精品解析：甘肃定西市临洮中学2026-2027学年第一学期期中考试高一数学试卷

2026～2027学年第一学期期中考试 高一数学试卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：湘教版必修第一册第一章～第四章4.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“存在一个实数，它的绝对值是正数”的否定是（ ） A. 存在一个实数，它的绝对值是正数 B. 存在无数个实数，它的绝对值不是正数 C. 任意一个实数，它的绝对值都是正数 D. 任意一个实数，它的绝对值都不是正数 2. 已知集合{不大于2的自然数}，集合N满足，则集合N的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象开口向上且零点为和，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 定义在R上的函数，对于任意的，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数是偶函数，则实数______． 13. 命题“”为真命题，则实数a的取值范围是__________． 14. 已知，设，则函数的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 16. 已知函数． （1）当时，判断函数的单调性并证明； （2）若不等式成立，求实数x的取值范围． 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小 18. 如图，是以为斜边的等腰直角三角形，且. 动直线与的边共有两个公共点，即，在内且位于直线右侧的区域面积为. （1）求的解析式； （2）设，证明：是奇函数. 19. 对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，且，求实数b的取值范围： （3）若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期期中考试 高一数学试卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：湘教版必修第一册第一章～第四章4.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“存在一个实数，它的绝对值是正数”的否定是（ ） A. 存在一个实数，它的绝对值是正数 B. 存在无数个实数，它的绝对值不是正数 C. 任意一个实数，它的绝对值都是正数 D. 任意一个实数，它的绝对值都不是正数 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定判断即可得结论. 【详解】命题“存在一个实数，它的绝对值是正数”的否定命题是：“任意一个实数，它的绝对值都不是正数”． 故选：D． 2. 已知集合{不大于2的自然数}，集合N满足，则集合N的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】求出，再根据子集个数公式即可得到答案. 【详解】由题意可知，由子集的定义可知集合N有个． 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据充分条件和必要条件的定义得到答案. 【详解】，则或，则前者无法推出后者，后者可以推出前者， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式中分母不为零及根式内的表达式非负求解即可. 【详解】由题意知，，解得且， 所以函数的定义 域为. 故选：B 5. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法求解. 【详解】A选项，，其中，但可正可负，所以无法判断符号，所以A选项错误； B选项，，因为，，所以，所以B选项正确； C选项，，因为可正可负，，所以无法判断的符号，所以C选项错误； D选项，，当时，，所以D选项错误. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数，和的单调性，结合条件，即可求解. 【详解】因为是减函数，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 又是增函数，所以，则， 故选：A. 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数、二次函数单调性列式求出的范围. 【详解】由函数是上的减函数，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 8. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知等式，利用基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】∵， ∴， 当且仅当，即，时，取等号， ∴的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断各个选项即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，B，C正确，D错误， 因为}，， 所以，故A正确. 故选:ABC. 10. 已知二次函数的图象开口向上且零点为和，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由题意得且为一元二次方程的两个根，根据韦达定理可判断；对于B，为一元二次方程的根，代入变形可判断；对于C，由A选项可知，与关系，代入求解可判断；对于D，由A选项可知与关系，代入求解可判断. 【详解】对于A，由题意得且为一元二次方程的两个根， 故，，即，，故A错误； 对于B，为一元二次方程的根，故， 即，故B正确； 对于C，由A选项可知，即，解得，故C正确； 对于D，即，又， 故，解得，故D错误. 故选：BC. 11. 定义在R上的函数，对于任意的，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由于对于任意的，都有，采用赋值法求解逐项判断即可得结论. 【详解】对于任意的，都有， 令，得， 因为，所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C正确； ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数是偶函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】先依据幂函数的定义求出的所有可能取值，再逐一验证函数的偶性，筛选出符合条件的值. 【详解】由幂函数的系数必须为，可得 ，整理得， 即，解得或， 当时，，定义域为，对任意，，该函数为奇函数，不符合题意，舍去； 当时，，定义域为， 对任意，，该函数为偶函数，符合题意； 综上，实数. 13. 命题“”为真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】①当时，恒成立，满足条件， ②当时，，解得， 综上，． 故答案为： 14. 已知，设，则函数的最大值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】分两种情况，求出分段函数在各自区间上的取值范围或最大值，最终求出结果. 【详解】令，解得；令，解得或； 所以， 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 且，，所以； 综上所述：函数的最大值为1. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算； （2）将完全平方算出的值，再完全平方即可求出的值． 【详解】（1）原式 . （2）因为，所以， 所以，所以， 所以. 16. 已知函数． （1）当时，判断函数的单调性并证明； （2）若不等式成立，求实数x的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，证明如下： 任取，，且， ． 因为，所以，，， 所以，即，可得， 所以在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可； （2）结合函数单调性将不等式转化即可得解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 由（1）得在上单调递增， 因为，所以， 即，解得：或， 所以实数x的取值范围是. 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，求得 ，由，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意得到，由，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为菜园面积为平方米，可得，其中，则 则篱笆的总长为， 当且仅当时，即时，篱笆的总长最小. 【小问2详解】 因为篱笆的总长为米，可得，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值. 18. 如图，是以为斜边的等腰直角三角形，且. 动直线与的边共有两个公共点，即，在内且位于直线右侧的区域面积为. （1）求的解析式； （2）设，证明：是奇函数. 【答案】（1） （2）证明：因为，由（1）知， 所以， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，， 所以，故， 又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的定义，分段讨论即可求出函数的解析式； （2）由（1）中结果，结合条件得，再利用奇偶函数的判断方法，即可证明结果. 【小问1详解】 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，得到，所以， 当时，，当时，，当时，， 所以. 【小问2详解】 略 19. 对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，且，求实数b的取值范围： （3）若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）0和4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由函数不动点定义求解即可； （2）由函数不动点定义结合二次函数根的分布特征求解即可； （3）先由函数不动点的定义求出的表达式，再由条件得到的值域是值域的子集，然后由二次函数的性质得到的范围，再分与时结合函数的单调性和集合间的包含关系求解即可； 【小问1详解】 函数的不动点即为的实数根， 当时，问题转化为方程的实数根，解得或， 所以函数的不动点为0和4； 【小问2详解】 由题意可得方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，且， 设， 令，解得， 所以实数b的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可知，2为方程即的两根， 则，解得， 从而， 因为对任意，总存在，使得成立，即， 由题可知的值域是值域的子集， 因为在上是减函数，则， 即的值域为， 因为且， 当时，，不合题意舍， 当时，在上是增函数，则， 因为，则，解得， 当时，在上是减函数，则， 因为，则，解得， 故m的取值范围是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $