第5章 第2节 平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量基本定理及坐标表示专题，依据高考评价体系梳理了基本定理应用、坐标运算、共线条件三大考查维度，明确坐标运算与共线条件为高频考点，归纳基底判断、坐标运算、参数求解等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与方法指导，如2025全国一卷帆船风速题，运用向量坐标化和方程思想解题，培养数学思维与数学语言表达。通过“基底定分解”“共线坐标列方程”等技巧，帮助学生掌握得分关键，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第二节　平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示 第五章　平面向量与复数 1.了解平面向量基本定理及其意义.　2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.　3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.　4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使 .我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 . a=λ1e1+λ2e2 基底 知识点二　平面向量的正交分解及坐标表示 1.平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量作 . 2.平面向量的坐标运算 (1)平面向量线性运算的坐标表示 假设平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b= ,λa= (λ∈R),ua±vb= (u,v∈R). 互相垂直 正交分解 (x1±x2,y1±y2) (λx1,λy1) (ux1±vx2,uy1±vy2) (2)向量模的坐标计算公式 如果向量a=(x,y),那么|a|=___________. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则||= . (3)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.若向量的起点不是坐标原点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则= . (x2-x1,y2-y1) 知识点二　平面向量的正交分解及坐标表示 3.平面向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,向量a,b共线的充要条件是 . x1y2-x2y1=0 知识点二　平面向量的正交分解及坐标表示 知识点三　平面向量基本定理的推论 设a=λ1e1+λ2e2,b=λ3e1+λ4e2(λ1,λ2,λ3,λ4∈R),且e1,e2不共线,若a=b,则λ1=λ3且λ2=λ4. 常用结论 已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则线段AB的中点坐标为(,),△ABC的重心坐标为(,). 自我评价 1.若=(1,-2),=(-1,3),则的坐标为(　　) A.(0,1)　　　　　　　　 B.(2,-5) C.(-2,5) D.(2,5) 解析:因为=(1,-2),=(-1,3),所以=-=(-1,3)-(1,-2)=(-2,5). C 2.设向量a=(x,2),b=(-3,6),若a∥b,则x=(　　) A.1 B.-1 C.4 D.-4 解析:由a∥b得,6x+6=0⇒x=-1. B 3.下列各组向量中,能作为基底的是(　　) A.e1=(1,0),e2=(0,0) B.e1=(1,2),e2=(2,4) C.e1=(0,2),e2=(0,6) D.e1=(0,3),e2=(3,0) 解析:对于A,零向量与任意向量共线,所以A错误;对于B,因为e1=e2,所以B错误;对于C,因为3e1=e2,所以C错误;对于D,e1=(0,3),e2=(3,0)不共线,所以D正确. D 4.如图,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,设=a,=b,则=(　　) A.a-b B.a-b C.-a+b D.a+b 解析:由题图知,=+=-=-a+b. C 关键能力　重点探究 考点一　平面向量基本定理及应用 [例1]　(1)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为边AB,BC上的点,且AM=MB,CN=2NB,记=a,=b,则=(　　) A.a+b　　　　　 B.a-b C.a+b D.-a+b [解析]　因为=++=-a+b+a=b-a, 所以==b-a.又==a, 所以=+=a+b-a=a+b. A (2)如图,在矩形ABCD中,E,F分别为CD,CB的中点,G为线段EF上的一点,且=+m,则实数m的值为(　　) A. B. C. D. A [解析]　设=λ(0≤λ≤1), 则=+=++λ=++λ(+)=++-=+(1-). 因为=+m,所以 解得 方法总结 运算遵法则、基底定分解 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中,利用三角形法则列出向量间的关系. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的. 跟踪训练 1.(多选)设e1,e2是平面内不共线的两个向量,则下列四组向量中,能作为一个基底的是(　 　) A.e1+e2和-7e1+2e2 B.e1-2e2和-2e1+e2 C.e1+2e2和e1+e2 D.e2和e1+e2 ABD 解析:只有不共线的向量才可以作为一个基底, 对于A,因为≠,所以e1+e2和-7e1+2e2不共线,可以作为基底; 对于B,因为≠,所以e1-2e2和-2e1+e2不共线,可以作为基底; 对于C,因为e1+2e2=2×(e1+e2),所以e1+2e2和e1+e2共线,不可以作为基底; 对于D,因为≠,所以e2和e1+e2不共线,可以作为基底. 2.如图,在△ABC中,=2,=,设=a,=b,则=(　　) A.-a+b B.-a+b C.-a+b D.-a+b 解析:在△ABC中,=2,=,故=-=-a, ==(-)=b-a,因此=-=b-a+a=-a+b. A 考点二　平面向量的坐标运算 [例2]　(2025·全国一卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　　) A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 [答案]　A 级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 [解析]　如图,设点A(3,3),B(0,2),C(2,0),由题意知,视风风速对应的向量为,船速对应的向量为,因为船行风风速对应的向量与船速对应的向量为相反向量,所以船行风风速对应的向量为,则真风风速对应的向量为-==(-2,2),||==2,而2∈(1.6,3.3),故该时刻的真风为轻风. 方法总结 向量坐标运算问题的一般思路 1.向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算. 2.巧借方程思想求坐标:向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用. 跟踪训练 3.已知=(-6,3),=(3,9),若=,则=(　　) A.(5,-3) B.(6,-2) C.(-3,5) D.(-2,6) 解析:因为=,所以-=(-), 解得=+=(3,9)+(-6,3)=(1,3)+(-4,2)=(-3,5). C 4.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB=4,E为AD的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A. B. C.2 D. B 解析:建立如图所示的平面直角坐标系, 则D(0,0),C(4,0),A(0,4),B(2,4),E(0,2), 所以=(-4,4),=(-4,2),=(2,4). 因为=λ+μ(λ,μ∈R), 所以(-4,4)=λ(-4,2)+μ(2,4), 则解得λ=,μ=,所以λ+μ=. 考点三　向量共线的坐标表示 角度1　利用向量共线求向量或点的坐标 [例3]　已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.  (3,3) [解析]　法一:由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ), 则=-=(4λ-4,4λ).又=-=(-2,6), 由共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0, 解得λ=.所以==(3,3),所以点P的坐标为(3,3). 法二:设点P(x,y),则=(x,y), 因为=(4,4),且共线, 所以=,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且共线, 所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3). 角度2　利用向量共线求参数 [例4]　(1)(2026·福建三明模拟)已知a=(2,1),b=(1,-2),若(a+λb)∥(3a-b),则λ=(　　) A. B.- C. D.- B [解析]　由a=(2,1),b=(1,-2),得a+λb=(2+λ,1-2λ),3a-b=(5,5), 若(a+λb)∥(3a-b),则5(2+λ)=5(1-2λ),解得λ=-. (2)(人A必修第二册P29例3改编)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A.- B.- C.- D.- B [解析]　设网格中小正方形的边长为1,建立平面直角坐标系如图所示,可知b=(3,3),a=(-2,1),c=(-1,-3),代入c=λa+μb(λ,μ∈R),得(-1,-3)= λ(-2,1)+μ(3,3),则所以λ+μ=-. 方法总结 利用向量共线的坐标表示求参数的步骤 第一步:根据已知条件求出相关向量的坐标; 第二步:利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组; 第三步:根据方程或方程组求解得到参数的值. 跟踪训练 5.(2026·山东青岛模拟)已知向量=(-3,1),=(1,-2),=(x-6,x+5),若点A,B,C不能构成三角形,则x的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:由题意可得=-=(4,-3),=-=(x-7,x+7), 若A,B,C三点共线,则点A,B,C不能构成三角形, 即-3(x-7)-4(x+7)=0,解得x=-1,所以x的值为-1. B 6.(人A必修第二册P30例5改编)已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(1,2),(3,1),则顶点D的坐标为　　　　.  解析:由四边形ABCD为平行四边形,知==(1,2),设D(x,y),则= (3-x,1-y), 所以故顶点D的坐标为(2,-1). (2,-1) $