精品解析：江苏省2026年普通高中学业水平合格性考试数学试卷

江苏省2026年普通高中学业水平合格性考试试卷 数 学 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷包含选择题（第1题～第28题，共28小题84分）、解答题（第29题～第30题，共2题16分）．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．本次考试时间为75分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题卡上． 3．请认真核对监考员在答题卡右上角所粘贴条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 4．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 5．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗画清楚． 参考公式： 锥体的体积公式：，其中S是底面积，h是高． 一、选择题：本大题共28小题，每小题3分，共计84分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过A和B，然后交集运算即可得到答案. 【详解】因为，所以,故选B. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，难度很小. 2. 已知复数，则z的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得：. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由得到或，再通过集合间的关系即可判断. 【详解】或， 集合是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的最小正周期. 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 所以原命题的否定为“”. 6. 已知一组数据2，2，x，4，5的平均数为3，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得：，解得： 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数真数大于0的性质列不等式求解定义域 【详解】函数的定义域需要满足，解得，定义域为. 8. 在中，角的对边分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边的比例关系设参数，结合余弦定理代入计算即可求得的值。 【详解】已知，设，，（）. 在中， .  9. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】不等式可化为，故， 所以不等式的解集为. 10. 已知向量，．若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 11. 若函数的图象经过点，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，解得. 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】选项A：由不等式的基本性质，若，两边同乘正数得， 两边同乘正数得，传递后可得，正确. 选项B：当时，，不满足，错误. 选项C：由，两边同除以正数，可得，错误. 选项D：由，给两边同乘正数，可得，错误. 13. 已知扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由题得扇形的周长为. 14. 用长为的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积（单位：）为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【详解】设矩形的长为cm，宽为cm，则，即. 故矩形的面积为（当且仅当时取等号）. 15. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的表达式，再分别计算各选项中的运算结果，判断等式是否成立即可. 【详解】已知函数，定义域为，则 . 对于A：，等式恒成立； 对于B：，等式不成立； 对于C：，等式不成立； 对于D：，仅当时取值为0，不满足定义域内恒成立，等式不成立. 16. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 B. 横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 C. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D. 横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 【答案】D 【解析】 【详解】由变为，函数值整体变为原来的，而自变量不变， 因此图象变换为：横坐标不变，纵坐标变为原来的. 17. 在正方体中，异面直线与所成的角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，把异面直线所成的角转化为直线与所成的角，在直角中，即可求解. 【详解】在正方体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即， 连接，因为平面，且平面，所以， 设正方体的棱长为，可得， 在直角中，可得， 所以异面直线与所成的角的正切值为. 18. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性进行比较. 【详解】因为在上单调递增，所以，即， 因为在单调递增，所以，即， 故. 19. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，即， 由于，可知，得 ， 所以 . 20. 在下列区间中，函数存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算各选项区间端点的函数值，结合零点存在定理判断函数零点所在区间. 【详解】因为与均为上的增函数，所以函数在上单调递增. ， ，  ， . 由于，因此在内存在零点. 21. 某机构调查了当地的部分企业年收入情况，发现他们的年收入都在200万元到800万元之间．根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则年收入在区间内的频率为（ ） A. 0.25 B. 0.45 C. 0.50 D. 0.55 【答案】B 【解析】 【详解】由频率分布直方图，可得， 解得， 所以收入在区间内的频率为. 22. 甲、乙两人各进行一次射击，若两人击中目标的概率都是0.6，则恰有一人击中目标的概率是（ ） A. 0.24 B. 0.36 C. 0.48 D. 0.64 【答案】C 【解析】 【分析】恰有一人击中目标可分为甲击中且乙未击中、甲未击中且乙击中两种互斥情形，分别用独立事件的乘法公式求概率，再相加. 【详解】甲、乙两人射击的结果相互独立，甲未击中目标的概率为，乙未击中目标的概率为. 甲击中且乙未击中的概率为. 甲未击中且乙击中的概率为. 这两种情形互斥，所以恰有一人击中目标的概率为. 23. 在正方形中，是的中点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在正方形中，， 因为是的中点，所以， 又因为，所以， 即. 24. 已知、、是三个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】借助长方体模型可判断ABC错误；由直线与平面垂直的性质可判断D正确. 【详解】 如图，借助长方体模型， 当面是，面是，面是时，满足，，但与相交，故A项错误； 当面是，面是，是时，满足，，但与相交，故B项错误； 当面是，是，是时，满足，，但与相交，故C项错误； 由直线与平面垂直的性质可知D项正确. 故选：D. 25. 一只不透明的口袋中装有9张卡片，每张卡片上分别标记一个卡片号，依次为1～9这9个数．若“从中任取一张卡片，结果卡片号为2或为4或为8”记为事件，“从中任取一张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得事件为，从中任取一张卡片，结果卡片号为2或为4， 因为不透明的口袋中装有9张卡片， 所以样本空间， 而事件包含的样本点为， 所以. 26. 海上A，B两个小岛相距，从A岛望B岛和C岛所成的视角为，从B岛望A岛和C岛所成的视角为，则B岛和C岛之间的距离（单位：）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理计算的大小，再结合正弦定理求解即可. 【详解】根据题意，在中，，，. 所以 . 由正弦定理得，则 ， 解得， 即两岛的距离为. 27. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，其余部分为四个全等的底边边长为的等腰三角形．现裁掉阴影部分，将其余部分拼接成一个底面边长为的无盖正四棱锥形容器，则此容器的容积V（单位：）为（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意确定正四棱锥的底面边长和侧面三角形的高，利用勾股定理求出棱锥的高，最后代入体积公式计算即可. 【详解】由题意可知，裁掉阴影部分后，剩余的四个全等的等腰三角形将作为正四棱锥的四个侧面， 这四个等腰三角形的底边长为，底边上的高为正方形边长的一半，即， 设正四棱锥的高为，底面边长为，正四棱锥的底面中心到边的距离为 ， 在正四棱锥中，高、侧面三角形的高 与底面中心到边的距离构成直角三角形， 由勾股定理得， 所以，该正四棱锥形容器的容积为 . 28. 已知函数（，）的图象过三点，，，且的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用函数过点求解，再根据零点与最大值点横坐标差的最小值求解，最后代入计算函数值. 【详解】 将，代入函数解析式，得，即， 由，可得， 点为函数零点，对应相位满足； 点为函数最大值点，对应相位满足， 两式作差得:， 所以， 又，代入得，解得， 所以 函数解析式为， 故. 二、解答题：本大题共2小题，共计16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 29. 如图，在直三棱柱中，，点是的中点.     证明：； 证明：平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【详解】（1）在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以 （2）设，连接，     则是的中点， 又因为是的中点，所以 因为平面，平面， 所以平面. 30. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数a的值； （2）若关于的方程在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合奇函数的性质可求； （2）由函数单调性得，结合正弦函数的性质求出其范围即可． 【小问1详解】 因为是定义域上的奇函数， 所以，即， 所以， 又， 所以此时为奇函数，符合题意； 【小问2详解】 易知函数在上单调递增， 由，得， 得， 得， 由题意在上有解， 当时，，所以， 所以，则 故的范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省2026年普通高中学业水平合格性考试试卷 数 学 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷包含选择题（第1题～第28题，共28小题84分）、解答题（第29题～第30题，共2题16分）．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．本次考试时间为75分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题卡上． 3．请认真核对监考员在答题卡右上角所粘贴条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 4．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 5．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗画清楚． 参考公式： 锥体的体积公式：，其中S是底面积，h是高． 一、选择题：本大题共28小题，每小题3分，共计84分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 已知复数，则z的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知一组数据2，2，x，4，5的平均数为3，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，．若，则实数（ ） A. B. C. D. 11. 若函数的图象经过点，则实数（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 13. 已知扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 14. 用长为的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积（单位：）为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 15. 设，则（ ） A. B. C. D. 16. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 B. 横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 C. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D. 横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 17. 在正方体中，异面直线与所成的角的正切值为（ ） A. B. C. D. 18. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 19. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 20. 在下列区间中，函数存在零点的是（ ） A. B. C. D. 21. 某机构调查了当地的部分企业年收入情况，发现他们的年收入都在200万元到800万元之间．根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则年收入在区间内的频率为（ ） A. 0.25 B. 0.45 C. 0.50 D. 0.55 22. 甲、乙两人各进行一次射击，若两人击中目标的概率都是0.6，则恰有一人击中目标的概率是（ ） A. 0.24 B. 0.36 C. 0.48 D. 0.64 23. 在正方形中，是的中点．若，，则（ ） A. B. C. D. 24. 已知、、是三个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 25. 一只不透明的口袋中装有9张卡片，每张卡片上分别标记一个卡片号，依次为1～9这9个数．若“从中任取一张卡片，结果卡片号为2或为4或为8”记为事件，“从中任取一张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，则（ ） A. B. C. D. 26. 海上A，B两个小岛相距，从A岛望B岛和C岛所成的视角为，从B岛望A岛和C岛所成的视角为，则B岛和C岛之间的距离（单位：）是（ ） A. B. C. D. 27. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，其余部分为四个全等的底边边长为的等腰三角形．现裁掉阴影部分，将其余部分拼接成一个底面边长为的无盖正四棱锥形容器，则此容器的容积V（单位：）为（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 144 28. 已知函数（，）的图象过三点，，，且的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 二、解答题：本大题共2小题，共计16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 29. 如图，在直三棱柱中，，点是的中点.     证明：； 证明：平面. 30. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数a的值； （2）若关于的方程在上有解，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $