精品解析：江苏省2025年普通高中学业水平合格性考试数学试卷

江苏省2025年普通高中学业水平合格性考试数学试卷 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷包含选择题（第1题～第28题，共28小题84分）、解答题（第29题～第30题，共2题16分）.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.本次考试时间为75分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题卡上. 3.请认真核对监考员在答题卡右上角所粘贴条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合. 4.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效. 参考公式： 锥体的体积公式：，其中是底面积，是高. 一、选择题：本大题共28小题，每小题3分，共计84分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是实数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 200 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 要得到函数的图像，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 10. 已知数据的方差为3，则数据的方差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 11. 已知角的终边经过点，且，则实数（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 12. 在平行四边形中，为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 13. 将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 16. 若，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 17. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 18. 下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 50 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 50 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（ ） A. 幂函数 B. 指数函数 C. 三角函数 D. 对数函数 19. 海上A，B两个小岛相距20 n mile，从岛望岛和岛所成视角为，从岛望岛和岛所成的视角为，则岛和岛之间的距离是（ ） A mile B. mile C. mile D. mile 20. 在正方体中，二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 21. 设，则（ ） A. B. C. D. 22. 已知a，b是两条不同的直线，且平面，则“”是“平面”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 23. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 24. 在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 25. 天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（ ） A. 0.44 B. 0.5 C. 0.56 D. 0.6 26. 已知，则（ ） A. B. C. D. 27. 在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，在如图所示的“羡除”中，；四边形为等腰梯形.若平面，四边形为正方形，，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 28. 已知函数若存在实数满足，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 二、解答题：本大题共2小题，共计16分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 29. 已知点，向量. （1）求向量与夹角； （2）若点在轴上，且，求点的坐标. 30. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）当时，证明：对任意，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省2025年普通高中学业水平合格性考试数学试卷 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷包含选择题（第1题～第28题，共28小题84分）、解答题（第29题～第30题，共2题16分）.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.本次考试时间为75分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题卡上. 3.请认真核对监考员在答题卡右上角所粘贴条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合. 4.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效. 参考公式： 锥体的体积公式：，其中是底面积，是高. 一、选择题：本大题共28小题，每小题3分，共计84分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可． 【详解】集合，则． 故选：A． 2. 若复数是实数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为复数是实数，则，解得. 故选：C. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的具体表达式和对数函数的定义域求解函数的定义域即可. 【详解】因为函数，则要使函数有意义， 那么，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：A. 4. 若，则（ ） A B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂的运算解方程即可． 【详解】，则． 故选：D． 5. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可求出函数的最小值. 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 6. 某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的方法计算样本容量即可． 【详解】A，B产品产量之比为，型号的产品有40件 B型号的产品有60件， ． 故选：B． 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 8. 从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列出总的可能情况，然后根据条件求概率即可. 【详解】从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果可能是6，10，15，它们是等可能的， 结果能被5整除的有10和15两个，所以结果能被5整除的概率为. 故选：D. 9. 要得到函数的图像，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移变换“左加右减”的原则即可得解. 【详解】根据平移变换“左加右减”的原则， 要得到函数的图像，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：A. 10. 已知数据的方差为3，则数据的方差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】因为数据的方差为3， 则数据的方差为. 故选：A. 11. 已知角的终边经过点，且，则实数（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，因为，所以， 解得. 故选：B. 12. 在平行四边形中，为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法法则和减法法则进行判断即可. 【详解】对于A: 根据向量加法的平行四边形法则，得，A错误C正确； 根据向量减法的法则得，B错误D错误； 故选：C. 13. 将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度的大小为，根据分钟占分钟的比例，即可得解. 【详解】时间过去1小时，相当于分针转一圈，一圈的弧度为， 故将时钟拨慢15分钟，分针逆时针转过的弧度数为. 故选：D. 14. 已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性比较大小即可逐项判断． 【详解】函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减， ，故A错误； ，又，即，故B正确； ，故C，D错误. 故选：B． 15. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角和的正弦公式可得出的值. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以. 故选：B. 16. 若，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，，都有，结合可求得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，，都有，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 17. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在定理即可判断. 【详解】，且， ，． 在区间内存在零点．故选B． 18. 下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（ ） A. 幂函数 B. 指数函数 C. 三角函数 D. 对数函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据因变量的数据的规律判断即可. 【详解】根据表格的数据可以看出，因变量水深从0：00到3：00上升，从3：00到6：00下降， 从6：00到9：00下降，从9：00到12：00上升，从12：00到15：00上升，从15：00到18：00下降， 可以看出，符合三角函数的单调性规律，而幂函数、指数函数和对数函数没有这样的规律. 故选：C. 19. 海上A，B两个小岛相距20 n mile，从岛望岛和岛所成的视角为，从岛望岛和岛所成的视角为，则岛和岛之间的距离是（ ） A. mile B. mile C. mile D. mile 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求边长即可． 【详解】根据题意，作图如下： 则，故， 由正弦定理得，即， ． 故选：A． 20. 在正方体中，二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二面角的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 在正方体中，平面， 因为、平面，所以，， 易知为等腰直角三角形，且， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 故选：B. 21. 设，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用对数的运算性质即可得解. 【详解】. 故选：D. 22. 已知a，b是两条不同直线，且平面，则“”是“平面”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质和判定进行判断即可. 【详解】因为平面，，所以平面，所以“”是“平面”的充分条件； 由于平面，平面，所以， 所以综上，“”是“平面”的充要条件. 故选：C. 23. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质进行判断即可. 【详解】因为集合， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，， 可以看出的周期为4， 的取值集合为， 所以中元素的个数为3. 故选：C. 24. 在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的结构特征，先求出底面面积，然后根据勾股定理求出高，进而根据棱锥的体积公式求出结果. 【详解】因为正四棱锥的侧面是边长为的正三角形，正四棱锥的底面是正方形， 所以， 因为，所以. 根据勾股定理得. 所以该正四棱锥的体积为. 故选：D. 25. 天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（ ） A. 0.44 B. 0.5 C. 0.56 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】利用对立事件求‘至少一个发生’的概率：“先计算两地都不降雨的概率，再用1减去该概率得到至少有一个地方降雨的概率”即可. 【详解】“设“甲地降雨”为事件A，“乙地降雨”为事件B， 则，， “甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生，即， ，， 利用独立事件的性质可知，事件与相互独立， 所以， 所以甲乙两地至少有一个地方降雨的概率为． 故选：A． 26 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】根据指数函数的单调性得，，， 所以. 故选：D. 27. 在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，在如图所示的“羡除”中，；四边形为等腰梯形.若平面，四边形为正方形，，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，推导出，求出的长，再利用梯形的面积公式可求得四边形的面积. 【详解】分别过点、在平面内作，，垂足分别为、， 在等腰梯形中，，，， 所以四边形为矩形，故，，， 因为，，，所以， 所以， 因为，由勾股定理可得， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，故四边形的面积为. 故选：B. 28. 已知函数若存在实数满足，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式,画出函数图像.去绝对值并结合对数的运算性质求得,根据正弦函数的对称性求得,即可得解. 【详解】函数,画出函数图像如下图所示: 由函数图像可知,若,则 因为,与关于对称 则 去绝对值化简可得 即,由对数运算可得 所以， 则． 故选：C ． 二、解答题：本大题共2小题，共计16分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 29. 已知点，向量. （1）求向量与的夹角； （2）若点在轴上，且，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量的夹角公式计算即可； （2）设，再由向量垂直的坐标表示计算即可. 【小问1详解】 ， 又，所以， 则向量与的夹角； 【小问2详解】 设， ，， ， ， 解得或， 所以点的坐标为或． 30. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）当时，证明：对任意，都有. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次函数开口及对称轴即可确定最小值； （2）由题意利用单调性得到，结合即可证明． 【小问1详解】 若，则，， 开口向上，对称轴为， ， 故的最小值为； 【小问2详解】 函数，对称轴， ，， 故， 当时，， 此时， 又因为，对称轴， 所以在上单调递减， 故； 当时， 此时； 又因为，对称轴， 所以在上单调递增， 故； 综上，当时，对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $