第21章《一元二次方程》单元测试卷 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

( 学校： 考号： 姓名： 班级： 密 封 线 内 不 要 答 题 密 封 线 )华东师大版九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ 　　） A、 B、 C、 D、 2、用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A、 B、 C、 D、 3、若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（　　） A、 B、 C、 D、 4、已知a是方程的一个根，则（　　） A、2022 B、2023 C、2024 D、2025 5、三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A、12 B、13 C、14 D、12或14 6、对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算：.例如： ，则关于x的方程的根的情况为（　　） A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定 7、若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　） A、2024 B、2026 C、2028 D、4052 8、《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的长与宽各是多少？（1丈＝10尺）如果我们假设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为（　　） A、 B、 C、 D、 9、甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床症状以发热、乏力、干咳为主要表现。在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A、 B、 C、 D、 10、定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（　　） A、 B、或 C、 D、1或 11、对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法。以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为.小美尝试用此方法解关于x的方程，构造如图2所示的图形。若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（      ） ( 图 1 图 2 ) A、4 B、5 C、6 D、7 12、已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是（　　） A、11 B、20 C、28 D、36 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_____； 14、若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为______________； 15、已知m，n满足，，则的值为_________； 16、定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则. 三、解答题（本大题6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题满分10分）解方程： （1）； （2） 18、（本小题满分8分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值。 19、（本小题满分8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长是8m的住房墙，另外三边用24m长的建筑材料围成，为方便进出，各留一个1m宽的门。 （1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为42； （2）所围矩形猪舍的面积能是54吗？请说明理由。 ( 门 门 门 ) ( 密 封 线 内 不 要 答 题 线 封 密 )20、（本小题满分10分）隆昌某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务。 试题：已知，求的值。 小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设， 则原方程可变形为 即；解得，，∴或 小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法。 任务： （1）已知x、y满足，求的值； （2）若a、b满足，求的值。 21、（本小题满分10分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值。 解： ∵， ∴，即的最小值是1 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它的最大值； ( B A C Q P )（2）知识迁移：如图，在中，，，，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动。若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值。 22、（本小题满分10分）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个。 （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 华东师大版九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷（原卷版）———————第 4 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ 　C　） A、 B、 C、 D、 2、用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　B　） A、 B、 C、 D、 3、若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（　D　） A、 B、 C、 D、 4、已知a是方程的一个根，则（　C　） A、2022 B、2023 C、2024 D、2025 5、三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（　C　） A、12 B、13 C、14 D、12或14 6、对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算：.例如： ，则关于x的方程的根的情况为（　A　） A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定 7、若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　C　） A、2024 B、2026 C、2028 D、4052 8、《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的长与宽各是多少？（1丈＝10尺）如果我们假设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为（　B　） A、 B、 C、 D、 9、甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床症状以发热、乏力、干咳为主要表现。在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　C　） A、 B、 C、 D、 10、定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（　B　） A、 B、或 C、 D、1或 11、对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法。以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为.小美尝试用此方法解关于x的方程，构造如图2所示的图形。若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（   A   ） ( 图 1 图 2 ) A、4 B、5 C、6 D、7 12、已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是（　D　） A、11 B、20 C、28 D、36 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_____；【答案】2 14、若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为______________；【答案】， 15、已知m，n满足，，则的值为____；【答案】2或﹣14 16、定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则.【答案】3 三、解答题（本大题6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题满分10分）解方程： （1）； （2） 【解答】解：（1） ∴，； （2） ，即 或 ∴，； 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法、配方法，正确计算是解题的关键。 18、（本小题满分8分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值。 【解答】解：（1）∵关于x的方程有两个实数根， ∴ ∴ （2）由根与系数的关系得：， ∵ ∴ ∴ 即 解得：或 ∵， ∴． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是根据方程解的情况结合根的判别式得出关于k的不等式。 19、（本小题满分8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长是8m的住房墙，另外三边用24m长的建筑材料围成，为方便进出，各留一个1m宽的门。 （1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为42； （2）所围矩形猪舍的面积能是54吗？请说明理由。 【解答】解：（1）设与住房墙平行的矩形边长为xm，则与住房墙垂直的矩形边长为 ( 门 门 门 )由题意得： 解得或 ∵ ∴ ∴ 答：所围矩形猪舍的长为7m、宽为6m时，猪舍面积为42； （2）所围矩形猪舍的面积不能是54，理由如下： 设与住房墙平行的矩形边长为am，则与住房墙垂直的矩形边长为 由题意得： 解得或 ∵猪舍的一边利用长是8m的住房墙 ∴ ∴和均不符合题意 ∴所围矩形猪舍的面积不能是54． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键。 20、（本小题满分10分）隆昌某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务。 试题：已知，求的值。 小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设， 则原方程可变形为 即；解得，，∴或 小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法。 任务： （1）已知x、y满足，求的值； （2）若a、b满足，求的值。 【解答】解：（1）已知x、y满足 设（） ∴ ∴ ∴ 因式分解得： 解得：，（舍去） ∴． （2）∵，设 ∴ ∴ 因式分解得： 解得：， ∴或． 【点评】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键。 21、（本小题满分10分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值。 解： ∵， ∴，即的最小值是1 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它的最大值； （2）知识迁移：如图，在中，，，，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动。若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值。 ( B A C Q P )【解答】解：（1） ∵ ∴ ∴的最大值为； （2）由题意可得： 点P从A点运动到C点所需时间为，点Q从C点运动到B点所需时间为 ∴ ∴S的最小值为20． 【点评】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键。 22、（本小题满分10分）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个。 （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得： ∴，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，由题意得： ∴， ∵尽可能让顾客得到实惠 ∴． 答：该品牌头盔的实际售价应定为404元/个。 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键。 华东师大版九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷（解析版）———————第 6 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $