2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 期中自编提升卷（上海专用）

2026-2027学年九年级上册沪教版五四制期中自编测试（5） （上海专用）原卷版A4 （满分150分　考试时间100分钟） 1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）第27章 二次函数、第28章 相似三角形 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填在答题纸的相应位置上】 1．下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 2．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标 C．对称轴是直线 D．在时，随的增大而增大 3．若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 填空题 5．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 6．纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．在抛物线中，开口最大的是__________． 8．二次函数的顶点坐标是 ． 9．已知二次函数，则它关于y轴的对称图像的解析式为____________ 10．如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 11．已知二次函数的图象过点，则用“”把连接起来为： ． 12．二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 13．用12米长的木条做一个如图所示的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的 长为______米，宽为______米． 三:解答题 14．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此、若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高是______厘米（结果保留到整数）． 15．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．如图，点P是线段MN的中外比点，，，则______． 解答题 16．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 17．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 三、解答题：（本大题共7题，第18～20题每题10分，第21、22题每题12分，第23题13分，第24题15分，满分82分） 18．二次函数的图象的顶点坐标是什么？点在二次函数的图象上吗？请分别写出点关于轴的对称点的坐标、关于轴的对称点的坐标．点B，C在二次函数的图象上吗？ 19．如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 20．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    （1）求证：． （2）求证：． 21．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全 部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客 居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）． （1）设一天订出的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式； （3）一天订出多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 22．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 23．在平面直角坐标系中（如图），过点且平行于x轴的直线与直线交于点A，点B与点A关于直线对称，    (1)求点A和点B的坐标； (2)如果抛物线经过点B，求a的值； (3)如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 24．随着“江西省城市足球联赛”（简称“赣超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情，如图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员位于点O处起脚射门，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点O的水平距离x（单位：m）与离地高度y（单位：m）的部分数据如下表： 水平距离x/m … 6 9 12 15 … 离地高度y/m … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点O为坐标原点，直线OB为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度y＝　4.8　 m． （2）求y关于x的函数解析式． （3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于该守门员的最大防守高度2.1m时，该守门员可防守成功．若守门员距离点O水平距离19m时，该守门员需要至少退后几米，才能防守成功？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册沪教版五四制期中自编提升卷 （上海专用）解析版 （满分150分　考试时间100分钟） 1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）第27章 二次函数、第28章 相似三角形 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填在答题纸的相应位置上】 1．下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，熟练掌握一次函数、二次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质即可解答． 【详解】解： A.， 的值随的值增大而减小，符合题意； B. ， 的值随的值增大而增大，不符合题意； C. ，当时，的值随的值增大而增大，当时，的值随的值增大而减小，不符合题意； D选项，，在每一象限内，的值随的值增大而增大，不符合题意； 故选：A． 2．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标 C．对称轴是直线 D．在时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，抛物线的开口向下，则该选项错误，故不符合题意； B、顶点坐标为，则该选项错误，故不符合题意； C、对称轴是直线，则该选项正确，故符合题意； D、当时，随的增大而减小，则该选项错误，不符合题意； 故选：C 3．若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，对称轴为，顶点为最大值点，当 时，函数单调递减，由，可得且，因此 ． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，顶点为， ∴当 时，， ∵，且函数在时单调递减， ∴， 又∵且， ∴且， ∴． 故选：C． 4．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第四象限，纵坐标小于0，此时对应的函数值为， ∴， 故①正确； 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为，且为函数的最大值， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴， 故②正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， 故④错误； ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵二次函数开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； 5．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 6．纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，通过设大长方形的长和宽，利用相似多边形对应边成比例的性质列方程求解相似比即可． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，则折叠后小长方形的长为，宽为， ∵大长方形与小长方形相似 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴大长方形与小长方形的相似比为． 故选C． 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．在抛物线中，开口最大的是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越小，开口越大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数，； 对于，二次项系数，； 对于 ，二次项系数，， ∵， ∴最小， 因此开口最大的是． 故答案为：． 8．二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为：． 9．已知二次函数，则它关于y轴的对称图像的解析式为____________ 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，根据题意确定顶点坐标关于y轴的对称点为，然后利用顶点式即可求解 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴顶点坐标关于y轴的对称点为，开口方向与原开口方向一致， ∴对应的函数关系式为， 故答案为： 10．如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象的性质，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握若一点在函数图象上，则此点坐标满足函数图象解析式是解题的关键，需要注意解出的值要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出的值，再排除二次项系数不为的情况． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得：， 解得：或， ∵二次函数中二次项系数不为，得， ∴， ∴． 故答案为：． 11．已知二次函数的图象过点，则用“”把连接起来为： ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题的关键是掌握二次函数的对称性及增减性．根据函数解析式的特点，其对称轴为直线，图象开口向上，找出关于对称轴的对称点，利用当时，随的增大而减小，再根据，即可做出判断． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 由二次函数图象的对称性，可知与对称， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ， ； 故答案为：． 12．二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键． 令横坐标，代入函数解析式求出的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：当时， ， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 13．用12米长的木条做一个如图所示的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的 长为______米，宽为______米． 【答案】3，2 【解析】设矩形宽为，则矩形长为， 透进光线最多，则窗户面积最大，窗户面积， 化为顶点式，即为，，此时矩形宽为，长为． 【总结】考查利用二次函数建立模型解决函数问题，根据顶点式求最值． 14．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此、若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高是______厘米（结果保留到整数）． 【答案】162 【详解】解：设此人头顶至肚脐的长度为， 由题意得，黄金分割比约为，满足， 解得，则身高为． 15．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．如图，点P是线段MN的中外比点，，，则______． 【答案】 【详解】解：由题意，得， 又， ∴， 解得（不合题意，舍去），或， 故答案为： ． 16．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 17．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 三、解答题：（本大题共7题，第18～20题每题10分，第21、22题每题12分，第23题13分，第24题15分，满分82分） 18．二次函数的图象的顶点坐标是什么？点在二次函数的图象上吗？请分别写出点关于轴的对称点的坐标、关于轴的对称点的坐标．点B，C在二次函数的图象上吗？ 【答案】 点不在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据二次函数的性质可得顶点坐标；将点坐标代入二次函数解析式即可判断点在二次函数图象上；根据关于坐标轴对称的点的坐标特征即可求得和的坐标，分别代入二次函数解析式即可判断是否在二次函数图象上． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 当时，， 点在二次函数的图象上． 点为点关于轴的对称点，点为点关于轴的对称点， 点的坐标为，点的坐标为． 当时，， 点不在二次函数的图象上， 当时，， 点在二次函数的图象上． 【点睛】 19．如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）先根据得到，再根据即可证明； （2）根据得到，进而得到，根据，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，在 中，， 平分，作 交 于点 ，垂足为 ．作 ，垂足为 ． （1）求证：． （2）求证：． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． （1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 21．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全 部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客 居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）． （1）设一天订出的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式； （3）一天订出多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）； （3）订出34个房间，宾馆有最大利润10880元． 【解析】（1）根据题意易得一天订出的房间数，同时， 可知自变量的取值范围是； 利润=单个房间利润×订出房间数，即，代入即为 ； 化为顶点式，即，根据函数的增减性，函数在对称轴左侧递 增，故时宾馆有最大利润，此时订出房间数为，最大利润是 ． 【总结】根据题意列出相应的函数解析式，求最值时需要注意根据题目条件确定好相应自变量取值范围，适当结合函数增减性进行解题． 22．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 23．在平面直角坐标系中（如图），过点且平行于x轴的直线与直线交于点A，点B与点A关于直线对称，    (1)求点A和点B的坐标； (2)如果抛物线经过点B，求a的值； (3)如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是结合图象找出关于的一元一次不等式组． （1）由过点且平行于轴的直线解析式为，可求出点的坐标，由点关于直线的对称点为，可求出点的坐标； （2）由抛物线经过点，，利用待定系数法可求出函数的解析式，将解析式配方后可得出顶点的坐标； （3）结合图形，可得知两个根的范围，从而的出结论． 【详解】（1）解：过点且平行于轴的直线解析式为， 令，则有，解得：， 故点的坐标为． 点关于直线的对称点为， 点的坐标为． （2）解：抛物线经过点， ，解得； （3）解：依照题意画出题形如下． 当时，抛物线与线段无交点， ， 令，则有，解得：， 抛物线与线段恰有一个公共点， 有，解得：． 故的取值范围为．    24．随着“江西省城市足球联赛”（简称“赣超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情，如图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员位于点O处起脚射门，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点O的水平距离x（单位：m）与离地高度y（单位：m）的部分数据如下表： 水平距离x/m … 6 9 12 15 … 离地高度y/m … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点O为坐标原点，直线OB为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度y＝　4.8　 m． （2）求y关于x的函数解析式． （3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于该守门员的最大防守高度2.1m时，该守门员可防守成功．若守门员距离点O水平距离19m时，该守门员需要至少退后几米，才能防守成功？ 【分析】（1）依据题意，由图象过点（9，4.5），（15，4.5），则对称轴是直线，结合抛物线开口向下，从而当x＝12时，足球离地最大高度y＝4.8，即可得解； （2）依据题意，设抛物线为y＝a（x﹣12）2+4.8，又抛物线过点（6，3.6），则36a+4.8＝3.6，求出a后即可得解； （3）依据题意，结合（2）令y＝2.1，则，从而x＝21或x＝3（舍去），又21﹣19＝2，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵图象过点（9，4.5），（15，4.5）， ∴对称轴是直线． 又∵抛物线开口向下， ∴当x＝12时，足球离地最大高度y＝4.8． 故答案为：4.8； （2）由题意，设抛物线为y＝a（x﹣12）2+4.8． 又∵抛物线过点（6，3.6）， ∴36a+4.8＝3.6， ∴， ∴； （3）由题意，结合（2）令y＝2.1， ∴． ∴x＝21或x＝3（舍去）， ∴21﹣19＝2， ∴守门员需要至少退后2米，才能防守成功． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $