精品解析：河南省郑州市第十一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

28届高二10月月考数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2. 若两条直线与相互垂直，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值. 【详解】因为，则，解得或. 故选：C. 3. 在空间直角坐标系中，已知，则到的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量法求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以到的距离为， 故选：D 4. 圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 5. 已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆心C关于x轴的对称点，先求得的最小值，结合图象进而求得的最小值. 【详解】圆，圆心，半径为， 则圆心关于x轴的对称点为， 则， 当且仅当三点共线时取得最小值， 结合图像可知. 故选：C 6. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则P、A、B、C四点共面 B. 已知向量，，则在上的投影向量为 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由，可判断；对于B，应用求解即可；对于C，可证得；对于D，直接求出对称点即可. 【详解】对于A项：因为， 则，而， 所以P、A、B、C四点不共面，A错误； 对于B项：在上的投影向量为，故B正确； 对于C项：因为，则，故C错误； 对于D项：点关于平面对称的点的坐标是，故D错误. 故选：B 7. 在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为是对棱相等的棱锥，所以将三棱锥放在长方体更容易求解. 【详解】 令长方体长、宽、高分别为由图的 由图可得：, 令平面法向量， 所以：所以， 点D到平面的距离即在投影向量的模长， ， 所以点D到平面的距离为. 8. 直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件求出侧棱长，然后建立空间直角坐标系，求出直线和的方向向量，从而可求解. 【详解】因为在直三棱柱中，所以球心到底面的距离， 又因为，所以，所以，所以底面外接圆半径， 又因为球的表面积为，所以， 而，所以， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则 ，，，， ， ， 设直线和所成的角为，则 . 故选：A. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】由空间向量位置关系，建立方程，解得，判断AB选项；由空间向量坐标及向量的模长建立方程，解得，判断C选项；由空间向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，从而求得其正弦值，判断D选项. 【详解】A选项，当，则，所以，A错误； B选项，当时，则，所以，B选项正确； C选项，，所以，，C选项正确； D选项，， 因为，所以，D选项错误. 10. 已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（ ） A. A点的坐标为 B. C. 的最大值为5 D. 点P到原点O的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项可通过分离参数求直线过的定点判断；B先求两直线定点及垂直关系，再用勾股定理求平方和即可判断；C利用参数方程表示和，结合辅助角公式求最大值；D由确定的轨迹为圆，再用圆心到原点的距离减去半径求最小值. 【详解】对于A：由得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于B：由得，故直线恒过定点, 由和, 满足，所以， 所以，则,所以B正确； 对于C：因为, 且，设为锐角, 则, ， 所以, 其中， 所以当时, 取最大值, 故选项C错误； 对于D：由,取中点，所以,所以在以为直径的圆上，圆心为中点，半径， 原点到圆心的距离，故 ，所以D正确. 11. 正方体棱长为，下列说法中正确的有（ ） A. 若点在底面（含边界）内，且，则的轨迹的长度为 B. 空间中，点满足，则的轨迹与正方体表面的交线长度为 C. 平面截正方体所得截面多边形是直角梯形 D. 平面将正方体分成两个几何体的体积分别为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，设，由条件可得，由此确定轨迹和轨迹长度，对于B，设，由条件确定轨迹方程，再判断轨迹与正方体表面的交线的形状，再求其长度即可判断，对于C，过点作，点在上，再利用向量方法确定截面性质即可判断，对于D，由结合锥体体积公式求其值即可判断. 【详解】以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 由得 ， 对于选项A，设在底面上，，， 则，， 由，得，化简得 ， 该直线与正方形 的交点为和 ， 轨迹长度为，A正确； 对于B，设，由，得， 所以， 所以， 即的轨迹是球心在、半径的球面， 该球仅和正方体的三个面相交，每个面上的交线都是半径为的四分之一圆， 总长度为 ，B正确， 对于C，过点作，点在上，连接， 则过的截面为四边形， 因为，设，， 所以，故，， 所以，， 所以四边形为梯形，，又， 所以，， 所以与不垂直，与不垂直，所以四边形不是直角梯形，C错误， 对于选项D，由已知， 梯形的面积， 因为平面，故四棱锥的高为， 因为，所以的面积， 因为平面，，所以三棱锥的体积， ，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数______. 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论，由截距式方程的概念求解即可 【详解】当时，直线方程为，故直线在轴上没有截距，不符合题意； 当时，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 故，解得或. 故答案为：或 13. 已知直线：，：，：把平面分成六个部分，则实数的取值可能为________． 【答案】 ，， 【解析】 【分析】根据三条直线将平面划分为6个部分的两类等价条件（有且仅有两条直线平行、三条直线共点），结合已知直线方程分类求解的取值. 【详解】三条直线把平面分成6个部分等价于三条直线无法构成三角形，包含两类情况：①有且仅有两条直线平行；②三条直线交于同一点； 易知直线的斜率，直线的斜率， 显然，故与相交，联立两直线方程 ，解得交点坐标为； 对直线分类讨论： 当与平行时，的斜率存在且，令，解得， 此时与不重合，满足条件； 当与平行时，的斜率存在，令，解得， 此时与不重合，满足条件； 当三条直线共点时，将交点代入的方程得，解得，满足条件； 综上，实数的取值为. 14. 如图，在平面四边形中，已知是等腰直角三角形，，是边长为的正三角形．现将沿对角线折起到的位置．若平面，是线段上的点，且满足，点，分别是平面与平面内的动点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，作关于平面的对称点，转化成求到平面的最短距离即可. 【详解】由平面，，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 而是等腰直角三角形，，是边长为的正三角形， 则，点， ，设平面的法向量， 则，取，得， 由是线段上的点，且满足，得， 点关于平面的对称点，， 因此点到平面的距离， 由，得， 当且仅当平面于点，且是线段与平面的交点时取等号， 所以的最小值为. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出边的中点坐标，再根据直线两点间的斜率公式得到中线斜率，使用点斜式写出直线方程；（2）设圆的一般方程，代入顶点坐标即可求出外接圆的方程. 【详解】（1）线段中点为，则边中线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为化简得， （2）设外接圆一般方程为，代入三点坐标得， 解得， 即的外接圆方程为， 即. 16. 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． （1）以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； （2）在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． 【小问2详解】 显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 17. 如图所示，四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点． （1）求与底面所成角的大小； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，由正三角形三线合一得到线线垂直，结合线面垂直，得到线面角，然后由三角形边长关系求得线面角； （2）由（1）得到三直线两两垂直，由此建立空间直角坐标系，然后写出点坐标得到向量坐标，分别求出平面的一个法向量，然后通过法向量的夹角的余弦值求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 取中点，连接， 在正中，，平面， 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面，所以与底面所成角为， 平面，所以， 在菱形中，因为，所以为正三角形， 所以，又是边长为的正三角形， 所以，所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知， 如图，建立以为原点的空间直角坐标系， 所以 所以， 所以向量， 令向量分别为平面的一个法向量， 则，令，则，即. ，令，则，即， 所以 令二面角为，由观察可知为钝角， 所以. 18. 已知直线及点和点，为上一动点． （1）求的最小值并求出此时点的坐标； （2）在（1）的条件下，直线经过点且与轴正半轴､轴正半轴分别交于､两点，当直线与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）最小值为， （2） 【解析】 【分析】（1）设关于直线的对称点，利用即可求解； （2）设直线的方程为，求出在坐标轴上的截距，表示出三角形的面积，利用均值不等式求解. 【小问1详解】 设关于直线的对称点， 则且， 解得，即， ， 此时，， ， 即，与联立，解得； 【小问2详解】 由题可知直线的斜率存在且为负，设直线的方程为， 令，则，令，则， 所以三角形面积 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立，， 此时直线的方程为，化简得. 19. 已知一组空间向量，，，，，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”． （1）已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围． （2）四面体内接于以为球心，为半径的球，且. ①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由． ②求四面体体积的最大值． 【答案】（1） （2）①因为四面体内接于球，所以， 因为，所以，所以 等式两边同时平方得，所以，即， 所以，且，，，在同一平面内． 如图所示，以为原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点，，所以，， 将其代入中，得， 所以 ， 由“向量”的定义，得，都是向量组，，的“向量”． ② 【解析】 【分析】（1）根据题干信息求出，再代入题干关系得到不等式，解得的取值范围； （2）①由结合向量的运算可得，且，，，在同一平面内，随之将问题转化为平面向量的问题，再依次分析，，哪个满足“向量”的定义； ②由①可知过球心，平面时，四面体的体积取得最大值. 【小问1详解】 因为，，， 所以，，． 又因为是向量组，，的“向量”， 所以，所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． 【小问2详解】 ①略 ②由①得，且，，，在同一平面内，所以在过球心的截面上， 又因为，所以， 等式两边同时平方可得， 所以，所以， 同理可得， 等式两边同时平方可得， 所以，所以， 则 当平面时，四面体的体积取得最大值， 此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 28届高二10月月考数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若两条直线与相互垂直，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 在空间直角坐标系中，已知，则到的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 5. 已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则P、A、B、C四点共面 B. 已知向量，，则在上的投影向量为 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 点关于平面对称的点的坐标是 7. 在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（ ） A. A点的坐标为 B. C. 的最大值为5 D. 点P到原点O的距离的最小值为 11. 正方体棱长为，下列说法中正确的有（ ） A. 若点在底面（含边界）内，且，则的轨迹的长度为 B. 空间中，点满足，则的轨迹与正方体表面的交线长度为 C. 平面截正方体所得截面多边形是直角梯形 D. 平面将正方体分成两个几何体的体积分别为，且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数______. 13. 已知直线：，：，：把平面分成六个部分，则实数的取值可能为________． 14. 如图，在平面四边形中，已知是等腰直角三角形，，是边长为的正三角形．现将沿对角线折起到的位置．若平面，是线段上的点，且满足，点，分别是平面与平面内的动点，则的最小值为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程. 16. 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． （1）以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； （2）在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 17. 如图所示，四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点． （1）求与底面所成角的大小； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知直线及点和点，为上一动点． （1）求的最小值并求出此时点的坐标； （2）在（1）的条件下，直线经过点且与轴正半轴､轴正半轴分别交于､两点，当直线与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求直线的方程． 19. 已知一组空间向量，，，，，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”． （1）已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围． （2）四面体内接于以为球心，为半径的球，且. ①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由． ②求四面体体积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $