精品解析：黑龙江哈尔滨市第四十九中学2026-2027学年上学期八年级期中考试数学试题

2026-2027学年度上学期哈49中学八年级数学期中考试试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分．下面选项中的窗芯是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为2，6，，则的值可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题仍然成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 全等三角形的对应角相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 5. 李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 式子的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 3 7. 如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点E是上一点，，，平分，平分．若，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（ ） A. B. C. D. 10. 观察并找规律：，那么的个位数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 如图，，，那么＝___． 12. 如图，在中，，，交于点，，则_____． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 14. 如图，，，A的垂直平分线分别交、于、．连接．则的度数为________． 15. 若2x＝4，2y＝5，则2x+y＝_____． 16. 如果的乘积中不含的一次项，那么________． 17. 等腰三角形一边长为5，一边长为9，那么这个等腰三角形的周长为_______． 18. 已知，，那么等于_______． 19. 如图，在中，已知，是边上的中线，点E是边上一动点，点P是上的一个动点．若，，，且，则的最小值为______． 20. 如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是_________． 三、解答题（21题、22题每题7分，23题、24题每题8分，25题、26题、27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求的值，其中，． 22. 如图是由边长为的小正方形组成的网格，已知点，，均为格点，用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． （1）在图中画出的中线； （2）在图中，取格点，使； （3）已知，在图中画出的角平分线． 23. 在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． （2）【结论运用】已知，试比较与的大小． （3）【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 24. 如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证： （2）若，，求的长． 25. 如图1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究，图2是货车盲区的部分分布图，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个正方形． （1）用含，的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）． （2）若，，求图中盲区的总面积． 26. 如图，在中，，在的延长线上取点D，在上取点E、F，连接、，交于点G，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长至点H，连接，使，且，若，求长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，于点C，且点C在y的正半轴上，点A和点B分别在x的负半轴和正半轴上，，． （1）直接写出点C的坐标__________； （2）点D从点C出发以1个单位/秒的速度向终点O方向运动，同时点G从点B出发以1个单位/秒的速度向x轴的正方向运动．当D点到达终点O时，点G随之停止运动．连接交于点F，连接．设D、G两点运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S（不要求写出t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点F作，过点C作x轴的平行线交于点P，连接，是否存在t，使的面积等于面积的2倍，如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期哈49中学八年级数学期中考试试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分．下面选项中的窗芯是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B选项，是轴对称图形，故此选项符合题意； C选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 已知三角形的三边长分别为2，6，，则的值可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，即：． 故的值可以是7． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，平方差公式，积的乘方，幂的乘方计算，逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原式计算错误，故此选项不符合题意； B. ，不是同类项，不能合并，，故此选项不符合题意； C. ，原式计算错误，故此选项不符合题意； D. ，原式计算正确，故此选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项，平方差公式，积的乘方，幂的乘方，正确计算是解题的关键． 4. 下列命题的逆命题仍然成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 全等三角形的对应角相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题为若两个角相等，那么这两个角是对顶角，此逆命题为假命题，不符合题意； B、两条直线平行，同旁内角互补的逆命题为同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题，符合题意； C、全等三角形的对应角相等的逆命题为三个角分别对应相等的两三角形全等，此逆命题为假命题，不符合题意； D、如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么它们相等，此逆命题为假命题，不符合题意； 5. 李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘多项式法则求解即可． 【详解】解：长方形的面积为=， 故选D． 6. 式子的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】解： ． 7. 如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的周长公式可得，则可得，然后根据三角形的周长公式计算即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 8. 如图，点E是上一点，，，平分，平分．若，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用角平分线的性质定理，过点作的垂线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出，进而求解． 【详解】解：过点作于点 平分 平分 ． 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本作图得到平分，所以． 【详解】解：由作法得平分， ． 10. 观察并找规律：，那么的个位数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律，正确理解题意找到规律是解题的关键．先根据题意得到这一列数的个位数字是2、4、8、6进行循环出现的，然后根据2023除以4的商的情况求解即可． 【详解】解：，个位数字是2， ，个位数字是4， ，个位数字是8， ，个位数字是6， ，个位数字是2， ，个位数字是4， ，个位数字是8， ，个位数字是6， ∴可以得到这一列数的个位数字是2、4、8、6进行循环出现的， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，即8， 故选D． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 如图，，，那么＝___． 【答案】##65度 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质得出，从而求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键． 12. 如图，在中，，，交于点，，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．利用等腰三角形的性质可得，然后利用含30度角的直角三角形可得的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：6． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据该规律即可得结果． 【详解】解：∵ 关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴ 点的横坐标保持不变，纵坐标变为的相反数， ∴所求对称点的坐标为． 14. 如图，，，A的垂直平分线分别交、于、．连接．则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，利用线段垂直平分线的性质得到，从而求出的度数，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 15. 若2x＝4，2y＝5，则2x+y＝_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则可得出答案． 【详解】解：∵2x＝4，2y＝5， ∴2x+y＝2x×2y＝4×5＝20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，用了整体代入思想． 16. 如果的乘积中不含的一次项，那么________． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算 【详解】解： 依题意，， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：3． 17. 等腰三角形一边长为5，一边长为9，那么这个等腰三角形的周长为_______． 【答案】19或23 【解析】 【分析】等腰三角形的腰与底边未明确给出，需分两种情况讨论，同时需结合三角形三边关系验证各情况是否能构成有效三角形． 【详解】解：设该等腰三角形的第三边长为， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得 即， ∵该三角形为等腰三角形， ∴第三边的长度与已知两边中的某一边相等，即或， ①当时，三边长为5，5，9，满足三边关系，此时周长为， ②当时，三边长为9，9，5，满足三边关系，此时周长为， 综上，该等腰三角形的周长为19或23． 18. 已知，，那么等于_______． 【答案】19 【解析】 【分析】借助完全平方公式将待求式变形为含已知、的表达式，通过整体代入完成计算． 【详解】解：根据完全平方公式可得 ∴移项变形可得． ∵已知，． ∴． 19. 如图，在中，已知，是边上的中线，点E是边上一动点，点P是上的一个动点．若，，，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点．根据等腰三角形三线合一可得，再利用三角形面积公式求得的长；再根据垂直平分线的性质可得，结合垂线段最短即可求解． 【详解】解：中，，是边上的中线， ， ， ， ； 如图，连接． 由题意得：垂直平分线段， ， ， 由垂线段最短可得时，取最小值，最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 20. 如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理及角平分线定义计算的度数判断①；通过证明 得到，进而证明判断②；利用全等三角形性质进行线段代换判断③；延长交于点N，通过证明得到，得到，再说明得出，判断④． 【详解】解：是的高， ， ， 平分，平分， ，， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ，即， 平分， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ，故②正确； ， ，， ， ，故③正确； 延长交于点N， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴综上所述，正确的结论是①②③． 三、解答题（21题、22题每题7分，23题、24题每题8分，25题、26题、27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求的值，其中，． 【答案】化简结果为，所求式子的值为 【解析】 【详解】解： ； ∵，， ∴原式． 22. 如图是由边长为的小正方形组成的网格，已知点，，均为格点，用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． （1）在图中画出的中线； （2）在图中，取格点，使； （3）已知，在图中画出的角平分线． 【答案】（1）如图1所示： （2）如图2所示： （3）如图3所示： 【解析】 【分析】中线作图：本题两个端点都是格点，并且中点也落在格点上，直接定位中点格点，连接顶点与中点即可得到中线； 等角找点：采用构造全等三角形的思路，利用网格自带的水平、竖直距离得到相等线段与直角，证明三角形全等，借助“全等对应角相等”实现等角要求； 先构造等腰，再构造辅助线找到底边中点，则平分，利用格线相交把角平分线转移到内部，与交于，得到所求角平分线．题目给出是提示，利用，，勾股数在网格上快速截取长度等于的线段，构造等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． （2）【结论运用】已知，试比较与的大小． （3）【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 【答案】（1）C （2） （3） 【解析】 【分析】（1）材料中把 写成 、把 写成 ，底数与指数同时变化，运用的是幂的乘方性质； （2）先由绝对值与平方的非负性求出 ， 的值，再把 化为 、 化为 ，化同指数后比较底数即可； （3）把新运算还原为幂的形式：设 ，，，则 ，，，由 逆用同底数幂的乘法得 ，从而求出 ． 【小问1详解】 解：材料中 ，，都是把幂化为指数相同的形式，运用了幂的乘方性质， 故选： C． 【小问2详解】 解：，且 ，， ，， ，， ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：设 ，，， 由新运算的定义，得 ，，， ， ， ， ， 即 ． 24. 如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， 又， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证出，由角平分线的性质可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ， ， ， ． 25. 如图1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究，图2是货车盲区的部分分布图，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个正方形． （1）用含，的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）． （2）若，，求图中盲区的总面积． 【答案】（1） （2）36 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形，正方形的面积公式即可得到结论； （2）把，代入（1）中所得式子即可． 【小问1详解】 解：∵盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个正方形， ∴盲区1，2的面积， 盲区3的面积， ∴图中盲区的总面积 【小问2详解】 解：代入，得： ． 26. 如图，在中，，在的延长线上取点D，在上取点E、F，连接、，交于点G，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长至点H，连接，使，且，若，求长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点，连接，使得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质，并结合对顶角相等得出，即可得证； （2）先证明为等边三角形，得出，证明，在上取一点，使得，连接，再证明，得出，即可得证； （3）由（2）可得为等边三角形，，，，先证明，得出，，从而可得，再证明，得出，结合题意计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由（2）可得为等边三角形，，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，于点C，且点C在y的正半轴上，点A和点B分别在x的负半轴和正半轴上，，． （1）直接写出点C的坐标__________； （2）点D从点C出发以1个单位/秒的速度向终点O方向运动，同时点G从点B出发以1个单位/秒的速度向x轴的正方向运动．当D点到达终点O时，点G随之停止运动．连接交于点F，连接．设D、G两点运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S（不要求写出t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点F作，过点C作x轴的平行线交于点P，连接，是否存在t，使的面积等于面积的2倍，如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在t，使的面积等于面积的2倍，t的值为 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半可得，再结合点C在y的正半轴上写出坐标即可； （2）由题意可得，则，，过点作，交于点，证明为等腰直角三角形，从而可得，证明，得出，再结合计算即可得出结果； （3）连接、，过点作于点，由（1）可得，由（2）可得，，，求出，，点的纵坐标为，，，设，由勾股定理可得，，由计算得出，从而可得，表示出，，再由的面积等于面积的2倍，得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， ∵点C在y的正半轴上， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴， ∵点D从点C出发以1个单位/秒的速度向终点O方向运动，同时点G从点B出发以1个单位/秒的速度向x轴的正方向运动，设D、G两点运动时间为t秒， ∴， ∴，， 如图，过点作，交于点， 则，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点D从点C出发以1个单位/秒的速度向终点O方向运动，同时点G从点B出发以1个单位/秒的速度向x轴的正方向运动，设D、G两点运动时间为t秒，当D点到达终点O时，点G随之停止运动， ∴， 如图，连接、，过点作于点， 由（1）可得， 由（2）可得，，， ∴点为点和点的中点，，， ∴，即， ∵过点F作，过点C作x轴的平行线交于点P，，， ∴垂直平分，，点的纵坐标为， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∵的面积等于面积的2倍， ∴， 解得， 综上所述，存在t，使的面积等于面积的2倍，t的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $