第5章 第4节 复数(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦复数专题，依据课标要求覆盖复数概念、几何意义、四则运算及常用结论等核心考点，通过分析近五年高考真题明确“四则运算”“几何意义”为高频考点，归纳出概念辨析、运算求解、几何应用等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”，如以2025全国二卷“已知z=1+i求1/(z-1)”真题为例，示范“分母有理化”“模的几何意义转化”等方法，培养学生数学思维与几何直观素养。特设“易错警示”和“规律总结”，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统教学，助力高考冲刺。

第4节　复数 返回 ‹#› 1．通过方程的解，认识复数．　2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．　3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 课标解读 返回 ‹#› 1 再研教材 夯实基础 4 限时规范训练　 栏 目 导 引 3 考教衔接 精研教材 2 考点突破 通法悟道 返回 ‹#› 再研教材 夯实基础 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a，b分别是它的______和______．当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；当b≠0时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数； (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔_________________(a，b，c，d∈R)； (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________________(a，b，c，d∈R)； 实部 虚部 a＝c且b＝d a＝c，b＝－d 返回 ‹#› (4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)； (2)复数z＝a＋bi 平面向量. 返回 ‹#› 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． 返回 ‹#› 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． (a±c)＋(b±d)i (ac－bd)＋(bc＋ad)i i 返回 ‹#› (2)复数加法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝___________； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝________________________． (3)复数乘法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算律： ①交换律：z1z2＝________； ②结合律：(z1z2)z3＝__________________； ③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝___________________． z1(z2z3) z1z2＋z1z3 z2＋z1 z1＋(z2＋z3) z2z1 返回 ‹#› 1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0(n∈N*)． 3．z·＝|z|2＝＝＝＝|z|n. 返回 ‹#› 1．(人A必修一P70T1改编)复数z＝2－i的虚部是(　　) A．i B．1 C．－1 D．－i 解析：C　复数z＝2－i的虚部是－1.故选C. C 返回 ‹#› 2．(人A必修二P69例1改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 解析：A　因为z为纯虚数，所以所以x＝－1.故选A. A 返回 ‹#› 3．(人A必修二P73T6改编)已知复数z满足(2－i)＝1－2i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　由(2－i)＝1－2i得，i，故z＝i，所以z在复平面内对应的点为，故z在复平面内对应的点在第一象限．故选A. A 返回 ‹#› 4．(人A必修二P73T5改编)已知z＝－1－i，则|z|＝________． 解析：若z＝－1－i，则|z|＝. 答案： 返回 ‹#› 考点突破 通法悟道 考点一　 复数的概念(自主练透) 1．(2025·全国一卷T1)(1＋5i)i的虚部为(　　) A．－1 B．0 C．1 D． 6 解析：C　因为(1＋5i)i＝i＋5i2＝－5＋i，所以其虚部为1.故选C. C 返回 ‹#› 2．复数 的虚部是(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：D　i，所以复数的虚部为.故选D. D 返回 ‹#› 3．设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：C　因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C. C 返回 ‹#› 4．已知z＝(1－3i)(a＋i)(a∈R)为纯虚数，则a＝(　　) A．3 B．－3 C． D．－ 解析：B　依题意，z＝(a＋3)＋(1－3a)i，由z是纯虚数，得所以a＝－3.故选B. B 返回 ‹#› 5．(一题多解)设复数z＝－1－i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则＝________． 解析：法一：＝－1＋i，＝|(1＋1＋i)·(－1＋i)|＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝. 法二：＝＝|－1＋i－2|＝|－3＋i|＝. 答案： 返回 ‹#› 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 返回 ‹#› 考点二　复数的四则运算(师生共研) 例1　(1)(2026·河南濮阳一模)已知z＝－2＋i，则＝(　　) A．i B. －i C．1 D．－1 解析：B　由题意得，＝－i.故选B. (2)(2025·山东威海一模)已知复数z＝1＋2i，则z＝(　　) A．4＋8i B．4－8i C．4i－8 D．4i＋8 解析：C　由z＝1＋2i可得＝1－2i，故z＝(1＋2i－1＋2i)(1＋2i)＝4i(1＋2i)＝－8＋4i.故选C. B C 返回 ‹#› 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． (3)解复数的运算与复数概念的综合题时，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义作答． 返回 ‹#› 1．若z＝，则z100＋z50＋1＝(　　) A．1 B．i C．－1 D．－i 解析：B　因为z＝，所以z2＝2＝＝i，所以z100＋z50＋1＝(z2)50＋(z2)25＋1＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.故选B. B 返回 ‹#› 2．(一题多解)设复数z满足＝－i，则|z|＝(　　) A．i B． C．1 D． 解析：C　因为＝－i，所以1＋z＝－i(1－z)，z＝. 法一：所以|z|＝＝1，故选C. 法二：因为z＝＝－i，所以|z|＝|－i|＝1.故选C. C 返回 ‹#› 考点三　复数的几何意义(师生共研) 例2　(1)在复平面内，复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　i，对应的点坐标为，位于第一象限．故选A. A 返回 ‹#› (2)已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是________． 解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则有＝2，即x2＋y2＝4，则z在复平面中的点P(x，y)在以(0，0)为圆心，2为半径的圆周上．z＋3－4i＝(x＋3)＋(y－4)i，|z＋3－4i|＝ max＝＋r＝5＋2＝7， 即|z＋3－4i|的最大值为7. 答案：7 返回 ‹#› (3)设复数z1，z2 满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＝________． 解析：如图所示，设复数z1，z2所对应的点为Z1，Z2，则.由已知＝＝2＝|OZ1|＝|OZ2|，所以平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠Z1OZ2＝＝|OZ1|2＋|OZ2|2－2|OZ1|·|OZ2|cos 120°＝22＋22－2×2×2×＝2. 答案：2 返回 ‹#› 对复数几何意义的再理解 (1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔＝(a，b)． (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 返回 ‹#› 1．(2025·河南九师联盟二模)已知复数z1＝2＋i，在复平面内，复数z1与z2对应的点关于直线y＝x对称，则z1－z2＝(　　) A．1＋3i B． 3－i C．1＋i D．1－i 解析：D　在复平面内，z1＝2＋i对应的点为(2，1)，而(2，1)关于直线y＝x对称的点为(1，2)，则z2＝1＋2i，所以z1－z2＝1－i.故选D. D 返回 ‹#› 2．已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为(　　) A．1 B．－1 C．＋1 D．3 B 返回 ‹#› 解析：B　设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1，所以(x－2)2＋y2＝1，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x－2)2＋y2＝1，如图，又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝min＝|CA|－1＝－1.故选B. 返回 ‹#› 考点四　复数集内一元二次方程的解(师生共研) 例3　(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则(　　) A．p＝2 B．x2＝1－i C．x1·2＝－2i D．＝i 解析：BD　因为实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，且x1＝1＋i，所以x1x2＝2，可得x2＝＝1－i，故B正确；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；由2＝1＋i，所以x1·2＝(1＋i)2＝2i≠－2i，故C错误；＝i，故D正确．故选BD. BD 返回 ‹#› 1．对实系数一元二次方程来说，求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化，仍然适用． 2．对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用． 返回 ‹#› (一题多解)已知复数z1，z2是关于x的方程x2－2x＋3＝0的两根，则z1z2的值为(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：D　法一：由x2－2x＋3＝0，得z1＝1＋i，z2＝1－i，所以z1z2＝＝3.故选D. 法二：方程x2－2x＋3＝0，由根与系数的关系可得z1z2＝＝3.故选D. D 返回 ‹#› 教材题　(人A必修二P95T2(2))已知复数z＝1－2i，那么＝________． 点评：高考题与教材题在核心知识点、解题方法上一脉相承，高考题是教材题基础上的适度综合与拓展，体现了对教材核心内容的考查与延伸． 考教衔接 精研教材 高考题　(2025·全国二卷T2)已知z＝1＋i，则＝ (　　) A．－i　　　 B．i　　　 C．－1　　　 D．1 解析：A　因为z＝1＋i，所以＝－i.故选A. A 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 限时规范 训练(四十五) 14 15 (建议用时：45分钟　分值：79分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． 1．(2025·广东佛山二模)复数(3＋4i)(3－4i)＝(　　) A．－25 B．25 C．－5 D．5 解析：B　(3＋4i)(3－4i)＝9＋16＝25.故选B. B 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．(2025·安徽皖南八校第三次联考)已知复数z与互为共轭复数，则复数z的虚部为(　　) A．－1 B．－i C．－2 D．－2i 解析：A　因为＝2＋i，所以z＝2－i，虚部为－1.故选A. 14 15 A 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．(2025·北京卷T2)已知复数z满足i·z＋2＝2i，则|z|＝(　　) A． B．2 C．4 D．8 解析：B　由i·z＋2＝2i可得，z＝＝2＋2i，所以|z|＝.故选B. 14 15 B 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．(2025·山东烟台二模)已知复数z满足z(1＋i)＝2－3i，则z在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　由z(1＋i)＝2－3i得z＝， 则z在复平面内所对应的点为，位于第三象限．故选C. 14 15 C 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．已知虚数z是关于x的方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，且|z|＝，则a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 解析：D　法一：设z＝m＋ni(m，n∈R且n≠0)，代入原方程可得m2－n2－4m＋a＋(2mn－4n)i＝0，所以得＝，所以n2＝1，则a＝5.故选D. 法二：因为实系数一元二次方程x2－4x＋a＝0的虚数根共轭成对出现，所以a＝z·＝|z|2＝5.故选D. 14 15 D 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．若是纯虚数，则复数z可以是(　　) A．－3＋4i B．3－4i C．4＋3i D．4－3i 解析：D　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知a2＋b2≠0，则.因为是纯虚数，所以经验证可知，a＝4，b＝－3符合，即复数z可以是4－3i.故选D. 14 15 D 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(多选)(2025·浙江杭州模拟)已知关于x的方程x2＋tx＋1＝0(－2<t<2)的两复数根为z1和z2，则(　　) A．z1＝2 B．z1·z2＝1 C．|z1|＝|z2| D．＝ 解析：ABC　实系数一元二次方程的虚根互为共轭，故A，C正确，由根与系数的关系知B正确，＝，D错误．故选ABC. 14 15 ABC 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(多选)(2025·湖北武汉四调)若复数z＝，则(　　) A．＝4－i B．＝ C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数ω满足|ω|＝1，则＋1 14 15 BCD 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 解析：BCD　复数z＝＝4－i，＝4＋i，故A错误；＝4＋i，＝＝1，设ω在单位圆上，则 ＋1，故D正确．故选BCD. 14 15 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(5分)(2025·天津卷T10)已知i是虚数单位，则＝______________． 解析：因为＝1－3i， 所以＝|1－3i|＝. 答案： 14 15 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．设m∈R，i为虚数单位．若集合A＝{1，2m＋(m－1)i}，B＝{－2i，1，2}，且A⊆B，则m＝________． 解析：集合A＝{1，2m＋(m－1)i}，B＝{－2i，1，2}，且A⊆B，则有2m＋(m－1)i＝－2i或2m＋(m－1)i＝2，解得m＝1. 答案：1 14 15 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i为虚数单位，则a10＝(　　) A．2i B．－1＋i C．1＋i D．－2i 解析：B　因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝(－1＋i)i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝(1＋i)i＋i＋1＝2i，…，所以复数数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a10＝a4×2＋2＝a2＝－1＋i.故选B. 14 15 B 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(多选)(2025·浙江金华十校二模)已知复数z1，z2互为共轭复数，则 (　　) A．|z1|＝|z2| B．z1·z2＝|z1|·|z2| C．|z1－z2|2＝－(z1－z2)2 D．2＝2 14 15 ABC 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 解析：ABC　设z1＝a＋bi，则z2＝a－bi，对于A，|z1|＝|z2|＝，故A正确．对于B，z1z2＝a2＋b2，|z1|·|z2|＝a2＋b2，故B正确．对于C，z1－z2＝2bi，|z1－z2|2＝(2b)2＝4b2，－(z1－z2)2＝－(2bi)2＝4b2，故C正确．对于D，设z1＝1＋i，z2＝1－i，则＝i，则2＝|i|2＝1，2＝i2＝－1，故D错误．故选ABC. 14 15 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(5分)若复数z满足＝3，则|z|的最大值为________． 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则＝3表示复平面内点Z(a，b)到点的距离为3，则max＝＋3＝5. 答案：5 14 15 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(多选)(2025·浙江杭州二模)已知复数ω＝cos 120°＋isin 120°(i是虚数单位)，则(　　) A．|ω|＝1 B． ω2＝ C．ω2＋ω＋1＝0 D．＝1 13 15 ABC 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 解析：ABC　因为cos 120°＝－，sin 120°＝，所以ω＝cos 120°＋isin 120°＝－＝＝1，故A正确；ω2＝2＝－i，而i，与ω2相等，故B正确；ω2＋ω＋1＝＋＋1＝0，故C正确；i，i，所以＝＋＝－1，故D错误．故选ABC. 15 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15．(5分)(2025·浙江杭州一模)已知复数z1，z2的实部和虚部都不为0，满足①＝2.则z1＝________，z2＝________．(写出满足条件的一组z1和z2) 解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(abcd≠0，a，b，c，d∈R)， 则， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i， 15 14 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15 14 由 整理得 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15 14 即所以可取a＝b＝， 所以z1＝i，z2＝i. 答案：i　i(答案不唯一，只要满足a2＋b2＝4，c2＋d2＝1，abcd≠0即可) 返回 ‹#› 第4节　复数 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $