期中考试模拟培优卷（范围：九上第27-29章）2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

2026-2027学年沪教版九年级上学期期中模拟卷 数学培优卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版九年级数学上册第27~29章。 一﹑选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果，那么下列各式中正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用比例的基本性质验证等式变形，结合比例的意义判断具体取值的正误． 【详解】解：∵， ∴， ∴A错误，B正确； ∵满足的取值不唯一，且时， ∴C、D错误． 2．如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定理得到，再根据正弦的计算求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ． 3．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．函数的最小值是－3 C．对称轴为直线 D．函数图象与y轴的交点坐标是 【答案】C 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为，故A错误； 对称轴为直线，故C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，故B错误； 令，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故D错误. 4．如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：已知， A．添加后，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； B．添加后，可得，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； C．添加后，满足两组对应边的比相等且夹角对应相等，能判定与相似，不合题意； D．添加后，有两组对应边的比相等，但不能确定夹角相等，不能判定与相似，符合题意． 5．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的核心在于利用折叠的性质（全等）和等腰直角三角形的角度特征，通过角度转换证明，从而将求转化为求．接着，通过设未知数，在中利用勾股定理建立方程求出线段的长度，最后代入三角函数定义求解． 【详解】∵是等腰直角三角形，， ∴，． ∵D为的中点， ∴． 根据折叠的性质可知，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． ∴． 6．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】先根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴交点判断a，b，c的符号，再利用对应的函数值判断的正负，结合对称轴得到与的等量关系，代入不等式推导、的大小关系，最后利用二次函数顶点最小值的性质判断第四个结论． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交于负半轴， ， 即，两负一正， ， 故①正确． 由图象可知，当时，， ， 故②正确． ，且， ， ， 即，故③正确． 当时，二次函数取最小值， 对于任意实数，都有， ， 故④正确． 综上，正确结论的个数有4个． 二﹑填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分。 7．把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 【答案】 【分析】结合二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律和平移前后抛物线二次项系数不变的性质完成推导． 【详解】解：抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线解析式为． 8．已知四条线段、、、成比例，则的值为______． 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按题目给出的线段顺序列出比例式，再利用比例的基本性质计算求解. 【详解】解：∵四条线段，，，成比例，顺序与给出顺序一致， ∴， 根据比例的基本性质得 ， 解得 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 【答案】 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形， ， ∴ 又∵两个图形在位似中心异侧， ∴与的位似比为. 10．在中，，若，则_____． 【答案】30 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活运用特殊角的三角函数值求角度是解题的关键． 由，则，即，再根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为30． 11．如图，在中，，延长斜边到点，使，连接，若，则______． 【答案】/0.15 【分析】本题考查了正切，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正切，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，作交于，则，证明，则，即，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作交于， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】观察函数图象，确定二次函数与一次函数交点的横坐标，根据，即抛物线在直线的上方，找出对应的 的取值范围． 【详解】解：由图象可知，二次函数和一次函数的交点横坐标分别为和， 当时，即二次函数图象在一次函数图象的上方， 观察图象可知，当或时，抛物线在直线的上方， 的取值范围是或． 13．如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据位似比，解答即可． 【详解】解：根据题意，与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、， 故相似比为， 故把各坐标分别乘以得得到，，． 14．若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即，若等腰，，且，则___________． 【答案】/0.28 【分析】过点A作于D，过点B作于E，设，，根据勾股定理得， ，进而判断是锐角三角形，点E在AC边上，从而得，由三角函数的定义即可求解． 【详解】如图，过点A作于D，过点B作于E， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是锐角三角形， ∴点E在AC边上， ∵，， ∴即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15．如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    【答案】6 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 16．如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是______． 【答案】 【分析】根据正方形对角线在轴上及顶点在抛物线上，确定直线，等的表达式，联立抛物线方程求出，等点的坐标，计算边长并总结规律即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且对角线在轴上， ， ∴直线的表达式为， 联立，解得或， ， ∴第个正方形的边长， ，即， ∵四边形是正方形， ∴， ∴直线的表达式为， 联立，解得或， ， ∴第个正方形的边长， ，即， 同理可得直线的表达式为， 联立，解得或， , ∴第个正方形的边长， ， ∴第个正方形的边长为， ∴第个正方形的边长是． 17．在中，，，，点、分别在边、上，且（如图），将沿直线翻折，翻折后点落在点处．如果，那么___________． 【答案】/ 【详解】作的平分线，过点作交的延长线于点，可将转化为，因此设法求出的值即可解决问题． 【解答】解：作出沿直线翻折后的， 则，， ， ， 作的平分线， 则， ， 过点作交的延长线于点， 则，，， ，， ，， 在中，，，， 由勾股定理，得， ， 在中， 由勾股定理，得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，平行线性质和判定，通过作辅助线将求转化为求是解题的关键． 三﹑解答题：本题共7小题，共82分。（其中：18-20题每题10分，21-22题每题12分,23-24题每题14分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键． （1）代入特殊角的三角函数值再进行计算即可； （2）代入特殊角的三角函数值再进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 19．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示： 即为所求． 20．已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【答案】(1) (2)向右平移个单位，再向上平移个单位 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及平移规则是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式，即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位． 21．如图，是在小区入口处安装的摄像头，是摄像头的监控区域．为水平地面，点、在直线上． 已知摄像头离地面的高度米，，． (1)求的长． (2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 【答案】(1)15.6米 (2)9秒 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）分别解，求出的长，进而求出的长即可； （2）分别解，求出的长，进而求出货车行驶的路程，利用时间等于路程除以速度进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； 在中，，， ∴； ∴（米）； （2）解：由题意，，， 在中，； 在中，， ∴厢式货车在监控范围内行驶的路程为（米）； ， ∴（秒）； 答：从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要9秒． 22．如图， 在中， ， 点是边的中点， 连接， 过点作 于 ， 连接． (1)求证: (2)如果， 求证： ． (3)如果 ， ， 直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴． (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质，即可证明； （2）由（1）得，变形为：，根据三角形的判定和性质，可得，得到，再根据相似三角形的判定，得到，推出，式子变形，即可证明； （3）设，推出，根据勾股定理分别求出，，得到，设，求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴； ∵ ， ∴； ∴， 设， ∴， 整理可得：， 解得： ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，E为线段上一动点（不与点A、C重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标； (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直x轴于点D，过点E作的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，设，根据列方程求出t的值即可求E点坐标； （3）表示出，，得到，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得， ∴； （2）解：∵， 当时，， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点P的横坐标为n，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵二次项系数为，， ∴当时，有最大值． 24．如图，已知在四边形中，，点为边上一点，且，连接与对角线交于点，，点是边的中点，连接． (1)求证：； (2)如图2，当时，连接交对角线于点． ①如果，求的值； ②如果，是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：延长交于点M， 设， ， ， ，，， ，，， ， ，， 点F是边的中点， ， ， ， 而， ， ， 四边形是平行四边形， ， 即； (2)①；②或 【详解】（1）略 （2）解：①过点D作于点H，如图， 由（1）知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， 又∵， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 或（舍去）， ， 在中，， ， ； ②延长交于点M，连接，如图， 由（1）知，，，， ， ， ，， 当是等腰三角形时， 分三种情况：当时， ， ， ， 在中，； 当时， 由（1）知，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， ； 当时，点O在的垂直平分线上， ， 点M在的垂直平分线上， 垂直平分，不符合题意，这种情况不存在； 综上所述，的长为或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年沪教版九年级上学期期中模拟卷 数学培优卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材沪教版九年级数学上册第27~29章。 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 x_5 1.如果y4,那么下列各式中正确的是（）· A.5x=4y B.4x=5y C.x=5,y=4 D.x=4y=5 2.如图，在RIAABC中，∠C=90°.若AB=5,AC=4,则sinA=() B 3 A.5 B.4 c D.3 3.已知二次函数少=-(x+2)}-3 下列说法正确的是() 2,-3) A.顶点坐标为 B.函数的最小值是一3 C.对称轴为直线x=-2 D.函数图象与y轴的交点坐标是(0，-3) 4.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，再添加一个条件，仍不能判定△ADE与△MCB相 第1页共8页 似的是（) A.∠ADE=∠ACB B.DE∥BC AE AD AE DE C.AB AC D.ABBC 5.如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=2,D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合， EF为折痕，则cos/BED的值为() C F A B E 2 4 √5 √2 A.3 B.5 C.2 D.2 6.二次函数'=r+bx+ 的图象如图所示，有如下结论：①6c>0 :②a-b+c> 0,③36<2c:④ am2+bm≥a+bm (为实数)·其中正确结论的个数是() X=1 012 3 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分。 2 7.把抛物线y=一3向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 8.己知四条线段3、4、x、6成比例，则x的值为一 第2页共8页 9。如图，在平面直角坐标系中，AABC与。DBr是以原点O为位似中心的位似图形，AC=DF,则 3 △DEF与△ABC的位似比为 E B Rt△ABC 10.在 中，C=90,若21C=31B,则2A=. 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长斜边AB到点D,使AB=4BD,连接CD,若 tan∠ABC=3 ,则tan∠BCD= A B D 卫如图，三次属数++和-次通数为=愿+” m+”的图象，观察图象，当>”时，x的取值范围 是 1.如图，已知△1C与△BC关于坐标原点O位似，且点A与点4对应，4,0)、B(2,3)C4,3) 第3页共8页 1(B,0),则点C的对应点C的坐标为 底边 14。若定义等腹三角形顶角的B值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角底边正的高，若 3 等腰A4BC,AB=AC,且BA=2,则cosM= L F 15.如图是杠杆示意图，支点为0，动力的作用线与动力臂垂直，阻力‘的作用线与阻力臂垂直. 由动力肯二、动力的作用线与杠轩组成△01，由阻力愕一、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成 F OB A0CD,若OD =3,且杠杆平衡时动力F=2N,根据杠杆平衡条件F山=乃·L2,则阻力B= N 阻力臂支点 B DE YA 动力臂动 阻力 16,如图，在抛物线y= 的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规 律类推，第2026个正方形的边长是一 第4页共8页 B3 A3 B2 A B 17.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=25,AC=20,点P、2分别在边AC、BC上，且CP:B0=3:2 ,△PQC (如图)，将 C沿直线吧折，潮折后点C落在点C处.如果Qc ,那么os∠OPC B 三、解答题：本题共7小题，共82分。（其中：18-20题每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.计算： (1)sin30°+cos60°-tan45° sin60° (2 +tan60° /c0s30° 19.在平面直角坐标系x0O中，△MBC的三个顶点坐标分别为 (-2,1),B(0,2),C(-3,4) 第5页共8页 )将AAB 绕点O顺时针旋转0得到△48G,画 出△ABG,并写出点的坐标 A △4BG放大得到 4，B2C2 相似比为2，在网格图中画出 △4B2C2 (2)以点为位似中心， y=ax2+bx+c(a≠0)A(0,1),B(4,5),C(9,12) 20.已知抛物线 经过 (1)求抛物线的解析式： 2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点22)， ,那么平移的方法是一一一 21.如图，P是在小区入口处安装的摄像头，△PAB是摄像头的监控区域.MN为水平地面，点A、B在 直线MN上.已知摄像头离地面的高度PH=4.8米，∠APH=37°，∠APB=39° 厢式货车 MH E A D B (1)求AB的长 (2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头( CD)进入监控区域到车尾(EF)驶出监控区域需要几秒？ (参考数据：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75，sin76°=0.97，cos76°=0.24，tan76°=4 .) 22.如图，在R1aABC中，∠ACB=90°，点D是边BC的中点，连接AD,过点C作CE⊥AD于 E,连接BE 第6页共8页 D (1)求证：BD2=DE·AD (2)如果∠ABC=∠DCE,求证：BD.CE=BEDE. B)如果1C=5.CE=1 直接写出线段BD的长 23.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线V=?+伽+C与x轴交于点A和点 (1,0) ,与y轴交于点 C(0,-3),B为线段4C上一动点（不与点AC重合）· B x A 图1 图2 y=x2+bx+c (1)求抛物线 的表达式； (2)当△EBC是以BC为底的等腰三角形时，求点E的坐标： (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D,过点E作AC的垂线，与y PE+2EG 轴交于点G,设点P的横坐标为n,求 的最大值、 24.如图，己知在四边形ABCD中，AD∥BC,点E为边AD上一点，且AE=2ED,连接BE与对角线 OE 1 AC交于点O,OB2,点F是边BC的中点，连接OF: 第7页共8页 图1 图2 OF∥DC (1)求证： (2)如图2，当∠BAD=90°时，连接DF交对角线AC于点G, AB ①如果0F2=0G.0C,求BC的值： ②如果AD=3,△OBF是等腰三角形时，请直接写出AB的长. 第8页共8页