复数课件-2027届高三数学一轮复习

复数 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 通过方程的解认识复数，理解复数的代数表示及其几何意义； 2. 理解两个复数相等的含义； 3. 掌握复数代数形式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义。 【教学重点】 · 复数的概念与几何意义；复数的四则运算。 【教学难点】 · 复数相等、共轭、模的综合运用；复数与复平面上点的对应。 第32课时 复数 1.通过方程的解,认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数代数表示的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义. 第32课时 复数 3 【近五年考频考点】及备考建议 复数的基本概念与四则运算是高考每年必考的基础题（5年约5考），以选择、填空为主。 备考建议：强化代数形式 z=a+bi 的运算规范；重视复平面、共轭复数与模的几何意义，避免书写错误。 第32课时 复数 一、复数的有关概念 1.复数的定义：形如的数叫作复数，复数通常用字母 表示，即 ,其中___是复数的实部，___是复数的虚部， 为虚数单位. 2.复数的分类 复数 ， 实数： ___0 虚数： ___0 当___0，且时, 为纯虚数. 3.复数相等 _____________ . 且 第32课时 复数 5 4.共轭复数 与互为共轭复数 _______________ . 5.复数的模 向量的模叫作复数 的模或绝对值，记作____或________，即 . ， 微思考 “”“ ”等结论对吗？ 答案 不对.两个实数可以比较大小，但两个虚数只能判断它们是否相等，不能比较大小. （1）虚数不能比较大小;（2）复数集包含实数集与虚数集. 第32课时 复数 6 二、复数的几何意义 1.复数复平面内的点 . 2.复数平面向量 . 若复数,在复平面内对应的点分别为,，则的几何意义是点 , 间的距离. 第32课时 复数 7 三、复数的四则运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设， ，则 （1）加法： _________________； （2）减法： _________________； （3）乘法： _____________________； （4）除法： . 第32课时 复数 8 2.几何意义：复数的加、减法可按向量的平行四边形法则或 三角形法则进行. 图示给出的平行四边形 可以直观地反映出复数加、 减法的几何意义，即， . （1）且,表示以原点 为圆 心,和 为半径的两圆所夹的圆环. （2）表示以为圆心, 为半径的圆. 第32课时 复数 9 关键考点·核心突破 10 复数的有关概念 例1 （北师大必修二P180A组T1改编）已知复数 . （1）若复数为实数，求实数 的值； （2）若复数为纯虚数，求 ； （3）若复数的实部和虚部相等，求 ； （4）若复数对应的点位于复平面的第三象限，求实数 的取值范围. 第32课时 复数 11 解析 由题可知，复数的实部为，虚部为 ，在复平面内对 应的点的坐标为 . （1）因为复数为实数，所以，解得或 . （2）因为复数 为纯虚数， 所以解得 ， 所以 . （3）因为复数的实部和虚部相等，所以 ，解得 .由（1）可知，此时复数为实数， . （4）因为复数对应的点位于复平面的第三象限，所以 解得 ，故实数的取值范围是 . 第32课时 复数 12 感悟提升 解决复数概念问题的常用方法 （1）求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为 的形 式,则该复数的实部为,虚部为 . （2）复数是实数的特点：; . （3）复数是纯虚数的特点：是纯虚数; 是 纯虚数 . （4）若复数的共轭复数,则 ,即 ,若,则 . 第32课时 复数 13 1.（2024·新高考Ⅱ卷）已知，则 ( ). C A.0 B.1 C. D.2 解析 若，则 .故选C. 第32课时 复数 14 2.（经典高考真题）若在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 的共轭复 数 ( ). D A. B. C. D. 解析 在复平面内对应的点是，根据复数的几何意义，得 ， 由共轭复数的定义可知， .故选D. 3.（2025· 全国一卷） 的虚部为( ). C A. B.0 C.1 D.6 解析 因为 ，所以其虚部为1.故选C. 第32课时 复数 15 复数的四则运算 例2（1）（2024·新高考Ⅰ卷）若，则 ( ). C A. B. C. D. 解析 因为，所以 .故选C. 第32课时 复数 16 （2）（多选题）下列关于非零复数， 的结论正确的是( ). AC A.若，互为共轭复数，则 B.若，则， 互为共轭复数 C.若，互为共轭复数，则 D.若，则， 互为共轭复数 解析 设 ， 由，互为共轭复数，得 ， 则 ，故A正确； 当，时， ， 第32课时 复数 17 此时， 不是共轭复数，故B错误； 由，互为共轭复数，得 ， 则，即 ，故C正确； 当，时，，即，此时， 不是共轭复数， 故D错误.故选 . 第32课时 复数 18 感悟提升 复数代数形式的运算问题的解题策略 （1）复数的加、减、乘法运算类似于多项式的运算注意： ,可将含有 虚数单位的看作一类同类项,不含 的看作另一类同类项,再分别合并即可. （2）复数除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化. 第32课时 复数 19 1.（2024·全国甲卷）若，则 ( ). A A. B. C.10 D.2 解析 由，得,，则 .故选A. 2.（经典高考真题）已知,则 ( ). A A. B. C.0 D.1 解析 因为 , 所以,则 .故选A. 第32课时 复数 20 3.（2025· 全国二卷）已知，则 ( ). A A. B. C. D.1 解析 因为，所以 .故选A. 第32课时 复数 21 复数的几何意义 例3（1）已知复数,为虚数单位, 在复平面内对应的点分别为 ,,.若四边形为复平面的坐标原点为平行四边形,则复数 ( ). A A. B. C. D. 解析 设,则,依题意知,, ,因为 四边形是平行四边形,所以,即,所以 .故选A. （2）已知为虚数单位,且,则 的最大值是___. 3 解析 设,由的几何意义知， 在复平面内对应的点 的轨迹是以为圆心,1为半径的圆,即,因为 的几何意义为 点到坐标原点的距离,所以 . 第32课时 复数 22 感悟提升 复数几何意义的解题策略 （1）已知复数在复平面内对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不 等式求解. （2）研究复数模的问题,可利用数形结合法,结合模的几何意义求解： 表示复数对应的点与复数 对应的点之间的距离; . 第32课时 复数 23 1.已知在复平面内,复数对应的点满足,则实数 ( ). B A. B.0 C.1 D.2 解析 ,复数对应的点,满足 ,则 ,解得 .故选B. 第32课时 复数 24 2.（2025·上海卷）已知复数满足，，则 的最小值是______. 解析 设， ， 由题意可知 ， 则 . 又 ，由复数的几何意义 知，在复平面内对应的点 在单位圆内部（含边界） 的坐标轴上运动（如图），即在线段， 上运动. 设，则 ，由图象可知 ， 所以，所以的最小值是 . 第32课时 复数 25 代数基本定理 思维进阶 在复数域的广阔天地里，代数基本定理（高中数学人教A版教材必修第 二册第81页“阅读与思考”有详细介绍）打破了“实根”的局限，而根与系数的关系更 是串联起多项式、复数、几何的“桥梁型”考点，这正是高考命题 的创新方向，也是从“代数基本定理”到“跨场景应用”的体现！ 第32课时 复数 26 典例 实系数一元三次方程 ，在复数集C内的根 为，，，方程可变形为 ，展开可得 如果一元 次方程的系数是复数，那么根与系数的这些关 系仍然成立. （1）已知方程 有三个根，其中一个根为1，求方程的另外两 个根; （2）若的三个顶点，，在复平面内对应的复数分别为，， ，且 ，，，求 的内切 圆的半径. 第32课时 复数 27 解析 （1）令 ,利用根与系数的关系可 得，，解得， . （2）根据三次方程根与系数的关系可知，，， 为 的三个根，首先必定有一个为0，不妨设 ， 则，为 的两个根， 分解因式得，所以， ， 所以的三个顶点为，， ， 设内切圆的圆心为，半径为 ， 则的面积 ， 即 . 因为，，， ， 所以 . 第32课时 复数 28 作业：完成复数限时练 第32课时 复数 THANKS 30 $