精品解析：黑龙江七台河市勃利县2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法将方程化成的形式，则的值是（　） A. 4 B. C. D. 4. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 图象与轴有一个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 如果点和点均在该函数的图象上，那么 5. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图像如图所示，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知二次函数的图象上有点，，，则，y3的大小关系（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. D. 2 9. 如果三角形的两边长分别是方程的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长不可能的是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，与相交于点，直线与轴、轴分别交于点，．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，则；④若，，则直线的函数解析式为．其中结论正确的序号为（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②④ D. ①② 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 抛物线的顶点坐标是________________________________． 12. 如果4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根有一个为______． 13. 已知是关于的反比例函数，且图象在第一、三象限内，则的值是_________． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 15. 抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为_______． 16. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 _____s，才能停下来． 17. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则抛物线的函数解析式为_________． 18. 设是方程的两个根，且，则的值为_____． 19. 若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为____． 20. 二次函数的图象如图，点位于坐标原点，点，，，…，在轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，点，，，…，在二次函数位于第二象限的图象上，四边形、四边形、四边形…四边形都是菱形，．菱形的边长为_________． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值，其中x是方程的解． 22. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 23. 如图，，，为抛物线与坐标轴的交点，，． （1）求此抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，若的面积为10，则点的坐标为_____． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点的坐标． 26. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）分别求出当与时，注意力指标数与时间的函数表达式； （2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标应不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师最多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受？ 27. 某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶20元，当铺售单价定为30元时，每月可售出200瓶，市场调查反映，销售价每涨1元，月销售量减少10瓶，若这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每月的销售量为y（瓶），月销售利润为w（元） （1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式（不用写出自变量x的取值范围）； （2）超市要在月销售成本不超过3000元的情况下，使月销售利润为2000元，销售价应定为每瓶多少元？ （3）当销售价定为每瓶多少元时超市会获得最大利润？求出最大利润． 28. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．为直线下方抛物线上一点，过点作于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值； （3）为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 2. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项，提取公因式，即可求解． 【详解】解： ， ∴，， 故选：． 【点睛】本题主要考查因数分解解一元二次方程，掌握因数分解法解一元二次方程是解题的关键． 3. 用配方法将方程化成的形式，则的值是（　） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法的步骤进行配方，可得到a与b的值，再代入中计算即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 故, 所以， 故选C． 4. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 图象与轴有一个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【解析】 【分析】先由解析式得到，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 反比例函数为，， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限，A选项错误． ∵ 反比例函数中，恒不为， ∴ 图象与轴没有交点，B选项错误． ∵ 时，反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 当时，随的增大而增大，C选项错误． ∵ 点，都在第二象限的函数图象上，且， ∴ ，D选项正确． 5. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有人患流感，第二轮后有人患流感， 由题意得． 故选：C 6. 二次函数的图像如图所示，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口向上知，由与y轴的交点为在y轴的负半轴上可以得到，由对称轴为可以推出，然后根据象限的特点即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴， ∴ ∵对称轴为， ∴a、b异号， 即， 根据第三象限特点： 可知点P在第三象限． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数系数符号的确定以及第三象限点的坐标特点，难度适中． 7. 已知二次函数的图象上有点，，，则，y3的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先找到抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性将所有点转换到对称轴同一侧，根据抛物线的性质判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 抛物线的对称轴为 ， 根据对称性可得C点的对称点为 ， ∵ ， ∴当 时，y随x增大而增大， ∵ ， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据抛物线的对称性将所有点转换到对称轴同一侧根据性质进行比较大小． 8. 如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，利用菱形性质，坐标与图形，勾股定理求出点坐标，再根据点为中点，求出点坐标，最后利用待定系数法求出值，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 解得， ， 与交于点， 点为中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，坐标与图形，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 9. 如果三角形的两边长分别是方程的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长不可能的是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次方程，得到三角形的两边长，再算出第三边的范围，从而得到周长的范围，根据连接三角形三边的中点，得到的三角形的周长为原三角形周长的一半即可得到结果． 【详解】解： 或 解得：， 设三角形的第三边为，则 三角形的周长的大小范围为： 连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长等于原三角形周长的一半 得到的三角形的周长的大小范围为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟知三角形的三边关系，和正确解一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，与相交于点，直线与轴、轴分别交于点，．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，则；④若，，则直线的函数解析式为．其中结论正确的序号为（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②④ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】通过证明，即可判断①；通过，即可判断②；根据全等三角形的性质及正方形得出，，确定，求出k值即可判断③；证明得到，则可证明是等边三角形，得到，利用勾股定理建立方程求出点E、F的坐标从而求得直线解析式，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点E、F都在反比例函数的图象上，反比例函数图象在第一象限，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∴①正确； ∵点E、F都在反比例函数的图象上，反比例函数图象在第一象限，即， ∴， ∴， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，即，解得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点E，F， ∴， ∴③错误； 在与中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（3）得， 设正方形的边长为，则， 在中， ， 即，解得或（舍去） ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点 则有，解得 故直线的解析式为， ∴④正确； ∴正确序号为①②④． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 抛物线的顶点坐标是________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数顶点式：，顶点坐标为（h，k），即可完成. 【详解】二次函数顶点式：，顶点坐标为（h，k） ∴抛物线的顶点坐标是 故答案为 【点睛】本题考查二次函数顶点式求顶点坐标，难度低，属于基础知识，熟练掌握相关知识点是解题关键. 12. 如果4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根有一个为______． 【答案】x=-2 【解析】 【分析】把x=-2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a-2b+c=0，即可得出答案． 【详解】解：当把x=-2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a-2b+c=0， 即方程一定有一个根为x=-2． 故答案为：x=-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 13. 已知是关于的反比例函数，且图象在第一、三象限内，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义确定自变量的指数要求，再结合图象所在象限进行求解即可． 【详解】解：∵该函数是关于的反比例函数， ∴自变量的指数满足，且比例系数，即， 由得， 解得或， ∵函数图象在第一、三象限内 ∴，即， 当时，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴的值为． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故答案为2.4． 15. 抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数图像之间的关系解不等式，对于可转化为，不等式的解集从图像上来看，就是抛物线图像在直线下方部分所对应的自变量的范围，根据图像即可得到答案． 【详解】解：可将转化为， 又抛物线与直线相交于如图所示的，两点， 的解集，从图像上来看，就是抛物线图像在直线下方部分所对应的自变量的范围， 由抛物线与直线相交于的横坐标为，的横坐标为可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用函数图像求不等式的解集，理解的解集，从图像上来看，就是抛物线图像在直线下方部分所对应的自变量的范围是解决问题的关键． 16. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 _____s，才能停下来． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求得s取得最大值时的t值即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴当时，s取最大值， 故汽车最多要滑行，才能停下来． 故答案为：3． 17. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则抛物线的函数解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可得抛物线顶点坐标为，且过原点，设顶点式利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由题意及图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 抛物线经过原点， 将代入解析式得，则， 解得， 抛物线的函数解析式为． 18. 设是方程的两个根，且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， 则，， ∴ 故答案为：． 19. 若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为____． 【答案】或2 【解析】 【分析】根据和两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答． 【详解】解：当时，函数解析式为：是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点， 当时，函数为二次函数， ∵函数的图象与x轴有且只有一个交点， ∴有1个实数根， ∴， 解得或． 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 20. 二次函数的图象如图，点位于坐标原点，点，，，…，在轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，点，，，…，在二次函数位于第二象限的图象上，四边形、四边形、四边形…四边形都是菱形，．菱形的边长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点D，连接，根据菱形的性质表示出，代入求出，得到，，然后求出所在直线的表达式为，和抛物线联立求出，得到，然后找到菱形边长的规律，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点D，连接 ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵点在轴的正半轴上 ∴ ∵轴，即轴 ∴ ∴设，则 ∴ ∴ ∵点在二次函数位于第一象限的图象上 ∴ ∴或（舍去） ∴， ∵点在轴的正半轴上 ∴点和点关于y轴对称，点和点关于轴对称， ∴， ∴所在直线的表达式为， ∵四边形是菱形 ∴， ∴ 同理可得， ∴ ∴点，，在同一条直线上 ∴联立和得， 解得， ∴ ∴ 同理可得，，，... ∴ ∴菱形的边长为． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值，其中x是方程的解． 【答案】， 【解析】 【分析】先化简分式，再解一元二次方程，将一元二次方程的解代入分式即可求值． 【详解】解： ∵， 解得 又∵， ∴． 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，和化简分式，熟知一元二次方程的解法和分式的化简法则是解题的关键． 22. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 23. 如图，，，为抛物线与坐标轴的交点，，． （1）求此抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，若的面积为10，则点的坐标为_____． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出点A和点B的坐标，进而利用待定系数法求解即可； （2）根据三角形的面积公式建立方程求出点P的纵坐标，再求出点P的横坐标即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵点A和点B是抛物线与x轴的两个交点， ∴， ∴， ∴此抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴此时点P的坐标为或， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴此时原方程无解，故此种情况不成立； 综上所述，点P的坐标为或． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数可得答案；再将点代入反比例函数关系式求出点，然后将两个点的坐标代入一次函数表达式为得出方程组，求出解即可； （2）先求出直线与坐标轴的交点，，进而求出，，再根据得出答案； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，再根据“两点之间线段最短”可得的最小值等于的长，再求出直线的解析式，然后令求出，则此题可解． 【小问1详解】 解：在反比例函数上， ， 反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ， ， 设一次函数表达式为， ， ，， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意，如图，设直线交轴于点，交轴于点，又直线为， 当时，；当时，， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：由题意，如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 根据“两点之间线段最短”可得的最小值等于的长， 与关于轴对称， 为．又， 设的解析式为， 则， 解得， 直线为． 令，则， ． 26. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）分别求出当与时，注意力指标数与时间的函数表达式； （2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标应不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师最多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受？ 【答案】（1）； （2）这节课张老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得；当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于30分钟的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要8分钟即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，图象是双曲线的一部分， ∴设， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴（）； 当时，， ∴， ∴， 当时，图象是线段，则该段函数是一次函数，点， 设， 则 解得 ∴（）； 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得， 将代入， 得， 解得， 注意力指标不低于30的时间为（分钟）， ∵， ∴这节课张老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受． 27. 某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶20元，当铺售单价定为30元时，每月可售出200瓶，市场调查反映，销售价每涨1元，月销售量减少10瓶，若这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每月的销售量为y（瓶），月销售利润为w（元） （1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式（不用写出自变量x的取值范围）； （2）超市要在月销售成本不超过3000元的情况下，使月销售利润为2000元，销售价应定为每瓶多少元？ （3）当销售价定为每瓶多少元时超市会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）， （2）销售价应定为每件40元 （3）当销售价定为每瓶35元时超市会获得最大利润，最大利润为2250元 【解析】 【分析】（1）利用每月的销售利润=每瓶的销售利润月销售量，即可求出结论； （2）令，即可得出关于的一元二次方程，求出的值，再依据在月销售成本不超过3000元判断即可； （3）结合（1）中解析式，通过配方法即可求出最大利润． 【小问1详解】 根据题意得， ； ； 【小问2详解】 令得 ， 解得 当时， ∵ ∴不合题意舍去 当时， ∵， ∴符合要求 答：销售价应定为每件40元． 【小问3详解】 , ∵，开口向下， ∴当时，w取最大值2250 答：当销售价定为每瓶35元时超市会获得最大利润，最大利润为2250元． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 28. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．为直线下方抛物线上一点，过点作于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值； （3）为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，证明是等腰直角三角形，得到；求出直线的解析式为；过点P作轴交于点R，设，则，可证明是等腰直角三角形，得到，则可推出，据此可得答案； （3）求出对称轴，设出点M的坐标，再分两种情况：为对角线和为边，利用两点间的距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设直线的解析式为， 则， ∴ ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于点R，设，则， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设， 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或， 当点M的坐标为时，的中点坐标为，即， ∵矩形的两条对角线的中点坐标相同， ∴的中点坐标为， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴点N的坐标为； 当点M的坐标为时，的中点坐标为，即， ∵矩形的两条对角线的中点坐标相同， ∴的中点坐标为， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴点N的坐标为； 当为边时，若，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为， ∴的中点坐标为，即， ∵矩形的两条对角线的中点坐标相同， ∴的中点坐标为， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴点N的坐标为； 若，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为， ∴的中点坐标为，即， ∵矩形的两条对角线的中点坐标相同， ∴的中点坐标为， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $