湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（一）

《湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C C C B BC BCD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】因为集合，， 所以. 2．D 【详解】 根据全称量词命题的否定规则：全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以原命题的否定为，. 3．D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 4．B 【详解】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则代数式 的最小值为4. 5．C 【分析】命题①：令可以求解出、、判断；命题②举反例即可. 【详解】对于命题①：令,则， 由于、、均是以为周期的函数， 即，，， 所以， 所以函数是周期为的周期函数，同理可知、均是以为周期的函数，所以命题①为真命题； 对于命题②，设，，， 则，，均为增函数， 而、、不全是增函数，故命题②为假命题. 6．C 【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断. 【详解】函数的定义域为，即，所以， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为， 即，则，故函数的值域为． 故选：C． 7．C 【分析】先构造函数，将不等式可以转化为，利用奇偶性定义得到函数为奇函数，利用导数证明函数在上单调递增，再利用奇偶性和单调性结合解不等式,即可得到实数的取值范围. 【详解】设，则， 所以可以转化为，即， 因为 所以函数为奇函数， ，所以函数在上单调递增， ，即， 因为为奇函数，所以， 所以，所以 即或者，所以实数的取值范围是 故选：C 8．B 【分析】先判断必为斜边，再设，则可由题设条件得到，构建单调函数后可求该方程的解，从而可求. 【详解】因为在曲线上，故必为斜边， 不妨设平行于轴，平行于轴， 设，则， 令，则即， 因为是等腰直角三角形，故， 所以， 整理得， 设， 因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而， 故的解为， 故. 9．BC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】， 由，，， 作出图，如图所示， 由图可知，，，故A错误，正确； 集合的真子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：BC. 10．BCD 【详解】对于A，若，，满足，但，即充分性不成立； 若，，满足，但，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B，由不等式的二次项系数为， 则其解集为的充要条件是， 所以“关于的不等式的解集为”的充要条件是“”， 故 B正确； 对于C，对，都有，即，解得， 若，即，可推出，即充分性成立； 若，推不出，即必要性不成立； 所以“”是命题“，”的充分不必要条件，故 C正确； 对于D，若命题“，”为真命题， 即，解得，或， 若，满足，但，即充分性不成立； 若，或，可推出，即必要性成立， 所以“”是命题“，”为真命题的必要不充分条件，故D正确． 11．AD 【分析】通过构造周期函数，将抽象函数问题转化为周期函数的性质分析，结合特值递推、反例构造以及周期函数的有界性，逐一验证各选项中函数性质与方程解的情况. 【详解】由题意知，函数的定义域为，且满足， 令，则对于任意，， 所以是一个以为周期的周期函数， 又因为，所以，所以对于任意整数，有，即， 对于选项A：由，利用递推关系可得，对于任意正整数，有， 取，，可得：，即，所以选项A正确； 对于选项B：由只能说明在相距为的两个点上的函数值递增，并不能保证在整个实数集上严格递增， 构造函数，它满足且，但其导数会取到负值， 因此在上并不是严格递增的，故选项B错误； 对于选项C：题目并未说明是连续函数，因此周期函数在区间上不一定有界， 构造反例：定义满足周期为，且当时，，当时，，令， 因为，满足； 因为，满足 ， 所以该函数符合题意， 对于该函数，，当时，， 即无上界，因此不存在正数，使得不等式对任意恒成立，故选项C错误； 对于选项D：因为是以为周期的周期函数，且， 所以对于任意整数，有，即， 所以方程至少有无穷多个实数解（所有整数都是它的解），所以选项D正确. 12． 【分析】由被开方数非负，解不等式可得答案 【详解】由，即， 解得：或， 所以函数的定义域为：， 故答案为：. 13．4 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 14． 【分析】利用赋值法可得是偶函数，然后根据单调性和定义域列不等式，解不等式即可. 【详解】令，则，所以是偶函数， 则，， 又定义在上的函数在上是增函数， 由，得，则，解得， 故的解集为． 故答案为：. 15．(1)；. (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）结合幂函数和一次函数定义，通过待定系数法求解方程； （2）根据二次函数性质结合给定区间求解最值即可. 【详解】（1）设幂函数，因为过点， 代入得：，得，因此 . 设一次函数，由题意：，得， 又过点，则，解得，故. （2）由题意得：，对称轴为， 且，则最大值在对称轴处取得：； 由，，可得最小值为. 所以在上的最大值为，最小值为. 16．(1) (2)当时，，； 当时，，； 当时，，； 【分析】（1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. 【详解】（1）因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. （2）当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 17．(1)，2万箱 (2)1万箱，300元 【详解】（1）由题意可知，每千箱礼盒的售价为50万元， 所以．     因为，， 所以当时，取得最大值300． 故所求的函数解析式为，， 当年销售量为2万箱时，年利润最大．     （2）设每千箱礼盒的平均成本为万元． 根据题意，得，     因为，所以，当且仅当时取等号， 所以每箱礼盒的平均成本最低时的年销售量是1万箱．     每千箱礼盒的平均成本最低为（万元）， 所以每箱礼盒的最低平均成本为（元）． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抽象函数关系式可得图象的对称轴，结合二次函数图象的对称轴可得结果； （2）方法一：根据与到对称轴的距离，结合二次函数图象可确定大小关系； 方法二：根据且，结合二次函数图象可确定大小关系； （3）根据二次函数值域求法可得的值域，令，根据的值域可确定与对称轴的关系，由此可得的范围. 【详解】（1），的图象关于直线对称， 的图象对称轴，解得：. （2）方法一：到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又，图象为开口方向向上的抛物线， . 方法二：，， ， ， . 结合二次函数图象， 可知. （3），的值域为； 令，则， 的值域与的值域相同，即， 的值域为， 在处取得最小值，则只需即可，解得：， 实数的取值范围为. 19．(1)是排列,不是排列 (2)（i）当时，；当时，； （ii） 【分析】（1）根据“排列”定义逐个分析即可； （2）先在一般区间上分别判断两两之间恒成立的大小关系，再逐个判断个排列成立的条件.（i）取计数；（ii）令，根据反推与的关系. 【详解】（1）根据定义可知： 若对任意，都同时满足 且 ， 则称排列是关于这三个函数的一个“排列”. 对于，则，，故； ， 故，所以是排列; 对于，则， ， 当时，， 故不是排列. （2）（i）设一般区间为，其中 在上： 不可能对整个恒成立， 因为可取充分小的使，此时； 不可能对整个恒成立，因为当时，； 又因为且，所以 结合排列的等价条件“且”， 六个排列的成立条件分别为： 当时，，因此除外，其余排列均不成立. 若且，则不成立，所以； 若，则成立，所以 （ii）令 若，由上面的条件可知，最多只有排列成立，因此不可能有 若： 当时，成立的排列恰为与，所以； 当时，与一定成立，而成立当且仅当 因此 存在这样的，当且仅当 例如可取此时 所以正实数的取值范围为 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（一） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．命题p：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．无最小值 5．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；②若、、均是增函数，则、、均是增函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 6．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知曲线上的点和曲线上的两点 满足是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则（   ） A． B．2 C． D．3 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．A的真子集个数为7 C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．已知，均为实数，则“”是“”的充分不必要条件 B．“关于的不等式的解集为”的充要条件是“” C．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是“” D．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是“” 11．函数的定义域为，且满足，．下列结论一定正确的是（     ） A． B．在上严格递增 C．存在正数，使得不等式对任意恒成立 D．方程有无穷多个实数解 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．求函数的定义域为______. 13．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____ 14．已知定义在上的函数在上是增函数，且对任意的x，y，都有，若，则的解集为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 16．已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. (1)求的解析式； (2)已知，讨论在区间上的最值. 17．某助农企业通过直播带货销售一种特色农产品礼盒.已知该项目的年固定成本（设备、场地等）为100万元.每销售（）千箱礼盒，需投入的变动成本（采购、物流等）为万元.根据市场定价，每箱礼盒的售价为500元.假设礼盒能全部售出. (1)求该企业的年利润（万元）关于年销售量（千箱）的函数解析式，并求年销售量为多少时，年利润最大；（利润=销售收入-固定成本-变动成本） (2)求每箱礼盒的平均成本最低时的年销售量，并求出每箱礼盒的最低平均成本.（平均成本=(固定成本+变动成本)÷销量） 18．二次函数满足. (1)求实数的值： (2)比较与的大小； (3)若与函数值域相同，求实数的取值范围. 19．已知对于定义在集合上的三个函数 设为集合的一个无重复数字的排列即将排成一列，如等，共有6种情况).若对任意，都同时满足 且 ，则称排列是关于这三个函数的一个“排列”.记使得该条件成立的排列的个数为. (1)若，判断与是否为排列，并说明理由； (2)设 其中且. （i）若，讨论的值; （ii）求正实数的取值范围，满足当区间时，存在，使得. 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $