第5章 第4节 平面向量中的综合问题（课时作业）-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量与解三角形核心考点，依据高考评价体系梳理了向量数量积、模长计算、共线定理及三角形重心、面积等考查要求。通过真题分析明确向量最值、共线问题等高频考点分布，归纳单选、多选、填空等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“分层训练+真题解析”模式，如第2题用向量共线结合均值不等式求最值，培养数学思维与模型意识。解析中融入易错点提示，如投影向量计算误区，帮助学生掌握答题技巧。教师可依托此课件精准定位考点，提升复习效率，助力学生高考冲刺。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A组　基础保分练 1.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=,且a·b=1.若|c|=2,则(a+b)·c的最大值为(　　) A.2　　　　　　　　 B.10 C.2 D.5 解析:设a+b,c的夹角为θ, 则(a+b)·c=|a+b|·|c|cos θ≤|a+b|·|c|=·|c|=2, 当a+b,c同向,即θ=0时取等号. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.在△ABC中,过BC中点D的直线分别与直线AB,AC交于点E,F,且=m(m>0),=n(n>0),则m+4n的最小值为(　　) A.9 B. C.7 D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:因为D为BC的中点,故=+, 而D,E,F三点共线,故存在实数λ,使得=λ+(1-λ), 所以λm+(1-λ)n=+,而,不共线, 故λm=,(1-λ)n=, 所以+=2, 故m+4n=(m+4n)(+)=(5++)≥, 当且仅当=,即n=,m=时等号成立,故m+4n的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.已知△ABC的重心为G,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a+b+c=0,则△ABC的形状是(　　) A.等腰非直角三角形 B.非等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:因为a+b+c=0, 则=--. 又++=0⇒=--,由平面向量基本定理可得: ==1⇒a=b=c⇒a∶b∶c=1∶1∶. 则a2+b2=c2,a=b,故△ABC是等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.在△ABC中,AB=3,=,=2,AD与BE的交点为O.若·=-2,则AC的长为(　　) A. B. C.2 D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:由=,=2, 则=+,=, 令=λ,λ∈(0,1), 则=λ=+=+, 由B,O,E三点共线,故+=1,即λ=, 即=+,则·=(+)·(-)=(||2-||2)=(||2-9)=-2,解得||=2,即AC的长为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.在△ABC中,=3,=2,若△ACD的面积为6,则△BCM的面积是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:因为=3,所以BC=3BD,BC=CD, 所以==, 所以S△ABC=S△ACD=×6=9. 又=2,所以AD=3MD, 所以==, 所以S△BCM=S△ABC=×9=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.(多选)(2026·福建南平模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则( 　　) A.当a·b=-1时,a与b的夹角为 B.当|a-b|=2时,a在b上的投影向量为b C.|a+b|+|a-b|的最大值为2 D.|a+b|+|a-b|的最小值为4 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:当a·b=-1时,可得cos<a,b>===-,又0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=,故A错误; 由|a-b|=2,可得a2-2a·b+b2=4,又|a|=1,|b|=2,所以12-2a·b+22=4, 所以a·b=,所以a在b上的投影向量为·b=b,故B正确; 设a,b的夹角为θ, 所以|a+b|==,|a-b|==, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 所以|a+b|+|a-b|=+, 设y=+,所以y2=5+4cos θ+2+5-4cos θ=10+2, 因为0≤θ≤π,所以-1≤cos θ≤1,所以0≤cos2θ≤1, 当cos2θ=0时,=10+10=20,所以ymax=2,故C正确; 当cos2θ=1时,=10+6=16,所以ymin=4,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.(多选)正方形ABCD的边长为2,动点P在正方形ABCD的内部及边上运动,且=λ+μ,则下列结论正确的有(　　) A.当点P在线段BC上时,·为定值 B.当点P在线段CD上时,·为定值 C.λ+μ的最大值为2 D.使λ+2μ=的点P的轨迹长度为 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),=(0,2),=(2,0), A选项,当点P在线段BC上时,设P(2,m),0≤m≤2,=(2,m), 则·=(0,2)·(2,m)=2m,不是定值,A错误; B选项,当点P在线段CD上时,设P(n,2),0≤n≤2,=(n,2),·=(0,2)·(n,2)=4,为定值,B正确; C选项,设P(x,y),0≤x≤2,0≤y≤2,=(x,y), 由=λ+μ得,(x,y)=λ(2,0)+μ(0,2)=(2λ,2μ), 所以x=2λ,y=2μ,即λ=,μ=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 λ+μ=+,故当x=y=2时,λ+μ取得最大值,最大值为2,C正确; D选项,由C可知,λ=,μ=,故λ+2μ=+y=,即y=-, 所以P点轨迹为直线y=-在正方形ABCD内的部分, 如图,即线段EF, 在y=-中,令x=0得y=,令y=0得x=1, 故EF==,故使λ+2μ=的点P的轨迹长度为,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.(2026·江西南昌模拟)已知向量a=(1,-2),a·b=5,则|b|的最小值是　　　　.  解析:设b=(x,y),则a·b=x-2y=5,可得x=2y+5, 故|b|=== =≥ , 当且仅当y=-2时,|b|取最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.已知点A在线段BC上(不含端点),O是直线BC外一点,且-2a-b=0,则+的最小值是　　　　.  解析:由题设=2a+b,且A,B,C三点共线,则2a+b=1, 所以+=(+)(2a+b)-1=2++≥2+2=2+2, 当且仅当a=1-,b=-1时取等号,故+的最小值是2+2. 2+2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.如图,在△ABC中,∠BAC=,=2,P为CD上一点,且满足=m+.若·=4,则||的最小值为　　　　.  B组　能力提升练 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:因为=2,则=,则=m+=m+,又C,P,D三点共线,故m+=1,m=, 故=+. 因为∠BAC=,·=4,所以||||=8, 则||2=|+|2=++·≥2+=+=4, 当且仅当=,即||=||时取等号,所以||的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.(2026·河北秦皇岛模拟)在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AB=AD.若 M为DC的中点,则向量在向量上的投影向量为　　　　(用表示);若AB=3,点G在DC上,且满足=,E,F分别为线段AB,BC上的动 点(不含端点),且满足BE+BF=1,则·的最小值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:依题意可知=+=+, 又∠A=60°,AB=AD, 所以·=·(+)=+·=+||||cos 60° =+||×||×=||2, 则向量 ·=·=·=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 以A为坐标原点建立平面直角坐标系, 如图所示: 由AB=3,AB=AD,可得AD=2,又∠A=60°,所以A(0,0),D(1,),又=, 所以G(2,). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设E(t,0),2<t<3,所以BE=3-t,由BE+BF=1可得BF=t-2. 又∠ABC=120°,所以F(+2,), 因此=(t-2,-),=(,), 可得·=(t-2)-×==, 显然当t=·. $