精品解析：天津市宝衡高级中学2026-2027学年第一学期高三年级10月月考检测数学试卷

天津市宝衡高级中学2026-2027学年第一学期高三年级 数学月考检测试卷 （202610） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得,又因， 则. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 3. 函数 的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，函数为奇函数，排除B、D项，再由，排除C项，即可得到答案. 【详解】由函数，定义域为， 有， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项； 又由，可排除C项， 所以函数的图象为选项A. 故选：A. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果. 【详解】由指数函数的单调性可知： ， 又， 所以， 故选：B 5. 的一个零点所在区间为 A. （0,1） B. （1,2） C. （2,3） D. （3,4） 【答案】B 【解析】 【详解】函数的导函数， 令可得或， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以函数在上有且仅有一个零点，在，上没有零点， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以函数在上没有零点， 综上，选项B满足要求. 6. 若在区间上递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据题设条件可得该函数在为减函数且恒正，从而得到a的取值范围. 【详解】令，则， 配方得，故对称轴为，如图所示： 由图象可知，当对称轴时，在区间上单调递减， 又真数，二次函数在上单调递减， 故只需当时，若， 则时，真数， 代入解得，所以a的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，此类问题应根据同增异减来判断，注意真数大于零的要求，本题属于中档题. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断即可. 【详解】由已知条件得 ， ， 所以. 故选：B. 8. 命题“”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题为假命题，等价转化为全称量词命题为真命题，即在上恒成立，求在上的最小值即得. 【详解】由题意，“”为真命题，即在上恒成立， 令，，则在上恒成立， 即在上恒为增函数，则，故. 故选：A. 9. 已知函数 ， 若不等式 对任意恒成立，则实数a 的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，得到，推得为偶函数，得到的图象关于对称，再利用导数求得当时，单调递增；当时，单调递减，把原不等式转化为恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 令，则，可得， 因为，所以为偶函数； 即函数的图象关于对称； 由，则， 当时，，单调递增，即时，单调递增； 当时，，单调递减，即时，单调递减； 由不等式，可得，即， 所以不等式对任意恒成立，可以转化为： 不等式恒成立，即恒成立； 即的解集为，转化为，解得； 结合选项可得B合适. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 函数的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数为正和二次根号下非负可求定义域. 【详解】由题设有，故，故函数的定义域为， 故答案为：. 11. 计算：_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 12. 函数的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据定义域，可得x的范围，根据二次函数的性质，可得的单调区间，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，分析即可得答案. 【详解】令，由题意得，解得， 且为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为为单调递减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 13. 命题的否定是____________________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识写出正确答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，要注意否定结论， 所以命题的否定是： 故答案为： 14. 已知函数的导数为，且满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的运算法则求导，再将代入即可求出. 【详解】， 则，所以. 故答案为：. 15. 已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，数形结合根据图象交点个数，即可求得参数范围. 【详解】画出函数f(x)图像如图所示， 而函数有三个零点， 也就是说函数与函数的图象有三个交点， 利用数形结合的方法可知：，解得. 故答案为： 【点睛】本题考查数形结合由函数零点个数求参数范围，属综合基础题. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，集合，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 集合，集合， 则. 【小问2详解】 全集，则， 所以. 【小问3详解】 因为，， 所以， 因为， 所以. 17. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求出和后由点斜式得切线方程； （2）求出的根后列表得出函数的单调性与极值． 【小问1详解】 函数的定义域为. 导函数. 所以，. 所以，函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 令，解得或，列表得 -1 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 的极大值为，极小值为. 18. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）讨论函数在区间上零点的个数. 【答案】（1） （2） 当或时，在上有一个零点， 当时，在上有2个零点， 当或时，在上没有零点. 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域及导函数，求时方程的解，分区间确定函数的单调性， 单调性求最值； （2）函数的零点，即方程的解，设，利用导数研究函数的性质，讨论，结合图象确定函数的零点个数. 【小问1详解】 的定义域是， ，， 当时，，得. 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减 当时，函数取最大值，最大值为； 【小问2详解】 由，得， 令，则， 由得， 由，得， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，， 作函数的图象如下： 综上：当或时，在上有一个零点， 当时，在上有2个零点， 当或时，在上没有零点. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 20. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论即可； （2），分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【小问1详解】 ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ，即， 即， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市宝衡高级中学2026-2027学年第一学期高三年级 数学月考检测试卷 （202610） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数 的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 的一个零点所在区间为 A. （0,1） B. （1,2） C. （2,3） D. （3,4） 6. 若在区间上递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 命题“”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数 ， 若不等式 对任意恒成立，则实数a 的取值可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 函数的定义域为______ 11. 计算：_________. 12. 函数的单调递减区间为______． 13. 命题的否定是____________________. 14. 已知函数的导数为，且满足，则_________． 15. 已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________________. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，集合，求： （1）； （2）； （3）. 17. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 18. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）讨论函数在区间上零点的个数. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 20. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数，都有，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $