2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 期中自编测试（3）

2026-2027学年九年级上册沪教版五四制期中自编测试（3） （上海专用）原卷版A4 （满分150分　考试时间100分钟） 1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）第27章 二次函数、第28章 相似三角形 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填在答题纸的相应位置上】 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 3．将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 （    ） A． B． C． D． 4．抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 5．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知二次函数，当时，函数的值是 ． 8．抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 9．已知二次函数，当时，的最小值是______． 10．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 11．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 12．在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是______． 13．已知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 14．如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______．    15．∽且，，DE边上的中线长为10，则AB边上的中 线长为 ． 16．两个相似三角形的相似比为，且面积的和为130cm2，那么较大的三角形 的面积为 ． 17．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______． 三、解答题：（本大题共7题，第18～20题每题10分，第21、22题每题12分，第23题13分，第24题15分，满分82分） 18．已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 19．已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 20．已知：如图，在中，点D在边上，点E在线段上，且 (1)求证：； (2)当点E为中点时，求证：． 21．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 22．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． (3)点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 23．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 24．在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线解析式； (2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标； (3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册沪教版五四制期中自编测试（3） （上海专用）详细解析版 （满分150分　考试时间100分钟） 1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）第27章 二次函数、第28章 相似三角形 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填在答题纸的相应位置上】 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 2．在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：， ∴抛物线有最高点，最高点的坐标是； 故选：C． 3．将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查的是二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】解：把二次函数的图象向右平移5个单位， 得：． 故选：A． 4．抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 5．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，正方形和矩形的性质，设，根据相似多边形的性质，列出比例式求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 设， 矩形矩形，， ． ， 或（舍弃）， ， 故选：． 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知二次函数，当时，函数的值是 ． 【答案】-1 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】将x的值代入计算即可； 【详解】解：当时 ==-1 故答案为：-1 【点睛】本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键． 8．抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 【答案】 向下 y轴 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下， 该二次函数为的形式， 可得顶点坐标为，对称轴为y轴． 9．已知二次函数，当时，的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像，解题的关键是根据图像的性质判断取值．根据二次函数顶点式图像的性质，可知函数图像开口向下，离对称轴越远，取值越小．据此即可获得答案． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ， 函数图像开口向下， 离对称轴越远，取值越小， ， 当时，取最小值，最小值为． 故答案为：． 10．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 11．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 解答题 12．在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是______． 【答案】 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： y=4-(2-2x)²=-4x2+8x（0＜x＜1）， 故答案为：． 13．已知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 【答案】3 【详解】解：线段，， 线段、的比例中项． 故答案为：3． 14．如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______．    【答案】16 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 故答案为：16． 15．∽且，，DE边上的中线长为10，则AB边上的中 线长为 ． 【答案】5． 【解析】解：， DE边上的中线与AB边上的中线的比等于相似比 相似比为，AB边上的中线长为5． 【总结】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应中线比等于相似比． 16．两个相似三角形的相似比为，且面积的和为130cm2，那么较大的三角形 的面积为 ． 【答案】． 【解析】略． 【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方． 17．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似的定义、相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．由题意可得，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片， ∴， ∵的面积为6， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，第18～20题每题10分，第21、22题每题12分，第23题13分，第24题15分，满分82分） 18．已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线 【分析】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质是解决此题的关键． （1）利用描点法画出函数图象； （2）利用配方法将函数解析式化为顶点式，由的符号及配方结果直接确定抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）二次函数的解析式为， 抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线． 19．已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为； (2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移． （1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标； （2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 20．已知：如图，在中，点D在边上，点E在线段上，且 (1)求证：； (2)当点E为中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意并结合三角形外角的定义及性质得出，再结合即可证明出，即可得证； （2）证明，得出，再由点E为中点，得出，从而可得，证明，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）w关于x的函数关系式为；（2）销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润是50万元。 【详解】（1）当时，； 当时，． 故该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式为 ； （2）当时，， 所以当时，w取得最大值50； 当时，． 因为，所以w随x的增大而增大， 所以当时，w取得最大值50． 所以销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润是50万元． 22．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． (3)点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得平移后的点的坐标为，代入函数解析式得出，根据，，解不等式即可求解； （3）先求得抛物线与坐标轴的交点，，不重合，则，分情况讨论，当在直线上时，得出；当不在直线上时，直线与抛物线交于点和，分和两种情况讨论，分别列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ∴； （2）解：向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，为 ∵在； ∴ 解得： ∵且 ∴ 解不等式得或， 解不等式得， 又因， ∴ ∴的最大值为； （3）解：当时， 解得：或 ∴， ∵ ∴顶点坐标为 过点作直线轴， 则 解得： ∵不重合，则， 当在直线上时，，解得：或（舍去） 当时，，即点，直线为轴，不符合题意，则 当不在直线上时，直线与抛物线交于点和 ①当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足或 当时，则， 当时，则； ∴或； ②当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足或 当时，则， 当时，则（矛盾，舍去） ∴ 综上所述，或或． 23．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，线段的比，平行四边形的性质，掌握平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，结合（1）可得出，从而即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴． 24．在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线解析式； (2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标； (3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据旋转的性质求解、正切的概念辨析 【分析】（1）根据一次函数解析式，求得点，代入，即可求解； （2）过点作轴，垂足为，过点作于点，证明得出，代入抛物线解析式即可求解； （3）设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作，由得出，根据，列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， 当时，， ∴， 若抛物线经过点，则 解得：或（舍去） ∴抛物线解析式为； （2）∵的顶点为． ∴ 如图所示，过点作轴，垂足为，过点作于点， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵在抛物线上， ∴ 解得：， ∴， （3）解：如图所示，设直线与轴交于点，与轴交于点， 由，令，得，则， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则 过点作，则是等腰直角三角形，则，则 ∴ ∵， ∴ 又 ∴ 即 ∴ 解得：或（舍去） 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正切的定义，解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，熟练以上知识掌握是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $