理数乘法的实际应用】 3 【题型4 倒数】 5 【题型5 有理数乘法运算律】 6 【题型6 有理数的除法运算及应用】 7 【题型7 有理数乘除混合运算】 10 【题型8 有理数四则混合运算】 11 【题型9 有理数四则混合运算的实际应用】 13 【题型10 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 16 【题型1 】 1．在验光时，验光师经常会以“”的方式记录近视情况，例如：将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．通常，近视超过200度要持续佩戴眼镜进行视力矫正，现有6位同学的验光记录如下，则有（   ）位同学需要持续佩戴眼镜． ，，，，，． A．1 B．2 C．3 D．4 2．若，，且满足，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D． 3．有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 4．，则的整数部分是________，的小数部分是________． 5．规定：，则__________． 6．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 7．对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”，并按照此运算写出了一些式子：，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_______，异号得_______，并把绝对值_______． (2)根据法则计算：_______；_______； 【题型2 】 8．下列乘积的结果，符号为正的是（     ） A． B． C． D． 9．下列说法中，正确的是（     ） A．几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负 B．几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负 C．几个有理数相乘，当负因数有偶数个时，积为正 D．几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个 10．如图，可以确定数轴上被盖住的所有整数的积是__________． 11．已知，为有理数，若定义一种新的运算“※”，规定，则__________． 12．计算： (1) (2) 13．如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． (1)若摸出的四个小球上分别标有2，，0，5，计算：； (2)若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和． 【题型3 】 14．无锡某景区推出分段优惠：购票总金额中，不超过元的部分不打折；超过元但不超过元的部分打折；超过元的部分打折．某学校组织名教师、名学生购票入园，已知成人票每张元、学生票每张元，则该学校实际支付的门票费用为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 15．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，则这4筐白菜的总质量为______． 16．把几个不同的整数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：；；…我们称之为集合，其中的每一个整数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为m，且，则该黄金集合的元素的个数是_________． 17．小丽的爸爸是一名交警，某个周末早上，他乘交通巡逻车从交警队出发，在东西方向的路上行驶，规定向东行驶为正，向西行驶为负，巡逻七次结束后恰好到达小丽家门口，行驶记录如下表（单位：）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)小丽家在交警队的哪个方向？与交警队相距多少千米？ (2)若该交通巡逻车每千米耗油，每升汽油需要7元，求该交通巡逻车完成这七次巡逻所需的汽油费用． 18．某检修小组乘汽车沿一条东西方向的公路检修线路，约定向东为正，向西为负，A地为出发地点（如图）．某天从A地出发到收工时的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)收工时，检修小组在A地的哪个方向？距A地多远？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.1升，则这一天共耗油多少升？ 19．我国最新型无人机在9月3日的胜利日阅兵中首次亮相，充分展示了我国在无人机领域的发展水平，某加工厂生产一批无人机零件，计划每天生产200个，但实际每天的产量与计划产量相比有所增减，若超过计划产量记为正，不足计划产量记为负．如表是该厂某一周无人机零件的产量情况．（单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该厂本周一共生产了多少个无人机零件； (2)该厂生产这批无人机零件的员工每天的总薪资为6000元，为了提升产量，该厂承诺，实际每天的产量比计划产量超出的部分每个可加薪40元，不足的部分每个减薪15元，则该厂员工本周的总薪资是多少元？ 20．为增强同学们的体质，丰富同学们课外活动，武胜中学七年级组织了一次“徒步拉练”活动．队伍从学校出发，沿迎宾大道步行，途中同学们还开展了观察主干道交通情况、记录城市风情风貌、捡拾垃圾等研学任务． 现规定向东为正，向西为负．队伍从学校出发，依次行走的行程记录如下（单位：）： ，，，，，， (1)收工时，队伍在学校的哪个方向？距离学校多远？ (2)队伍这一天一共走了多少千米？若平均每走用时12分钟，全程共用时多少小时？ 【题型4 】 21．的倒数是（     ） A． B． C． D．4 22．已知，则a，，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 23．下列各组数中，互为倒数的是（     ） A．与 B．与2 C．与1 D．与 24．5.6的相反数是______，的倒数是______． 25．__________；的倒数是__________；比较大小：__________（填“”“”或“”）． 26．请根据图示的对话解答下列问题． (1) ， ； (2)请用比较，，，的大小 【题型5 有理数乘法运算律】 27．在算式中，运用了（     ） A．乘法对加法的分配律 B．乘法对加法的分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律 28．若，则的值可表示为（     ） A． B． C． D． 29．计算：__________． 30．用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 31．用简便方法计算：． 32．计算： (1)； (2)． 33．阅读下面的材料，完成问题． 为了保证小学学过的乘法运算律在有理数范围内仍然成立，我们来探究负数乘负数的计算方法． 例如探究： 根据乘法对加法的分配律： ． 也就是，因此． 题目 (1)请你仿照上面的方法，说明． (2)利用你发现的规律，直接写出结果：_____． 【题型6 有理数的除法运算及应用】 34．已知a，b是两个有理数，下列说法不正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则a与b的符号相同 D．若，则 35．下列说法中正确的是（） A．任何数都有倒数 B．0除以任何数都得0 C．两个整数相乘，积一定大于任意一个因数 D．两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积 36．下列说法中，正确的有（     ） ①任何数乘以0，其积为零； ②0除以任何一个不等于零的数，其商为零； ③任何有理数的绝对值都是正数； ④两个有理数相比较，绝对值大的反而小． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 37．如图1，点A，B，O，C为数轴上四点，点A对应数，点O对应0，点C对应3，（表示点A到点B的距离），如图2，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的点O和点C，若，则点A在刻度尺上对应的刻度是（     ） A． B． C． D． 38．我们规定一种新运算：，例如：，则的值为________． 39．直接写出计算结果： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 40．已知是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若是有理数，且满足，则．其中正确的有_____．（填序号） 41．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 42．如图， (1)写出数轴上的点、、表示的数． (2)把，，这三个数分别用点、、在数轴上表示出来． (3)从这个数中选择两个相除，使其值最小． 43．数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是： 原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式． (1)你认为解答过程完全正确的是______； (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． ①计算：； ②计算：． 【题型7 】 44．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 45．有下列五个算式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 46．小明把一个数乘错看成除以，结果得，正确的结果是______． 47．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为___________． 48．计算： (1)． (2) 49．解决下列问题： (1) (2) (3) (4) (5) 50．某粮库用一种标准质量为每袋50千克的袋子装玉米种子．现从中任意抽取8袋进行检测，超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，记录如下表（单位：千克）： 袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 与标准质量的差 0 (1)这8袋中，质量最接近标准质量的是第几袋？ (2)求这8袋玉米种子的平均质量（结果精确到0.1千克）． (3)规定每袋与标准质量相差不超过1千克的为合格产品，求这批样品的合格率． 【题型8 有理数四则混合运算】 51．定义一种新运算，，则的结果为（     ） A． B．5 C．7 D． 52．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等份点处分别标上数字0，1，2，3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在圆上，则数轴上表示数2020的点与圆周上重合的点的数字是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 53．已知有理数a，b，c满足且．则______． 54．利用公式计算：________． 55．对于一个各个数位上的数字互不相同的四位正整数（，，，是正整数，且，，，），如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且满足，则称这个四位数为“绝对平衡数”，则最小的“绝对平衡数”是________；将“绝对平衡数”的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位数，若且存在正整数，使得，则满足条件的“绝对平衡数”的最大值与最小值之差是________． 56．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 57．设、都表示有理数，规定一种新运算“”：当时，；当时，．例：，． (1)求的值； (2)求的值． 58．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)最后一名老师送到目的地时，小王在什么位置？ (2)若汽车耗油量为升/千米，汽油价9元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15千瓦时，每千瓦时电费为元，请估计司机小王换成新能源汽车后行驶费用比原来节省多少钱？ 59．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 【题型9 】 60．乐乐买了一箱不超过千克的水蜜桃，但是记不清水蜜桃的具体质量了，只记得是千克．已知水蜜桃每千克元，这箱水蜜桃的总价可能是（     ）元． A． B． C． D． 61．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号0对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（     ） A． B． C． D． 62．如图，点A，B是数轴上两点，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒． （1）点P和点Q相向运动，当t=___________时，点P和点Q重合； （2）当t=___________时，点P和点Q相距1单位长度． 63．一段地下管道，两个工程队从两端向中间铺设．甲队从A端开始，乙队从B端开始，两队同时开工．甲队每天铺设，乙队每天铺设的长度比甲队少．两队同时开工2天后，在管道中的C点会合（如图），这段管道的总长度是___________米． 64．某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)本周产量中最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (2)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (3)已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 65．水果店销售一种“黄金”百香果，统计了一个月（按四周计算）的实际销售情况，以每千克16元为标准售价，超过或不足的钱数分别用正、负来表示；以每周的销售量200千克为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，记录如下： 第一周 第二周 第三周 第四周 相对于标准售价（元） 0 2 相对于标准销售数量（千克） 20 10 80 (1)这个月内，“黄金”百香果售价最高的是第___________周；这一周的售价是每千克___________元． (2)这个月“黄金”百香果实际的销售数量是多少千克？ (3)已知这种“黄金”百香果的进价是每千克13元，若这家水果店本月原计划按标准数量销售，则这家水果店这个月实际销售“黄金”百香果的利润比原计划销售“黄金”百香果的利润多了多少元？ 66．出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：． 起步价（3千米以内） 超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足4分钟以4分钟计） （单价：元） 11 2.5 每4分钟2.5元 (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点 （南/北） 千米； (2)若汽车耗油量是0.2升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为62分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？ 67．重庆百利摩托车厂计划一周销售全新原装豪华摩托车1400辆，平均每天销售200辆，但由于种种原因，实际每天销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该厂星期五销售摩托车__________辆； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售__________辆； (3)本周实际销售总量是否达到了计划数量没有？通过计算说明 (4)该厂实行每日计件工资制，每销售一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少销售一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【题型10 】 68．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 69．在原点左侧，在原点右侧，且，把，，，从小到大排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 70．如图所示，数轴上点，，分别表示有理数，，，若，，三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 71．表示数的点在数轴上的位置如图所示，某某根据图示写出了5个不同的结论： ①四个数中，最小的是a；②；③；④；⑤． 请问他所写结论正确的是______． 72．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 73．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 74．已知b是最大的负整数，且a，b，c满足，试回答下列问题． (1)________；________；________； (2)若a在数轴上所对应的点为A，P为数轴上一动点，其对应的数为x，当点P在原点与A点之间运动时，请化简式子：． 75．【知识拓展】 学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是，因此可以看作，那么的意义可以看作数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离： 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 (1)如图，若点分别表示的数是， ___________； 化简：___________； (2)若，则的值为___________；若，则的值为___________． (3)求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $