专题04 有理数的乘方（期中重难点复习）2026-2027学年人教版七年级上学期数学期中考试重难点专题训练

专题04 有理数的乘方（期中重难点复习） 【新教材人教版七年级上册】 题型归纳 【题型1 有理数的乘方运算】 1 【题型2 有理数乘方逆运算】 2 【题型3 乘方的应用】 3 【题型4 程序流程图与有理数计算】 4 【题型5 算“24”点】 5 【题型6 含乘方的有理数混合运算】 7 【题型7 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 9 【题型8 求一个数的近似数】 11 【题型9 求近似数的精确度】 12 【题型10 近似数推断取值范围】 12 【题型1 】 1．下列各对数中，相等的一对数是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列各数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．有下列四个算式：①；②；③；④．其中，正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则__________． 5．若，则______． 6．计算： (1)； (2)． 7．在数轴上表示下列各数：，，，并用“”连接． 8．探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ；； ；． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得________，异号得________（填“正”或“负”），并把两数的________相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的________； (2)计算：． 【题型2 】 9．已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 10．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 11．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 12．阅读材料：对有理数a，b，定义的含义为：当时，；当时，． 例如：；． 解决问题： (1) ； ； (2)对于有理数a，已知其满足关系式，求a的值． 【题型3 】 13．计算机利用的是二进制数，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为或．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干个与或的乘积相加，依次写出或即可．例如，所以改写成二进制为，表示十进制中的（     ）． A． B． C． D． 14．我们常用的十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（     ） A．1169天 B．326天 C．167天 D．11天 15．若，则_____． 16．我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：，，，，，，，，，．在电子计算机中用的是二进制，只需两个数码和，如：二进制中，等于十进制的；等于十进制的．请问二进制中的等于十进制中的_______． 17．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂3次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求2小时后的数量是1小时后的多少倍？ 18．生活中常用的十进制是用0-9这十个数字来表示数，满十进一，例： 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数： (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10101”转化为十进制数是___________； (2)【迁移】将十进制数“2298”转化为八进制数； (3)【应用】在古代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【题型4 】 19．按如图所示的运算程序，若输入的值为，则输出的值为（     ） A． B． C． D． 20．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（     ） A． B． C． D． 21．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则输出的结果是________． 22．一个数值转换机的示意图如图所示，若输入的值为，的值为，则输出的结果为_______． 23．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器），由于不小心，把一个数字污染了． (1)琪琪说：若被污染的数字为最大的负整数，输入的数为，求输出的数； (2)嘉嘉说：若被污染的数字为，输入的数是，求输出的数． 【题型5 】 24．有一种算“点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，可以添加括号使其结果等于．现有四个有理数：，，，，运用上述规则，下列算式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 25．小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我可以算得24点了！”，则他的算式是________． 26．泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 27．暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大． 这两张卡片上的数字分别是 ，积为 ． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小． 这两张卡片上的数字分别是 ，商为 ． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为，写出运算式子．（写出一种即可） 【题型6 】 28．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（     ） A．3 B．0 C．0或 D．0或3 29．对于任意式子A，B，定义：．当时，的值是（    ） A．2 B．8 C．10 D．16 30．计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．将二进制数转化成十进制数，例如：；；则将二进制数转化成十进制数的结果为_________． 31．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定，例如，则________． 32．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；；在一种八进制计数法中，它是用这八个数字来表示数，满八进一，例如：八进制数12对应十进制的数为，八进制数235对应十进制的数为，那么八进制数367对应的十进制数为_____，八进制数1573对应的十进制数为________ ． 33．计算： (1)； (2)． 34．如图，将一张边长为1分米的正方形纸片分割成7个部分，第①部分的面积是原正方形纸片面积的一半，第②部分的面积是第①部分面积的一半，第③部分的面积是第②部分面积的一半，依此类推，每一部分的面积是前一部分面积的一半． (1)求阴影部分的面积； (2)求的值． 35．类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，记作，读作“的圈次方”．如记作，读作“2的圈3次方”；记作，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：______，______； (2)除方也可以转化为幂的形式，如．试将下列运算结果直接写成幂的形式： ______；______；______； (3)计算：． 36．概念学习：规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（n个a，）记作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】 ①直接写出计算结果： ， ． ②关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非0数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n， C． D．负数的圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果是正数 (2)【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方：幂的形式 ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ， ． ②想一想：将一个非0有理数a的圈n次方写成幂的形式为 ． ③算一算：． 【题型7 】 37．2026年第一季度，我市实现农林牧渔业总产值37500000000元．该数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 38．2026年会议在深圳举行．深圳倡议会议期间“绿色出行、畅通有我”，倡导市民自愿申报停驶机动车，截至10月18日18时，绿色出行车辆停驶申报总量约286300辆．286300用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 39．2026年9月23日，第48届世界技能大赛“一省一技”特色技能展云南展区开展，昆明印彩园林以30多个品种的5000余枝云南鲜切花，创意打造鲜花大象造型，尽显云花的独特魅力．数据5000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 40．月日，由读者出版集团主办的“书城不夜，阅美凉州”——武威书展在凉州十八巷开展，汇集了多种共万册优秀图书以及多种文创产品，为当地读者奉上一场文化盛会．数据万用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 41．随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人，数据602000000用科学记数法表示为_______． 42．猛士首台量产车于年月日在猛士科技（襄阳）有限公司总装车间驶下产线．这一刻，襄阳汽车产业添上了高端智能越野这块关键拼图．猛士的量产下线已带动襄阳供应链年产值超过亿元，吸引家新能源供应链伙伴落户襄阳．其中数据用科学记数法表示为________． 43．“神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，部署于国家超级计算无锡中心，核心硬件采用完全自主设计的处理器，全系统合计约有1065万计算核心，曾登顶全球超算榜单，该超算广泛应用于气候模拟、地震重现、生物医药等前沿科研领域，能将原本需要数年的计算任务缩短至数天完成．将1065万用科学记数法表示为______． 44．我校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小鸣同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小鸣同学一周内的跑步记录，其中超过千米的记为正，不足千米的记为负． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 与计划的差值（单位：千米） (1)在这一周内，小鸣同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多________千米； (2)小鸣同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？请通过计算说明理由； (3)若小鸣同学每跑步千米大约消耗大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小鸣共计消耗多少大卡的热量？（结果用科学记数法表示） 【题型8 】 45．用四舍五入法对取近似数，精确到千位正确的是（     ） A． B． C． D． 46．吸烟不仅有害健康而且花钱．如果一位吸烟者每天吸一包元的香烟，那么他每年花在吸烟上的钱大约要（   ）元 A． B． C． D． 47．已知a，b为有理数，下列说法：①若，则a、b互为相反数；②用四舍五入法把数2020精确到百位是2000；③如果，则；④取最小值的x的值有无数个．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 48．据某市第七次全国人口普查结果显示全市常住人口约为931400人，将931400精确到万位为_______________．(用科学记数法表示) 49．鹦鹉螺在地球上已经存在超过5亿年的时间，被誉为“海洋活化石”，为研究地球生命历史提供了宝贵的信息．如图，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，将0.618精确到百分位约为________． 50．在这次新冠肺炎疫情中，武汉人民付出了巨大的牺牲，经过全国人民的共同努力，为了给全市复工复产、复学复市营造一个安全健康的环境，武汉市从5月14日0时至6月1日24时共检测9899828人，没有发现确诊病例．把横线上的数，用四舍五入法省略“万”位后面的尾数约是_________万． 51．计算： (1)； (2)； (3)（精确到）； (4)（精确到万位，并用科学记数法表示）． 【题型9 】 52．下列说法正确的是（    ） A．近似数0.61与0.610的精确度相同 B．近似数精确到十分位 C．用科学记数法表示的数，其原数是25000 D．“珠穆朗玛峰的最新测量高度为8848.86米”中的数是准确数 53．精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 54．由四舍五入得到的近似数37.5，它表示大于或等于______，而小于______的数． 55．响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 56．下列用四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型10 近似数推断取值范围】 57．下列说法中：①有理数包括整数和分数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数所表示的准确数的范围是：；⑤绝对值等于本身的数是正数．其中正确的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 58．数的近似数为，那么数的真实值的范围是（     ） A． B． C． D． 59．规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则的值是_______． 60．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数的乘方（期中重难点复习） 【新教材人教版七年级上册】 题型归纳 【题型1 有理数的乘方运算】 1 【题型2 有理数乘方逆运算】 5 【题型3 乘方的应用】 7 【题型4 程序流程图与有理数计算】 10 【题型5 算“24”点】 12 【题型6 含乘方的有理数混合运算】 14 【题型7 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 21 【题型8 求一个数的近似数】 23 【题型9 求近似数的精确度】 26 【题型10 近似数推断取值范围】 28 【题型1 】 1．下列各对数中，相等的一对数是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】明确乘方的底数范围，分别计算各选项两数的值后比较． 【详解】解：A选项，，，两数不相等； B选项，，，两数不相等； C选项，，，两数相等； D选项，，，两数不相等． 2．下列各数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】先对各数多重符号化简，再根据相反数的定义逐一判断． 【详解】解：选项，，，两数相等，不是相反数； 选项，，，两数相等，不是相反数； 选项，，，两数互为相反数； 选项，，与相等，不是相反数． 3．有下列四个算式：①；②；③；④．其中，正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则，乘方，有理数的减法法则，有理数的除法法则，解答即可． 【详解】解：① ，①错误． ② ，，②错误． ③ ，③错误． ④ ，④正确． 正确的算式共1个． 4．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则__________． 【答案】 【分析】根据相反数、倒数的定义得到与的取值，代入代数式按有理数乘方法则计算即可． 【详解】解：、 互为相反数， ， 、 互为倒数， ， ． 5．若，则______． 【答案】1 【分析】根据平方与绝对值的非负性，求出a、b的值，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先乘方，再算乘除，最后加减； （2）先算乘除，再算加减． 【详解】（1）解： ; （2）解： 【点睛】本题考查有理数的混合运算，先乘方、再乘除、最后加减． 7．在数轴上表示下列各数：，，，并用“”连接． 【答案】 【分析】先分别化简、、得到、、，再在数轴上标出，根据数轴上左边的数更小的规则比较大小． 【详解】解：先化简各数得，，， 把这三个数在数轴上表示出来，数轴上左边的数小于右边的数． ∴ 8．探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ；； ；． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得________，异号得________（填“正”或“负”），并把两数的________相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的________； (2)计算：． 【答案】(1)正，负，平方，平方 (2) 【分析】（1）根据条件中的规律解题； （2）根据（1）中的法则计算． 【详解】（1）解：由题意知，两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （2）解：原式 ． 【题型2 】 9．已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用同指数幂的除法法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 10．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 11．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 12．阅读材料：对有理数a，b，定义的含义为：当时，；当时，． 例如：；． 解决问题： (1) ； ； (2)对于有理数a，已知其满足关系式，求a的值． 【答案】(1)2；5 (2)或 【分析】（1）利用新定义计算解题即可； （2）根据，得出，结合的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； ； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，即， ∴， 当时，此时， ∴， ∴， ∴或． 综上可得：或． 【题型3 】 13．计算机利用的是二进制数，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为或．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干个与或的乘积相加，依次写出或即可．例如，所以改写成二进制为，表示十进制中的（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二进制数的位数，得到数字、从高位（左）到低位（右）依次对应的系数，按位列式并计算十进制值即可． 【详解】解：∵二进制数共有位，从高位（左）到低位（右）依次对应， ∴． 14．我们常用的十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（     ） A．1169天 B．326天 C．167天 D．11天 【答案】C 【分析】根据题意满七进一的规律列式计算即可． 【详解】解：因为满七进一， 所以从右到左依次排列的绳子，分别代表绳结数乘以，，的天数， 所以孩子自出生后的天数是：（天）． 15．若，则_____． 【答案】1 【分析】利用平方以及绝对值的非负性，可得，的值，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 16．我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：，，，，，，，，，．在电子计算机中用的是二进制，只需两个数码和，如：二进制中，等于十进制的；等于十进制的．请问二进制中的等于十进制中的_______． 【答案】 【分析】根据二进制转十进制的运算规则计算即可． 【详解】解：根据题意，二进制中的转换为十进制的计算式为 ． 17．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂3次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求2小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1)8 (2)32000 (3)32倍 【分析】（1）利用细菌分裂每次数量翻倍的规律，计算即可． （2）先计算1小时内的分裂次数，再用初始数量乘的对应次方． （3）通过两小时与1小时的分裂次数差，计算的次数差次方得到倍数． 【详解】（1）解：∵ 1个细菌每次分裂为2个，共分裂3次． ∴ 分裂后数量为（个）． （2）解：∵ 1小时分钟，细菌每12分钟分裂1次． ∴ 1小时内分裂次数为（次）． ∵ 初始有1000个细菌． ∴ 1小时后细菌数量为（个）． （3）解：∵ 2小时分钟． ∴ 2小时内分裂次数为（次）． 2小时后细菌数量为个，1小时后为个． ∴ 倍数为． 答：2小时后的数量是1小时后的32倍． 18．生活中常用的十进制是用0-9这十个数字来表示数，满十进一，例： 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数： (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10101”转化为十进制数是___________； (2)【迁移】将十进制数“2298”转化为八进制数； (3)【应用】在古代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)“21” (2)“4372” (3)42天 【详解】（1）解： ． 二进制数“10101”转化为十进制数是十进制数“21”． （2）解： ． 十进制数“2298”转化为八进制数是八进制数“4372”． （3）解：由图可知 （天）， 孩子出生的天数为42天． 【题型4 】 19．按如图所示的运算程序，若输入的值为，则输出的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照运算程序计算即可． 【详解】解：当时，． 20．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的工作原理计算即可求解． 【详解】解：当输入时，∵， ∴输出的结果是． 21．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则输出的结果是________． 【答案】 【分析】根据程序流程图可知，运算规则为，若计算结果小于则输出，否则将结果作为新的重新代入计算． 【详解】解：当时，， ， 不满足输出条件，需将重新输入 当 时，， ， 满足输出条件， 所以最后输出的结果是． 22．一个数值转换机的示意图如图所示，若输入的值为，的值为，则输出的结果为_______． 【答案】 【分析】按数值转换机的运算顺序计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 23．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器），由于不小心，把一个数字污染了． (1)琪琪说：若被污染的数字为最大的负整数，输入的数为，求输出的数； (2)嘉嘉说：若被污染的数字为，输入的数是，求输出的数． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）根据程序，列式计算即可； （2）根据程序，列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，最大的负整数是． 由题意可得， 故输出的数为13； （2）解：由题意可得， 所以不能输出， 只能把当作再次转换，即， 故输出的数为． 【题型5 】 24．有一种算“点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，可以添加括号使其结果等于．现有四个有理数：，，，，运用上述规则，下列算式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意运用有理数运算法则计算即可． 【详解】解：选项，，符合题意． 选项，，不符合题意． 选项，，不符合题意． 选项，，不符合题意． 25．小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我可以算得24点了！”，则他的算式是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：他的算式是． 26．泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 【答案】 30 ． 【分析】（1）根据乘积最大的就是找符号相同且绝对值最大的数，即可求解； （2）根据2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，应选择被除数为绝对值尽可能大、除数绝对值尽可能小； （3）用加减乘除只要得数是24即可． 