平面向量中的综合问题课件-2027届高三数学一轮复习

平面向量中的综合问题 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 掌握与平面向量有关的取值范围、最值问题的求解策略； 2. 会用向量法解决平面几何问题（“形化”与“数化”）； 3. 了解三角形“四心”与奔驰定理的综合应用。 【教学重点】 · 向量最值与取值范围问题；向量在平面几何中的应用。 【教学难点】 · 代数与几何的相互转化；奔驰定理与三角形四心的关联。 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 【新课标要求】 能在具体情境中综合运用平面向量的工具性解决问题，体会向量作为桥梁沟通几何与代数的价值（必修课程“平面向量”主题，学业质量水平二/三）。 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 【近五年考频考点】及备考建议 平面向量综合问题（最值、取值范围、四心）是近年新高考热点（5年约4考），多为压轴小题或解答题关键步骤。 备考建议：建立“几何直观—坐标运算—函数最值”的通路；掌握奔驰定理与重心、内心、外心、垂心模型的对应关系。 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 第六单元 平面向量与复数 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 5 平面向量中的取值范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合 性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的取值范围、 最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的取值范围等. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 6 平面向量在几何中的应用 典例1（1）（RA必修二P52T2改编,多选题）已知在所在平面内有，， 三 点，则( ). ACD A.若，则是 的垂心 B.若，则直线必过 的外心 C.若，则为 的外心 D.若，则是 的重心 解析 对于A，由题意,可得 ， 所以，同理可得，，故为 的垂心，故A正确； 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 7 对于B，如图,设， ， 则 ， 以，为邻边作平行四边形，则平行四边形 为菱形， 则 ， 所以 ， 又因为平分，所以必经过 的内心，故B错误； 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 8 对于C，因为，所以点到的三个顶点的距离相等，所以 为 的外心，故C正确； 对于D，记，，的中点分别为，， ，由题意得, ，则，同理可得，，则 是 的重心，故D正确.故选 . 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 （2）已知为所在平面内一点,, , ,则 的面积为( ). D A. B. C. D. 解析 因为,所以点位于线段 的垂直平分线上.如 图，设线段的中点为,由 ,得 , 所以, , 所以 , 所以 .故选D. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 10 感悟提升 用向量法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题 解决几何问题. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 11 1.在中,已知,且,则 为( ). A A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.三边均不相等的三角形 解析 ,分别表示与, 同向的单位向量, 在角的平分线上,因为,所以 , 又,所以,,则与的夹角为 ,即 , 可得 是等边三角形.故选A. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 12 2.设平面向量,,满足,,与的夹角为,且 ,则 的最小值为( ). A A. B. C. D. 解析 依题意建立如图所示的平面直角坐标系,令 ,因为,,与的夹角为 ,不妨令 ,且点在第二象限,所以 , ,所以.设 , 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 13 则,,,由 ,得 ,即 ,即 ,即点 的轨迹为以,为圆心, 为半径的圆,又 ,所以 .故选A. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 和向量有关的最值（取值范围）问题 考向1 与平面向量基本定理有关的最值、取值范围问题 典例2 在中,点满足,过点的直线与, 所在的直线分别交于点 ,,若,,则 的最小值为( ). A A.3 B. C.1 D. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 15 解析 如图,因为, , , 因为,,三点共线,所以 ,所以 ,当且仅当 且 ,即 时,等号成立.故选A. 所以 . 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 16 考向2 与向量的数量积有关的最值、取值范围问题 典例3 （2024·天津卷节选,一题多法）如图，在边长为1的正方形中， 为线段 的三等分点，,为线段上的动点，为的中点，则 的最小 值为______. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 17 解析 （法一:基底法）因为，即 ， 所以 . 由题意可知,, ， 因为为线段上的动点，设, ， 所以 . 又因为为 的中点，所以 ， 可得 ， 又因为，所以当时，的最小值为 . 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 18 （法二：坐标法）以 为坐标原点建立平面直角坐标系，如 图所示， 则,,,,, ， 因为点在线段,,上，设 , ,，且为的中点，则, ， 所以,, ， 则 ， 又,，所以当时，的最小值为 . 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 19 考向3 与模有关的最值、取值范围问题 典例4 已知,是单位向量,,且向量满足,则 的取值范围是 ( ). A A. B. C. D. 解析 由,是单位向量,,设,, ,则 ,所以 ,所以表示以 为圆心,1为半径的圆上的点到原点的距离, 故,所以 .故选A. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 20 感悟提升 与向量有关的最值、取值范围问题的解题策略 （1）“形化”:利用平面向量的几何意义,先将问题转化为平面几何中的最值或取 值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断. （2）“数化”:利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、 不等式的解集、方程的解等问题,然后利用函数、不等式、方程等有关知识来解决. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 21 1.已知平面向量,,其中,,的夹角是.若为任意实数,则 的最小值为 ( ). C A.1 B. C. D.2 解析 依题意,作,,使 ,如图所示. 显然,的终点的轨迹是线段确定的直线 , 于是为点与直线上的点的距离,过点 作 线段于点 , 所以 .故选C. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 22 2.（2025·北京卷）在平面直角坐标系中，，.设 ， 则 的取值范围是( ). D A. B. C. D. 解析 因为，，由 ，两边平方可得， ，所以 . ，， ， 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 23 又 ，即 ，所以，即 . 故选D. (或设， ，利用向量的坐标运算及三角函数 求解) 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 24 3.如图,在中,,过点的直线分别交直线,于不同的两点, .设 ,,则 的最小值为_ ______. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 25 解析 如图，连接.因为,所以 ,所以 , 又,,所以 . 因为,,三点共线,所以 , 由图可知，, ,所以 , 当且仅当,即, 时取等号, 所以的最小值为 . 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 26 三角形“四心”问题 思维进阶 1.如图，设是内一点，且，， 的 面积分别为，，，则 .该定理称为 “奔驰”定理. 推论 若是内的一点，且，则 . 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 27 2.与“四心”相关的定理： 定理是的重心 . 推论是所在平面内任意一点，是 的重 心. 定理是锐角的外心 . 推论是锐角所在平面内任意一点， 是锐角 的外心. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 28 定理是的内心（其中，，分别是 的 三个内角，， 所对的边长）. 推论是所在平面内任意一点，是的内心 . 定理是 （非直角三角形）的垂心 . 推论是（非直角三角形）所在平面内任意一点，是 （非直角三角 形）的垂心 .#2.4.1 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 典例 奔驰定理与三角形的四心（重心、内心、外心、垂心） 有着神秘的关联.它的具体内容是：如图，已知是 内 一点，，，的面积分别为，， ， 则 .以下说法错误的是( ). C A.若，则为 的重心 B.若为的内心，则 C.若 ， ，为的外心，则 D.若为的垂心，，则 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 30 解析 对于A，取的中点为，的中点为，的中点为，连接， ， ，如图1， 由，得 ， 所以 ， 所以，，三点共线，且 ， 同理可得，，所以为 的重心，故A正确； 对于B，因为为的内心，所以可设其内切圆的半径为 ，如图2, 则，， ， 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 31 所以 ， 即 ，故B正确； 对于C，如图3，因为为的外心，所以可设的外接圆的半径为 ，由 ， ，得 ， ，所以 ， 所以 ， ， ， 所以 ，故C错误； 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 对于D，如图4，延长交于点，延长交于点，延长交于点 ， 由为的垂心，，得 ， 又，所以， ， 设，，， ， 则， ， 所以 ， 即， ， 所以，所以 ，故D正确.故选C. 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 作业：平面向量中的综合问题限时练 进阶课07 平面向量中的综合问题5年4考 THANKS 35 $