湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟试卷（五）

湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟试卷（五） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是全集，，是的两个子集，则图中阴影部分表示（     ） A． B． C． D． 2．为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（    ） A．平均数变小，中位数变大 B．平均数不变，众数不变 C．平均数变大，中位数不变 D．平均数不变，众数变大 3．已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 7．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．的最大值为2 B．函数的图象关于点对称 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上单调递减 10．如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（    ） A．的面积为 B． C．平面平面 D．三棱锥的体积为 11．已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“k-加速数列”，现给出下列命题中正确的是（   ） A．若，则存在，使得数列是“k-加速数列” B．若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项 C．若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得 D．正数列是等比数列且公比，则是“k-加速数列”的充要条件是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的两个零点分别是___________. 13．已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的所有可能取值之和为__________. 14．已知实数满足，则的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 16．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，，且，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．教育部《关于实施学生体质强健计划的意见》提出要保障中学生每日综合体育活动时间，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长．某中学对本校学生体育锻炼情况开展调研：有的学生每日综合体育活动时间不足1小时，这部分学生体质健康测试不达标的概率为；每日综合体育活动时间不少于1小时的学生，体质健康测试不达标的概率为． (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该学生体质健康测试不达标的概率； (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中体质健康测试不达标的人数，求的分布列和数学期望． 18．已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上有不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围； (3)若动直线与交于点，，点是轴正半轴上异于的一定点，若直线，的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 19．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数在区间上存在两个不同的零点，． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若，求证：． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟试卷（五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C D B D B ABC ABD 题号 11 答案 AB 1．B 【详解】由韦恩图可知，阴影部分区域内的元素既属于集合，又属于集合. 根据集合交集的定义，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为与的交集，记作 . 所以图中阴影部分表示的集合为 . 2．C 【详解】真实数据的平均数为，中位数为，无众数； 记错的数据的平均数为，中位数为，众数为; 所以平均数变大，中位数不变. 3．C 【分析】分段求出函数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，， 当时，，在上为减函数， 所以. 当时，， 因为，所以在上为增函数， 所以. 综上，的值域为. 故选：C. 4．C 【详解】 抛物线C：的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，到准线的距离， 所以． 5．D 【分析】根据对数函数性质可得集合A，根据指数函数性质可求得集合B，根据集合的交集运算即得答案. 【详解】由已知可得：，， 所以. 故选：D. 6．B 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 7．D 【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为，由已知可得，，计算侧面积与球的表面积的比值. 【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为． 由，得，， ，则． 8．B 【分析】构造函数，并利用导数分析函数的单调性比较代数式大小. 【详解】设，， 则恒成立，所以在上单调递增. 所以时，，即. 因为，所以. 设，， 则， 所以在上单调递增. 所以，即， 即. 构造函数，，则. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递减. 所以， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增. 所以，即，即. 综上所述，. 9．ABC 【分析】先用辅助角公式将函数变形为，结合正弦型函数的性质逐项判断正确与否即可. 【详解】函数， 对于选项A，，A正确； 对于选项B，将代入函数的解析式，得，函数的图象关于点对称，B正确； 对于选项C，将代入函数的解析式，得，直线是函数图象的一条对称轴； 对于选项D，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，D不正确； 故选：ABC. 10．ABD 【分析】直接求的面积可判定A，连接交于G，根据条件证平面即可判定B，判定的夹角是否为直角可判定C，利用棱锥的体积公式可判定D. 【详解】 对于A，易知，故A正确； 对于B，连接交于G，根据正方形的性质易知， 所以有， 又平面，所以平面， 平面，所以，故B正确； 对于C，由上可知为平面与平面的夹角， 易知，则不垂直，故C错误； 对于D，由题意可知两两垂直， 则，故D正确. 故选：ABD 11．AB 【分析】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可. 【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立， 对于A，， 因为，所以，所以， 若数列为“k-加速数列”， 则成立，即， 因为，所以存在，使得成立， 即数列是“-加速数列”，故A正确； 对于B，若数列是“1-加速数列”，则， 而， 故，故存在， 使得， 所以，故数列存在最小项，故B正确； 对于C，若数列是“2-加速数列”，则，且， 则， 所以，即， 当时，，所以不存在，使得，故C错误； 对于D，若正数列是等比数列，则， 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 所以是“-加速数列”的充要条件不是，故D错误. 故选：AB. 12． 【分析】通过解方程求得正确答案. 【详解】令，即， 解得：或，故函数的零点是. 故答案为： 13． 【分析】由结合递推关系式，分情况讨论，分别求出的值即可． 【详解】当时，则，可知或， 若，则； 若，则； 综上所述，或，即m的所有可能取值之和． 故答案为： 14． 【分析】先换元设，原等式即为，设，再根据直线与圆的位置关系求出的范围，并求出，将表示成关于的函数，利用导数分析其单调性，即可解出. 【详解】设，由题意得， 即， 在平面直角坐标系中表示半圆（除去两点），令，画出图形如下： 当直线经过圆心时，； 当直线与半圆相切时， 则圆心到直线的距离：， 解得（舍去），故. 因为，所以， 所以， 令，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以，，综上所述，的取值范围为. 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理与和角公式，化简方程即可求得； （2）利用余弦定理求出边，再由三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）由和正弦定理，， 因， 代入上式化简得：， 因，则有，即， 因，则. （2）由余弦定理，，因，， 代入得， 即，解得（负根舍去）， 故的面积为. 16．(1)证明：，，． 又，是平面内两条相交直线， 平面，． 又四边形为平行四边形，， 四边形为矩形，． ，是平面内的两条相交直线，平面． 又平面，． (2) 【分析】（1）结合图形和线面垂直判定定理证明平面，进而证明. （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标；求出平面的法向量，以及直线的方向向量，利用线面角的向量公式计算正弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，可得. 设直线与平面所成的角为， 则． 直线与平面所成角的正弦值为． 17．(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 【分析】（1）利用全概率公式结合两类学生的占比和对应不达标概率计算总不达标概率； （2）先判定随机变量X服从二项分布，再计算其分布列与数学期望。 【详解】（1）设事件为“抽取的学生每日综合体育活动时间不足1小时”， 事件为“抽取的学生每日综合体育活动时间不少于1小时”，事件为“抽取的学生体质健康测试不达标”， 由题意得：，，，， 根据全概率公式： . （2）从该校任意抽取3名学生，相当于进行3次独立重复试验，每次试验中学生体质不达标的概率均为， 故，的所有可能取值为0,1,2,3， ， ， ， , 所以的分布列为： 0 1 2 3 由二项分布期望公式得：. 18．(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用点差法列方程，根据点和椭圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. （3）设，联立直线与椭圆的方程，化简写出根与系数的关系，由此化简已知条件，求得点坐标以及的值. 【详解】（1）由已知，将代入椭圆方程得，解得， 又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，是椭圆上关于直线：对称的两个点， 设是线段的中点，则点在直线上，且. 则两式相减， 得. ，故， 联立 解得. ， 点应在椭圆的内部， ，解得. 实数的取值范围是. （3）设，（且），，， 将与联立得， 则， 又分别为直线的倾斜角， 因为， 所以为定值， 又， 又为定值，则，所以， 当时，为定值， ， 所以.    19．(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）证明：要证，即证， 由（ⅰ）可得，则，所以， 由（ⅰ）可得在单调递增，所以等价于证明， 即，化简得 令，， 令，， 所以在单调递增，且， 所以，所以在单调递增，且， 故成立，所以. 【分析】（1）把代入并求导，分别求出和的值，代入即可得出答案； （2）（ⅰ）根据函数在区间上存在两个不同的零点，得到有两个不同的解，转化为求有两个不同的解，求导，判断的取值范围即可得出答案； （ⅱ）将证明转化为证明，根据的单调性转化为证明，化简得到，求导，并求出函数的值域即可证明. 【详解】（1）把代入得，则 求导得，则， 则切线方程为，即. （2）（ⅰ）因为函数在区间上存在两个不同的零点，， 即有两个不同的解， 又因为， 令，则， 令，， 所以在区间上单调递增，又， 所以有两个不同的解，即有两个不同的解， 令，， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 故， 且当时，，当时，， 故若有两个不同的解，则，故实数的取值范围为. （ⅱ）略. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $