第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 课件-2027届高三数学一轮复习

平面向量的基本定理及其坐标表示 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 理解平面向量基本定理，知道平面内任一向量可由一组基底唯一线性表示； 2. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示； 3. 会用坐标进行平面向量的加、减与数乘运算，会求向量的模； 4. 掌握平面向量共线的坐标表示。 【教学重点】 · 平面向量基本定理；向量的坐标运算；向量共线的坐标表示。 【教学难点】 · 基底的合理选择及对定理中“唯一性”的理解；用坐标法处理共线问题。 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 1.理解平面向量的基本定理及其意义. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4.能用坐标表示平面向量共线的条件. 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 3 【近五年考频考点】及备考建议 平面向量基本定理与坐标运算是高考高频考点（5年约4考），常与向量共线、数量积及解析几何综合考查。 备考建议：熟练掌握“基底法”与“坐标法”两种工具；重视“选基底—线性表示—坐标运算”的转化路径，强化共线条件的坐标化处理。 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 一、平面向量基本定理 条件 , 是同一平面内的两个____________ 结论 对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使 ____________ 基底 若,不共线,则把{, 叫作表示这一平面内所有向量的一个基底 不共线向量 微判断（1）平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.( ) × （2）基底中可以含有零向量.( ) × （1）基底{, 必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底. 若基底给定,则同一向量的分解形式唯一. （2）如果对于一个基底{,,有 ,那么可以得到 ,.特别地,若,则 . 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 5 二、平面向量的坐标运算 1.平面向量的加法、减法、数乘及向量的模 设,,则________________, ________________, __________, . 2.两点间的向量坐标公式 已知点,,则 ________________, . 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 6 3.单位向量 ,同向单位向量为,,反向单位向量为, . （1）已知为线段的中点，若，，则点 的坐标为 ， . （2）已知的重心为，若，，，则点 的坐标为 ， . 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 7 三、平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则 __________ _____. 只有当时,才与 等价. 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 8 关键考点·核心突破 9 平面向量的基本定理及其应用 例1（1）若， 是平面内的一个基底，则下面的四组向量中,不能作为一个基底的 是( ). B A.和 B.和 C.和 D.和 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 10 解析 因为向量，是平面内的一个基底，所以向量， 为平面内不共线的向量. 对于A，设，可得 此时方程组无解， 所以向量和 不共线，可以作为平面的一个基底. 对于B，设，可得解得 ， 所以向量和 为共线向量，不能作为平面的一个基底. 对于C，设，可得 此时方程组无解， 所以向量和 不共线，可以作为平面的一个基底. 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 11 对于D，设，可得 此时方程组无解， 所以向量和 不共线，可以作为平面的一个基底. 故选B. 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 （2）（经典高考真题）设,分别是的边，上的点， ， .若，为实数，则 的值是__. 解析 依题意，如图， ， 所以，所以，，故 . 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 13 感悟提升 应用平面向量基本定理的关键 （1）合理选择基底,注意基底必须是两个不共线的向量. （2）选定基底后,通过构造平行四边形（或三角形）,利用向量的加、减、数乘 运算以及向量平行的充要条件,用基底把相关向量表示出来. （3）注意几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几 何性质,如平行、相似等. 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 14 1.已知向量,不共线,实数,满足,则 ( ). A A.4 B. C.2 D. 解析 由题意得解得所以 .故选A. 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 15 2.如图，在三角形中,为的中点,为 上一点,若 ,则 __. 解析 设.因为为 的中点,所以 , 所以 . 因为 , 所以解得 所以,所以,即 . 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 16 平面向量的坐标运算 例2（1）已知,,且,则 ( ). C A. B. C. D. 解析 由,,可得.因为 ,所以 ,解得,所以 .故选C. 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 17 （2）在正方形中，是的中点.若，则 ( ). B A. B. C. D.2 解析 在正方形中，以点为原点，， 所在直线分别 为轴、 轴建立平面直角坐标系，如图所示. 令，则,，，， ， ，， ， 所以.因为 ， 所以解得所以 .故选B. 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 18 感悟提升 平面向量坐标运算的技巧 （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行,若已知有向 线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. （2）解题过程中常利用“若向量相等，则其坐标相同”这一原则,通过列方程（组） 来进行求解. 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 19 1.（北师大必修二P105T8改编）已知点,,向量,则向量 ( ). A A. B. C. D. 解析 设,则,故解得所以 . 又因为,所以 .故选A. 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 20 2.（2025· 全国一卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的 大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的 向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船 行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反. 表中给 出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员 在某时刻测得的视风风速对应的向量 A 级数 名称 风速大小单位： 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 与船速对应的向量如图所示线段长度代表速度大小，单位: ，则该时刻的真风为 ( ). 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 21 解析 由题意及图得，视风风速对应的向量为 ， 视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和， 船速对应的向量和船行风风速对应的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风风速对应的向量为 ， 则， ， ， ， , 由表得该时刻的真风为轻风.故选A. 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 22 平面向量共线的坐标表示 例3 （1）已知点,,且，，，则点 ， ，的坐标分别为_______________________ （2）（2024·上海卷）已知,，且，则 的值为____. ,,, 15 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 23 解析 （1）由题意得，设,, ，则 ，，.由 ， 得解得由,得解得 由 ,得解得故点，，的坐标分别为 , ,, . （2），，解得 . 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 24 1.已知向量，，若，且，则 _ _______________________. ，或， 解析 因为，，所以 . 因为，且，所以 . 又，所以，或， . 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 25 2.已知点,,若点在直线上,且,则点 的坐标为_________ _____. 或 解析 ,, . 点在直线上,且,或 , 故或,故点的坐标为或 . 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 26 作业：平面向量的基本定理及其坐标表示限时练 第30课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 27 THANKS 28 $