精品解析：山东省济南市市中区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年九年级期中学业质量监测 数学试题 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 3. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（ ） A. 3张 B. 15张 C. 5张 D. 10张 5. 如图所示的三个三角形，相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 6. 如图，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．若，则点的位置可以在（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 9. 如图，在中，点是边的中点，是边上的点，且，连接与交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为6；③若函数与函数的“对偶值”为，则；④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 在中，，，则________． 12. 如图，某综合与实践小组想要确定某池塘的长度，先在池塘的一侧取一个可以直接到达点的点，经测量得到．若在的延长线上分别取点，使，连接，测得，则该池塘的长度为___________m． 13. 反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 14. 将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点，落在斜边上，若小正方形的边长为，则的长为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为_____． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 如图，在中，为上一点，且，，，求的长度． 18. 在中，已知，，，求的面积． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为； （2）在（）的条件下， ①点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____； ②边上任意一点的对应点的坐标为_____． 20. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 21. 如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中格代表个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上． （1）点的横坐标为_____，点的横坐标为_____； （2）求的值； （3）连接，过的直线，直接写出的解集． 22. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （1）________m，_______m（结果保留根号）； （2）求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 23. 某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）_____，消毒效果最高效力是_____； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 24. 直线与双曲线交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）如图，点是直线第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点，交双曲线于点，当时，求的值； （3）如图，已知点是双曲线上一动点，连接，，若，直接写出所有满足条件的点的坐标，并选一种情况写出解答过程． 25. 【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形中，，相交于点． （1）如图1，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为_____，的值为_____； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上，求的值； 【延伸拓展】 （3）如图3，在菱形中，，对角线，相交于点，是的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转并放缩得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在线段上，点落在射线上．若，为的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级期中学业质量监测 数学试题 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵1×4≠3×2，故选项A中的四条线段不成比例， ∵4×10≠6×5，故选项B中的四条线段不成比例， ∵2×6=4×3，故选项C中的四条线段成比例， ∵2×8≠4×6，故选项D中的四条线段不成比例， 故选C． 3. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义得出，代入数据即可求解． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 4. 一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（ ） A. 3张 B. 15张 C. 5张 D. 10张 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率及概率的关系和题意可直接列式计算．本题主要考查 已知概率求数量，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在， ∴（张）， 故选：C． 5. 如图所示的三个三角形，相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 6. 如图，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，利用平行线等分线段定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故选：． 7. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的综合应用，由反比例函数图象先确定的符号，进而确定一次函数图象的分布位置，再结合图象判断即可求解，掌握一次函数与反比例函数图象是解题的关键． 【详解】解：、∵反比例函数的图象分布在一、三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故选项图象不合题意； 、∵反比例函数的图象分布在一、三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故选项图象不合题意； 、∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故选项图象符合题意； 、∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故选项图象不合题意； 故选：． 8. 如图，在边长为个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．若，则点的位置可以在（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，根据正切的定义逐一排除即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、过点作于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，不符合题意； 、过点作于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，不符合题意； 、过点作于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，不符合题意； 、过点作交延长线于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，符合题意； 故选：． 9. 如图，在中，点是边的中点，是边上的点，且，连接与交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，延长，交的延长线于点，可证，得到，，即得到，再利用解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为6；③若函数与函数的“对偶值”为，则；④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，根据“对偶关系”的定义，点和点关于轴对称，即横坐标互为相反数，纵坐标相等．逐一分析每个结论即可． 【详解】解：①设点在上，坐标为，则点在上，坐标为， 纵坐标相等， ， 解得：， 存在点和，关于轴对称，具有对偶关系， 故①错误； ②由①可知对偶值为6， 故②正确； ③对偶值为，则点在上，纵坐标为， ， 解得：， 点的坐标为； 点与关于轴对称， 点的坐标为在上， ， 解得：， 故③错误； ④设点在上， 点坐标为，其中， 点与关于轴对称， ，在上， ，即 ，即， 当时，, 当时，， 的取值范围为， 故④正确． 综上，正确结论为，共个． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 在中，，，则________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据，，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：45． 12. 如图，某综合与实践小组想要确定某池塘的长度，先在池塘的一侧取一个可以直接到达点的点，经测量得到．若在的延长线上分别取点，使，连接，测得，则该池塘的长度为___________m． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可． 本题考查了相似三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，推导出 ，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接，   ∵轴， ， ∴， ， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ， 故答案为：． 14. 将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点，落在斜边上，若小正方形的边长为，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，设，由可得，即得，再由即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点P，设点的坐标为，，则，，，先证明，从而得到，，求得，过点P作于点G，证明，求得，，过点Q作于点H，证明，求得，得到点的坐标为，求得，得到，据此求解可得答案． 【详解】解：如图，连接，交于点P， 设点的坐标为，， ∴，，， ∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过点P作于点G，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过点Q作于点H，则， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例图像与性质、与矩形相关的对折、三角形全等的判断与性质、相似三角形的判断与性质、勾股定理等知识，关键在于适当添加辅助线和采用数形结合列方程，并能灵活运用相关知识解题． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，为上一点，且，，，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法，会利用相似三角形的性质解决问题是解题关键．易证，然后运用相似三角形的性质可求出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 18. 在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，三角形的面积，过点作于，由正弦的定义可得，即得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为； （2）在（）的条件下， ①点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____； ②边上任意一点的对应点的坐标为_____． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）①，；② 【解析】 【分析】（）根据位似图形的性质画图即可； （）①根据（）所画图象解答即可；②根据①中对应点的坐标变化解答即可； 本题考查了画位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由图可得，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 故答案为：，； ②由①可得，边上任意一点的对应点的坐标为， 故答案为：． 20. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解： 第一次 第二次 A B C D A B C D 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 21. 如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中格代表个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上． （1）点的横坐标为_____，点的横坐标为_____； （2）求的值； （3）连接，过的直线，直接写出的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据图象即可求解； （）设点的坐标为，则点的坐标为，可得，即得，得到，，进而即可求解； （）根据交点坐标并结合图象即可求解； 本题考查了坐标与图形，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可知，点的横坐标为，点的横坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点都在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴不等式的解集为． 22. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （1）________m，_______m（结果保留根号）； （2）求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）物体上升的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）在中，，，分别代入数值进行计算，即可作答． （2）由（1）得，解求得，根据即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 在中， ， 答：物体上升的高度为． 23. 某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）_____，消毒效果最高效力是_____； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】（1）， （2） （3）有效 【解析】 【分析】（）利用待定系数法可求出，再把代入一次函数解析式可求出消毒效果最高效力； （）利用待定系数法解答即可求解； （）分别把代入一次函数和反比例函数解析式求出的值，进而求出持续时长即可判断求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴消毒效果最高效力是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得， ∴， ∴与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：把代入，得， 解得； 把代入，得， 解得； ∴持续时长为， ∴本次消毒有效． 24. 直线与双曲线交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）如图，点是直线第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点，交双曲线于点，当时，求的值； （3）如图，已知点是双曲线上一动点，连接，，若，直接写出所有满足条件的点的坐标，并选一种情况写出解答过程． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）过点分别作轴于点，轴于点，可得，即得，得到，进而得到，即得到，，即可求解； （）分当点在的下方和上方两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质及反比例函数的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点分别作轴于点，轴于点， 则， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵轴， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：点的坐标为或，理由如下： 当点在的下方时，如图，过作于，过作轴的平行线交轴于，作于，则， ∴，， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得， ∴； 当点在的上方时，如图，过作于，过作轴的平行线交轴于，作于，则， ∴，， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 25. 【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形中，，相交于点． （1）如图1，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为_____，的值为_____； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上，求的值； 【延伸拓展】 （3）如图3，在菱形中，，对角线，相交于点，是的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转并放缩得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在线段上，点落在射线上．若，为的中点，求的长． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）作交于点H，先求出，，再根据勾股定理得出，，根据相似三角形性质得出，求出即可求出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ； （3）作交于点H， 四边形为菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 为的中点， ， 在中， ， 垂直平分， ， ， 在中，，， ， ， ， 由（2）知，， ， ， 在中， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $