1.2 集合间的基本关系常见五种题型同步练习（基础卷）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系常见五种题型（基础卷）

目　录

题型一　集合关系的判定（∈、⊆、⫋）

题型二　子集、真子集及其个数

题型三　由相等或包含关系求参数

题型四　空集与包含关系的综合讨论

题型五　数集规律、图示与综合

 

 

 

 

题型一　集合关系的判定（∈、⊆、⫋）

【解题技巧】（元素与集合用∈、∉，集合与集合用⊆、⫋、＝，三类符号不能混用；判断前先把对象化简（如|－3|＝3、{x|x2＝1}＝{－1,1}）；「∈」左侧必须是元素，集合对集合只能用包含或相等；任何集合都是自身的子集（A⊆A），空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集；∅与{0}不同：∅没有元素，{0}有一个元素0；判断命题个数时逐项验证或举反例。）

1．（多选）下列关系中正确的是（　　）

A．0∈{0}

B．∅∈{∅}

C．∅⊆{0}

D．{0}⊆∅

2．（多选）已知集合A＝{1，2，3}，则下列结论正确的是（　　）

A．3∈A

B．{3}⊆A

C．∅⫋A

D．A⫋A

3．下列写法正确的是（　　）

A．1⊆{1，2}

B．{1}∈{1，2}

C．{1}⫋{1，2}

D．∅∈{1，2}

4．已知集合M＝{x|x2＝4}，N＝{－2，2}，则M与N的关系是（　　）

A．M⫋N

B．N⫋M

C．M＝N

D．M⊈N

5．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4}，则B与A的关系是______.

题型二　子集、真子集及其个数

【解题技巧】（n元集合的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2；求满足条件的集合个数：先把必须包含的元素固定，再对其余元素逐一「取或不取」计数，最后按「真子集」要求扣除全集本身（或按「非空」扣除空集）；含参集合先确定元素个数再计数；列举时按顺序写，避免遗漏或重复。）

6．集合{a，b，c}的子集个数为______.

7．集合{1，2，3，4}的真子集个数为（　　）

A．15

B．16

C．14

D．8

8．满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数为______.

题型三　由相等或包含关系求参数

【解题技巧】（两集合相等⇔元素完全相同：先由已知元素代入求参数，再回检互异性（如A＝{1，a}＝{a2，1}中a＝1会使元素重复，舍去）；B⊆A型：把B的元素逐一放入A中检验；B中元素待定（含参方程的根）时，按根的个数分类，注意B＝∅也满足B⊆A，不要漏；含参一次方程ax＝b：a＝0时看b是否为0；区间型包含（如{x|m＋1≤x≤2m－1}⊆{x|－2≤x≤5}）：先讨论B＝∅（m＋1＞2m－1），再由端点列不等式组；最后写「综上」并检验端点等号能否取到。）

9．已知集合A＝{1，a}，B＝{a2，1}，若A＝B，则a的值为（　　）

A．0

B．1

C．0或1

D．0或－1

10．已知{2，a}＝{1，2}，则a＝______.

11．已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{2，3}，则A与B的关系是（　　）

A．A⫋B

B．B⫋A

C．A＝B

D．A⊈B

12．已知集合A＝{1，2，m}，B＝{2，3}，若B⊆A，则m＝______.

13．已知A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，若A⊆C⊆B，则集合C的个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．8

14．已知A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是______.

15．已知A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＞4

B．a≥4

C．a＜1

D．a≤1

16．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}只有一个元素，则实数a的值为______.

17．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋2＝0}，若A＝B，则a的值为（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

题型四　空集与包含关系的综合讨论

【解题技巧】（空集是任何集合的子集：涉及B⊆A且B含参时，第一步永远是讨论B＝∅；如A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}为空集⇔a≠0且Δ＜0；至多有一个元素⇔a＝0（一次方程）或Δ≤0；由「B⊆A」求参数：B＝∅时参数满足方程无解的条件，B≠∅时结合根的分布列式，最后取并集；解含参二次方程先看二次项系数是否为零；「所有元素均为正数」等元素符号问题用根与系数的关系（韦达定理）列式。）

18．（多选）下列说法正确的是（　　）

A．空集是任何集合的子集

B．空集是任何非空集合的真子集

C．若A⊆B且B⊆C，则A⊆C

D．若A⊆B，则A的元素个数一定少于B

19．若集合A＝{x|ax＋1＝0}＝∅，则a的值为（　　）

A．0

B．1

C．－1

D．不存在

20．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围是______.

21．已知A＝{1，2}，B＝{x|mx－1＝0}，若B⊆A，则m的取值集合为______.

题型五　数集规律、图示与综合

【解题技巧】（数集规律题：先把{k＋b型}化成同一形式再比较，如{x|x＝3k＋1，k∈Z}与{x|x＝3k－2，k∈Z}表示同一集合；涉及整除的集合用余数分类；Venn图（示意图）题先由图读出包含、相交的位置关系再套选项；多选题逐项构造反例；判断集合相等先化简描述条件（解方程、去绝对值）；综合题注意先定定义域与元素个数，再谈关系。）

22．集合{x|x＝2k＋1，k∈Z}与{x|x＝2k－1，k∈Z}的关系是（　　）

A．前者真包含后者

B．相等

C．后者真包含前者

D．无法确定

23．下列集合中与{x|x＝3k，k∈Z}相等的是（　　）

A．{x|x＝3k＋3，k∈Z}

B．{x|x＝3k＋1，k∈Z}

C．{x|x＝6k，k∈Z}

D．{x|x＝3k－1，k∈Z}

24．用列举法表示集合{x∈N|－1＜x＜3}＝______.

25．已知A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4k，k∈Z}，则（　　）

A．A⫋B

B．B⫋A

C．A＝B

D．A∩B＝∅

26．已知集合A＝{x|x＝k2＋1，k∈N}，则5______A（填∈或∉）.

27．已知A＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}，则A的子集个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．8

28．已知A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋3，k∈Z}，则A与B的关系是______.