精品解析：黑龙江哈尔滨市第一一三中学2026-2027学年上学期八年级期中考试 数学 试题

哈113中学2026—2027学年度上学期八年级 期中学生学业水平反馈 数学 学科 （1—20题每题3分．21—23题每题6分．24—25每题8分．26—27题每题13分） 1. 如图，下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找沿某条直线对折后两部分能完全重合的图形即可． 【详解】解：、、选项中的图形沿任意直线对折后两部分不能完全重合， 、、不是轴对称图形， 选项中的图形沿竖直或水平直线对折后两部分完全重合， 是轴对称图形， 故选择． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方以及合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．，故 C错误，不符合题意； D．和不是同类项，无法合并为，故D错误，不符合题意． 故选B． 3. 如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠1+∠2=( ) A. 335°° B. 255° C. 155° D. 150° 【答案】B 【解析】 【详解】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°， ∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°． ∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°， ∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°． 故选B． 点睛:本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n边形内角和为（n﹣2）×180°（n≥3且n为整数）是解题的关键． 4. 等腰三角形的周长为，其中一条边是，则该等腰三角形的腰长为（） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，涉及知识点：等腰三角形的腰与底的分类讨论、三角形三边关系（两边之和大于第三边）．根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：为腰或底边，结合三角形三边关系验证． 【详解】设腰长为． ∵周长为，一条边为， ∴若为腰，则底边为， ，不满足三角形三边关系，故不成立； 若为底边，则，解得， 此时三边为、、，满足三角形三边关系， ∴腰长为． 故选：B． 5. 若，，则的值为（ ） A. 12 B. C. 27 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的运算求值，掌握知识点是解题的关键． 利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 即， ∵， ∴， 解得． 故选A． 6. 如图，在中，，，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形外角、内角和定理，涉及知识点：等边对等角、三角形外角等于不相邻两内角和、三角形内角和为．解题方法是从已知角出发，利用等腰三角形性质逐步推导相关角的度数，最终求出；解题关键是依次推导等腰三角形的底角和外角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故选：A． 8. 若定义，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的新定义运算．根据新定义运算直接计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：D． 9. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案． 【详解】解：解：根据图甲可得阴影面积为， 根据图乙可得阴影面积为， ∴可以验证等式， 故选：C． 10. 如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，当的周长最小时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别作点关于的对称点，连接分别交于点，则，此时的周长,即此时的周长最小，求出，得到，即可得到． 【详解】解：分别作点关于的对称点，连接分别交于点，则， 此时的周长，即此时的周长最小， 由轴对称可知， ∵四边形中，，， ∴， ∴ 由轴对称可知， ∴， ∴． 11. 点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答． 【详解】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（-2，3）． 故答案为：（-2，3）． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标．解题的关键是掌握关于x轴、y轴的对称点的坐标的特征． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 13. 计算： __________． 【答案】8 【解析】 【分析】观察原式的指数特征，可将拆分为，再利用积的乘方的逆运算进行简便计算． 【详解】解： ． 14. 若，则=________ 【答案】 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后代入已知条件计算． 【详解】解：， 将，代入上式，得． 15. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米． 【答案】12 【解析】 【分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面米处折断倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度． 【详解】如图， ∵∠BAC=30°，∠BCA=90°， ∴AB=2CB， 而BC=4米， ∴AB=8米， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米． 故答案为12． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键． 16. 如图，，，，，，则______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及外角的性质，根据通过角的计算即可得出，结合，，即可证出，进而即可得出．再根据外角的性质即可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ． 故答案为：． 17. 如图，，平分，于，交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，平行线的性质，角平分线的性质，过作于点，由角平分线得，又得，再根据含角的直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵平分，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 观察各式：；；；…根据规律计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：； ； ； … ， ． 19. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， 为高， ， ， ， ； 当在外部时，如图2， 为高， ， ， ， ， 而， ， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 20. 如图，和都是等边三角形，连接、相交于点，点、分别为、的中点，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，可知，证明，得到，结论①正确；设，则，根据角的和差得到，即，过点作于，于，由及得到，可知在的角平分线上，得到，即，结论②正确；根据得到，连接，证明，得到，，进而证明是等边三角形，得，假设，则，得到，但此条件不一定成立，结论③错误；将绕点C旋转，使与重合，得到，证明是等边三角形，得到，结论④正确． 【详解】解：和都是等边三角形， ， ， 即， 在和中 ， ， ，结论①正确； 设，则， ， ，， 在中，， ∴， 过点作于，于， 由得两个三角形面积相等：， 即， ∵， ∴， 根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可知在的角平分线上， 即． 由，得邻补角， ∴， 即，结论②正确； ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． 连接， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，但此条件不一定成立，结论③错误； ∵是等边三角形， ∴， 将绕点C旋转，使与重合，得到． 此时，且，， 故， 即是等边三角形． ∵， ∴， 又， ∴，即三点共线， 因此，即，结论④正确； 综上所述，正确结论是①②④． 21. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去括号计算，再根据单项式与单项式相乘法则，把它们的系数、同底数幂分别相乘即可； （2）先去括号计算，再根据单项式除以单项式计算法则，把它们的系数、同底数幂分别相除，转化为有理数除法和同底数幂的除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 23. 如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）画出，满足的面积为； （2）点在线段上，作． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】（）如图，取点右侧距离点个单位长度的格点，连接，由三角形面积公式可知的面积为，故即为所求； （）如图，取点上方距离点个单位长度的格点，连接，交线段于点，可证，得到，进而由余角性质可得，故点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在中，，，分别平分，，交，于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，交于点，作交延长线于点，若，请直接写出图中与相等的线段． 【答案】（1） 证明：， ， ，分别平分，， ，， ， 在和中，， ， ； （2），，， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理． 根据等腰三角形的性质和角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 根据三角形内角和定理可以求出，，根据角平分线的定义可以求出，根据等腰三角形的性质可证三角形全等，利用全等三角形的性质可以找出与相等的线段． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ， 在中，， ，， ，分别平分，， ， 在和中，， ， ； ，， ， 又， ， ， ， 同理可证， ； ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； 综上所述，与相等的线段有，，，． 【点睛】 25. 阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义： 一般地，若（，），那么叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，）； 理由如下：，，则， ，由对数的定义得 又 解决以下问题： （1）将指数式转化为对数式为________；将对数式转化为指数式为________； （2）________，________．（直接写出结果） （3）计算________．（直接写出结果） 【答案】（1）， （2），． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意进行解答即可； （2）根据定义进行解答即可； （3）先根据题意推导出，再利用两个结论进行解答即可． 【小问1详解】 解：将指数式转化为对数式为，将对数式转化为指数式为； 【小问2详解】 解：∵，， ，． 【小问3详解】 解：（，，，）； 理由如下：，，则，， ，由对数的定义得， 又， ∴， 又∵， ∴ ． 26. 如图，在中，，垂足为点，． （1）如图．求证：是等腰三角形； （2）如图．点在线段延长线上，点在线段上，连接、，，求证：； （3）如图．在（2）的条件下，点在线段上，，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 （2）解：延长至，使得，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）11 【解析】 【分析】（1）设，由条件知，因为，所以，可证明，则题目可解； （2）延长至使得，连接，可证，则，因为，所以，则，进而可证； （3）延长至，使，连接，证明，通过证明得，则为等边三角形，可得，则题目可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至，使，连接， ∵， ∴设，则， 则， 在中， ， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 和中， ∴， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴， ∴． 27. 如图所示，平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，的面积为； （1）求线段的长； （2）过点作轴，点在第一象限，点在线段的延长线上，连接，过点作交轴负半轴于点，求证：； （3）在（2）的条件下，点在轴负半轴上（点在点的左侧），连接，，点在线段上，点在线段上，直线交线段的延长线于点，，，，线段的延长线交轴于点，求点的坐标． 【答案】（1）2 （2）证明：过点作交于点， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）确定出是等腰直角三角形，再由三角形面积公式求解即可； （2）过点作交于点，证明即可； （3）延长交于点，过点作轴于点，先证明，再证明，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即，解得（舍负）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈113中学2026—2027学年度上学期八年级 期中学生学业水平反馈 数学 学科 （1—20题每题3分．21—23题每题6分．24—25每题8分．26—27题每题13分） 1. 如图，下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠1+∠2=( ) A. 335°° B. 255° C. 155° D. 150° 4. 等腰三角形的周长为，其中一条边是，则该等腰三角形的腰长为（） A. B. C. 或 D. 无法确定 5. 若，，则的值为（ ） A. 12 B. C. 27 D. 6. 如图，在中，，，则（） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 若定义，则（　　） A. B. C. D. 9. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，当的周长最小时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为__________ ． 12. 分解因式：______． 13. 计算： __________． 14. 若，则=________ 15. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米． 16. 如图，，，，，，则______． 17. 如图，，平分，于，交于，若，则______． 18. 观察各式：；；；…根据规律计算：________． 19. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是____． 20. 如图，和都是等边三角形，连接、相交于点，点、分别为、的中点，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号是________． 21. 计算 （1） （2） 22. 先化简，再求值，其中，． 23. 如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）画出，满足的面积为； （2）点在线段上，作． 24. 在中，，，分别平分，，交，于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，交于点，作交延长线于点，若，请直接写出图中与相等的线段． 25. 阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义： 一般地，若（，），那么叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，）； 理由如下：，，则， ，由对数的定义得 又 解决以下问题： （1）将指数式转化为对数式为________；将对数式转化为指数式为________； （2）________，________．（直接写出结果） （3）计算________．（直接写出结果） 26. 如图，在中，，垂足为点，． （1）如图．求证：是等腰三角形； （2）如图．点在线段延长线上，点在线段上，连接、，，求证：； （3）如图．在（2）的条件下，点在线段上，，连接，若，，，求的长． 27. 如图所示，平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，的面积为； （1）求线段的长； （2）过点作轴，点在第一象限，点在线段的延长线上，连接，过点作交轴负半轴于点，求证：； （3）在（2）的条件下，点在轴负半轴上（点在点的左侧），连接，，点在线段上，点在线段上，直线交线段的延长线于点，，，，线段的延长线交轴于点，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $