第5章 第4节 平面向量中的综合问题-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量综合问题，覆盖几何应用、与向量有关的最值（线性运算、数量积、模、夹角）及极化恒等式等核心考点，依据高考评价体系分析考点权重，归纳坐标法、向量法等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以2025北京卷向量模问题为例，通过坐标法转化代数问题培养数学思维，结合极化恒等式模型突破数量积最值，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此高效指导复习，助力高考冲刺。

第四节　平面向量中的综合问题 第五章　平面向量与复数 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 学习要求 内容索引 关键能力　重点探究 3 关键能力　重点探究 考点一　平面向量在几何中的应用 [例1]　已知E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,且AB=3, CD=2,∠ABC=45°,∠BCD=75°,则线段EF的长为　　　　.  ∵=++,=++, 又=-,=-, ∴2=+++++=+, ∴||2=(+)2=||2+||2+||·||cos〈,〉=+1+=, ∴||=,即EF=. [解析]　作AH∥CD,交BC于点H,则∠BHA=∠BCD=75°, ∴∠BAH=180°-45°-75°=60°,则cos〈,〉=cos〈,〉=cos∠BAH=. 方法总结 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问题. 跟踪训练 1.已知正△ABC的边长为2,点D在AC上且AD=AC,E为AB的中点,CE与 BD交于点O,则∠DOC的余弦值为　　　　.  解析:因为在正△ABC中,E为AB的中点,所以CE⊥AB, 如图以E为原点,EB,EC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系, 则E(0,0),A(-1,0),B(1,0),C(0,). 因为AD=AC,所以==(1,)=(,),则D(-,), 则=(-,),又=(0,), 所以cos∠DOC===. 考点二　与向量有关的最值(范围)问题 角度1　与线性运算有关的最值(范围)问题 [例2]　如图,在△ABC中,O是BC的中点,过点O的直线分别 交直线AB,AC于不同的两点M,N.若=m,=n,m>0, n>0,则+的最小值为(　　) A.2　　　　　　　　　 B.9 C.10 D.18 B [解析]　因为O是BC的中点,所以=(+). 因为=m,=n,所以=(m+n). 由于O,M,N三点共线, 所以m+n=1,即m+n=2. 因为m>0,n>0,所以+=(m+n)(+)=1+++4=5++≥5+2=9,当且仅当=,即m=,n=时等号成立,此时+的最小值为9. 方法总结 求解与平面向量基本定理有关的 最值(范围)问题的一般步骤 1.利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系. 2.运用基本不等式或函数的性质求其最值(范围). 角度2　与数量积有关的最值(范围)问题 [例3]　已知圆O的半径为2,弦AB=2,D为圆O上一动点,则·的最小值为(　　) A.-1 B.-2 C.-4 D.-6 B [解析]　法一:建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(2,0),B(1,),设D(2cos θ,2sin θ), 所以=(2cos θ-2,2sin θ),=(-1,), 所以·=2sin θ-2cos θ+2=4sin(θ-)+2. 当sin(θ-)=-1时,·取最小值-2. 法二:如图,作圆的直径EF∥AB,过点E作EC⊥BA,交BA的 延长线于点C. 而·的数量积. 由圆的性质知,当点D与点E重合时,·取得最小值. 因为AB=OA=2,所以∠BAO=∠OAE=∠EAC=,则AC=×2=1, 所以··=1×2cos π=-2. 方法总结 与数量积有关的最值(范围)问题的解法 1.坐标法:通过建立平面直角坐标系,运用向量的坐标运算转化为代数问题处理. 2.向量法:运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决. 角度3　与向量的模有关的最值(范围)问题 [例4]　(2025·北京卷)在平面直角坐标系Oxy中,||=||=,||=2.设C(3,4),则|2+|的取值范围是(　　) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] D [解析]　因为||=||=,||=2, 由=-平方可得,·=0,所以〈,〉=. 2+=2(-)+-=+-2,||==5, 所以|2+|2=++4-4(+)·=2+2+4×25-4(+)·=104-4(+)·. 又|(+)·|≤|+|||=5×=10, 即-10≤(+)·≤10, 所以|2+|2∈[64,144], 即|2+|∈[8,12]. 方法总结 求向量模的取值范围或最值的常见方法:通过|a|2=a2转化为实数问题;数形结合;坐标法. 角度4　与向量的夹角有关的最值(范围)问题 [例5]　(2026·江苏苏州模拟)已知向量a在向量b上的投影向量为2b,若 |b|=1,则向量2a+b与a+2b夹角余弦值的最小值为　　　　.  = = =2× [解析]　设向量b=(1,0), 因为向量a在向量b上的投影向量为2b, 所以b=2b,即a·b=2,故可设a=(2,m), 所以2a+b=(5,2m),a+2b=(4,m), 所以cos〈2a+b,a+2b〉 =2 =2, 由二次函数性质可知,当=时,cos〈2a+b,a+2b〉的最小值为. 方法总结 求夹角的最值(范围)问题要根据夹角余弦值的表达式,利用基本不等式或函数的性质处理. 跟踪训练 2.在△ABC中,=2,点H在线段BD上(不含端点),且=x+y,则x2+y2的最小值是(　　) A. B. C.1 D.2 B 解析:由=2,得=3,所以=x+y=x+3y. 因为B,H,D三点共线,所以x+3y=1(x>0,y>0), 所以x2+y2=(1-3y)2+y2=10y2-6y+1=10(y-)2+≥, 当x=,y=时取等号,故x2+y2的最小值为. 3.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-8e·b+15=0,则|a-b|的最小值是(　　) A.4 B.+1 C.2 D.1 D 解析:设a,b共起点,由b2-8e·b+15=0可得(b-3e)·(b-5e)=0, ∴(b-3e)⊥(b-5e), ∴如图,b的终点在以O为圆心,AB为直径的圆上, ∴|DO|=4. ∵a与e夹角为, ∴|OC|=2, 因此|a-b|的最小值为圆心O到向量a所在直线的距离减去圆O的半径,即2-1=1. 4.已知O为△ABC的外接圆圆心,OA=1,∠BAC=60°,则·的最大值为(　　) A.2 B. C.1 D. D 解析:如图所示,因为O为△ABC的外接圆圆心, OA=1,∠BAC=60°, 所以∠BOC=2∠BAC=120°,且||=||=||=1, 所以·=(-)·=·-·=--·=--cos∠AOC, 所以当,反向共线时,·. 5.设向量=(1,x),=(2,x),则cos〈,〉的最小值为　　　　.  解析:cos〈,〉=,令2+x2=t(t≥2),则x2=t-2, 所以cos〈,〉===, 当=,即t=4,x2=2时,cos〈,〉取得最小值,且最小值为. 极化恒等式 教材延展 知识背景 (a+b)2-(a-b)2=4a·b,变形可得:a·b=[(a+b)2-(a-b)2],此即为极化恒等式. 模型应用 1.平行四边形模型:如图,·=(-). 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”. 2.三角形模型:如图,M为BC的中点,则·= -=-.即“从三角形一个顶点 出发的两个边向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差”. 角度1　利用极化恒等式求数量积 [例1]　如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两 个三等分点,·=4,·=-1,则·=　　　　.   [解析]　设=a,=b,·=||2-||2=9b2-a2=4, ·=||2-||2=b2-a2=-1,解得b2=,a2=, ∴·=||2-||2=4b2-a2=. 方法总结 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化,建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合,对于不共起点或不共终点的向量可通过平移等价转化为共起点(终点)的向量,从而利用极化恒等式解决. 跟踪训练 1.如图,在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10, 则·=　　　　.  解析:因为M是BC的中点,则由极化恒等式得, ·=||2-||2=9-×100=-16. -16 角度2　 利用极化恒等式求最值(范围) [例2]　(2022·北京卷)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则·的取值范围是(　　) A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] D [解析]　设AB的中点为M,连接CM(图略),的夹角为θ, 由极化恒等式得·=-=(-)2- =+-2·-=+1-5cos θ-=1-5cos θ. 因为cos θ∈[-1,1],所以·∈[-4,6]. 方法总结 利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再写出极化恒等式.难点在于求中线长的最值(范围),可以通过观察图形或用点到直线的距离等求解. 2.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则·(+)的最小值是(　　) A.-2 B.- C.- D.-1 跟踪训练 B 解析:如图,设BC的中点为D,AD的中点为M,连接DP,PM,则·(+)=2·=2||2-||2=2||2-≥-,当且仅 当点M与点P重合时取等号. $