【详解】解：（1）由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是； （2）由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是； （3）由题意可得， ① ②． 27．暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大． 这两张卡片上的数字分别是 ，积为 ． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小． 这两张卡片上的数字分别是 ，商为 ． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为，写出运算式子．（写出一种即可） 【答案】(1)与； (2)与； (3)（答案不唯一） 【分析】（1）两个数的乘积要最大，则所选的数的绝对值要尽可能大，且两数的符号相同； （2）两个数相除的商要最小，则先保证商是负数，在此基础上，被除数的绝对值尽可能大，除数的绝对值尽可能小； （3）用减去可得，再乘以，最后加上即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵与符号相反，与符号相同， ∴乘积最大的组合为与，最大乘积为； （2）解：∵， 又∵与符号相反， ∴两数相除的商最小的组合为与，商最小为； （3）解：根据题意得：． 【题型6 】 28．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（     ） A．3 B．0 C．0或 D．0或3 【答案】A 【分析】根据相反数、倒数、绝对值的性质求出相关整体的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：互为相反数， ， 互为倒数， 的绝对值为2， ， ． 29．对于任意式子A，B，定义：．当时，的值是（    ） A．2 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【详解】解：当时， ． 30．计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．将二进制数转化成十进制数，例如：；；则将二进制数转化成十进制数的结果为_________． 【答案】9 【分析】题干给出二进制转十进制的运算规则，即每一位数字乘以对应位的2的幂次后求和，按该规则计算给定二进制数的十进制结果即可． 【详解】解： ． 31．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定，例如，则________． 【答案】7 【分析】根据定义的新运算法则，代入对应数值计算即可. 【详解】解：∵， ∴当，时，. 32．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；；在一种八进制计数法中，它是用这八个数字来表示数，满八进一，例如：八进制数12对应十进制的数为，八进制数235对应十进制的数为，那么八进制数367对应的十进制数为_____，八进制数1573对应的十进制数为________ ． 【答案】 247 891 【分析】将八进制数转换为十进制数，需要将每位数字乘以8的相应次幂后求和即可． 【详解】解：八进制数367对应十进制的数为； 八进制数1573对应十进制的数为． 33．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 34．如图，将一张边长为1分米的正方形纸片分割成7个部分，第①部分的面积是原正方形纸片面积的一半，第②部分的面积是第①部分面积的一半，第③部分的面积是第②部分面积的一半，依此类推，每一部分的面积是前一部分面积的一半． (1)求阴影部分的面积； (2)求的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为平方分米 (2) 【分析】（1）先求出正方形纸片的面积，结合题意求出第⑥部分的面积，再结合图形分析即可得出结果； （2）由题意可得表示这个部分的面积之和，可以用正方形的总面积减去剩下的阴影部分的面积，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：正方形纸片的面积为（平方分米）， ∵第①部分的面积是原正方形纸片面积的一半， ∴第①部分的面积为（平方分米）， ∵第②部分的面积是第①部分面积的一半， ∴第②部分的面积为（平方分米）， ∵第③部分的面积是第②部分面积的一半， ∴第③部分的面积为（平方分米）， ∵依此类推，每一部分的面积是前一部分面积的一半， ∴第④部分的面积为（平方分米）， 第⑤部分的面积为（平方分米）， 第⑥部分的面积为（平方分米）， 由图可知，阴影部分的面积等于第⑥部分的面积， 故阴影部分的面积为平方分米； （2）解：∵对应第①部分的面积，对应第②部分的面积，对应第③部分的面积，…，对应第⑥部分的面积， ∴表示这个部分的面积之和，可以用正方形的总面积减去剩下的阴影部分的面积， ∴ ． 35．类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，记作，读作“的圈次方”．如记作，读作“2的圈3次方”；记作，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：______，______； (2)除方也可以转化为幂的形式，如．试将下列运算结果直接写成幂的形式： ______；______；______； (3)计算：． 【答案】(1)， (2)，， (3) 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义结合示例作答即可； （3）先求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解：∵，，， ∴ ． 36．概念学习：规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（n个a，）记作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】 ①直接写出计算结果： ， ． ②关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非0数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n， C． D．负数的圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果是正数 (2)【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方：幂的形式 ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ， ． ②想一想：将一个非0有理数a的圈n次方写成幂的形式为 ． ③算一算：． 【答案】(1)①，，②C； (2)①，②；③ 【分析】（1）①根据除方定义计算即可；②根据除方定义判断即可； （2）①根据除方运算计算即可；②根据除方运算总结规律即可；③根据除方运算转化为有理数混合运算计算即可； 【详解】（1）解：①，； ② ， 故错误的是C； （2）解：①，； ②将一个非0有理数a的圈n次方写成幂的形式为； ③ ． 【题型7 】 37．2026年第一季度，我市实现农林牧渔业总产值37500000000元．该数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的标准形式：，明确其中的取值范围是，为整数． 【详解】解：． 38．2026年会议在深圳举行．深圳倡议会议期间“绿色出行、畅通有我”，倡导市民自愿申报停驶机动车，截至10月18日18时，绿色出行车辆停驶申报总量约286300辆．286300用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，将数据写成（其中，n为正整数）的形式即可． 【详解】解：． 39．2026年9月23日，第48届世界技能大赛“一省一技”特色技能展云南展区开展，昆明印彩园林以30多个品种的5000余枝云南鲜切花，创意打造鲜花大象造型，尽显云花的独特魅力．数据5000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：数据5000用科学记数法表示为． 40．月日，由读者出版集团主办的“书城不夜，阅美凉州”——武威书展在凉州十八巷开展，汇集了多种共万册优秀图书以及多种文创产品，为当地读者奉上一场文化盛会．数据万用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把万展开可得，再用科学记数法表示． 【详解】解：万. 41．随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人，数据602000000用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】科学记数法要求形式为，其中，n为正整数，据此解答即可． 【详解】解：． 42．猛士首台量产车于年月日在猛士科技（襄阳）有限公司总装车间驶下产线．这一刻，襄阳汽车产业添上了高端智能越野这块关键拼图．猛士的量产下线已带动襄阳供应链年产值超过亿元，吸引家新能源供应链伙伴落户襄阳．其中数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：用科学记数法表示为． 43．“神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，部署于国家超级计算无锡中心，核心硬件采用完全自主设计的处理器，全系统合计约有1065万计算核心，曾登顶全球超算榜单，该超算广泛应用于气候模拟、地震重现、生物医药等前沿科研领域，能将原本需要数年的计算任务缩短至数天完成．将1065万用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：1065万． 44．我校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小鸣同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小鸣同学一周内的跑步记录，其中超过千米的记为正，不足千米的记为负． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 与计划的差值（单位：千米） (1)在这一周内，小鸣同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多________千米； (2)小鸣同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？请通过计算说明理由； (3)若小鸣同学每跑步千米大约消耗大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小鸣共计消耗多少大卡的热量？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) 解：小鸣同学这一周的跑步总路程完成了自己的计划， 理由如下： 一周与计划的差值总和为：（千米）， 一周计划总路程为（千米）， 实际总路程为（千米）， ， 完成计划； (3) 大卡 【分析】（1）根据超过千米的记为正，不足千米的记为负，可知这一周内，小鸣同学跑步路程最长的一天记作，跑步路程最短的一天记作，用最大值减去最小值即可得到小鸣同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多的路程； （2）计算出这一周小鸣实际跑步的总路程，和计划的总路程比较，可知小鸣完成了计划； （3）根据小鸣这周实际跑步的路程和每跑步千米大约消耗大卡的热量，即可计算出这周小鸣消耗的热量． 【详解】（1）解：由表格可知，这一周内，小鸣同学跑步路程最长的一天记作，跑步路程最短的一天记作， 这一周内，小鸣同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多千米； （2）略 （3）解：由（2）可知小鸣这周的实际总路程为（千米）， 每跑步千米大约消耗大卡的热量， 小鸣共计消耗大卡． 【题型8 】 45．用四舍五入法对取近似数，精确到千位正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的千位数字为1，百位数字为7， ∵ ， ∴ 精确到千位时向千位进1，舍去千位后的数，结果为． 46．吸烟不仅有害健康而且花钱．如果一位吸烟者每天吸一包元的香烟，那么他每年花在吸烟上的钱大约要（   ）元 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一年按天计算，（元）． 47．已知a，b为有理数，下列说法：①若，则a、b互为相反数；②用四舍五入法把数2020精确到百位是2000；③如果，则；④取最小值的x的值有无数个．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①∵， ∴且， ∴，即、互为相反数，正确； ②∵2020精确到百位需看十位数字2， ∴四舍五入后为， 2000精确到个位，故原说法错误； ③∵当同号时，， ∴当时，异号且或或， ∴，正确； ④当取得最小值时，则取得最小值，反之亦然， ∵当时，和能够同时取得最小值， ∴当时，取得最小值，此时取得最小值； ∴取最小值的x的值只有；故原说法错误； 综上，正确的有2个. 48．据某市第七次全国人口普查结果显示全市常住人口约为931400人，将931400精确到万位为_______________．(用科学记数法表示) 【答案】 【分析】精确到万位需依据千位数字做四舍五入，再将结果转化为指定形式的科学记数法． 【详解】解：∵931400的千位数字为1，且， ∴按照四舍五入规则舍去千位及后续数位，得到精确到万位的数值为930000， 将930000转化为符合规范的科学记数法形式，可得结果为． 49．鹦鹉螺在地球上已经存在超过5亿年的时间，被誉为“海洋活化石”，为研究地球生命历史提供了宝贵的信息．如图，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，将0.618精确到百分位约为________． 【答案】 【分析】确定精确到的数位是百分位，需观察下一位千分位上的数字，利用四舍五入法取近似值. 【详解】解：. 50．在这次新冠肺炎疫情中，武汉人民付出了巨大的牺牲，经过全国人民的共同努力，为了给全市复工复产、复学复市营造一个安全健康的环境，武汉市从5月14日0时至6月1日24时共检测9899828人，没有发现确诊病例．把横线上的数，用四舍五入法省略“万”位后面的尾数约是_________万． 【答案】990 【分析】用四舍五入法省略“万”位后面的尾数，需要观察原数千位上的数字，再根据四舍五入规则计算结果． 【详解】解：原数为，分级后可得原数千位上的数字是， ∵， ∴向万位进，原数万级上的数是， 计算得， 因此省略“万”后面的尾数约是万． 51．计算： (1)； (2)； (3)（精确到）； (4)（精确到万位，并用科学记数法表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）按有理数的混合运算顺序计算，最后按精确度要求取近似值即可； （）先将原数表示为科学记数法形式，再对对应数位四舍五入即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：． 【题型9 】 52．下列说法正确的是（    ） A．近似数0.61与0.610的精确度相同 B．近似数精确到十分位 C．用科学记数法表示的数，其原数是25000 D．“珠穆朗玛峰的最新测量高度为8848.86米”中的数是准确数 【答案】C 【详解】解：A、近似数0.61精确到百分位，0.610精确到千分位，二者精确度不同，故A错误； B、，数字9在千位，该近似数精确到千位，故B错误； C、用科学记数法表示的数，其原数是25000，故C正确； D、测量得到的高度是近似数，不是准确数，故D错误． 53．精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据精确到百分位需观察千分位数字四舍五入，结果保留两位小数，末尾的0不能省略，即可解决． 【详解】解：∵将精确到百分位，观察千分位数字为， ∴向百分位进， ∴百分位，向十分位进，百分位记， ∴十分位， ∴最终结果为． 54．由四舍五入得到的近似数37.5，它表示大于或等于______，而小于______的数． 【答案】 【分析】根据四舍五入规则，近似数精确到十分位，需根据百分位数字确定原数的取值范围． 【详解】解：∵近似数精确到十分位，四舍五入需要看百分位上的数字， ∴若原数整数部分和十分位为，要进位得到，则百分位数字需大于或等于，最小为； 若原数整数部分和十分位为，要舍去百分位得到，则百分位数字需小于，即原数小于； ∴近似数表示大于或等于而小于的数． 55．响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 【答案】千分 【分析】本题考查近似数的精确度．熟悉近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定，是解题的关键． 对于小数，根据最后一位数字在千分位上确定它精确到的数位． 【详解】解：近似数“”的最后一位数字是，位于千分位，因此精确到千分位． 故答案为：千分． 56．下列用四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)精确到百分位 (2)精确到百万分位 (3)精确到万位 (4)精确到千分位 【分析】根据近似数的定义，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度，即可得出答案. 【详解】（1）解：最后一位的7在百分位， 所以精确到百分位． （2）解：最后一位的0在百万分位， 所以精确到百万分位． （3）解：的最后一个1在万位， 所以精确到万位． （4）解：最后一位的0在千分位， 所以精确到千分位． 【题型10 近似数推断取值范围】 57．下列说法中：①有理数包括整数和分数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数所表示的准确数的范围是：；⑤绝对值等于本身的数是正数．其中正确的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据有理数的定义、数轴、有理数的运算法则、近似数及绝对值的性质逐一判断即可． 【详解】解：①有理数包括整数和分数，该选项说法正确； ②数轴上的点与有理数不是一一对应，该选项说法错误； ③因为两个有理数的积为负数，所以两数异号，又因为两数的和为正数，所以正数的绝对值大，该选项说法正确； ④近似数精确到百分位，准确数的范围是，该选项说法错误； ⑤绝对值等于本身的数是正数或，该选项说法错误； 综上，正确的说法有个． 58．数的近似数为，那么数的真实值的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四舍五入的法则解答即可． 【详解】解：近似数精确到百分位， ∵ 当千分位数字时，向百分位进1可得到， ∴ 的最小值为， ∵ 当千分位数字时，舍去千分位及后续数位可得到， ∴ ， ∴  ． 59．规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则的值是_______． 【答案】 【详解】解：∵ 表示不超过的最大整数，且， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 60．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1)原轴长的合格范围为大于或等于，且小于 (2)产品不合格 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，熟知近似数的相关知识是解题的关键． （1）图纸要求精确到，相当于要精确到小数点后两位，据此根据四舍五入的方法求解即可； （2）根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵， ∴产品不合格． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $