第21章 一元二次方程 学情评估-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

HB=MF=M'F'=PQ=P'Q'=1.4 m. .EM=E'M'=2.8-1.4=1.4m. 2号-√停=√x号=2√ 由题意知，EF∥AB, ∴.∠HAP=∠MEP,∠AHP=∠EMP, V3g-√唇-√xg=√层， △HAPAMEP,-票， √4高-√詹-√16x盖=4√凭， 同理可得，是-那， 故式子成立. HP HP' :EM-EM',MP-MP! (2V6第=V需（答案不唯-） .HP=BQ,HP'=BQ=BQ+QQ=BQ+30, n ÷得-2”，解得B0=6HP=5m (3)规律√nn”=m√”n≥2且n是正整数). 代人是-器得性， (4)证明：√nn2-1=√n2-1 n 解得AH=42, nNn-1 .AB=AH+BH=42+1.4=43.4(m). 23.(1)2-2 即妙光塔AB的高度为43.4m. 第20章学情评估 (2y=+3x+16=x+15+3, x x 1.B2.B3.B4.B5.D6.D7.A8.C9.A10.D 11.x≥-1且x≠012.2-m13.714.7或815.-1 “x>0x+9+3≥2x+3=1. 16.(1)原式=1+9+√2-1-3+√2+1=7+2√2. 六当且仅当x=1即x=4时取等号， (2)原式=V4s÷3+√合×12-26 y的最小值为11. =4+√6-2√6 (3)设S△0c=x,已知S△MoB=9,SAoD=16, =4-√6. 则由等高三角形性质可知，A Ac=△oE=BO SAAOD DO' 17.(1)由题意，得3x-10=2,2x+y一5=x-3y+11,解得 x=4,y=3. 9.S=144. x (2)当x=4,y=3时，√2+y=√42+32=5. “四边形ABCD的面积=16+9十z+144≥25+ 18.(1)x=23-3, x ∴.原式=(2W3-3)2-(2√3+3)(23-3)-5 2√x4-49, =12-12W3+9-(12-9)-5 当且仅当x=12时取等号，即四边形ABCD的最小面积 =12-12√3+9-3-5 为49. =13-12W3, 第21章学情评估 (2):2<√5<3，∴√5的整数部分a=2,小数部分b=5 1.D2.A3.C4.D5.C6.A7.B8.C9.D10.D -2. 11.-412.213.x=x2=314.715.4 则a2+b2=22+(W5-2)2=4+5-4√5+4=13-4√5. 16.(1)x1=3,x2=-1.(2)x1=3,x2=-1. a(a>0), 19.(1)√a=|a=0(a=0), (3)=3+ 2 5,=-3,5.(4)五1==5. 2 -a(a<0). 17.(1),关于x的方程(m-1)x2+5x十m2-3m十2=0的 (2)①π-3.14②2-x 常数项为0， (3)5x≤8 ∴.m2-3m+2=0, 20.(1)22 解得m1=1,m2=2, ∴.m的值为1或2. (2)根据题意，得(W3-1)×(m-√3)=-2， (2)当m=1时，5x=0,解得x=0. 所以店=后名=-5+ 当m=2时，代入(m-1)x2+5x十m2-3m+2=0,得x2+ 5x=0, 解得m=一1， 解得x1=0,x2=一5. 即m的值为-1. 18.(1)证明：x2-(2k+1)x+k2+k=0, 21.（1)3√2 .△=[-(2k十1)]2-4(2+k)=4k2+4k+1-4k2-4k (2):正方形木板B的面积为32dm2, =1>0. ∴.正方形木板B的边长为√32=4√2(dm). .无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根 ∴.阴影部分的宽为4√2-3√2=√2(dm). (2)由题意，x1十x2=2k十1，西1x2=2十k, ∴.阴影部分的面积为3√2×√2=6(dm2). x十x=(x1十x2)2-2x1x2=(2k十1)2-2(k+k)= 即图1中阴影部分的面积为6dm2. 10, (3)不能截出.理由如下： 2k2+2k-9=0, .4=22-4×2×(-9)=4+72=76>0, √25=5,2×5=10， .两个正方形木板放在一起的宽为5dm,长为l0dm. 解得=一1±19 2 由(2)可得长方形木板的长为7√2dm,宽为4√2dm. 19.(1)设左上角的数（最小数）为x,则右下角的数（最大数） .4√2>5，但7√2<10， 为(x十8)，依题意，得 .不能截出. x(x+8)=84,解得x1=6,x2=-14(舍去)， 22.(1)√// .最小数为6. 30 一探究在线·九年 (2)依题意，得x(x十8)=33，解得=3，x=一11（舍去）， 18.(1)(2)(3)如图所示 由图可知，当最小数为3时，不能圈出4个数， 最小数与最大数的乘积不能为33. 20.(1)售价每降低2元时，月销售量可增加40件 (2)售价降低了x元 (3)根据题意，得(80-50-x)(200+号×40）=7920， 图①（相似比为整数） 图②（相似比不为整数 图③（面积最大） 整理，得x2-20x十96=0，解得x1=8,x2=12, 19..∠1=∠2，∴.∠2+∠DAC=∠1+∠DAC. 又要让顾客得到更大的实惠，∴.x=12. ∴∠DAE=∠BAC .∴.80-x=80-12=68. .AB_AD AC 答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到 A元-AE·AD= 7920元. ∴△ADE∽△ABC.∠D=∠B. 21.(1)x2+x-2=0(答案不唯一) (2)1 :∠BFA=∠DFC,∴△ABF∽△CDF. (3).方程x2十mx十n=0是“凤凰”方程， 膘器 ∴.1+m+n=0..m=-n-1. ∴.AF·DF=BF·CF 又方程x2十mx十n=0有两个相等的实数根， 20..∠DAB=∠ECB,∠ABD=∠CBE, ∴.△=m2-4n=0,即(-n-1)2一4n=0. .∴.n2-2n+1=0. △ABD△CBE带2即品 解得n1=n2=1,'.m=-1-1=-2. ∴.mn=-2X1=-2. :∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠DBE=∠DBC+∠CBE, .∠ABC=∠DBE.∴.△ABCC∽△DBE 22.设x秒钟时，△DPQ的面积等于8. 由题意，得S△DPQ=S梯形PDC一S△PBQ一S△DcQ=8, 21.BC∥EF,AB⊥BC,CE⊥EF, 即12(6，+）-x-6122m=8. ·∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90. 2 2 .△ABC∽△CED. 整理，得x2一12x十8=0， 0器即哈装部D=09 解得x1=6十2√7（不合题意，舍去），x2=6-2√7. CE⊥EF,FH⊥EF,∠CED=∠HFD=90. .(6一2√7)秒时，△DPQ的面积等于8. :∠CDE=∠HDF,.△CED∽△HFD. 23.(1)y+1=5 y 2i “FH-DF 是-器哈腊-05DF=7.2 （2)由1).得原方程可变形为十号-号， .EF=ED+DF=0.9+7.2=8.1(米) .河的宽度EF为8.1米 整理，得2y2-5y十2=0.解得n=2,%=号 22.(1)证明：：DE∥BC,∴.∠EFC=∠ACB. ·∠DEC=∠A,∴.△EFC∽△ACB. 当，千=2时，方程可整理为2x2-x十2=0。 .△=b2-4ac=-15<0, 20DF/Bc瓷-品-子 方程无解 .AC=10,AF=2,FC=8. 当千合时，方程可整理为r-2x十1=0， 由(1)得△EFC∽△ACB, 解得x1=x2=1.经检验，x=1是原方程的根. ÷E-能EF,BC-CP·AC=8X10=8a .原方程的根为x=1. ②'∠E=∠A,∠EFC=∠AFD,.△CEF∽△DAF. 第22章学情评估 1.C2.D3.C4.D5.B6.A7.B8.C9.C10.C S△DAF 1.35×1012.118.914.4或715.41 SADAF:SAADC=AF:AC=2:10=1:5, ∴.SAADC=5 SADAF. 16.(1)1-2 AD:BD=1:4,∴.S△cD=4 SAADC. (2)平面直角坐标系如图.教学楼的坐标为(0，一2)，体育 馆的坐标为（一1,2）. ∴5sw-4X5am-20x气5oam-55am 最 23.(1)证明：.四边形ABCD是正方形 术楼 .AD=DC,∠ADC=∠BCD=90°， ∠ADB=∠CDB=45°. 教学楼 ∴.∠ADC=∠DCF=90 17.(1)△A1B1C如图所示. DE=CF,.△ADE≌△DCF(SAS), (2)△A2B2C2如图所示.(-2,8) .∠DAE=∠CDF (3)A1C1∥B2C2 ∴.∠DAE+∠ADB=∠CDF+∠CDB. 即∠HDG=∠HGD, .DH=GH (2)证明：，四边形ABCD是正方形， .AB∥DC,AB=AD. ∴.∠BAG=∠DEG,∠ABG=∠EDG. △ABGn△EDG,器2品 :∠HDE=∠HAD,∠DHE=∠AHD, 级数学（上）·HD一B-- 第21章学情评估 评估内容：一元二次方程 (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 ( A.ax2+bx+c=0 B.3x(2x-1)=6.x2+5x c+2=0 D.3(x+1)2=2(x+1) 2.一元二次方程3x2一5=4x的二次项系数、一次项系数、常 数项分别是 ( A.3,-4,-5 B.3,-4,5 C.3,4,5 D.3,4,-5 密 太3.方程2x(x-3)=5(x-3)的解是 A.x=3 B.x=5 2 C.x1=3,x2=2 D.x=-3 叙 4.利用公式法解一元二次方程3x2一11x一1=0，可得两个根 封 为a、b,且a>b,则a值为 () A.-11+/109 B.-11+V/133 6 6 C.1+109 D.11+133 6 6 5.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程 (x一2)(x一4)=0的一个根，则这个三角形的周长是() 线 A.11 B.11或13 C.13 D.以上选项都不正确 》 i 6.已知a、b、c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的方 程ax2十bx十c=0的根的情况是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 7.某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改 革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百 分数，且三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x, 则可列方程为 A.200+200(1十x)2=1400 B.200+200(1+x)十200(1+x)2=1400 C.200(1+x)2=1400 D.200(1+x)+200(1十x)2=1400 8.已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a十m)(a十n)=2,(b +m)(b十n)=2,则ab-mn的值为 () A.4 B.1 C.-2 D.-1 9.在毕业季，3班同学互赠一寸相片留念，据统计，全班送出 的相片共计2256张，则这个班有同学 () A.45位 B.46位 C.47位 D.48位 10.对于一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)，下列说法中正 确的有 () ①若a十c=0,方程ax2十bx十c=0有两个不等的实数根； ②若方程ax2十bx十c=0有两个不等的实数根，则方程 cx2十bx十a=0也一定有两个不等的实数根； ③若c是方程ax2+bx十c=0的一个根，则一定有ac十b +1=0成立； ④若m是方程ax2十bx十c=0的一个根，则一定有b2一 4ac=(2am+b)2成立. A.①②④ B.②③ C.③④ D.①④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.已知关于x的方程x2+mx-4=0的一个根为1，则该方 程的另一个根为 12.若关于x的方程x2一2(m+1)x十m十4=0两根的倒数和 为1，则m的值为 13.在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b=a2十b, a★0-空，则方程3攻x=★12的解为 14.若一个多边形的对角线共有14条，则这个多边形的边数 是 15.如图，用长为20m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方 形花圃，花圃一面靠墙（墙的最大可用长度为11m),为了 方便出入，在建造篱笆花圃时，用其他材料在BC边上做 了宽为1m的两扇小门.若花圃的面积刚好为40m,则此 时花圃AB段的长为 m. 墙长11m m 一探究在线·九年级数学（上）·HD一 三、解答题（共75分） 16.(每小题3分，共12分)解下列方程： (1)3(x-1)2-12=0; (2)x2-1=2(x+1); (3)x2+3x+1=0; (4)(x+√5)2=4√5x. 17.(6分)已知关于x的方程(m-1)x2+5x+m2-3m十2=0 的常数项为0. (1)求m的值； (2)求方程的解. 03 18.（8分)（周口期末）已知关于x的一元二次方程x2一(2k十 1)x+k2十k=0. (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根x1、x2满足x十x=10,求k 的值. 19.(8分)如图是某个月的月历表，在表上可以用一个方框圈 出4个数（如图所示）.请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84， 求最小数； (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33 吗？请说明理由 日一二三四五六 九k23 45678910 11121314151617 18192021222324 252627282930 20.(9分)某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一 个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售 量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场 调查， 如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？ 解：设… 根据题意，得(80-50-x)(200+乏×40)=7920， 04 根据上面所列方程，完成下列任务： (1)将数学问题中横线上所缺的条件补充完整； (2)所列方程中未知数x的实际意义是 (3)请写出解决上述数学问题完整的解题过程. 21.(10分)定义：如果一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)满足a 十b十c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程. (1)写出一个“凤凰”方程： (2)“凤凰”方程必定有一个根是； (3)已知方程x2十mx十n=0是“凤凰”方程，且有两个相 等的实数根，求mn的值. 22.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=12,点P从 点B开始沿BA边向点A以1个单位长度/秒的速度移 动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2个单位长度/秒 的速度移动，点P到点A或点Q到点C时停止移动.如果 点P、点Q分别从点B同时出发，问几秒钟时，△DPQ的 面积是8？ 一探究在线·九年级数学（上）·HD一 23.(12分)（平顶山月考）阅读以下材料： 能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部 分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的 目的. 例如：用换元法解方程，2z十十2x=-之. 设x2十2x=m,则原方程可变形为1十m=一2， m 整理，得m2+2m十1=0.解得m1=m2=一1. .x2+2x=-1,即x2+2x十1=0.解得x1=x2=-1. 经检验，x=一1是原方程的根.∴.原方程的根为x=一1. 1用上述方达解方程，千1十生1=8时，如果设，千 x2+1 =y,则原方程可化为 (2②)请你按上述方法补全解方程云千+云1-的 步骤.